BACHELORPROJEKTER
2009
MATEMATISK AFDELING, INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG
Bachelorprojekterne er sorteret alfabetisk efter projektvejleders navn
Indhold
0. Forord 3
1. Rodsystemer, Dynkin diagrammer og Cartan matricer
Henning Haahr Andersen - mathha@imf.au.dk 4
2. Knudeteori
Jørgen Ellegaard Andersen - andersen@imf.au.dk 5
3. Matroider
Jørgen Brandt - jbrandt@imf.au.dk 7
4. Generel topologi.
Marcel Bökstedt - marcel@imf.au.dk 9
5. Elliptiske kurver
Johan P. Hansen - matjph@imf.au.dk 11
6. Symmetrigrupper og tæppemønstre
Jens Carsten Jantzen - jantzen@imf.au.dk 13
7. Kædebrøker, diofantiske ligninger og primtalsfaktorisering
Niels Lauritzen - niels@imf.au.dk 14
8. Compact operators
Jakob Schach Møller – jacob@imf.au.dk 16
9. Heltalsmatricer
Holger Andreas Nielsen - holger@imf.au.dk 18
10. Bieberbach’s conjecture and de Branges’ theorem
Andrew du Plessis - matadp@imf.au.dk 19
11. Satellitnavigation
Hans Anton Salomonsen - mathas@imf.au.dk 22
12. Wavelets
Erik Skibsted - skibsted@imf.au.dk 23
13. Harmoniske funktioner
Henrik Stetkær - stetkaer@imf.au.dk 25
14. Bezouts sætning og gruppestrukturen på en elliptisk kurve
Jesper Funch Thomsen - funch@imf.au.dk 26
1
15. Fraktaler og billedkomprimering
Klaus Thomsen - matkt@imf.au.dk 28
16. Træer og frie grupper
Jørgen Tornehave 30
17. Quadratic reciprocity
Alexei Venkov - venkov@imf.au.dk 31
18. Forslag til bachelorprojekter i analyse
Bent Ørsted - orsted@imf.au.dk 32
19. Thomas–Fermi teori
Søren Fournais - fournais@imf.au.dk 33
0. Forord
Studenter, som er immatrikuleret i august/september 1997 eller senere, skal lave et bachelorprojekt. Institut for Matematiske Fag fremlægger derfor hermed en række forslag til mulige bachelorprojekter. Vi håber, at projektbeskrivelserne kan virke som appetitvækkere og, at det varierede udbud kan give et lille indtryk af fagets mange facetter. Ud over de nævnte emner findes der mange andre muligheder for projekter, som man kan aftale med vejlederen. Egne idéer og forslag er velkomne.
Der er mulighed for følgende to bachelorprojektforløb:
• Et bachelorprojekt á 2 point (10 ECTS) eller
• Et bachelorprojekt á 1 point (5 ECTS) i tilknytning til et 2.delskursus.
Bachelorprojektet evalueres efter 7-trinsskalaen med ekstern censur.
For at komme i gang med et bachelorprojektforløb skal man blot henvende sig til underviseren, man ønsker at skrive hos. Ved eventuelle tvivlsspørgsmål bedes den studerende henvende sig til et medlem af 2.delsudvalget (dvs. en af undertegnede).
De formelle rammer for bachelorprojektet er beskrevet i studieordningen.
Jens Carsten Jantzen (formand) og Marcel Bökstedt
1. Rodsystemer, Dynkin diagrammer og Cartan matricer Henning Haahr Andersen - mathha@imf.au.dk
Et rodsystem er en endelig delmængde afRnmed nogle højst bemærkelsesværdige symmetriegenskaber. De blev for godt hundrede år siden benyttet til at klassificere alle endelig dimensionale semisimple komplekse Lie algebraer (en klasse objekter som har spillet og fortsat spiller er hovedrolle i flere matematiske discipliner).
En rar ting ved rodsystemer er, at det er elementært fuldstændigt at kortlægge dem. Hvis n >8er der i Rn overraskende nok blot 4 forskellige af slagsen (foruden dem, der på naturlig måde kan opnåes fra lavere dimension). Man kan altså finde en fuldstændig liste over samtlige rodsystemer, og dermed ved man i princippet alt om dem.
