VEKSELSTRØMSKREDSE, MATEMATISK SET.

(1)

VEKSELSTRØMSKREDSE, MATEMATISK SET.

1a) Opladning af kapacitor.

Det samlede spændingsfald i kredsen skal være nul. Hvis man regner lidt på dette skulle man gerne nå frem til differentialligningen C 0

C

RCdu u u

dt   Vis det!! (uC er spændingen over kapacitoren og u0 er den påtrykte spænding. Begyndelsesbetingelserne må være at for t0 er uC ⁰)

Denne ligning kan løses i Derive med DSOLVE1. Man kan også løse den pr. håndkraft hvis man er lidt snedig! (Den opstillede ligning kan også beskrive afladning idet der så gælder u0 0.

Begyndelsesbetingelserne er så at for t0 er uC ustart ).

I praksis kan opstillingen laves med en kontakt (som vist her) eller mere bekvemt med en firkantspænding da afladningen/opladningen med de foreslåede værdier for R og C går meget hurtigt! Vis det!

2) RC-kreds med påtrykt vekselspænding.

Vi ønsker at bestemme et udtryk for strømmen gennem kredsen som funktion af tiden. I første omgang kan vi opstille en ligning for spændingsforskellene, idet der må gælde at

u t^{( )}uRuC.

Dette kan omskrives til 1

sin( )

Ri q um t

C 

 

Differentieres nu på begge sider af lighedstegnet fås differentialligningen di _mcos( )

RC i Cu t

dt    Vis det!!

Denne ligning kan igen løses med DSOLVE1 (vær omhyggelig med at skrive det rigtigt op!) Begyndelsesbetingelserne kan vælges til (0,0) dvs. i = 0 til t = 0. Udtrykket ”solves” for i og man får et udtryk for i(t) som ser lidt uoverskueligt ud. Bruger man nu ”simplify” og ”expand” med t som den variable kan man forhåbentlig se at i(t) er på formen

( ) cos( ) sin( )

t

i t  k e^RC  A t  B t

1

(2)

Det første led ser bekendt ud!? Der er tale om noget eksponentielt aftagende med halveringstid (2)

RC LN . For de her valgte værdier af R, C og vil denne halveringstid være meget mindre end svingningstiden . Vis det!

Dvs. det første led dør meget hurtigt ud, hvorfor vi kan tillade os at se helt bort fra det! Man taler om at der sker en indsvingning. Dette betyder samtidig at de valgte begyndelsesbetingelser er ligegyldige, idet de kun påvirker indsvingningen. (I praksis har man nok heller ikke helt styr på begyndelsesbetingelserne, idet det er svært at gøre rede for, hvad der præcis sker lige når man tænder for sinusgeneratoren).

Vi kan altså regne videre med udtrykket ^{i t}^{( )} ^A ^{cos( )}^t  ^B ^{sin( )}^t

Dette udtryk kan omskrives til den form vi gerne vil have det på, nemlig ( ) _m sin( )

i t  i  t

svarende til at strømmen er forskudt fasen til venstre (bagud) i forhold til spændingen.

Vi bruger en af additionsformlerne (som alle jo kan huske!?) sin( t ) cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) t    t  

Sætter vi nu de to udtryk for i lig med hinanden fås sin( )

A i m  og B i m ^{cos( )} Heraf fås så endelig at

tan( ) A

  B og i_m  A²B² . Vis det!

Aflæs nu A og B og bestem et udtryk for tan() og im. Til slut bestemmes et udtryk for impedansen Z = ^m

m

u i . Kontrol: Det skulle gerne vise sig at

2 2

tan( ) 1

( 1 ) RC

Z R

C

 





 

(Derive skriver nok udtrykkene lidt anderledes, men det skulle gerne være det samme).

 måles normalt i grader svarende til at en hel svingningstid sættes til 360°.

De målte værdier for og Z, kan så sammenlignes med det beregnede.

3) RLC-kreds.

2

(3)

Igen opstiller vi en ligning for det samlede spændingsfald.

