6 Empirisk analyse 73
6.4 Sammenligning af GARCH og stokastisk volatilitet
Den helt store forskel p˚a den stokastiske volatilitets model (SV) og GARCH modellen, er at SV er modelleret som en stokastisk proces hvor GARCH er modelleret som en deterministisk proces. Det ses som en fordel, at SV er modelleret som en stokastisk proces, da det giver muligheden for at opn˚a en approksimeret fordeling af volatiliteten. Det giver ogs˚a muligheden for at opstille usikker-hedsintervaller for volatiliteten i SV for hvertht, hvor det ikke er muligt at opstille disse i GARCH for volatiliteten. Den helt store ulempe ved estimation af volatilitet i SV med Markov Chain Monte Carlo er ˚abenlys. Det kræver en hvis computerkraft og det kan være tidskrævende. Endvidere vil resultatet afhænge af de valgte startgæt, eftersom valget p˚avirker hastigheden for konvergens. En anden ting som kunne p˚avirke hastigheden for konvergens ville være valget af prior. Disse to valg, som man subjektiv vælger styrer resultatet, hvis antallet af iterationer ikke sættes tilpas stort. Hvis antallet af iterationer sættes tilpas stort, vil der ved den ergodiske sætning opn˚as dens stationære fordeling uanset startgæt og forudg˚aende overbevisninger. Da vil den ønskede posterior fordeling være lig med den stationære fordeling.
7 Udvidelsesmuligheder 75
7 Udvidelsesmuligheder
Som beskrevet igennem opgaven ville det være muligt, at udvide den stokastiske volatilitets mo-del, til den t-fordelte udgave eller med en jump parametre. Dette kunne m˚aske løse problemet med overkurtosis. Modellen hvoruter t-fordelt skrives p˚a som
yt=exp(ht/2)ut, ut ∼tv
ht=µ+φ(ht−1−µ) +ηt, ηt ∼ N(0,ση2)
hvorut følgere den standardiserede t-fordeling medν > 2 antal frihedsgrader. Hvor modellen for inkorporeringen af en jump parametre skrives op som
yt=exp(ht/2)ut, ut ∼ N(0, 1) ht=µ+φ(ht−1−µ) +ηt, ηt ∼ N(0,ση2) kt∼ N(µk,σk2)
qt∼ B(κ)
hvorqt følger en Bernouilli fordeling, som tager værdien ´en n˚ar et spring indtræffer med sandsyn-lighedκ, ellers er den nul. Størrelsen p˚a springet er givet vedktsom følger normalfordelingen.
Fordelen ved begge af disse to udvidelser til modellen er, at store værdier af|yt|ikke fanges af volati-liteten, men af hhv. t-fordelingen eller spring elementet. Det vil dermed ogs˚a resultere i, at volatilitets processen er mere vedholdende og har færre større udsving,end ved standard udgaven.
8 Konklusion
I afhandlingen er der blevet gjort rede for den grundlæggende udgave af den stokastiske volatilitets model. Nemlig modellen som hvor støjleddet p˚a afkastet og volatiliteten følger normalfordelingen.
Grundet at volatiliteten er en stokastisk proces, har det ikke været muligt at implementere de sæd-vanlige estimations teknikker. I stedet er der blevet redegjort for, hvordan Bayesiansk statstik kan være behjælpelig til inferens. Her viste sig dog at være et analytisk problem n˚ar posterior fordelin-gen skulle skrives, da integralet for likelihood funktionen,p(y|θ), ikke er mulig at finde i en lukket form. I stedet blev der introduceret Markov Chain Monte Carlo som var i stand til, at komme frem til et numerisk resultat af posterior fordelingen. Der er i afhandlingen blevet fokuseret p˚a algoritmer-ne Metropolis-Hastings og Gibbs sampler, som danalgoritmer-nede grundlag for estimation i den stokastiske volatilitets model. Der er blevet beskrevet og vist konvergens for de generede Markovkæder ved de to algoritmer. Betingelserne om konvergens i de to algoritmer følger teorien om konvergens for Markovkæder. Nemlig at den generede Markovkæde skal opfylde at være aperiodisk,irreducibel og rekurent. Hvor der galt, at hvis den var Harris rekurent ville den initale tilstand være mere eller min-dre irrelevant, da den ved store nok iterationer ville konvergere mod sin stationære tilstand grundet sætningen om at være ergodisk. Metropolis-Hastings viste sig relevant, da man i sin enkelthed kun-ne trække prøver fra forslags fordeling og dermed ramme m˚al tætheden. Dette var praktisk, n˚ar der skulle trækkes prøver forh, eftersom det ikke var muligt at trække direkte fra posterior fordelingen.
Gibbs sampler viste sig effektiv, n˚ar der skulle trækkes prøver for parametrene. Da det her var muligt at udlede en posterior fordeling for de enkelte parametre.
