!!f(x)= −25000x +475000

Delprøven uden hjælpemidler

a) Se graf:

Opgave 2

a) !!f(x)=−25000x+475000

År hvor værdien er 150000:

!

!

−25000x+475000=150000

−25000x=−325000 x=13

I år 2025 vil værdien være faldet til 150000 kr.

Opgave 3

Undersøg om !!f(x) er løsning til differentialligningen: !!x⋅ ′f (x)=4x⁴+3

!

!f′(x)=4x³+3 x

Venstre side af ligningen giver:

!

!

x⋅ 4x³+3 x

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟=4x⁴+3

Da venstre side er lig med højre side i ligningen er !!f(x) løsning til differentialligningen.

Opgave 4

a) !!F(x)=x³−3x²+9x+k

!

!

10=8−12+18+k

k=−4

Stamfunktionen gennem punktet P: !!F(x)=x³−3x²+9x−4 Opgave 5

a) GROMK(x)=!!C′(x)=x²−4x+10

!

!

x²−4x+10=15 x²−4x−5=0

x=−(−4)± (−4)²−4⋅1⋅−5 2⋅1

x=4±6 2

x=5!eller!!x=−1

Produktionsmængden er 5 ton.

Delprøven med hjælpemidler

Opgave 6 a)

Forklaringer:

1. linie: Parametrene indsættes i formlen 2. linie: Gennemføre udregninger

3. linie: Vi kvadrerer på højre og venstre side.

4. Linie: n isoleres i ligningen.

b)

Vha. Nspire fås følgende:

Bemærk: Parameteren

!

!z_1−α

2 =z i formlen.

Løsning er:

!

!n=−4⋅pˆ⋅( ˆp−1)⋅ z₁

−^α₂

( )

L²

Opgave 7 a) Pivottabel:

Antal  af  Svar   Kolonnenavne  

Rækkenavne   Ja,  i  Danmark   Ja,  i  udlandet   Nej   (tom)   Hovedtotal  

arbejdsløs   36   21   13  

  70  

offentlig  sektor   77   134   5  

  216  

pensionist   177   294   55  

  526  

privat  sektor   85   170   15  

  270  

studerende   57   70   13  

  140  

(tom)  

Hovedtotal   432   689   101  

  1222  

b)

Vi gennemfører en !χ² -test på 5%.

!

!

H₀: !Ingen!sammenhæng!mellem!svar!og!beskæftigelse H₁: !Sammenhæng!mellem!svar!og!beskæftigelse Testresultat:

"Titel" "χ²-uafhængighedstest"

"χ²" 44.689862467452

"PVal" 4.2130656185589E-7

"df" 8.

Som det fremgår af udskriften er p-værdien stort set nul, hvorfor vi kan afvise nulhypotesen og det derfor antages, at der er sammenhæng mellem svar på spørgsmålet og beskæftigelse.

Opgave 8

Givet normalfordelingen:

!

!X∼N

(

)

a) normCdf(1100,3000,1000,55)= 0.034518117186526

Sandsynligheden for at en pose vejer mere end 1100 g er 0,035 eller ca. 3,5%.

b)

Udskrift fra CAS:

"!x " 995.3375

"Σx" 79627.

"Σx²" 79555249.

"sx := sC₋₁x" 61.57324417906

Som det fremgår af udskriften er gennemsnitsvægten 995,3 g og spredningen (St.afv.) på 61,6 g.

a) Restgæld på lånet efter 6 år:

bal(72,84,0.33,320000) = 51310.1

Som det fremgår af udskrift fra CAS er restgælden på lånet efter 6 år på 51310,10 kr.

b) Vha. finansregner i CAS fås følgende: Pmt = 3944,80 Den månedlige ydelse er på 3944,80 kr.

c) Familiens samlede ydelse over 6 år ved belåning hos bilforhandler er i alt på 3944,80 + 1031,90 kr. = 4976,70 kr.

Sammenlignes dette med billånet i banken med en ydelse på 4368,13 kr. over 7 år, afhænger det af, om familien kan betale ca. 1000 kr. ekstra om måneden og derved have afviklet lånet 1 år tidligere.

Ydermere vil den samlede betaling på banklånet andrage 422025 kr. sammenlignet med den samlede betaling til bilforhandler på 401890 kr. Sidstnævnte beregnet vha. CAS.

Familien kan altså spare ca. 20000 kr. ved at vælge lånet hos bilforhandleren.

Opgave 10

Givet efterspørgsels – og udbuds funktionerne:

!

!

E(x)=−0,1x+800 U(x)=0,05x+50

a) Importen M:

!

