6 Empirisk analyse 63
posterior intervallerne, da spændet p˚a 90% er relativt smalt. Den lave standardfejl for alle parametre-ne indikere en mindre usikkerhed for selve estimatet. Det var forventeligt med den lave standardfejl, da n er forholdsvis stor. Hvis der skulle have været en høj standardfejl, ville det have krævet en tilsvarende høj standardafvigelse. For at bedre at kunne vurdere den estimerede volatilitets proces, findes de absolutte log-afkast værdier,|yt|. Resultatet ses i figur 19, hvor de høje udsving i|yt|fanges af en høj volatilitet. Volatilitets processen efterligner tæt p˚a, de bevægelser som der er i|yt|.
|yt|
Tid
0 500 1000 1500 2000 2500
0.000.050.100.15
0 500 1000 1500 2000 2500
0.010.030.05
Estimat for exp(ht/2)
Tid
Figur 19: Øverst ses de absolutte log-afkast,|yt|. Nederst ses den estimerede volatilitets proces, med deres tilhørende posterior intervaller p˚a 90%, som er det gule omr˚ade.
En metode til at tjekke vores model p˚a, er ved at kigge p˚a de standardiserede innovationer. Da der muligvis kan være en misspecifikation af den underliggende fordeling. Her er de standardiserede innovationerutder indg˚ar iyt, og findes vedexp(yht
t/2).
6 Empirisk analyse 65
ut for yt
Tid ut
0 500 1000 1500 2000 2500
−3−2−10123
0 5 10 15 20 25
−0.04−0.020.000.020.04
Lag
ACF
ACF for ut
−3 −2 −1 0 1 2 3
0.00.10.20.30.40.5
Tæthed for ut
−3 −2 −1 0 1 2 3
−3−2−10123
QQ−plot for ut
Theoretical Quantiles
Sample Quantiles
Figur 20: Øverst til venstre sesut. Øverst til højre ses autokorrelationen forut. Nederst til venstre ses tætheden forut, sammenlignet med tætheden for en normalfordeling som er den røde linje. Nederst til højre ses et QQ-plot forut.
Hvis man tester ut med Ljung-Box test p˚a et 5% signifikansniveau, bliver nogle af de første lags afvist. Men efter lag 5 er der ikke nogle som afvises. Det stemmer ogs˚a overens med det autokor-relationen viser os i figur 20. Ud fra det, kan det ikke afvises atut er en hvidstøjsproces. I figur 19 kan der identificeres en mulig outlier i observation 406, som s˚a ogs˚a kommer til udtryk forut. Det kunne tyde p˚a en form for jump, som selvfølgelig ikke kan fanges af h, eftersom det er en konti-nuert fordeling. Det ville s˚a kræve en indførelse af en jump parametre. Lidt overraskende udviser ut at være normalfordelt, indikeret i QQ-plottet og tætheden. Dette bekræftes af en Jarque-Bera test med en p-værdi p˚a 22%. Hvis p-værdien var under signifikansniveauet p˚a 5%, ville man forkaste nul-hypotesen om en normalfordeling. Men eftersom dette ikke er tilfældet, kan vi alts˚a ikke forka-ste det. Selvom det var forventeligt, atutudviste samme fordeling som log-afkastet som ligner mere t-fordelingen grundet den høje kurtosis p˚a 17,5 som skaber de tungere haler. Det kunne derfor tyde p˚a, at hvidstøjsprocessenηtsom indg˚ar ihs˚a ikke kan være normalfordelt. Det bekræftes endvidere athikke er normalfordelt ved igen at se p˚a Jarque-Bera testen. Testen giver en p-værdi p˚a 2,11e-11,
derfor kan det afvises at volatilitets processen skulle være normalfordelt.
Det sidste der mangler at blive set p˚a er parametrene. Sinharay (2003) beskriver forskellige m˚ader og teknikker at vurdere konvergensen for de enkelte parametre. Eftersom hver parametre er bygget som en Markovkæde, kan disse testes og vurderes hver for sig. Det første der gøres er en visuel in-spektion. Det er en nem m˚ade at vurdere p˚a, om kæden udviser stabilitet i en hvis grad. Her vil der blive kigget p˚a den tidsserie/Markovkæde der er blevet produceret. I nogle sammenhænge kaldes det ogs˚a for et trace-plot. Her ser man om der er et generelt mønster, f.eks. en opadg˚aende trend.
Det skulle gerne være s˚adan, at der ikke er en klar trend. Man ville ogs˚a se p˚a, om kæden har ud-forsket forskellige omr˚ader af udfaldsrummet. I samme plot ville man kunne lægge det løbende gennemsnit oveni, for at se om den er stabiliseret over antallet af iterationer. Det sidste vil være at kigge p˚a autokorrelationen. Her kan man vurdere, om der er afhængighed mellem de prøver som er blevet trukket. Hvis der udvises en høj form for autokorrelation, ville det kræve et højt antal ite-rationer for at kunne udforske hele udfaldsrummet tilstrækkeligt. Der forventes dog en hvis form for autokorrelation, eftersom parametrene følger egenskaben om Markovkæder. De vil være direkte afhængige af deres foreg˚aende observation og indirekte afhængige af tideligere observationer end kun den foreg˚aende. Autokorrelationen kan ikke bruges direkte til at vurdere konvergensen, men er stadig brugbar. I de forskellige plots vil der der ogs˚a indg˚a tætheden for Markovkæden sammen med dens posterior intervaller, for at se om tætheden ligner posterior fordelingen.