En smart måde at holde styr på et rodsystem er ved hjælp af deres tilhørende Dynkin diagram. Dette er en endelig graf som på overskuelig måde har indkodet samtlige rodsystemets egenskaber. I stedet for at lave en liste over rodsystemerne kan man vælge at konstruere en tilsvarende for Dynkin diagrammer. Dette er f.eks.
gjort s.58 i bogen Introduction to Lie algebras and representation theory af J. E.
Humphreys (Grad. Text in Mathematics 9, Springer Verlag).
En alternativ og til mange formål lige så effektiv måde at beskrive rodsystemer på er via deres Cartan matricer. Igen indeholder disse samtlige rodsystemets data. Der er eksplicitte algoritmer for, hvordan man kommer fra et rodsystem til dets Dynkin digram, henholdsvis Cartan matrix og tilbage igen.
Blandt oplagte projekter indenfor dette emne kan nævnes
• Et detailstudium af et bestemt rodsystem og dets Dynkin diagram og Cartan matrix
• Undersøgelse af korrespondancen mellem de tre begreber
• Symmetrigruppen (den såkaldte Weyl gruppe) for et rodsystem
• Sammenhæng mellem rodsytemer og Lie algebraer/grupper
• Generaliseringer til det uendeligt dimensionale tilfælde.
2. Knudeteori
Jørgen Ellegaard Andersen - andersen@imf.au.dk
Knudeteori er ganske simpelt en matematisk teori hvor det velkendte begreb “en knude på en snor” er matematisk formaliseret. Det som er hovedproblemerne i denne teori, er at give redskaber til at svare på spørgsmål af følgende type:
• Hvis jeg har noget som tilsyneladende ligner en meget kompliceret knude på en snor, hvordan konstaterer jeg at knuden kan løses op uden at trække enderne af snoren gennem knuden?
• Hvis jeg har to stykker snor med hver en knude på, hvordan konstaterer jeg om de er ens, d.v.s. om jeg ved at “mingelere” lidt ved den ene knude (dog uden at trække enderne af snoren gennem knude) kan bringe den til præcist at ligne den anden?
• Hvordan genkender jeg en given knude? Med andre ord; kan jeg lave en liste over alle knuder, således en vilkårlig knude på en snor kan “mingeleres” (uden at trække enderne af snoren gennem knuden), således den ligner præcist en knude fra listen?
Tillader man at trække enderne af snoren igennem knuden, så er alle disse spørgs- mål trivielle, så det er derfor meget vigtigt dette ikke tillades. En måde at undgå dette problem, er blot at kræve at de to ender af snoren svejses sammen efter knuden er bundet, så man får en lukket snor. Man overgår dermed til et studie af knuder på lukkede snore. Det er udelukkende sådanne man betragter i knudeteori. Blandt disse er der selvfølgelig en som skiller sig ud, nemlig en cirkel i et plan i rummet.
Denne kaldes den trivielle knude.
Overraskende nok spiller dette simple problem med knuder fra hverdagen en fun- damental rolle i vores forståelse af alle mulige 3-dimensionale rum, samt i forståelsen af visse kvantefelt-teorier fra fysik samt måske endda i funktionen af vores DNA.
Bachelor projektet vil gå ud på først at forstå den matematisk model for en knude.
Matematisk representeres en knude på en lukket snor som følger: Man betragter mængden af lukkede stykvis lineære kurver i R3. Det at “mingelere” med knuden formaliseres helt præcist som en ækvivalens relation på denne mængde. En knude defineres så til at være en ækvivalens klasse af lukkede stykvis lineære kurver.
Derefter vil projektet dreje sig om at forstå begrebet etknudediagram, som blot er en “god” to-dimensional projektion af knuden. Der er også en ækvivalens relation på mængden af knudediagrammer som svarer til det at mingelere med knuden frembragt af de såkaldte “Reidemeister moves”.
Den fundamentale sætning af Reidemeister siger at mængden af ækvivalens klas- ser af knudediagrammer er i bijektiv korrespondence med mængden af knuder. Altså studiet af knuder er derefter reduceret til studiet af ækvivalens klasser af knudedia- grammer.