R L C generator

u u u u Dette giver ligningen

1

generator

Ri Ldi q u dt C

  

Der differentieres på begge sider af lighedstegnet og man får ligningen

2

2 0

d i di

LC RC i

dt  dt  . Vis det! (ugeneratorer en firkant, dvs differentialkvotienten er nul undtagen et kort øjeblik. hvor den springer)

Dette er en 2. ordens differentialligning, som I ikke umiddelbart kan løse.

Lad os først se på specialtilfældet, hvor R = 0.

Ligningen kan så skrives

2 2

1 0

d i i

dt  LC 

Denne ligning kan løses i Derive med kommandoen DSOLVE2. Brug ”Help”! Husk at fortælle at L og C er positive! Derive skriver desværre ikke løsningen helt som vi gerne vil have den!

Vis at den fundne løsning kan skrives ( ) _msin( )

i t i  t hvor 1

  LC .

Når R ikke er nul, bliver det en anelse værre. Derive kan løse ligningen, hvis vi angiver L, R og C, men hvis vi vil gøre det generelt bliver det lidt tungt, så I får her et lynkursus i løsning af denne type differentialligninger.

Man starter med at opskrive den såkaldte karakterligning

2 1 0

LC x RC x  

Denne ligning har løsningerne

2 2 2

2

4 1

2 2 2 4

R R C LC R R

x L LC L L LC

        . Vis det!

Man kan så vise at enhver løsning til differentialligningen kan skrives i t( )Ae^{x t}¹^ Be^{x t}²^ .

Ved de fleste realistiske kombinationer af R, L og C er diskriminanten negativ. Vis det! Dvs. der er to komplekse løsninger. Dette gør at løsningen i dette tilfælde kan skrives

( ) 2 ( cos( ) sin( ))

Rt

i t e^ L  A t B t = ² sin( )

Rt m L

i e^   t

hvor 1 ²₂

4 R

LC L

  

im og  kan bestemmes ud fra begyndelsesbetingelserne , men det springer vi over. Det afgørende er at vi har fundet løsningen som en harmonisk svingning, hvor amplituden aftager eksponentielt.

Dette kan sammenholdes med det eksperimentelle. F.eks. kan man undersøge om halveringstiden for amplituden passer med teorien. Man kan også kontrollere om passer.

4) RLC-kreds med påtrykt vekselspænding.

3

(4)

Differentialligningen opstilles som før og man får

2

2 _mcos( )

d i di

LC RC i u t

dt  dt    Vis det!

Hvis R,L og C angives kan Derive løse ligningen, men dels skrives løsningen ualmindeligt grimt (prøv evt.), og dels vil vi gerne løse ligningen helt generelt. Det er en smule tungt, men vi kan

”snyde” lidt! Vi leder efter en løsning der kan skrives på formen ( ) _msin( ) cos( ) sin( )

i t i  t A t B t

Vi kan ikke være sikre på at der findes en sådan løsning, men vi kan jo prøve at se om vi kan få det til at passe. Vi indsætter udtrykket med A og B og får

2 ( cos( ) sin( )) ( sin( ) cos( )) cos( ) sin( ) _mcos( ) LC  A t B t RC A t B t A t B t u t Samler vi nu leddene med cos og sin hver for sig må koefficienten til såvel^{cos( )}^t som^{sin( )}^t være nul, idet ligningen skal være opfyldt for ethvert t.

Dette fører til de to ligninger

2

2 0

LC A RC B A um

LC B RC A B

  

 

   

    Vis det!

Dette løses f.eks. i Derive og man får nogle lidt uoverskuelige udtryk, men hvis vi nu beregner tan( ) A

  B og i_m  A²B² bliver det noget pænere!

Kontrol: Det skulle gerne vise sig at 1

tan( ) C L

R

 

 



2 1 2

( )

m m

Z u R L

i  C

   

(Igen skriver Derive nok udtrykkene lidt anderledes, men I skulle gerne nå frem til at det er det samme).

Opgave: Ved hvilken frekvens er Z maksimal? Hvilken faseforskydning svarer dette til?

Kommentar: Den generelle løsning kan skrives som im^sin( t ⁾løsningen fra 3), men hvis halveringstiden for amplituden i det sidste udtryk er tilpas lille, vil der igen være tale om et indsvingningsfænomen, som hurtigt dør ud!

4