!

−0,1x+800=150 x=6500

0,05x+50=150 x=2000

_!!M=6500−2000=4500 b)

Ved løsning af tilsvarende ligninger som ovenfor fås:

!

!

X_E =6000 X_U=3000

Toldindtægten vil være: !50⋅(6000−3000)=150000 kr. (benyttet arealformel for rektangel).

Importen vil falde med: _!4500−3000 kr. = 1500 kr.

Opgave 11

Givet funktionen f og ligningen for tangenten:

!

!

f(x)=−3

x−2x+7 y=x+1

a) Bestemmer koordinatsæt:

CAS udskrift:

solve((−3)/(x)-2*x+7=0,x) x=1/2 or x=3

Koordinatsæt: _!!Q(¹₂,0)!og!P(3,0) CAS udskrift:

solve((−3)/(x)-2*x+7=x+1,x) x=1

!

!y=1+1=2

Koordinatsæt: !!R(1,2)

b) Arealet af det grå område på figuren:

CAS udskrift:

Arealet er: 4,2.

Opgave 12

a) Vi beregner følgende:

!

!

p=− 28

2⋅−0,04=350 q=− 45

2⋅−0,09=250

K=0−(−0,04)⋅350²−(−0,09)⋅250²=10525

Vi får nu følgende:

!

!

6925−10525

−0,04

+6925−10525

−0,09

=1 x−350

( )

300² +

(

)

200² =1

Som det fremgår af ovenstående er N(6925) en ellipse med centrum i (350,250) og storakse på 300 og lilleakse på 200.

b) Det størst mulige samlede dækningsbidrag opnås i centrum af ellipsen, det frie maksimum.

Der skal derfor sælges 350 stk. A og 250 stk. B.

c) Ellipse med begrænsningsområde:

Som det fremgår af ovenstående graf ligger ellipsens centrum udenfor begrænsningsområdet.

Vi indsætter begrænsningen i f(x,y) og får følgende funktion i en variabel:

g(x)=−0.0625*x^(2)+37.*x+4725

Som det fremgår af CAS udskrift tangerer ellipsen begrænsningslinien i x = 296.

!

!y=296⋅−0,5+350=202 .

Da koefficienten til !!x² er negativ opnås maksimum i punktet (296,202).

Under hensyntagen til begrænsningerne opnås det størst samlede dækningsbidrag ved salg af 296 af A og 202 af B.

Opgave 13A

I denne opgave er der tale en lineær funktion i to variable, dvs. lineær programmering.

Kriteriefunktionen: !!f(x,y)=1200x+1000y Bi- og positiv betingelser:

!

!

1,5x+0,5y≤100 y≤ −3x+200 x+y≤100

y≤ −x+100 x≥0∧y≥0

N(0): !!y=−1,2x

a) Vi indtegner begrænsninger og N(max):

Som det ses, findes maksimum i skæringspunktet mellem de to begrænsningslinier.

For at opnå det størst samlede dækningsbidrag skal der sælges 50 ton af KOMPAKT og 50 ton af NORMAL.

b) Følsomhedsanalyse for DB for NORMAL:

!

!

f(x,y)=1200x+by=0 y=−1200

b x

1. grænse:

!

!

−1200 b =−3 b=400

2. grænse:

!

!

−1200 b =−1 b=1200

Dækningsbidraget på NORMAL må stige med 200 kr. pr. ton op til 1200.

Opgave 13B

a) Vi finder den partikulære løsning:

deSolve(y'=80-0.04*y and y(0)=0,x,y) ▸ y=2000-2000*(0.960789439152)^x Løsning:

!

!y=2000−2000⋅

(

)

b)

solve(2000-2000*(0.961)^(x)=1000,x) ▸ x=17.4241332669

Der går altså 17 timer og 25 minutter før 1000 personer har kendskab til begivenheden.

Opgave 13C a)

Lineær regressionsmodel:

"RegEqn" "m*x+b"

"m" 0.19527162254081

"b" -0.070932529300962

"r²" 0.24514023916553

"r" 0.49511638951415 Model: !!A(x)=0,195x−0,07

Som det fremgår af koefficienterne er der hverken god overensstemmelse eller tilpasningsgrad mellem stigning i arbejdsløshed og stigning i ulighed.

b)

Konfidensinterval for stigningstakten:

"RegEqn" "a+b*x"

"CLower" 0.039768891500465

"CUpper" 0.35077435358116 95%-konfidensinterval for a

!∈⎡⎣0,04;0,35⎤⎦ .

Jfr. svaret under a) må det antages at uligheden stiger når arbejdsløsheden stige.