Arbejdshæfte:
Matematik til debat
– didaktiske overvejelser
Indholdsfortegnelse
Forord
Indledning – om projekt »Kvalitet i Fag«
Projektbeskrivelse Århus Projektbeskrivelse Haslev Projektbeskrivelse København
Projektbeskrivelse Jelling
Den gode matematikundervisning Evaluering
Undervisningsdifferentiering
- differentierede undervisningsforløb
Undersøgende og eksperimenterende arbejdsformer
Problembehandling Eksperimenter
Konkrete materialer
IKT i matematikundervisningen Mundtlighed
Logbog, e-mail og anden kommunikation
Tværgående emner eller matematik som en del af et tværfagligt forløb
Forældresamarbejde
Samarbejde omkring matematikundervisning Perspektivering
Evaluering Kompetencer
Forord
Den gode undervisning har været i fokus i udviklingsprojektet »Kvalitet i Fag« .
Projektet blev iværksat som et samarbejde mellem Lærerseminariernes Rektorforsamling og
Danmarks Lærerforening, og ideen var at give mulighed for, at folkeskolelærere, liniefagslærere fra seminarierne og lærerstuderende – i 5 udvalgte fag – kunne samarbejde om at indkredse høj faglig kvalitet i undervisningen. De 5 fag var fra begyndelsen dansk, matematik, engelsk, idræt og geografi. Senere indgik tysk sammen med engelsk i projektet. Et af projektets væsentlige
anliggender har derfor været at vise, at diskussionen om høj faglig kvalitet finder sted i alle skolens fag, og at alle fag har stor betydning for elevernes alsidige udvikling.
Formålet for projektet har været
§ at udvikle, afprøve og beskrive metoder og redskaber for »den gode undervisningspraksis« i det enkelte fag
§ at bidrage til udvikling af lærerarbejdet
§ at inspirere liniefagsundervisningen på lærerseminarierne
§ at afprøve en praksis, hvor lærerstuderende, som et led i deres uddannelse, får mulighed for at deltage i skoleudvikling
§ at formidle erfaringerne til andre lærere i folkeskolen og på lærerseminarier.
I formålet blev det desuden understreget, at udviklingsprojekterne skulle forholde sig til og afspejle bestemmelserne i CKF og lokale læseplaner. Endelig var ønsket, at folkeskolelovens bestemmelser om undervisningsdifferentiering og fastsættelse af mål for den enkelte elev skulle inddrages i overvejelserne om høje faglige krav i undervisningen.
Nogle af resultaterne og erfaringerne fra projekterne formidles i 6 hæfter. Hæfterne er skrevet af de seminarielærere, der har deltaget i projektet, og hæfterne er meget forskellige. Det er de, fordi krav og forventninger og rammerne omkring de 6 fag er meget forskellige i folkeskolen. Der er stor forskel på omgivelsernes – og samfundsdebattens – interesse for og fokus på det enkelte fag. Fagets status afspejles i lærernes muligheder for deltagelse i udviklingsarbejder og efteruddannelse.
Samarbejdsformen i projektet var ny – og derfor et ægte udviklingsarbejde. Det er naturligvis ambitiøst at bringe de studerendes grunduddannelse, folkeskolelærernes efteruddannelse og seminarielærernes mulighed for at afprøve teori i praksis ind i et fælles udviklingsprojekt. Fra deltagerne lyder meldingen, at det indimellem har været slidsomt, men det har under alle
omstændigheder også været givende og lærerigt. Koblingen mellem de tre niveauer i folkeskolens virksomhed har tvunget til eftertanke, og kommunikationen mellem de tre parter har krævet præcise indholdsdiskussioner og begrundelser for indholdsvalg i undervisningen.
Vi håber, at hæfterne kan give inspiration til, at diskussionen om høj kvalitet i undervisningens faglige indhold kan fortsætte blandt kolleger i folkeskoler og på seminarierne og blandt de
kommende kolleger. Diskussionen er naturligvis aktualiseret af de seneste ændringer af CKF’erne med krav om »Klare Mål«. Men først og fremmest håber vi, at projektets væsentligste ambition »at bidrage til udviklingen af den gode undervisning« træder frem i de seks hæfter.
Anni Herfort Andersen Per Frimer Larsen
Formand for Formand for
Danmarks Lærerforening Lærerseminariernes
Rektorforsamling
Indledning
– om projekt »Kvalitet i Fag«
»Høj faglig kvalitet i undervisningen er« ét af mange krav, som lærerne møder i deres daglige arbejde. Men hvad er kvalitet i fag? Hvem bestemmer, hvornår kvaliteten er høj (nok)? Spørgsmålet indgår som et af flere i samarbejdet omkring folkeskolen og dens mange partnere. Rammer og vilkår har afgørende betydning for skolens muligheder for at tilbyde ordentlig undervisning. Men ét er imidlertid sikkert: Ansvaret for undervisningens kvalitet er i sidste ende lærernes. Der er derfor god grund til at spørge lærerne, hvis man skal forsøge at indkredse »den gode undervisning«.
Dette hæfte er resultatet af et samarbejde mellem folkeskolelærere, seminarielærere og
lærerstuderende, hvor spørgsmålet netop var, om man kan udvikle en kultur og nogle metoder, som gør det lettere at udpege elementer i undervisningen, som bidrager til at skabe høj kvalitet. Et andet spørgsmål var: Hvorfor er noget bedre/vigtigere end andet – hvorfor er det ikke »lige gyldigt«, hvilket indhold man vælger, blot eleverne viser interesse og engagement?
Hæftet henvender sig til skolernes fagteam eller gruppen af faglærere på skolerne, og ambitionen er at bidrage til diskussionen om undervisningens mål og indhold. Det vil sige den diskussion, der leder hen imod, at der kan træffes begrundede valg af indhold og undervisningsmetoder. I enhver diskussion om indholdsvalg træffes der beslutninger om at vælge til og fra. Derved tvinges deltagerne i dialogen til at begrunde, hvorfor noget er bedre eller væsentligere end andet. Det er denne bevidstgørelse og skærpelse af argumentationen, der kan være en styrkelse af lærernes dialog med omgivelserne, når der skal udarbejdes mål og planer eller i samarbejdet med elever og
forældre.
