Mat B hhx eksamen August 2017

Indhold

Opgave1...1

Opgave2...1

Opgave3...1

Opgave 4...2

Opgave 5...2

Opgave 6...3

Opgave 7...3

Opgave 8...4

Opgave 9...5

Opgave 10A...7

Opgave 10B...8

matOpgave 10C...9

Opgave1

Opgave2

Opgave3

Opgave 4

x=antal år efter2016

f

(

x

)

=antallet af dollarmillionærer x år efter2016

Eksponentiel udvikling

f ( x )=45.600· 1,045

^x

Opgave 5

Givet efterspørgsels- og udbudsfunktionen:

d ( x)=−0,15 x+300

og

s ( x )=0,10 x+50 0

x=mængde , 0≤ x ≤1500 a) Skal jeg finde ligevægtsmængden x , dvs. hvor udbud=efterspørgsel

d ( x)=s ( x )

−0,15x+300=0,10x+50

−0,15 x−0,1 x=50−300

−0,25x=−250

x= −250

−0,25 =1000

Ligevægtsmængden er 1000 tons

Delprøven med hjælpemidler

Opgave 6

Givet ligningen: 2e^x+3=13 , forklaringer til udregninger er givet

2 e

^x

+ 3=13

Ligningen er skrevet op

2e^x=10 har trukket 3 fra på begge sider af ligningen.

e

^x

=5

har divideret med 2 på begge sider af ligningen.

x=1,609

har taget den naturlige logaritme på begge sider af ligningen. På venstre side har anvendt at

ln ⁡ ( x)

er den inverse funktion til e^x (de ophæver hinanden, dvs.

ln ( e

^x

) = x

). På højre side har regnet

ln ⁡ (5)

ud og fundet løsningen.

Skrevet på en anden måde , hvor der anvendes at

ln ( e

^x

) = x

(kun en forklaring er nødvendigt!):

e

^x

=5 e

ln ⁡ (¿¿ x)=ln ⁡ (5)

x=ln

(

5¿

)

=1,609

Opgave 7

x=liter kemikalie

Givet omkostningsfunktionen C(x) og omsætningsfunktionen R(x) for

x ≥ 0

:

C ( x )=0,02 x

³

−4,2 x

²

+ 480 x+11890 , R ( x)= 600 x

a) Produktionsmængde, hvor omkostninger og omsætning er lige store:

C ( x )=R( x )

0,02 x

³

−4,2 x

²

+ 480 x +11890=600 x

Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

x ≈−59,41218∨x ≈44,48766∨x ≈224,9245 (kun de to sidste da

x ≥ 0

)

Produktionsmængde, hvor omkostning og omsætning er lige store: 44,5 liter eller 224,9 liter.

b) Overskudsfunktionen = omsætning - omkostninger P

(

x

)

=R

(

x

)

−C

(

x

)

=¿

600 x− ( 0,02 x

³

−4,2 x

²

+ 480 x+11890 ) =¿

Definer : P ( x)=−0,02 · x

³

+4,2 · x

²

+120 · x−11890

P (150 )=33110,0

Overskud ved 150 liter kemikalie 33.110,0 kr.

c) Fra figuren kan det ses, at størst overskud findes mellem 140 og 160 liter, det præcise tal findes ved at anvende ekstremum kommando i CAS - se nedenstående billede.

Største overskud er 33.156 kr., opnås ved 153 liter kemikaliet.

Sp.c) løst med at anvendelse af differentialregning.

Løser

P

^'

( x )=0

og laver fortegnsanalyse for

P'

omkring dens nulpunkter.

P

^'

( x )=0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

x=−13,06624

∨

x=153,0662.

Kun den sidste x undersøges, da

x ≥ 0 P

^'

( 150)=30

^,

P

^'

(160)=−72

Da P’ går fra at være positiv til at være negativ omkring

x=153

er der et globalt maksimum der.

P

(

153

)

≈33156,26 , Største overskud er 33.156 kr., opnås ved 153 liter kemikaliet.

Opgave 8

X =udbytte , X N (8,1; 1,4 )

a)

P ( X ≥ 10)=0.0874

, sandsynlighed for at få et udbytte på mindst 10 tons pr hektar på en tilfældig udvalgt mark er 8,74 %

b) 10% fraktilen for udbyttet er 6,3. Det betyder at sandsynlighed for udbytte på højest 6,3 tons er 10 %, dvs.

P ( X ≤ 6,3)=0,1

c) Gennemsnitsudbytte af de 42 mindre landbrug ´x=7,97 tons og spredning i udbytte s=1,4571 tons (De er fundet med

’Statistik’ i GG, se billedet)

Man kan med fordel anvende Excel i denne opgave:

=MIDDELV(A:A) og

=STDAFV.S(A:A))

d) 95 % konfidensinterval for middelværdien er [7,51; 8,42].

Fortolkning:

Med 95% sandsynlighed må det antages at de mindre landbrug får et udbytte på mellem 7,51 og 8,42 tons. Vi kan konkludere, at de 42 mindre landbrug får samme gennemsnitlige udbytte som hele landet (som er oplyst til at være 8,1 tons).