Ved simulering af et datasæt, var det muligt at tjekke SV modellens evne til estimation via min egen indbyggede algoritme i R. Her kom der frem til, at modellen overordnet estimerer forholds-vis præcist sammenlignet med det simulerede datsæt. Der var dog en lille afvigelse p˚a estimationen afµ, som til en hvis grad ville være elimineret hvis antal iterationer havde været højere. P˚a baggrund af dette blev der analyseret p˚a et rigtigt finansielt datasæt. Her kunne det observeres, at modellen havde svært ved h˚andtering af den over kurtosis der kom fra det observerede datasæt. Det resulte-rede i, at den estimeresulte-redehproces ikke fulgte normalfordelingen som modellen ellers antager, og den dermed ville være overestimeret. Til sammenligningen af den velkendte GARCH model, blev det
8 Konklusion 77
vist at de to estimerede volatilitets processer var meget sammenlignelige. Dog var SV modellen lidt mere takket i strukturen, som kunne tyde p˚a den bedre fangede udsvingene i afkastet. Den primære fordel ved at arbejde med SV modellen sammenlignet med GARCH var, at volatiliteten modelleres som en stokastisk proces fremfor end en deterministisk proces.
Derfor m˚a den overordnede konklusion være, at estimation i SV modellen er mulig, dog har stan-dard udgaven nogle begrænsninger. Da den har svært ved, at h˚andtere store mængder at kurtosis eller hvis spring i afkastet fremkommer.
9 Litteratur
[1] Aviral Tiwari, Satish Kumar, and Rajesh Pathak. Modelling the dynamics of Bitcoin and Litecoin:
GARCH versus stochastic volatility models. Applied Economics, 2019.
[2] C.P. Robert.The Metropolis–Hastings algorithm. Universit´e Paris-Dauphine, University of Warwi-ck and CREST, 2016.
[3] Dani Gamerman. Markov Chain Monte Carlo: Stochatic simulation for Bayesian inference. Chapman Hall, first edition, 1997.
[4] David Ruppert and David S. Matteson. Statistics and Data Analysis for Financial Engineering with R examples. Springer, second edition, 2015.
[5] Eric Jacquier, Nicholas Polson, and Peter Rossi. Bayesian Analysis of Stochastic Volatility Models.
Journal of Business Economic Statistics, 2002.
[6] Hans Boscher, Eva-Maria Fronk, and Iris Pigeot. Forecasting interest rates volatilities by GARCH (1,1) and stochastic volatility models. Statistical Paper, first edition, 2000.
[7] Maria Turkman, Carlos Paulino, and Peter M ¨uller. Computational Bayesian Statistics. Cambridge University Press, first edition, 2019.
[8] Martin Haugh. MCMC and Bayesian Modeling. Columbia University, 2017.
[9] Matthew Stephens. The Metropolis Hastings Algorithm.
https://stephens999.github.io/fiveMinuteStats/MH intro.htmlthe mh algorithm5, 2018.
[10] Ilker Yildirim. Bayesian Inference: Metropolis-Hastings Sampling. University of Rochester, 2012.
[11] Ilker Yildirim. Bayesian Inference: Gibbs Sampling. University of Rochester, 2012.
[12] Ronald Christensen, Wesley Johnson, Adam Branscum, and Timothy Hanson.Bayesian Ideas and Data Analysis: An Introduction for Scientist and Statisticans. Taylor Francis Group, first edition, 2011.
9 Litteratur 79
[13] Sandip Sinharay. Assessing Convergence of the Markov Chain Monte Carlo Algorithms: A Review.
Research Development Division Princeton, first edition, 2003.
[14] Sangjoon Kim, Neil Shaphard, and Siddhartha Chib. Stochastic Volatility: Likelihood Inference and Comparison with ARCH Models. The Review of Economic Studies Limited, 1998.
[15] Siddhartha Chib and Edward Greenberg. Understanding the Metropolis-Hastings Algorithm. The American Statistician, 1995.
[16] Siddhartha Chib, Federico Nardari, and Neil Shephard. Markov chain Monte Carlo methods for stochastic volatility models. Journal of Econometrics 108, 2002.
[17] Tim Bollerslev. Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity. Journal of Econometrics 31, 1986.
[18] Ute Hahn. Markov Chain Monte Carlo Methods. 2013/14.
[19] Wolfgang H¨ardle, Nikolaus Hautsch, and Ludger Overbeck.Applied Quantitative Finance. Sprin-ger Berlin Heidelberg, second edition, 2009.
A R-kode til indbyggede funktioner
A.1 Simulering af GARCH(1,1)
GARCHSim<−f u n c t i o n( alpha0 , alpha1 , beta1 , n ) {
h=rep(as.numeric(NA) , n ) h [ 1 ] = 0 . 1
y [ 1 ] = 0
u<−rnorm( n , 0 ,s q r t( 1 ) ) f o r ( i i n 2 : n )
{
h [ i ]= alpha0+alpha1∗y [ i−1]ˆ2+ b e t a 1∗h [ i−1]
y [ i ]=s q r t( h [ i ] )∗u [ i ] }
r e t u r n(l i s t ( y=y , h=h ) ) }