Det har altid været et led i lærernes arbejde, at der for alle fag skal træffes beslutninger om indhold og undervisningsformer. Det nye er måske, at dialogen om indholdsvalget skal føres med mange forskellige af folkeskolens parter – ikke blot med nærmeste kollega, hvor begrundelser og refleksioner var under- og indforståede. Det stiller nye krav til den enkelte lærer og til
lærerteamene, at så mange – forskellige – skal inddrages i arbejdet. Overvejelserne skal formidles i målbeskrivelser, i årsplaner, i teamsamarbejde og i skole/hjemsamarbejde.
Didaktikken er ikke længere blot lærernes arbejdsredskab, når de tilrettelægger undervisningen, den er også et redskab i lærernes dialog med omgivelserne.
Projektbeskrivelse Århus
Arbejdet det første år omfattede fælles drøftelser af »Den gode undervisning«. Hvilke metoder og redskaber er det?
Arbejdet det andet år bestod i isolering og skrivning om udvalgte væsentlige parametre i kvalitetssikret matematikundervisning. På skift har undergruppen med både lærere og
lærerstuderende fremlagt synspunkter og fået sparring fra resten på de fælles møder. Efter 2 runder er papiret gjort færdigt – og har så fungeret som gruppens bidrag til dette hæfte.
I Århus har samarbejdet omfattet 8 lærere fra 4 skoler i Århus Kommune, en seminarielærer og et matematik linjehold fra Århus Dag- og Aftenseminarium. Det andet år blev antallet af
lærerstuderende reduceret til 7.
Folkeskolelærere
Henrik Johansen og Anne Mette T. Hansen, Frydenlundskolen Lisbeth Brammer og Janne Jönsson, Holme Skole
Rie Haugstrup og Flemming Olsen, Malling Skole Allan Frederiksen og Allan Glerup, Rosenvangskolen
Lærerstuderende
Carina Pedersen, Tina Leth, Vibeke Juhl Nielsen, Maria Fogh Jensen, Jonas Juul Jeppesen, Mette Egeberg og Bjarne
Conradsen – alle fra matematiklinjehold 99.1 på ÅDAS
Seminarielærer Arne Mogensen, ÅDAS
Projektbeskrivelse Haslev
Arbejdet det første år omfattede al undervisning i matematik i to 10. klasser, hvor vi som udgangspunkt arbejdede med det sædvanlige stof for 10. klasse, men introducerede en
eksperimenterende arbejdsform, hvilket også omfattede brug af åbne computerprogrammer. Vi evaluerede undervisningen ved brug af begrebskort, rapportskrivning samt evalueringsskemaer.
Arbejdet det andet år omfattede al undervisning i to 8. klasser. Vi anvendte igen den eksperimenterende indgang til emnerne, men i løbet af året arbejdede klasserne med to længerevarende tværfaglige emner inden for hhv. matematik/idræt, matematik/astronomi og fysik/kemi.
I Haslev har samarbejdet omfattet 2 lærere fra Sofiendal-skolen, en seminarielærer og det første år to 10. klasser fra Sofiendalskolen samt en lærerstuderende fra Haslev Seminarium. Det andet år har – ud over lærerne – to 8. klasser og 2 lærerstuderende fra Haslev Seminarium deltaget.
Folkeskolelærere
Michael Andersen og Kim Mikkelsen
Lærerstuderende
Kaspar Sandberg, Haslev Seminarium
Lars Krogh og Henrik B. Østergaard, Haslev Seminarium Seminarielærer
Mette Vedelsby, Haslev Seminarium
Projektbeskrivelse København
I København har primært folkeskolelærere, seminarielærere og studerende fra Frederiksberg Seminarium og Kastrupgårdsskolen samarbejdet om de studerendes matematikundervisning i den afsluttende praktik. Til dette samarbejde har været knyttet seminarielærere fra N. Zahle Seminarium og Københavns Dag- og Aftenseminarium.
Samarbejdet og dialogerne har på baggrund af de studerendes gennemførelse af eksemplariske undervisningsforløb fokuseret på kommunikation, problembehandling, løbende evaluering, undervisningsdifferentiering, kompetencer og samarbejdet mellem folkeskolelærere og seminarielærere.
Folkeskolelærere
Henriette Holte og Henrik Thomsen
Lærerstuderende
J. Isager-Sally, A.M. Hilker, S.F. Larsen, M. Terp, S.M. Boysen, S.V. Beck, C.M. Florboe, M.N.
Bøyesen, H. Freiberg, P.S. Lundsgaard, A.B. Madsen, R. Steiness, L.L. Andersen, M. Bjørup og M.
Antanuse
Seminarielærere
Eva Rønn, KDAS , Dan Eriksen NZS og Peter Weng FS
Projektbeskrivelse Jelling
Målet med projektet blev søgt nået gennem en række undervisningsforløb, fire i hver klasse, hvor hovedvægten var lagt på øget mundtlighed og på, at eleverne skulle få mulighed for at
eksperimentere og undersøge.
Et af de meget vigtige punkter var at skabe samarbejde mellem studerende, seminarielærer og folkeskolelærere i bestræbelsen på at udvikle lærernes didaktiske tænkning.
I Jelling har samarbejdet omfattet:
Folkeskolelærere
Klaus Andreasen og Bodil Alexandersen, Vestre Skole i Middelfart
Elever
4.b og 6.b (som siden er blevet 5.b og 7.b) på Vestre Skole
Lærerstuderende
Ulrikke Schaarup, Jette Pia Saaby, Gitte Larsen, Torben Andersen, Thomas B. Kristensen, alle hold 96.A
Studerende fra hold 99.A Seminarielærer
Lotte Skinnebach, Jelling Seminarium
Den gode matematikundervisning
Matematik er et fag i skolen, men også et videnskabsfag og et redskab til daglig kommunikation.
Det centrale i skolefaget kan derfor forekomme forskelligt for forældre, fagmatematikere og i Klare Mål - Matematik. Er det relevant for lærere at tale om det?
Eksempler fra aviser efterår 2000:
Dumpekarakter i matematik – hvem har afgjort det?
- Glem ikke den gammeldags undervisning
Kære forældre,
I skal ikke være nervøse
Et fag på katastrofekurs
…Et legefag…
…Lommeregnere fra 1. klasse…
…Problemer i gymnasiet…
…Niveauet falder…
…Fagligheden skrider…
Matematiklærere er for ringe
1. Kan der være grund til kritik af matematikundervisning?
2. Er matematiklærere gode nok til at beskrivelæringssynet?
3. Har fagforståelsen haft konsekvenser for f.eks. valg af bogsystem, brug af konkrete materialer, eksperimenterende undervisning, forældresamarbejde og lokaleindretning?
