5.2 Stokastisk volatilitet
5.2.1 Test case af algoritmen
Til dette afsnit vil der blive lavet et forsøg p˚a, at se hvor godt modellen estimerer parametrene og volatiliteten. Der vil blive simuleret en tidsserie for volatiliteten ved hjælp af ligning 4.2.2. Hvor værdierne for parametrene sættes til,µ=−7,φ=0, 99 ogση2 =0, 04, og længden p˚a tidsserien er p˚a 2.500. Hvor der s˚a ved ligning 4.2.1 dannes en tidsserie for afkastet8givet den simulerede volatilitet.
Den tidsserie som der ønskes at blive estimeret ses i figur 12. Det bemærkes, at den ses at være forholdsvis volatil med nogle enkelte store udsving, som m˚aske kunne gøre det mere vanskeligt for selve estimationen.
8Her er afkastet log-afkastet
5 Estimation i tidsvarierende volatilitets modeller 53
0 500 1000 1500 2000 2500
−0.3−0.10.10.2
Afkast
Tid yt
0 500 1000 1500 2000 2500
0.000.050.100.15
Volatilitet
Tid exp(ht/2)
Figur 12: Simuleret afkast og volatilitet.
De enkelte Markovkæder for hver af parametrene som der blev produceret via Gibbs Sampler ses i figur 13. Det ses, at de tre Markovkæder alle konvergerer mod deres stationære fordeling forholdsvis hurtigt. Dette kan skyldes, at startværdierne ikke l˚a s˚a langt væk fra deres sande værdi. De startvær-dier der blev brugt var nemligµ = −4, φ = 0, 9 ogση2 = 0, 01. Startgættet forh(t0) blev produceret ved at simulere en volatilitets proces, med de angivne startværdier for parametrene.
Markovkæden for µ
n
0 5000 10000 15000 20000
−15−10−505
Markovkæden for φ
n
0 5000 10000 15000 20000
0.850.900.951.00
Markovkæde for ση2
n
0 5000 10000 15000 20000
0.010.030.050.07
Figur 13: Markovkæderne for de simulerede parametre værdier.
I tabel 2 ses et overblik over de estimerede værdier, deres standard afvigelse og et 90% posterior interval for parametrene. Det bemærkes, atµer den af parametrene som variere mest, grundet den høje standard afvigelse, som det ogs˚a kan ses i figur 13. Det har ogs˚a den betydning, at posterior intervallerne bliver større, og der dermed er mere usikkerhed omkring parametrenes størrelse. Hvor de to andre parametre har en forholdsvis lav standardafvigelse og lave posterior intervaller, som gør estimatet mere sikkert.
Parameter Middelværdi SD 90% CI
µ -6,262 0,528 [-6,895;-5,549]
φ 0,987 0,010 [0,981;0,994]
ση2 0,041 0,007 [0,032;0,053]
Tabel 2: Estimaterne for parametrene uden burn-in periode
En m˚ade man kunne f˚a standardafvigelsen ned p˚a og reduceret spændet i posterior intervallerne, kunne være ved indførelsen af en burn-in periode. Som tideligere beskrevet vil det betyde, at man fjernede et vist antal af de første iterationer. Her sættes burn-in perioden til 5.000. I tabel 3 ses de estimerede værdier ved indførelsen af en burn-in periode.
5 Estimation i tidsvarierende volatilitets modeller 55
Parameter Middelværdi SD 90% CI
µ -6,278 0,514 [-6,901;-5,619]
φ 0,988 0,004 [0,981;0,994]
ση2 0,042 0,006 [0,032;0,052]
Tabel 3: Estimaterne for parametrene med burn-in periode p˚a 5.000
Resultatet var som ønsket, at der kom en lille reduktion af standardafvigelsen og mindskede spæn-det i posterior intervallerne. Effekten er ikke s˚a stor i spæn-dette eksempel, da de som sagt konvergererede forholdvis hurtigt til deres stationære fordeling. Eftersom effekten er positiv og de kom tættere p˚a deres sande værdi, g˚as der videre med dette. I tabel 4 ses en sammenligning af de estimerede vær-dier mod de sande værvær-dier. Det ses, at værvær-dierne er estimeret rimelig præcist i forhold til de sande værdier, og modellen dermed fungerer efter hensigten.
Parameter Estimeret værdi Sand værdi Afvigelse
µ -6,278 -7,000 -0,722
φ 0,988 0,990 0,002
ση2 0,042 0,040 -0,002
Tabel 4: Sammenligning af estimeret værdier mod de sande værdier for parametrene.