6 Empirisk analyse 67
Markovkæden for µ
n
0 10000 20000 30000 40000
−8.8−8.6−8.4−8.2−8.0
−8.8 −8.6 −8.4 −8.2 −8.0 −7.8
01234
Tætheden for µ
0 20 40 60 80 100
0.00.20.40.60.81.0
Lag ACF for µ
Figur 21: Øverst ses Markovkæden forµ, hvor den grønne linje er et løbende gennemsnit. Nederst til venstre ses tætheden og posterior intervallerne forµ. Nederst til højre ses autokorrelationen forµ.
Markovkæden for φ
n
0 10000 20000 30000 40000
0.840.880.920.96
0.85 0.90 0.95
0510152025
Tætheden for φ
0 20 40 60 80 100
0.00.20.40.60.81.0
Lag ACF for φ
Figur 22: Øverst ses Markovkæden forφ, hvor den grønne linje er et løbende gennemsnit. Nederst til venstre ses tætheden og posterior intervallerne forφ. Nederst til højre ses autokorrelationen forφ.
Markovkæden for ση2
n
0 10000 20000 30000 40000
0.050.100.150.20
0.05 0.10 0.15 0.20
05101520
Tætheden for ση2
0 20 40 60 80 100
0.00.20.40.60.81.0
Lag ACF for ση2
Figur 23: Øverst ses Markovkæden forση2, hvor den grønne linje er et løbende gennemsnit. Nederst til venstre ses tætheden og posterior intervallerne forση2. Nederst til højre ses autokorrelationen for ση2.
Det ses i figur 21, at det løbende gennemsnit forµikke varierer over antal iterationer. Det betyder, at den har n˚aet en stabilitet. Markovkæden ses at udvise en lille smule autokorrelation imellem de prøver som er trukket. Men den g˚ar hurtigt mod nul. P˚a den m˚ade, vil kæden have udforsket udfalds-rummet tilstrækkeligt. Samtidig ses tætheden at ligne normalfordelingen som forventeligt, eftersom posterior fordelingen er normalfordelt.φviser dog modsat µ, at udvise en høj autokorrelation vist i figur 22. Dette kan ogs˚a ses i plottet af Markovkæden, hvor der ses en hvis afhængighed imellem de prøver som der er trukket. Det kan have den effekt, at udfaldsrummet ikke er udforsket nok. En af ˚arsagerne kunne skyldes, at posterior fordelingen er designet som en trunkeret normalfordeling.
Udfaldsrummet vil derfor være begrænset af en øvre og nedre grænse, og da prøverne alle ligger oppe imod den øvre grænse, kan der godt opst˚a en en form for autokorrelation. Umiddelbart vil det ikke være et større problem i dette tilfælde, da det løbende gennemsnit udviser stabilitet. Tætheden viser at den største masse ligger oppe mod øvre grænse. Samme udfordring omkring autokorrela-tionen harση2, som vist i figur 23. I dette tilfælde vil det have noget at gøre med, atση2 er begrænset nedad i forhold til nul. Igen er det ikke umiddelbart noget som man skal være bekymret for, da det
6 Empirisk analyse 69
løbende gennemsnit udviser stabilitet. Tæthedsfunktionen ligner den ønskede posterior fordeling, den inverse-gamme fordeling, med største masse imellem 0,05 og 0,10, s˚a alts˚a ned mod den nedre grænse.
En anden m˚ade hvorp˚a man kan vurdere konvergensen, er ved at teste for stationaritet. Dette gøres ved Geweke konvergens diagnosticering og Heidelberger og Welch konvergens diagnosticering. Der g˚as ikke i dybden med hvordan disse test fungerer, men der bruges bare resultatet af testene. Geweke udskriver en z-score, som der kan findes en p-værdi med. Hvis p-værdien er mindre end 5% afvi-ses hypotesen om stationaritet. Til selve udregningen bruges der to fraktioner, hvor Sinharay (2003) beskriver, at Geweke selv foresl˚ar at bruge 0,1 og 0,5. Heidelberger og Welch testen giver b˚ade en p-værdi for stationaritet, men ogs˚a en half-width test. Half-width testen udskriver en værdi som sammenholdes med et tal,e, som sættes til 0,1. Testen accepteres hvis Half-width værdien er mindre ende. Resultatet af de to typer test kan ses i tabel 8
Parametre Geweke Heidelberger og Welch
z-score p-værdi p-værdi Half-width
µ -2,885 0,004 0,068 0,002
φ 0,079 0,936 0,827 0,002
ση2 0,265 0,790 0,849 0,004
Tabel 8: Konvergens diagnosticerings resultater
Det observeresµikke best˚ar stationaritets testen for Geweke, men sagen er anderledes for Heidel-berger og Welch testen. Det kan diskuteres om µhar n˚aet sin stationærefordeling eller ej, eftersom det er to forskellige resultater p˚a de to tests. Forφogση2best˚ar de begge tests, og det indikerer at de to Markovkæder har n˚aet en hvis konvergens og dermed deres stationære fordeling.
Estimationen for GARCH(1,1) som blev produceret ved allerede indbyggede pakker i R, kan ses i tabel 9. Der vil ikke yderligere blive testet for autokorrelation osv., modellen antages at være brug-bar, da den kun danner grundlag som et sammenligningselement. Den estimerede volatilitet for GARCH(1,1) er repræsenteret i figur 24. Her fanger volatiliteten ogs˚a de udsving som der er i af-kastet.
Parameter Estimeret værdi SD
α0 9,05e-6 0,000
α1 0,128 0,011
β1 0,841 0,023
Tabel 9: Resultat for GARCH(1,1)
Tid
0 500 1000 1500 2000 2500
0.010.020.030.040.050.060.07
Figur 24: Den estimerede volatilitet for GARCH(1,1)