4. Hvilke muligheder ser I for dialog og gensidig påvirkning mellem matematikundervisning i folkeskole og i ungdomsuddannelser?
5. Hvordan kan matematiklærere vejlede de enkelte elever i deres uddannelsesplan?
Matematikfaget er blevet mere synligt. Årsplaner, teamarbejde, tværgående og ud af huset-
aktiviteter er del af en nyorientering, der for matematikundervisningen har betydet store ændringer mange steder.
Men synligheden er også efterspurgt uden for skolen. Forventninger til kvalitet udtrykkes ofte i forventninger til dokumentation og af et (måske for snævert?) udvalg af matematiske kompetencer.
Men de Klare Mål skal stadig fortolkes af den enkelte lærer.
Matematisk kompetent?
Der er mange opfattelser af det centrale i at være matematisk kompetent. Man skal selvfølgelig kunne noget:
•fakta, f.eks. den lille tabel, omsætning fra cm til meter
•regler, f.eks. »gange kommer før plus« eller »ikke dele med nul«
•formler, f.eks. for en cirkels omkreds og areal
•algoritmer, f.eks. gange to tal, omsætte brøk til procent.
Men fagets formål er jo også:
•Analyse og argumentation
•Eleverne skal bruge matematik i fællesskab
•Elevernes nysgerrighed og kreativitet skal fremmes
•Eleverne skal kunne vurdere matematikkens anvendelse
•Eleverne skal kunne anvende IT.
De mange myter
Derfor må en moderne matematikundervisning gøre op med nogle misforståelser, f.eks.:
•Matematikundervisning består mest i at stille opgaver.
•Matematik læres bedst ved at læse og løse opgaver i en matematikbog fra første til sidste side.
•Næsten alle matematikopgaver kan løses ved at bruge kendte fakta, regler, formler og algoritmer fra bogen.
•At tænke matematisk er at kunne lære, huske og anvende fakta, regler, formler og algoritmer fra bogen.
•Kun matematik, der bliver testet ved eksamen, er vigtig og værdifuld.
•Formler er vigtige, men ikke, hvordan de udledes.
•Matematik er noget, der er opfundet af andre.
•Alle matematikopgaver kan løses på nogle få minutter.
Perspektiver
Skal alle have matematik i 9 år?
Hovedopgaven med skolens matematikundervisning er ifølge formål, CKF, delmål og læseplan at sætte alle i stand til at forstå, tage stilling til og handle i og med matematikken, som den nu manifesterer sig – synligt eller usynligt – i kultur og samfund.
Det bygger på en erkendelse af, at:
•matematik er vigtigt pga. muligheden for at beskrive, forstå, foregribe og indrette dele af verden
•det er vigtigt for demokratiet, at almindelige mennesker er i stand til at omgås matematik aktivt og analyserende.
Men for skolen er der i øjeblikket klare problemer forbundet med begge konstateringer. Megen anvendelse af matematik er blevet »usynlig«. Og mange elever har faktisk svært ved matematik.
Konsekvenser
Kan man undgå at slække de faglige ambitioner, når alle helst skal med?
Den udfordring kræver den bedst tænkelige faglige baggrund. Matematiklærere forventes at beherske og inspirere til naturvidenskabelig arbejdsmetode med nysgerrighed og systematik. Det læres ikke på et 30 timers lærerkursus, hvis man ikke i forvejen er disponeret og/eller følger op. I praksis vælger mange matematiklærere derfor at støtte sig til bogsystemer og kolleger.
Kvalitetskriterier
I det udviklingsarbejde, der har resulteret i dette hæfte, har grupper af lærere og lærerstuderende sammen med seminarielærere drøftet og gennemført undervisningsforløb med særligt fokus på udvalgte kvalitetskriterier. Derfor er resten af hæftet opbygget som en række opslag, der hver for sig har et særligt fokus:
Evaluering Mundtlighed
Differentiering Logbøger, email og anden kommunikation
Undersøgende og Tværgående emner
eksperimenterende undervisning
Problembehandling Forældresamarbejder
Eksperimenter Samarbejder/netværk
Konkrete materialer Perspektivering IKT
Vi håber, læsningen kan være igangsættende eller blot indgå i en løbende debat på lærerværelser, i matematikfaggrupper og team, i de lærerstuderendes praktikundervisning eller linjefaget matematik.
Mange diskussioner kan måske afsluttes med disse spørgsmål:
1. Skal vi ændre noget i vores matematikundervisning?
2. Hvad kan vi gøre noget ved, hvis vi vil?
3. Vil vi ændre noget?
Litteratur
Matematikken i verden, Kvan 56, 2000
www.uvm.dk/nb Nyheder på Undervisningsministres hjemmeside
Evaluering
Løbende evaluering bør bygge på en fælles tro mellem den enkelte elev og læreren på, at det er muligt og konstruktivt at indgå i et samarbejde for at fremme udviklingen af under-visning og læring.
Den enkelte elevs selv-evaluering bør sammen med lærerens viden om elevens opfattelse og holdning til matematik være udgangspunktet for samarbejdet.
Den røde tråd i en model for en løbende evaluering bør være en systematisk beskrivelse af den enkelte elevs udvikling.
Den løbende evaluering er en formativ evaluering, forankret i undervisningssituationen og med fokus på processen i belysningen af relationerne mellem proces, produkt og mål i undervisningen.
Den løbende evaluering bør forsøge at belyse og påpege både justeringer og nye tiltag i denne proces, m.h.p. støtte til elevens begrebstilegnelse.
Den formative evaluering danner grundlaget for resultatet af en summativ evaluering, der fokuserer på produktet i belysningen af relationerne mellem proces, produkt og mål i undervisningen.
De vurderingsredskaber, der anvendes i formativ og summativ evaluering, bør være en
sammensætning af forskellige typer for at kunne støtte eller kontrollere den enkelte elevs udvikling i relation til opstillede mål.
Begge evalueringsformers betydning understreges gennem beskrivelsen af delmål og slutmål i det nye faghæfte 12, »Klare Mål«
Portefølje-mappen er et eksempel på, hvordan der systematisk kan indsamles forskellige produkter, der kan danne grundlag for en fortløbende samtale om elevens udvikling, og som i nogen grad kan tjene som dokumentation for denne.
Tilsvarende vil det være en hjælp for læreren, hvis han eller hun systematiserer sine erfaringer med undervisningen og gemmer sine gode undervisningsforløb i en portefølje. En sådan mappe med eksempler på gode undervisningsforløb kan udvikles til at blive et værdifuldt redskab ved de vurderinger og evalueringer, der bør være integreret i undervisningen.