Det næste der kigges p˚a, er modellens evne til at estimere volatilitets processen. Ud fra figur 14 ses det, at modellen har estimeret volatilitets processen godt i forhold til den sande volatilitets proces. De steder hvor der er størst afvigelse, er n˚ar der sker et større udsving, der er den estimerede volatilitet enten overestimeret eller underestimeret en lille smule. Men ellers ses det at være et godt estimat af volatiliteten.
0 500 1000 1500 2000 2500
0.000.050.100.15
Tid Observeret
Estimeret
Figur 14: Den observeret volatilitet som der blev simuleret sammenholdt med den estimerede vola-tilitet.
Endvidere hvis posterior intervallerne (CI) for den estimerede volatilitet sammenholdes med den sande volatilitet, som det ses det i figur 15, ligger den sande volatilitet inde for disse grænser. Det vil sige, at med 90% sikkerhed rammer vi indenfor et spænd som rummer den sande volatilitet. Hvor spændet i posterior intervallerne ikke er bekymrende store.
0 500 1000 1500 2000 2500
0.000.050.100.15
Tid Obseveret
90% CI
Figur 15: Den observeret volatilitet som der blev simuleret sammenholdt med posterior intervallet p˚a 90%, som der er dannet ud fra den estimerede volatilitet.
5 Estimation i tidsvarierende volatilitets modeller 57
Ved denne test case af modellen kan det konkluderes, at modellen virker efter hensigt. Det er muligt at trække prøver via Gibbs sampler for parametrene. Det er ogs˚a muligt, at trække prøver af den latente variabel,h, ved en Metropolis-Hastings accepter/afvis algoritme. Markovkæderne for para-metrene ses at konvergere mod deres stationære fordeling, og de opfylder samtidig den ergodiske egenskab. Den estimerer parametrene og volatiliteten p˚a passende m˚ade som ikke er langt fra det observerede, men man kunne m˚aske komme endnu tættere p˚a, hvis der blev kørt endnu flere ite-rationer. Med dette kan modellen bruges videre, hvor der skal estimeres et rigtig finansielt aktiv og ikke bare en simuleret proces.
6 Empirisk analyse
6.1 Data beskrivelse
Dette afsnit ønsker, at estimere parametrene i GARCH modellen og den stokastiske volatilitets mo-del. Dette gøres ved de beskrevne metoder for estimation af de angivne parametre i de respektive modeller. Ved hjælp af R, er der trukket via yahoo finance aktiekursen for Carlsberg (CARL-B.CO) for perioden 01-01-2010 til 31-12-2019, svarende til 2.494 data punkter. N˚ar man henter data fra yahoo finance f˚ar man flere forskellige kolonner med priser per dag, som Open, High, Low, Clo-se, Volume og Adjusted. Der er blevet brugt den justererede pris, som er renset for dividender og split. N˚ar man arbejder med finansielt data, vil det som regel udvise en høj form for autokorrela-tion. Dette er ogs˚a sceneriet her. En metode at f˚a tidsserien til ikke at udvise en høj autokorrelation, kan være ved indførelsen af en transformation. Transformationen som der bruges, vil være en log-transformation hvor der tages differencen i forhold til det forrige data punkt, alts˚a lag 1. Grunden til en log-transformation skyldes, at log effekten vil have en stabiliserende effekt p˚a tidsserien. Log-afkastet vil dermed være givet som
yt =log(St)−log(St−1)
hvorSt beskriver aktieprisen. P˚a den m˚ade, ville man kunne transformere tilbage til aktieprisen p˚a tidspunktt, ved hjælp af den inverse log-transformation
St= S0+exp
∑
T t=1yt
!
hvorS0er den første observerede værdi i tidsserien, og det næste led er en kumuleret sum af log-afkastet som transformeres tilbage til det oprindelige.
Autokorrelationen er en indikationen for stationaritet for tidsserien, som fortæller os hvordan den nuværende værdi er relateret til de historiske værdier for forskellige lags. Med andre ord kan tids-serier som aktiekurser svinge tilfældigt over tid, men egenskaber som middelværdi og varians bør forblive de samme over tid. Egenskaberne ved en stationær proces bør derfor være den samme for
6 Empirisk analyse 59
perioden 2014 til 2015 og perioden 2018 til 2019. Der er flere fordele ved stationaritet. For en stationær proces kan modellens parametre estimers p˚alideligt, s˚a der senere kan laves et forecast af tidsseri-en. Ruppert & Matteson, (2015) beskriver tre egenskaber, som kan p˚avirke stationaritetsbetingelse, s˚asom
1. opadg˚aende tendenser uden mean-reversion, tidsserien vender dermed ikke tilbage til et gen-nemsnitslig niveau.