Konfidensintervallet fundet med GG,

t-interval da både

´ x

og

s

er beregnet ud fra stikprøven.

Opgave 9

Lad x angive antal produceredeGIGABOOM pr uge og y angive antal producerede MEGABOOST pr. uge.

a) Det samlede dækningsbidrag er givet ved funktionen

f ( x , y )=100 x +200 y

Vi indfører følgende:

x=antal producerede

GIGABOOM pr .uge

y= antal producerede

MEGABOOST pr .uge

til rådighed

samletid 60 min 240 min

1600· 60=96000

min

testtid 10 min 10 min 5500 min

pakketid 6 min 4 min 3000 min

DB 100 kr. 200 kr.

f

(

x , y

)

=samlede dækningsbidrag ikr

f ( x , y )=100 x + 200 y

, hvor x ≥0 og y ≥0 Ud fra skemaet kan følgende uligheder opstilles og polygonområdet tegnes (se figuren):

Samletid: 60 x+240y ≤96000 testtid: 10

x+ 10 y ≤ 5500

pakketid: 6x+4y ≤3000

x ≥ 0, y ≥ 0

b) Det størst muligt DB (hjørnemetoden).

Begrænsningerne indtegnet. Som det kan ses fra listen med funktionsværdierne (beregnede i GG), det største dækningsbidrag er 90.000 kr. og opnås når der produceres 200 stk. GIGABOOM og350 stk. MEGABOOM

f

(

A

)

=80.000kr f

(

B

)

=90.000kr f

(

C

)

=70.000kr

f ( D)=50.000 kr f ( E )=0

c) Bestem overskudstiden i den pågældende afdeling

Ved indsættelse maks produktion på 200 og 350 stk. i de 3 afdelinger Samletid:

60 ·200+ 240 ·350= 96000 min

testtid: 10·200+10·350=5500min pakketid:

6 ·200+ 4 · 350=2600 ≤ 3000 min

Vi kan konstatere, at i pakkeafdelingen er der et overskud på: 3000 min - 2600 min = 400 minutter.

BESVARELSE AF b) MED NIVEAULINJER (vælg kun enten hjørnemetoden eller niveaulinjer, hver metode har sin passende figur, som viser de relevante størrelser):

Fra nedenstående figur ses at niveauet vokser ved at parallelforskyde niveaulinjerne i pilens retning fra niveau 0 i hjørnet (0;0), og da niveauet er funktionsværdierne for

f ( x , y )=100 x +200 y

, bliver disse også større. Det ses at maksimum for f indenfor kapacitetsområdet K antages i skæringspunktet

(200 ; 350)

og dækningsbidraget er

f ( 200 ; 350)=90.000

. Konklusion: det største dækningsbidrag er 90.000 kr. når der produceres 200 stk. GIGABOOM og350 stk. MEGABOOM

Opgave 10A

a) Skemaet bliver:

Antal af Foretrukken frokost Køn

Foretrukken frokost Kvinde Mand (tom) Hovedtotal

A Smørrebrød 371 329 700

B Sandwich 71 50 121

C Salat 74 63 137

D Pasta 26 19 45

E Varm ret 80 94 174

F Spiser ikke frokost 47 39 86

G Andet 55 22 77

(tom)

Hovedtotal 724 616 1340

b)

H

₀ : Der er ingen sammenhæng mellem køn og valg af frokost H₁ Der er Sammenhæng mellem køn og valg af frokost Jfr. test resultat vist i figuren ovenfor til højre er p-værdien 1,64%

som er mindre end 5%. Man kan med 5% signifikansniveau afvise nulhypotesen og der antages derfor at der er sammenhæng mellem valg af frokost og køn.

p-værdien vist som det skraverede område i grafen til højre, det svarer til

P ( q ≥15,5467 )=0,0164

.

Opgave 10B

a) Der er tale om en annuitet med A₀=500.00,n=? , r=0,0033,y=4000kr .

Formlen der vil anvendes:

Lånets løbetid vil være på n=162terminer Finansregneren anvendt

b) Restgælden i termin 161 er 1760,85 kr. - se amortisationstabellen nedenfor, derfor: størrelsen af sidste ydelse er 1760,85 kr.

Opgave 10C

x=alder , B

(

x

)

=beløb anvendt i baren

a) xy-plot af sammenhæng mellem alder og beløb og lineær regression er vist i figuren,

lineær modellen er B

(

x

)

=20,6534x−190,4633 hvor forklaringsgraden mellem alder og anvendt beløb er

r

²

=0,5181

, der er tale om en dårlig model.

Ekstra:

Fortolkning af a: Ifølge modellen vil man bruge 20,65 kr.

mere for hvert år man bliver ældre, men beløbet afhænger af andre faktorer end alder. Fortolkning af b giver ingen mening her da modellen ikke er gyldig for personer under 18.

b) Ifølge modellen er alderen på en kunde, der bruge 250 kr.

godt over 21 år, fundet ved at løse ligningen 250=g(x)

250=20,6534 x −190,4633

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

x=21,32643

Ekstra, grafisk løsning