Mål hænger sammen med undervisningens hensigt og elevernes potentialer. For at eleverne kan deltage aktivt og føle medansvar, er det vigtigt, at eleverne kender målene, men vi ser det ikke som en nødvendighed, at eleverne kender alle delmål.
En summativ evaluering, hvor der kun er lagt vægt på elevens niveau i forhold til de opstillede faglige mål, er ikke tilstrækkelig. En formativ evaluering, der belyser flere relationer mellem niveau og læreproces er i allerhøjeste grad også nødvendig
Hvis man løbende evaluerer og justerer sine planer i overensstemmelse med
evalueringsresultaterne, optimerer man undervisningen … denne form for evaluering indebærer selvfølgelig et stort arbejde for læreren, men til gengæld bliver udbyttet ofte langt bedre.
Litteratur
Vurderinger og evalueringer i matematikundervisningen på www.uvm.dk og www.F2000.dk
Undervisningsdifferentiering – differentierede undervisningsforløb
Differentierede undervisningsforløb, der som begreb kaldes undervisningsdifferentiering, kom med i den nuværende folkeskolelov fra 1993, som et nyt begreb sammen med bestemmelsen om løbende evaluering.
Begrebet undervisningsdifferentiering kan næppe tænkes uden i sammenhæng med begrebet løbende evaluering.
»Evalueringen danner grundlag for vejledning af den enkelte elev og er nødvendig for tilrettelæggelsen og sikring af tilstrækkelig undervisningdifferentiering.«
Bemærkninger til Folkeskolelovens §13.
Undervisningsdifferentieringen bør være et princip for undervisningen, som er indvævet i lærerens tænkning om tiltag, der skal støtte den enkelte elevs læring.
Læreren bør gennem samarbejdet med den enkelte elev i en løbende evaluering udnytte muligheden for dels at få en indsigt i elevens forudsætninger og potentialer, og dels for at få klarlagt elevens eventuelle behov og grad af motivation for tiltag, der skal fremme opfyldelsen af Klare Mål såvel som personlige mål for eleven i arbejdet med matematikken.
Et undervisningsdifferentieringsbegreb, der kun fokuserer på Klare Mål, er amputeret.
Test og analyser skal ses som et supplement til bedst muligt at kunne forstå elevens udgangspunkt.
Den, som kender den enkelte elevs forudsætninger bedst, er eleven selv, og i dialog mellem lærer/elev -elev/elev kan den enkelte elev opnå realistisk indsigt i egne muligheder. Samtidig kan læreren få kendskab til disse og inddrage det i sin planlægning af undervisningen.
Undervisningsdifferentiering - hensynet til den enkelte lærer!
I deloverskriften er undervisningsdifferentiering polemisk knyttet til en optimal brug af lærerressourcer. Med denne optik på undervisningsdifferentiering bliver følgende spørgsmål centrale.
Hvordan kan vi i undervisningen differentiere på en måde, som tilgodeser alle elever samtidig med, at lære- ren oplever at bruge sine ressourcer optimalt?
Kan vi med differentieringstiltag opnå en større grad af elevselvstændighed - så læreren får øget overskud og råderum i undervisningssituationen?
Der er mange måder at differentiere på. Følgende er ikke nogen endelig liste, men et bud på kategorier i en debat:
•inddeling i grupper: Piger/drenge, stærke/svage
•ekstra opgaver: Udfordrende problemer, træning eller frit valg
•differentiering i tid
•differentiering i forventninger, tålmodighed og tolerance
•differentiering i hjælp
•differentiering i materialer og metoder, inkl. IT.
På hvilke måder har I – eller vil I differentiere?
Succes? Svært?
Undersøgende og
eksperimenterende arbejdsformer
Eleverne skal være aktive, undersøgende, nysgerrige og kreative.
Hvorfor?
For at leve op til faghæftets krav om eksperimenterende arbejdsformer. Eleverne skal:
•undersøge/udforske/opdage sammenhænge
•formulere problemstillinger/undersøge sammenhænge/opstille hypoteser
•have medansvar for egen læring gennem aktiv indsats.
Hvordan?
Undervisningen kan tilrettelægges som aktiviteter/eksperimenter med udgangspunkt i:
•et problem
•et emne
•et tema.
Hvad kan man opnå, når eleverne arbejder på denne måde?
Der skabes mulighed for:
•at eleverne, i samarbejde med læreren, er med i hele arbejdsprocessen
•at undervisningen styres af den enkelte elev, klassen og det emne, der er valgt
•at tage udgangspunkt i den enkelte elevs kundskaber
•at afgangsprøven i højere grad kommer til at passe til den daglige undervisning.
§ Er det altid muligt/ønskeligt at tilrettelægge undervisningen på denne måde?
§ Hvilke aktiviteter i et givet forløb skal være obligatoriske, og hvilke skal være valgfrie?
Elevudtalelser:
•Man er med til at skabe sin egen undervisning.
•Spændende.
Lærerudtalelser:
•Spændende at være med til at udforme et undervisningsforløb.
•Eksamen afspejler den daglige undervisning.
•Det er klassen/læreren, ikke en bog, der styrer.
•Det kræver et stort forberedelsesarbejde.
•Den enkelte elev kan få mulighed for at fordybe sig i en aktivitet uden at blive presset af »at klassen skal videre«.
•Læreren lærer eleven bedre at kende, og eleven lærer også læreren bedre at kende, når samtalen foregår i mindre enheder.
•Det har i højere grad være emnet, målet, eleverne og formen, der har styret. Undervisningen kommer til at passe bedre til de elever, der er i klassen.
•Differentiering bliver en naturlig konsekvens, hvis aktiviteterne formuleres åbent.
Problembehandling
Den gode undervisning bør udfordre eleven gennem problemstillinger, der vækker den enkelte elevs interesse og lyst til at stille – og løse problemer.
Problembehandlingen bør ske gennem arbejdet med mange forskellige problemtyper.
F.eks. i kontekster fra elevens egen erfaringsverden, samfundsspørgsmål eller inden for humanistiske områder.
Problemstillinger inden for forskellige matematiske områ-der bør give anledning til at arbejde med forskellige medier og repræsentationer knyttet til problemstillingen.
Det undersøgende og eksperimenterende gennem anvendelse af forskellige metoder og strategier er centralt i problembehandlingen.