2. sæsonvariationer med lokale toppe 3. stigninger i udsving over tid
Derfor tjekkes der for, om data indeholder nogle af følgende tendenser. Det ses, at tidserien har en klar opadg˚aende trend. Stationariteten kan derfor tjekkes med en visuel inspektion af plottene for autokorrelationen. Autokorrelationen fortæller os, hvor godt den nuværende værdi i tidsserien er relateret til historiske værdier. For stationære tidsserier vil autokorrelationen falde indefor en græn-seværdi, mens ikke-stationære tidsserier vil falde udenfor disse grænseværdier. I figur 16 ses der en visuel inspektion af data og log-transformation af data. De bl˚a linjer i plottet af autokorrelationen, er de føromtalte grænseværdier som er tilsvarende til testgrænserne i en Ljung-Box test med nul-hypotesen om at, ρ(1) = ... = ρ(τ) = 0. Som betyder at autokorrelationen er lig med nul. Hvis autokorrelationen falder udenfor grænserne (de bl˚a linjer) er disse betraget som ikke-stationær.
Carlsberg
Time
0 500 1000 1500 2000 2500
4006008001000
Log−afkast
Time
0 500 1000 1500 2000 2500
−0.20−0.100.000.10
200 400 600 800 1000
0.0000.0020.004
Tæthed for Carlsberg
−0.20 −0.15 −0.10 −0.05 0.00 0.05 0.10
010203040
Tæthed for log−afkast
0 5 10 15 20 25 30
0.00.20.40.60.81.0
Lag ACF for Carlsberg
0 5 10 15 20 25 30
0.00.20.40.60.81.0
Lag ACF for log−afkast
Figur 16: Visuel inspektion af tidsserien og dens log-transformerede tidsserie.
Her ses det tydeligt hvilken effekt det har at indføre en log-transformation. Autokorrelationen er betydeligt mindre og tæthedsfunktionen ser ogs˚a pænere ud. Effekten p˚a autokorelationen ses endnu mere klart, n˚ar man zoomer ind, som det ses i figur 17. Der ses ikke nogle tegn p˚a, at den log-transformerede tidsserie skulle være ikke-stationær.
6 Empirisk analyse 61
0 5 10 15 20 25
−0.10−0.050.000.050.100.15
Lag ACF for log−afkast
Figur 17: Autokorrelation for log-afkastet.
Hvis der kigges p˚a Ljung-Box-testen, som er en uafhængighedstest, der tester om autokorrelationen er lig med nul. Hvis en Ljung-Box-test afvises, vil en afρ(1) =...=ρ(τ)6=0. En lav p-værdi indike-rer, at tidsserien afviger fra at være en hvidstøjsproces, der ved konstruktion er en stationær proces.
Valget af lags i denne test er en balance mellem statistisk styrke og forventede korrelationsafstande.
Der er udført en Ljung-Box-test for forskellige lags, som ses i figur 18. Den sorte linje illustrerer de forskellige p-værdier for forskellige lags. Det kan konkluderes i figur 18, at nulhypotesen ikke kan afvises p˚a et 5% signisfinaksniveau. Dette resultat er derfor i overensstemmelse med den konklusion fra inspektionen af autokorrelationen, det vil sige, det kan ikke afvises, at den log-transformerede tidserie udviser stationaritet.
5 10 15 20 25
0.00.10.20.3
Ljung−Box test
Lag
P−værdier
Figur 18: Ljung-Box test for forskellige lags p˚a et 5% signifikansniveau.
I tabel 5 ses de forklarende momenter for log-afkastet af tidsserien.
Carlsberg
Middelværdi 0,00043
Min -0,19213
Max 0,10682
Std. dev. 0,01492
Skævhed -0,74815
Kurtosis 17,52927
Tabel 5: Forklarende værdier for log-afkastet af Carlsberg.
Det mest markante at ligge mærke til er, at kurtosis ses at være forholdsvis høj. Det har den be-tydning, at der er større chance for store afkast b˚ade negativt og positivt da middelværdien ligger omkring nul. Den negative skævhed indikerer, at tæthedsfunktionen er venstreskæv og der vil være mere masse langt ude i halen til venstre. Det vil betyde, at afkastet tendere til, at kunne blive mere negativt end positivt, som der ogs˚a kan udeledes i tabel 5 ved at kigge p˚a min og max værdien. Det ses dog normalt for finansielle aktiver, at de udviser overkurtosis og negativ skævhed.
6 Empirisk analyse 63