Når dette er forstået og fordøjet, er der mange forskellige mulige forløb af projek- tet. Fælles for dem alle vil nok være at man vil studere en invariant af knuder af en eller anden type. En invariant af knuder er simpelthen blot en afbildning fra mæng- den af knuder (altså fra mængden af ækvivalens klasser af knudediagrammer) til en anden mængde, som f.eks. de hele tal, de reelle tal, polynomier af en eller to variable eller måske mere avanceret; mængden af alle grupper. Som sådanne invarianter kan nævnes det minimale antal krydsninger, Conway-, Jones- og Homfly-polynomiet, Vassiliev invarianter, Kontsevichs universelle Vassiliev invariant eller fundamental- gruppen af komplimentet af knuden. Fælles for de fleste af disse mulige forløb vil være at man faktisk hen imod slutningen af projektet vil kunne komme til at forstå nuværende aktivt studerede åbne problemer i knudeteori. Ved mange af projekterne vil man også kunne lave forskellige selvstændige undersøgelser ved hjælp af compu- terprogrammer. Nedenfor er kort beskrevet eksemplet med Jones-polynomiet.
Jones-polynomiet.
Man betragter knudeinvarianten indført af Jones i 1984 som til enhver knude knytter et polynomium. Denne invariant er bestemt ved at den knytter det simple 0’de-grads polynomium 1 til den trivielle knude, og den opfylder “Skein-relationen”
t−1 −t = (√
t− 1
√t)
Projektet vil gå ud på at forstå denne relation, kunne regne med den og måske kunne bevise eksistencen af Jones polynomiet afhængig af ambitionerne. Endvidere vil man kunne anvende Jones-polynomiet til at besvare nogle af de ovenstående fundamentale spørgsmål i visse specielle situationer.
3. Matroider
Jørgen Brandt - jbrandt@imf.au.dk
Lineær uafhængighed er et af de mest fundamentale begreber fra Lineær Algebra.
Egenskaberne ved mængder af uafhængige vektorer i et vektorrum gør at vi kan definere dimensionen af et vektorrum som antal vektorer i en vilkårligt valgt basis.
Der er nemlig lige mange vektorer i disse baser. Ser man nærmere efter viser det sig at vi i virkeligheden kun behøver to egenskaber ved uafhængighed: Lad V være endelig frembragt og ladU betegne mængden af alle lineært uafhængige delmængder af V. Så gælder
(1) B ⊆A∈ U ⇒B ∈ U
(2) Hvis A, B ∈ U og|A|>|B| så findesx∈A−B således at B ∪ {x} ∈ U.
Det første burde være klart, og det andet punkt følger af at hvisB ∪ {x}∈ U/ så er x ∈ span(B). Så hvis intet x opfylder kravene vil A ⊆ span(B) hvilket strider mod at en uafhængigt mængde aldrig er større end en frembringende mængde.
Hvis omvendtU opfylder de to krav, kan vi vise mange af de egenskaber vi kender ved lineær uafhængighed. Fx følger det jo umiddelbart at de maximale mængder i U (mht. inklusion) alle har samme kardinalitet, dvs. vi kan igen definere dimension og basis.
Matroideteori starter når man opdager at der er andre spændende familier af mængder der opfylder de to krav. Matroider der kommer fra mængder af vektorer kaldes naturligt nok vektormatroider. Vi giver nogle vigtige eksempler.
Vektor matroider
• F et legeme,
• A ∈Matm,n(F)
• U familien af lineært uafhængige delmængder af søjler i A.
Grafiske matroider
• G= (V, E) en graf med kantmængdeE.
• U de acykliske delmængder af E, dvs. kantmængder der ikke indeholder en cykel.
Hvornår er en matroide grafisk?
Transversal matroider
• A= (A1, A2, . . . , Ak)en familie af endelige mængder,
• U mængden af partielle transversaler i A, dvs. P ∈ U hvis der findes en injektion
φ:P → A så x∈φ(x) for alle x∈P.
Hvornår har en familie en hel transversal? Det problem besvarer Hall’s Sætning: A har en transversal hvis og kun hvis
∀J ⊆ {1,2, . . . , k}:|[
j∈J
Aj| ≥ |J|
Det er en smuk (og vigtig) sætning, men umiddelbart ser den ganske ubrugelig ud da der jo er eksponentielt mange uligheder (nemlig2k) at checke. Måske overraskende findes der meget hurtige algoritmer der kan afgøre, om A har en transversal.