Strategier
Arbejdet med udvikling af problemløsningsstrategier bør være systematisk som f.eks.:
•at tænke på et parallelt men simplere problem
•at tegne et »billede« af problemstillingen
•at beskrive de givne data systematisk i en tabel eller et diagram
•at opstille en model
•at tænke baglæns.
Det er gennem den enkelte elevs erkendelse af det nyttige i at systematisere sine tankeprocesser ved problembehandling, at der skabes mulighed for, at matematikken opleves som et redskab til at forstå – og handle i verden.
Problemløsning betyder: Først at oversætte et forelagt problem til en formulering som bruger det matematiske sprog. Dernæst, at vælge en løsningsmetode som er til rådighed inden for den del af faget, som eleverne kender. Og endelig at bruge metoden til at finde et resultat og evt. sprogligt formulere svaret på problemet. Herved opnås, at der udvikles et mere og mere præcist fagligt sprog, og der udvikles stadig mere avancerede løsningsmetoder.
Problembehandling fremmer den enkelte elevs mulighed for:
•at få en forståelse for matematikkens anvendelse i undersøgelser, der belyser elevens egen verden
•selv at kunne se værdien af at stille spørgsmål til matematiske facts og argumentere ved hjælp af matematiske begreber
•at opleve at matematik er mere end at løse regnestykker.
•at redegøre for – og fortolke resultater, der bygger på matematiske modeller
•at generalisere resultater.
De problemstillinger, vi har valgt, har en passende grad af åbenhed, der gør det muligt for eleverne at benytte forskellige indfaldsvinkler, stille nye spørgsmål undervejs, diskutere mulige måder at løse opgaverne på samt præsentere resultaterne på en selvstændig måde.
Eksperimenter
Matematikeksperimenter er her undersøgende aktiviteter udført ved brug af konkrete materialer eller åbne computerprogrammer.
Hvorfor eksperimentere i matematiktimerne?
§ For at eleverne skal gøre sig nogle eksperimentelle erfaringer, således at de kan opbygge et lager af konkrete eksempler til at hæfte den mere abstrakte del af matematikken op på.
§ Åbne elevernes øjne for matematikken i naturen.
§ Nogle eksperimenter kan udføres, og i høj grad bearbejdes på forskellige niveauer, dvs. med udgangspunkt i de enkelte elevers faglige styrker.
Model for undervisningen
Undersøge/Eksperimentere –> opstille hypoteser –> reflektere –> argumentere –>generalisere
Bearbejdelse af resultaterne fra eksperimenterne
Eksperimenterne skal bearbejdes først af eleverne selv og senere diskuteres i plenum i klassen, her er det så op til læreren ud fra elevernes konkrete erfaringer at få deres forståelse for temaet/emnet løftet op på et højere abstraktionsniveau. Dvs. eksperimenter udføres ikke kun for eksperimenternes skyld.
Materialer til eksperimenterne Kan være diverse:
•konkrete materialer f.eks. toiletruller/bolde/grankogler/centicubes
•måleudstyr: f.eks. stopur/måleglas. tommestokke,
•åbne computerprogrammer: f.eks. et dynamisk geometriprogram.
Eksempel på eksperiment 8-10.klasse:
Introduktion til lineære funktioner: »Hvor hurtigt bevæger et nervesignal sig«.
Anvendte materialer: Eleverne i en klasse, tre stopure.
Formålet med dette eksperiment er at undersøge, hvor hurtigt et nervesignal bevæger sig.
Forsøget udføres ved at bestemme tiden for passagen af et nervesignal som funktion af antallet af personer, signalet passerer. Deltagerne stilles op i en kæde ved, at de holder omkring håndleddet på den person, der står til højre for dem. Signalet startes ved, at den første deltager giver den anden et forsigtigt klem med hånden og samtidigt siger start. Den sidste i kæden siger stop, når hun
modtager signalet. Tiden for signalets passage bestemmes af tre personer (gennemsnit anvendes).
Forsøget gentages (mindst 5 gange) med forskellige antal personer i kæden. Hele forsøget gentages, idet personerne i stedet for at holde om håndleddet, lægger hånden på skulderen af den person, der står til højre for.
§ Gå de forskellige emneområder igennem på et bestemt klassetrin og diskutér hvilke eksperimenter, der vil kunne bruges som indledning til de enkelte områder.
§ Det skal være eksperimenter, der kan give eleverne erfaringer inden for det pågældende område, således at de får mulighed for at få en dybere forståelse for det pågældende emne/område af matematikken, og således at eleverne får et indtryk af, at matematikken kan bruges til noget.
§ Overvej, hvordan eksperimenter kan udformes på forskellige klassetrin.
Konkrete materialer
Hvad forstås ved konkrete materialer?
Det kan være svært at pege på eksempler, som alle kender til. Og kategorierne kan debatteres.
•Det, vi forventer alle har: Papir, lim, sakse, farver, ...
•Hverdagsting: Søm, sten, kapsler, emballage, snor, ...
•Træningsmaterialer: Miniløk, tabelkort, ...
•Anskuelsesmaterialer: Mønsterbrikker, Polydron, terninger, kugleramme, cuisinaire, centicubes, ...
•Værkstedsmaterialer: Vægte, måleglas, stopure, ...
•Spil.
Konkrete materialer er altså fysisk konkrete og manipulerbare. Men i debat bruges konkret også om situationer, der er selvoplevede, eller med så stor tilknytning til egne erfaringer, at de fremstår tydelige.
Hvorfor er det en god ide at bruge konkrete materialer?
Konkrete materialer bruges i matematikundervisning til eksperimenter og som tælleredskaber eller lignende for at tilgodese forskellige måder at lære på.
De konkrete materialer kan med fordel anvendes i en undersøgende og eksperimenterende undervisning, og hvis man ønsker at arbejde med problemløsning.
Konkrete materialer er gode at differentiere med – brug af konkrete materialer lægger op til, at man stiller åbne opgaver.
De konkrete materialer kan styrke mundtligheden, når der forhandles eller redegøres for matematiske begreber og sammenhænge.
Der bruges også konkrete materialer, når elever stiller sig på talfliser fra 0-99 eller 1-100, evt.
ordnet i et pænt system – evt. malet i skolegården.
Mulige overvejelser over konkrete materialer
Gennemgå skolens samling af konkrete materialer med henblik på anvendelse:
•Træning?
•Anskuelse og konkretisering?
•Værksteder?
•Spil?
Er materialerne sat i system?
Det er nemmere at anvende de konkrete materialer, hvis de på skolen er placeret og organiseret hensigtsmæssigt:
•Lokale/depot/skab?
