Gauss sætning og Stokes sætning Gauss sætning
Et ortogonalt fladeintegral af et vektorfelt over en lukket flade = et rumintegrale af over det indesluttede rumlige område.
VIGTIGT: Ved fladeintegralet skal man anvende den udadrettede normalvektor.
NB: Der stilles altså kun krav til retningen af normalvektorerne for fladen. Retningen afgøres af den valgte parametrisering af fladen.
Hvis normalvektorerne er indadrettede, så vil de 2 beregninger give modsat fortegn - dog samme numeriske værdi.
Stokes sætning
Et tangentielt kurveintegral af et vektorfelt langs en lukket kurve = et ortogonalt fladeintegral af vektorfeltet over en flade (omkranset af kurven).
VIGTIGT: de valgte tangentvektorer på kurven skal sammen med normalvektorerne til fladen opfylde højrekonventionen.
NB: Ud fra parametriseringen af kurven dannes kurvens tangentvektorer. Ud fra parametriseringen af fladen dannes fladens normalvektorer.
De 2 vektorfelter skal opfylde højrekonventionen. Hvis de ikke opfylder højrekonventionen, så vil de 2 beregninger give modsat fortegn - dog samme numeriske værdi.
Når Stokes sætning anvendes, er der 2 muligheder for facit - afhængig af valgt retning, som opfylder højrekonventionen.
Er retningen givet i opgaven, så er der naturligvis kun ét facit.
Eksempler (Stokes)
= Givet vektorfeltet :
=
Plot af vektorfeltet :
Givet enhedscirklen i xy-planen i :
= hvor
Tangentielle kurveintegrale
=
=
= = Det tangentielle kurveintegrale af :
=
Tjek med Integrator8-pakken:
= Plot af kurve og tangentvektorer:
Plottet viser kurven og den valgte omløbsretning (givet ved tangentvektorerne).
Ortogonale fladeintegrale
En massiv cirkel som flade
Vælger den massive enhedscirkel som flade indeni enhedscirklen.
=
hvor og
Normalvektor:
=
=
=
=
= u Det ortogonale fladeintegrale af :
=
=
Tjek med Integrator8-pakken:
= = Plot af flade og normalvektorer:
Plottet viser fladen og den valgte retning (givet ved normalvektorerne).
En nedre parabol som flade
Vælger en nedadbøjet parabol som flade indeni enhedscirklen.
=
hvor og
Normalvektor:
=
=
=
=
= Det ortogonale fladeintegrale af :
=
=
Tjek med Integrator8-pakken:
= =
Plot af flade og normalvektorer:
Plottet viser fladen og den valgte retning (givet ved normalvektorerne).
En øvre enhedshalvkugle som flade
Vælger en øvre enhedshalvkugle som flade indeni enhedscirklen.
=
hvor og
Normalvektor:
=
=
=
=
= Det ortogonale fladeintegrale af :
=
=
Tjek med Integrator8-pakken:
= = Plot af flade og normalvektorer:
Plottet viser fladen og den valgte retning (givet ved normalvektorerne).
Højrekonventionen opfyldt?
Cirkelskive som flade
Nedre parabol som flade
Øvre halvkugle som flade
Det ses tydeligt, at højrekonventionen er opfyldt - både med cirkelskiven, den nedre parabol og den øvre halvkuglen!
Derfor er det tangentielle kurveintegral af = det ortogonale fladeintegral af