Disse matroider dukker bl.a. op i skemalægningsproblemer.
Repræsentationer af Matroider
Hvornår kan en matroide M repræsenteres som en vektormatroide over et givet legeme F?
Det problem er faktisk kun løst for ganske få legemer, nemlig legemerne med 2, 3 og 4 elementer. For disse legemer har man fundet en endelig række obstruktioner mht. repræsenterbarhed. Lidt forenklet udtrykt kan en matroide repræsenteres over et af disse legemer hvis og kun hvis den ikke indeholder en af disse obstruktioner.
Man kan også spørge om hvilke matrioder der kan repræsenteres over alle legemer.
De kaldes regulære og er interessante fordi de er nært knyttet til totalt unimodu- lære matricer som er vigtige i optimering. Det er matricer hvor alle kvadratiske undermatricer har determinant −1,0, eller 1.
Projekter
Et bachelorprojekt i Matroider kan efter et studium af de fundamentale begreber og klasser af matroider gå i flere af de skitserede retninger alt efter lyst og ambitions- niveau.
4. Generel topologi.
Marcel Bökstedt - marcel@imf.au.dk
Lad X ogY være metriske rum. Man må gerne tænke “Aha, de kunne altså være delmængder af Euklidiske rum”. Læseren kender sikkert , δ-definitionen af at en afbildningf :X →Y er kontinuert.
Men man kan også fortælle hvad en kontinuert funktion f : X → Y er uden at betragte andet end hvad f laver ved de åbne mængder. En pointe ved dette er, at denne definition af kontinuitet bruger mindre om rummenes struktur. For eksempel er der mange metriske rum med nøjagtign punkter. Ikke end gang for små n er det nemt at klassificere disse, selv om de har nøjagtig de samme åbne mængder. Alle delmængder er åbne!
Indenfor generel topologi tager man dette til efterretning, og studerer topologiske rum. Disse defineres som mængder der er udstyret med familjer af “åbne mængder”.
De åbne mængder skal opfylde nogle simple aksiomer. Det kan vel ikke overraske nogen at metriske rum med de sædvanlige åbne mængder er eksempler på topologiske rum.
Det viser sig at denne struktur optræder på mange steder i matematikken, og- så i nogle situationer hvor man muligvis ikke ville have forventet det. Dette giver en velkommen mulighed at studere nogle forholdsvis simple egenskaber ved højst indviklede matematiske objekter.
Der er to fordele med at betragte topologiske rum i stedet for metriske rum. Den ene fordel er at der er nogle interessante topologiske rum, der ikke på nogen måde kan opfattes som metriske rum. Den anden fordel, der måske er vigtigere, er at et topologiske rum er simplere i sin struktur.
Elementære undersøgelser af topologiske rum behandler abstrakte sammenhænge, der så skal studeres helt fra bunden. Mat 11 vil være tilstrækkeligt, selv om man nok vil have en bedre forståelse af hvad der virkelig foregår efter Geometri 1.
Heldigvis eksisterer der også flere udmærkede lærebøger indenfor dette område.
Det vil være muligt at lave diverse næsten helt forskellige bachelorprojekter. Her er to konkrete forslag:
Kompakthed. Tychonovs sætning.
Det mest iøjefaldende topologiske begreb er kompakthed. Vi husker fra Mat 11 at en delmængde af et Euklidisk rum kaldes kompakt, hvis den er lukket og begrænset.
Man tænker på en kompakt mængde som værende “endelig”, selv om den består af uendeligt mange punkter. Det viser sig at der er indtil flere udmærkede muligheder at generalisere dette centrale begreb til topologiske rum.
Der er mange anvendelser af kompakthed. For eksempel, en af de mest populære metoder for at konstruere eksempler på topologiske rum er, at tage nogle rum man kender i forvejen (eventuelt induktivt), og lime dem sammen. Det er typisk for denne proces at selv om den ofte på en meget naturlig måde leverer rum, derkan opfattes som metriske rum, så giver den ingen naturlig opskrift for, hvordan metrikken skal se ud. Kompakthed kan bruges for at studere resulatet af sammenlimning.
Der findes en måde at danne produktet af to topologiske rum. Det viser sig hurtigt, at produkten af to kompakte rum igen er et kompakt topologisk rum. Mere over- raskende er Tychonovs sætning, der siger at endog produktet af uendeligt mange kompakte topologiske rum er kompakt.