•Idémappe?
•Materialeoversigt?
•Kasse-/lånesystem?
Brug konkrete materialer i forskellige situationer:
Vælg et materiale, I vil afprøve/eksperimentere med
F.eks.: Terning, centicubes, kortspil, polydron- eller jovobrikker, sømbræt.
•Vælg et emne/problem
F.eks.: Brøker, areal, division – og find frem, hvad skolen/I selv råder over af materialer til belysning af det!
•Leg, eksperimentér, afprøv, diskutér.
Kataloger
Gonge Danmark, tlf. 86 22 20 33 Mat’n Stuff, tlf. 56 14 14 42
Special-pædagogisk Forlag (SPF-matematik), tlf. 97 12 84 33
IKT i matematikundervisningen
Når der bruges åbne computerprogrammer i undervisningen forskydes elevernes energi fra det regne-/tegnemæssige til det »tankemæssige«, så deres fantasi og kreativitet øges.
Hvorfor IKT i matematikundervisningen?
Folkeskoleloven siger, at edb skal integreres i alle fag i skolen, hvor det skønnes, at det naturligt kan fremme arbejdet med fagets forskellige områder.
§ Med brug af computeren kan man lave noget, som ikke tidligere var muligt.
§ IT-programmer kan fungere som undersøgelsesredskaber.
§ Når man arbejder parvis ved computeren, øges kommunikationen og derved udvikles den sproglige dimension og forståelsen af matematiske begreber.
§ Computeren kan virke som et motiverende redskab, f.eks. ved taltræning.
§ Computeren er et godt redskab til differentiering.
§ Gennem arbejdet med computeren i matematikundervisningen forbedres de almene pc- færdigheder.
Hvad kan IKT være i matematikundervisningen?
•Brug af Internet til informationssøgning (f.eks. kildemateriale om Egyptens pyramider).
•Brug af værktøjsprogrammer (f.eks. regneark, Composer, tegneprogrammer, Word m.m.).
•Matematikprogrammer.
•Træningsprogrammer (f.eks. tabeltræning).
•Spilleprogrammer (f.eks. Tetris, fire på stribe, Kalaha m.m.).
•Åbne programmer (f.eks. Euklid, Grafvrideren, INFA-programmerne)
•Kommunikation (email, konferencer)
Overvejelser i forbindelse med IKT i undervisningen:
§ Hvilke forudsætninger på IT-området skal eleverne have for at kunne benytte et givet computerprogram?
§ Hvilke forudsætninger skal læreren have for at kunne undervise med IKT?
§ Hvordan optimeres de nuværende IKT-forhold på skolen?
§ Er skolens matematik-programmer tidssvarende og dækkende?
§ Har skolen en IKT-læseplan, som beskriver, hvilke færdigheder elever skal have på de forskellige klassetrin?
Udsagn i forbindelse med IKT
§ Problem hvis både emne, form og hjælpemiddel (IT-program) er nyt på én gang.
§ Det er vigtigt, at et IT-program er kendt, for at det kan være til hjælp, når man skal bruge det.
Man kan ikke både koncentrere sig om at lære programmet og få optimal brug af det til at løse et problem (programmet blev vigtigere end at løse problemet!).
§ Hvis man skal benytte et IT-program som hjælpemiddel, må det være til rådighed, når man får brug for det!
Links
www.infoguide.dk www.emu.dk
www.orfeus.dk/evaluering/
www.laer-it.dk/fag/mat/mat.htm www.gsk-fag.dk/matematik/index.htm www.matematik.dk
Mundtlighed
Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til at
§ anvende relevante faglige udtryk og kommunikere om fagets emner med en passende grad af præcision
§ bruge hverdagssprog i samspil med matematikkens sprog - i form af tal, tegning og andre fagudtryk.
Klare Mål – Matematik, side 12.
Mundtlighed er en del af kommunikationsberedskabet og i matematikundervisningen også betegnelse for situationer, hvor der tales med særligt sigte:
§ At give eleverne mulighed for at tilegne sig det matematiske sprog gennem daglig praksis, så de selv gradvist er i stand til at bruge sproget med større og større grad af præcision.
§ At undervisningen er tilrettelagt, så eleverne tvinges til at udtrykke sig om matematik.
§ At undervisningsmaterialerne er udarbejdet, så eleverne tvinges til at udtrykke sig om matematik.
Der er to parter i mundtligheden.
Hvad kan/skal den aktivt talende og den aktivt lyttende?
Hvorfor mundtlighed?
§ Et middel til indsigt (proces). Når vi f.eks. fortæller sidemanden, hvordan vi ganger, øger vi egen indsigt.
§ Et dannelsesmål i sig selv (produkt). Eleverne skal blive bedre til at forklare og formulere sig sprogligt.
Lærerens rolle
§ Hvordan skaber vi en åben og tryg atmosfære, der indbyder til mundtlighed?
§ Gruppearbejde og pararbejde giver gode muligheder, men hvordan flytter vi fokus fra lærer til elev i klasseundervisning?
§ Hvordan udnytter vi situationer fra elevernes hverdag, uden at det fjerner fokus fra de oprindelige mål/planer?
§ Åbne opgaver giver gode muligheder. Materialevalg og IKT?
§ Er der særligt velegnede faglige emner, og kan fokus være både på proces og produkt?
§ Er der nogle arbejdsformer, der bedre tilgodeser mundtlighed end andre? Undervisning med fx arbejdskort, værksteder, emne- eller projektarbejde? Hvilke evalueringsformer?
Elevens rolle
Hvordan lærer eleverne:
§ At lytte?
§ At stille de rigtige spørgsmål?
§ At have respekt og give plads?
Forældrenes rolle
§ Kan forældre fremme mundtlighed hos deres børn ved f.eks. at spørge ofte: hvad, hvordan, hvorfor?
Logbog, e-mail
og anden kommunikation
I tilknytning til arbejdet med mundtlighed, kan det være væsentligt at beskæftige sig med kommunikation.
Med kommunikation mener vi det at meddele sig til andre.
Opslaget her handler primært om skriftlig kommunikation – se også opslaget om mundtlighed!
Hvorfor beskæftige sig med kommunikation?
§ En af metoderne til at opnå bedre læring er at få eleverne til at kommunikere bedre med kammerater, lærer (og evt. andre) omkring matematik.
§ Gennem kommunikationen tvinges eleverne til at formulere sig mundtligt eller skriftligt.
