Hvad er matematik? 3
ISBN 9788770668781
website: link fra kapitel 4
© 2019 L&R Uddannelse A/S • Vognmagergade 11 • DK-1148 • København K • Tlf: 43503030 • Email: info@lru.dk
Differentiabilitet af vektorfunktioner, opskrevet med epsilonfunktioner
I grundbogen indføres differentiabilitet af vektorfunktioner ved følgende definition:
Det er i overensstemmelse med traditionen i de fleste fremstillinger. Det kan virke lidt overraskende, da definitionen ligner formulering ten af en sætning. Lad os betragte sagen lidt nøjere ved at inddrage epsilonfunktioner:
1. Vi antager koordinatfunktionerne er differentiable
Definitionen på at koordinatfunktionerne ( ) og ( )x t y t er differentiable i t0 er, at vi i passende intervaller om t0kan opskrive følgende udtryk:
0 0
( ) ( ) ( ) x( )
x t =x t +x t +t E t t
0 0
( ) ( ) ( ) y( )
y t =y t +y t +t E t t
Dette kan vi samle til et udtryk for vektorfunktionen ( )r t :’
0 0
0 0
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
x y
x t x t t E t t
r t x t
y t y t t E t t
y t
+ +
= = + + Vi opdeler i en sum af vektorer:
0 0
0 0
0 0
0 0
0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
x y
x y
E t t
x t x t t
r t y t y t t E t t
E t
x t x t
t t
E t
y t y t
r t a t E t t
= + +
= + +
= + +
Her har vi sat 0
0
( ) ( ) a x t
y t
= , og ( )
( ) ( )
x y
E t
E t E t
=
Vi ser, at
• (0) 0
(0) (0) 0
x y
E E o
E
= = =
• Når t→0vil
( )
( )
0
0
lim ( )
( ) 0
( ) ( ) lim ( ) 0
x t x
y y
t
E t
E t
E t o
E t E t
→
→
= → = =
Disse to punkter svarer helt til de to krav til en epsilonfunktion af én variabel.
Så en funktion der opfylder de to krav kalder vi en epsilonfunktion af to variable.
Konklusionen er således: Hvis de to koordinatfunktioner er differentiable, så kan vektorfunktionen skrives på formen:
Hvad er matematik? 3
ISBN 9788770668781
website: link fra kapitel 4
© 2019 L&R Uddannelse A/S • Vognmagergade 11 • DK-1148 • København K • Tlf: 43503030 • Email: info@lru.dk
( ) ( )0 ( )
r t =r t + +a t E t t (*)
Dette svarer helt til definitionen på, at en funktion af én variable er differentiabel.
Derfor ville (*) være en rimelig definition af at en vektorfunktion er differentiabel. Og differentialkvotienten er vektoren a.
Vi har således set, at med en epsilondefinition på at være differentiable, får vi at differentialkvotienten er den samme som i bogens definition: 0
0
( ) ( ) a x t
y t
= , så vi skriver: 0 0
0
( ) ( )
( ) r t x t
y t
=
2. Vi antager vektorfunktionen r t( ) er differentiabel ifølge definitionen (*) Vi indfører vektorfunktionernes koordinatfunktioner og skriver:
0
0 1 1
0 2 2
0 1 1
0 2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
r t r t a t E t t
x t x t a E t
t t
y t y t a E t
x t x t a t E t t
y t y t a t E t t
= + +
= + +
= + +
Dette skriver vi ud i to udtryk, et for hver koordinat:
0 1 1
( ) ( ) ( )
x t =x t + +a t E t t (**)
0 2 2
( ) ( ) ( )
y t =y t + +a t E t t (**)
Hvis ( )E t er en vektor-epsilonfunktion, der opfylder de to punkter på forrige side, er det let at se, at de to funktioner E1ogE2 begge opfylder kravet til at være en almindelig epsilonfunktion:
• Ei(0) 0=
• Når h→0 vil ( )E hi →0
Men så siger de to udtryk (**), at koordinatfunktionerne er differentiable, og at x t( )0 =a1 og y t( )0 =a2.
Dvs den afledede af vektorfunktionen fås ved at differentiere koordinatfunktionerne, som det siges i definitionen i grundbogen
Så fornemmelsen af, at den traditionelle definition har karakter af en sætning, og at der må være en mere ”oprindelig” definition, var korrekt.