Når man beviser dette, må man diskutere hvordan man behandler uendelige mængder. Det viser sig at det er naturligt at indføre et nyt aksiom til dette for- mål, udvalgsaksiomet. Og i en vis forstand er Tychonovs sætning endog ækvivalent til dette aksiom.
Tietzes udvidelsessætning.
Lad A⊂X være et delrum i et topologisk rum. Vi stiller følgende spørgsmål: Hvis f : A → R er en kontinuert funktion, kan f udvides til en kontinuert funktion F : X → R? Det er klart at det ikke altid kan lade sig gøre. For eksempel er f(x) = x1 et modeksempel for (0,1] ⊂ [0,1]. Men hvis A er en lukket delmængde af X er chancerne for at lave en udvidelse meget bedre.
Et topologisk rum kaldes ’normalt’ hvis punkter er lukkede delmængder, og to disjunkte lukkede delmænger altid kan separeres, det vil sige, der findes to disjunkte åbne mængder der indeholder dem. For eksempel er et metrisk rum normalt.
Tietzes sætning siger : hvis X er et normalt rum, og A er en lukket delmængde af X, så kan man altid udvide f.
Det betyder at man kan konstruere mange kontinuerte afbildninger fra et normalt topologisk rumX til de reelle tal. Ved at betragte dem samtidigt (som koordinater), kan man lave afbildinger fra X til en produkt af den reelle linie med sig selv.
På denne måde kan man under passende betingelser bevise, at et topologisk rum X kan indlejres som et delrum af et metrisk rum. Dermed eksisterer der en metrik påX, der giver den rigtige topologi. Men der vil for det meste ikke være en metrik, der er bedre end så mange andre!
5. Elliptiske kurver Johan P. Hansen - matjph@imf.au.dk
En elliptisk kurveEer punkterneP = (x, y), hvis koordinaterx, y ∈ker løsninger til en ligning af formen
y2 =x3+ax2+bx+c a, b, c∈k
hvor 3. gradspolynomiet på højre side ikke har dobbeltrødder. Her er k et legeme, det kan for eksempel være de rationale tal Q, de komplekse tal C eller et endeligt legemeFq med q elementer.
Punkterne P = (x, y) ∈ E, hvis koordinater x, y ∈ k, har (sammen med et ekstra punkt i uendelig) en bemærkelsesværdig geometrisk defineret gruppestruktur via korde-sekant komposition: Forbindelseslinien mellem to punkter p, q ∈E skærer kurven i et tredie punkt r, hvis spejling i x-aksen er summen p⊕q.
Indgangstemaet i samtlige projekter vil være i detaljer at opbygge denne gruppe- struktur. Projektet kan derefter rettes i en af 6 forskellige retninger afhængigt af grundlegemet k.
Elliptiske kurver over de rationale tal Q Centrale deltemaer kan være
• Mordells sætning, der viser at alle løsninger kun frembringes udfra blot en- delig mange løsninger ved hjælp af ovenståendeaddition
• Nagell-Lutz sætning, der bestemmer punkterne af endelig orden.
• Siegels sætning, der giver, at der kun er endelig mange punkter på E med heltals koordinater.
Elliptiske kurver over de komplekse tal C
• Elliptiske kurver knyttes iWeierstrass teoritil dobbeltperiodiske, meromorfre funktioner på C. I denne sammenknytning spiller elliptiske integraler
Z dz 2p
(z−a)(z−b)(z−c) en hovedrolle.
Elliptiske kurver over endelige legemer Fq
Hasse-Weils sætning begrænser antallet af punkter på E med koordinater i det endelige legeme med q elementer til ikke at afvige meget fra 1 +q:
| |E| −(1 +q)| ≤2√ q
Dette resultat sammen med gruppestrukturen på E er nyttigt ved anvendelser af elliptiske kurver til:
• Faktorisering af hele tal,Lenstra’s algoritme
• Anvendelse af elliptiske kurver i public key crypthography
6. Symmetrigrupper og tæppemønstre Jens Carsten Jantzen - jantzen@imf.au.dk
De følgende billeder viser to eksempler på tæppemønstre (som man skal forestille sig fortsat uendeligt i alle retninger):
Formelt set har vi her delmængder af planen, som er stabil under translationer i mindst to uafhængige retninger. I det første billede overdækkes planen ved kun en slags “fliser”, mens der er to slags fliser i det andet billede. Det er et naturligt spørgs- mål, hvor mange “væsentligt forskellige” måder der findes for at “fliselægge”. Svaret er 81, hvis man kun tillader en slags fliser, og 508, hvis der benyttes to. Det før- ste skridt til disse resultater er klassificeringen af symmetrigrupperne af alle mulige tæppemønstre. (Opgave: Find alle spejlinger og rotationer, som bevarer mønstrene i billederne.)