Hvordan kommunikation?
Ud over samtale i klassen og i grupper og opgaveregning kan man arbejde med andre kommunikationsmåder. F.eks.:
§ logbøger/oplevelsesbøger
§ kontakt via e-mail.
Logbøger
Logbogen/oplevelsesbogen er en »dagbog« for matematiktimerne, hvor man kan skrive om:
§ hvad man har lært
§ hvad man gerne vil lære og
§ hvordan man har grebet forskellige situationer an.
Lærer og elever må i fællesskab blive enige om, hvordan logbogen skal bruges - der vil formentlig være behov for at opstille »regler« for logbogsskrivning.
§ »Fri skrivning« eller skema, der skal udfyldes?
§ Logbogsskrivning som tidsrøver: skrivning i slutningen af timerne eller hjemme?
§ Hvem skal bruge logbogen?
§ Hvordan kan læreren medvirke til at logbogsskrivningen får en form, så eleverne kan lære noget af at skrive?
Brug af elektronisk kommunikation
Der kan være forskellige grunde til, at man vælger at kommunikationen skal foregå elektronisk:
eleverne kan på denne måde kommunikere med andre end læreren (de studerende og
seminarielæreren). Formen virker meget motiverende på eleverne (især de mindste) – de vil gerne skrive på computeren, og de vil gerne have svar!
Eleverne bør i så fald have egen skolekomadresse eller anden e-mail-adresse. Et af problemerne med elektronisk kommunikation er naturligvis, at eleverne ikke umiddelbart kan finde tilbage til tidligere refleksioner.
•Hvem skal der kommunikeres med?
•Hvad skal der skrives om?
•Hvornår skal der skrives?
•Hvornår skal der svares?
Lærerudtalelse
»Det kræver stor arbejdsindsats fra lærerens side at få eleverne til at skrive logbog regelmæssigt, og navnlig så det kommer til at handle om matematik. Respons på besvarelser/observationer er meget vigtige, i hvert fald i begyndelsen!«
Tværgående emner eller matematik som en del af et tværfagligt forløb Hvorfor bruge matematiktimerne på tværfaglige forløb?
§ Eleverne får mulighed for at opleve, hvordan matematiske begreber kan være nyttige i hverdagen.
§ Matematik bliver et nødvendigt redskab.
§ Lægger godt op til projektopgaven i 9. klasse.
§ Lægger godt op til formen i den afsluttende mundtlige prøve i 9. og 10. klasse i matematik.
§ Man kan tage udgangspunkt i elevernes interesser, når begreberne i matematik skal integreres i elevernes hverdag.
§ Eleverne får lejlighed til at opleve matematikkens rolle i bredere sammenhænge.
§ I sådanne sammenhænge indgår hverdagssprog i samspil med matematikkens sprog f.eks. i form af tal, tegning og andre fagudtryk.
Eksempler på tværfaglige temaer
1. Matematik og idræt, 8. klasse:
Hovedformålet er, at eleverne får en forståelse af nogle relevante matematiske begreber. Idræt fungerer nærmest som suppleringsfag, motivationsfag.
Indholdet er:
§ konstruktion af model af 400 m bane (cirkler/omkreds), der derefter laves rigtigt og anvendes
§ intervalløb (udregning af hastighed m/s og km/t)
§ højdespring (eleverne sammenligner egne spring med rekorder inden for området og finder procentvise afvigelser, arbejder med statistik)
§ boldkast: hvad er en god kastebold? (hvordan afhænger kasteevnen af boldens beskaffenhed dvs. rumfang, massefylde overflade)
§ evaluering: aflevering af grupperapport, skriftligt evalueringsskema, mundtlig evaluering i klassen.
2. Matematik og fysik/kemi, 8. klasse
Temaet er Den nære astronomi. Hovedformålet er, at eleverne får en forståelse for den nære astronomi, hvad dertil hører.
Indholdet er: Filmklip, fællesoplæg, elevforsøg, gruppearbejde om planet, informationssøgning på internettet.
Evaluering: Logbog, grupperapport om planet, forskellige former for gruppefremlæggelser for hele klassen, skriftlig og mundtlig evaluering som afrunding.
Samarbejdspartnere.
Hvis en lærer har klassen i flere fag, er det naturligt i perioder at have et tværfagligt samarbejde med sig selv.
Elevudtalelser
»Det har interesseret mig mere end normal matematik, og man lærer jo mere, når det interesserer en!!«
»Oplevede frugtbare diskussioner.«
»Man kunne se nogle sammenhænge ved at prøve det.«
»Jeg kan bedre lide at regne, men det hjælper.«
»Spændende, selv at bestemme hvad vi laver.«
»Jeg har lært noget, og det var sammenhængende.«
•Hvad forstår man ved tværfaglighed?
•Matematiks rolle i tværfaglige emner?
•Tværfaglige emner, hvor matematik kan indgå på forskellige klassetrin?
•Hvilke evalueringsformer fremmer den tværfaglige undervisning?
Forældresamarbejde
De fleste matematiklærere kan deltage i forældremøder en gang om året. Det er vigtigt at vælge omhyggeligt blandt de mange mulige punkter til fremlæggelse og diskussion her.
Det første forældremøde danner den grundlæggende tillid mellem lærer og forældre – og mange ting i skolen må kunne forklares og begrundes af alle lærere. Især kan matematikfaget have ændret sig meget i forhold til forældrenes erindringer og forventninger.
På det afsluttende trin kommer elevernes uddannelsesplaner tættere på, og matematiklærerens begrundelser for valg og niveau høres også i den sammenhæng.
Oversigterne er mulige punkter til en dagsorden på forældremøder. Men der er for mange til en realistisk tidsramme! Hvordan prioriterer vi?
Begyndertrin
Forældrenes opgaver.
§ Dagligt tjek af postmappe.
§ Hjælpe barnet med at pakke skoletasken (blyant, lineal, osv.)
§ CKF – Hvad skal eleverne lære? Brug evt. elevoversættelsen af læseplanen for matematik.
§ Hvordan lærer børn? Hent inspiration fra f.eks. Høines og Gardner.
§ Hvordan foregår undervisningen i vores klasse? Vis praktiske eksempler fra valgte bogsystem eller andet valgt ma-teriale, da det er ukendt for mange forældre.
§ På hvilken måde inddrages IT og lommeregner?
§ Hvad kan hjemmearbejde bestå af?
§ Overvej, hvordan og på hvilke måder forældrene kan hjælpe med hjemmearbejdet.
§ Hjemmearbejde kan også være en snak om klokken, en indkøbstur, at bage boller, at spille spil osv.
Mellemtrin
§ Nye discipliner.
§ På hvilken måde kan man drage paralleller fra begyndertrinnets simple opgaver til mellemtrinnets mere præcise beskrivelser?
§ Overvej, hvilke sproglige udfordringer børnene kan have problemer med.
§ Forældrenes opgaver.
§ CKF - Hvad skal eleverne lære?
§ Hvordan foregår undervisningen i vores klasse?
§ Hvad kan hjemmearbejde bestå af?
Afsluttende trin
§ Hvordan foregår undervisningen?
§ Hvad kan hjemmearbejde bestå af?
§ Hvad er f.eks. forskellen på hjemmearbejde og afleveringsopgaver?
§ Hvordan vurderes den enkelte elev?
§ Fælles forståelse af 13-skalaen, lærer/elev-samtaler, skole/hjem-samtaler, portefølje osv.
§ Hvordan foregår de afsluttende prøver.
§ Vis evt. eksempler på de skriftlige og mundtlige prøver.
Samarbejdet mellem skole og hjem om elevernes læring har på nogle skoler også omfattet afholdelse af Matematik for forældre-arrangementer.
Litteratur
Matematik for de yngste. Danmarks Matematiklærerforening, 1997.
Matematik for de ældste. Danmarks Matematiklærerforening, 2000.
Gardner, Howard: Den intelligente skole. Gyldendal, 2000.
Høines, Marit: Begynneropplæringen. Caspar Forlag, 1997.
Skolens læseplaner for elever. Kroghs Forlag, 1997.
Samarbejde omkring matematikundervisning
Grundlaget for hele KID-projektet har været samarbejdet mellem de to matematiklærergrupper i folkeskolen og på seminariet med inddragelse af lærerstuderende.
» ...med udgangspunkt i praktikerfaringer må praktiklæreren i samarbejde med seminarielæreren udfordre de studerendes refleksion.«
(Bekendtgørelsen om lærerpraktik.)
Samarbejdet mellem de to grupper bør styrkes og udbygges så også de to lærergruppers syn på matematikundervisning kan blive udfordret gennem gensidig inspiration.
Hvordan?
Uden gensidigt kendskab til »den anden verden« kan den ønskede sammenhæng i vejledningen af de studerende umuligt nås. Det vil være nødvendigt at afsætte tid til besøg hos hinanden, også inden de studerende er startet i praktik.
Flerårigt samarbejde i faste lærer/seminarielærer-team vil kunne styrke samarbejdet. Et sådant samarbejde kunne måske også række ud over praktikforløb?
Fra seminariernes side bør der tages initiativer til at fremme debatten om fagets udvikling ved at foranledige afholdelse af debataftner, hvor både »teoretiske« og »praktiske« synspunkter på matematikundervisning kan debatteres.
Den matematiske faggruppe på seminariet bør forsøge at følge de på seminariet uddannede matematiklæreres virke i folkeskolen for at kunne indhente praksiserfaringer.
Generelt er det et behov for dialoger mellem matematik-lærere på forskellige niveauer og fra forskellige institutio-ner, ikke mindst for at kunne tackle de overgangsproblemer som elever og lærere kan opleve ved overgangen fra folkeskolen til en ungdomsuddannelse. Der skal i den sammenhæng gøres opmærksom på to fora, hvor matematiklærere af forskellig slags kan mødes, Forum for matematikkens didaktik og Cirklen. Aktuelle adresser på sådanne netværk kan findes via Skolekom eller de lokale matematiklærerforeninger.
En stærkere dialog i faglige netværk med deltagelse af lærere fra alle niveauer i uddannelsessystemet vil styrke matematikundervisningen generelt.
Dialogen i og om faget styrkes gennem lærernes deltagelse i efter- og videreuddannelse inden for læring af og undervisning i matematik.
Den enkelte lærers deltagelse i debatten om matematikkens placering og udvikling i uddannelsessystemet vil styrke kvaliteten i udviklingen af matematikundervisningen.
Perspektivering
I 1990 udgav Danmarks Matematiklærerforening temahæftet Kvalitet i matematikundervisningen, hvor der blev fokuseret på fem indikatorer for kvalitet:
•at alle elever opnår en høj faglig viden
•at der undervises på baggrund af en viden om, hvordan man lærer
•at undervisningen bygger på undervisningsdifferentierings-princippet
•at undervisningen indgår som en del af folkeskolens helhedsprægede undervisning
•at undervisningen varetages af lærere, der er såvel pædagogisk som fagligt kompetente.
Disse indikatorer har stadig aktualitet, som det fremgår af de foregående afsnit. Men de bør ses i sammenhæng med den udvikling, der er sket både inden for selve matematikfaget og folkeskolens undervisning generelt.
Følgende tre begreber har haft stor betydning for denne udvikling:
Evaluering
•Hvorfor skal der evalueres? For udvikling og/eller kontrol?
•Hvad skal evalueres i matematikundervisningen?
•Hvordan skal matematikundervisningen evalueres?
Det første spørgsmål skal besvares af læreren, der evaluerer med henblik på at kunne dokumentere grundlaget for eller resultatet af sin undervisning.
Det andet spørgsmål er kun delvist besvaret ved udgivelsen af det nye faghæfte Klare Mål, men en løbende evaluering indeholder flere områder og er derfor mere kompleks.
Kompetencer
Hvad er det, man som lærer i grundskolen, og med de Klare Mål som grundlag, gerne vil have, at den enkelte elev skal vide, forstå og kunne ved hjælp af matematik?
•Følge/gennemføre enkle ræsonnementer og bevisførelser?
•Være bevidst om matematikkens muligheder og begrænsninger, når den anvendes ved modellering?
Refleksioner, der kan udvikle kompetencebeskrivelser og eksemplificerer svar på spørgsmål som ovenfor, bør fremover indgå i den enkelte lærers didaktiske overvejelser.
Matematik som et dannelsesfag i internationalt perspektiv.
Inddragelsen af matematikfaget i internationale sammenhænge, hvor sammenligninger mellem lande bliver noget tilbagevendende, nødvendiggør, at den enkelte lærer gør sit værdisyn på matematik klart.
•Hvilke begrundelser er der for matematik som et obligatorisk fag i folkeskolen?
•Har matematik kun værdi som redskab i praktiske situationer, eller har det også værdi for det enkelte menneskes forsøg på at forstå sig selv i verden?