Bachelorprojektet går ud på først at forstå klassificeringen af symmetrigrupperne.
(Der findes kun 17 af dem.) Derefter kan det fortsættes i forskellige retninger, f. eks.
med de ovennævnte resultater eller med det tilsvarende problem i rummet, dvs. med krystalklasser og krystalgrupper.
Forudsætninger er Mat 10 og Algebra 1.
7. Kædebrøker, diofantiske ligninger og primtalsfaktorisering Niels Lauritzen - niels@imf.au.dk
De gamle grækere fandt til deres rædsel ud af at √
2 er et gruvækkende tal uden en fremstilling som et forhold mellem to hele tal (en brøk). Sandheden er at √
2 faktisk er en brøk i en lettere generaliseret forstand. Se nemlig på identiteten
√
2 = 1 +√ 2−1
God matematik består oftest af at skrive nemme ting op og holde hovedet koldt, når andre folk griner. Det er hvad vi lige har gjort. Næste trin er omskrivningen
√2 = 1 + 1
√ 1 2−1 Tricket er nu, at 1 = (√
2 + 1)(√
2−1), så at
√2 = 1 + 1
(√
2 + 1)(√ 2−1)
√2−1
= 1 + 1
√2 + 1
Læg mærke til at vi nu har et udtryk, som bider sig selv i halen — √
2 er udtrykt ved sig selv. Hvis vi sætter udtrykket ind i sig selv fås:
√
2 = 1 + 1
(1 + 1
√2 + 1) + 1
= 1 + 1
(2 + 1
√2 + 1) Vi gentager spøgen:
√
2 = 1 + 1
2 + 1
(1 + 1
√2 + 1) + 1
= 1 + 1
2 + 1
2 + 1
√2 + 1 Det er uhyggeligt fristende at skrive
√
2 = 1 + 1
2 + 1
2 + 1
2 + 1 2 + 1
. . . og det giver faktisk mening i og med at man får en talfølge
1, 1 + 1
2, 1 + 1 2 + 1
2
, 1 + 1 2 + 1
2 + 1 2
, 1 + 1
2 + 1
2 + 1 2 + 1
2 , . . .
som udregnes til
1, 3 2, 7
5, 17 12, 41
29, . . . Følgen konvergerer mod √
2. Ved at eksperimentere med kædebrøksudviklinger for
√Dfinder man en righoldig og smuk teori, som leder frem til en algoritme til løsning af den diofantiske ligning
x2−Dy2 = 1.
Et berømt problem som munder ud i ligningen
x2 −410286423278424y2 = 1
er “Archimedes hævn” — et problem, hvis løsning er et tal på 40 A4-sider. Tallet kan i al ærefrygt besigtiges på
http://home.imf.au.dk.niels/archim.dat.
Bachelorprojektet går ud på at finde kædebrøksudviklinger for kvadratrødder og forbinde det til løsningen af “Archimedes hævn” samt algoritmer for primtalsfakto- risering (som i Knuth: “The Art of Computer Programming”, Volume II). Forudsæt- ninger er Matematik 10 og Algebra 1.
8. Compact operators Jakob Schach Møller – jacob@imf.au.dk
A Banach space B is a normed complex (or real) vector space, which is complete in the topology generated by its norm k · kB. An important class of Banach spaces are the socalledHilbert spaces, which are Banach spaces with norm given by an inner product kfkB = hf, fi12. A continuous linear operator from a Banach space B1 to another Banach space B2 is a map T :B1 → B2 satisfying the two properties
Linearity: ∀x, y ∈ B: T(x+y) =T(x) +T(y)
∀x∈ B, λ∈C: T(λx) =λT(x) Continuity/boundedness: ∀x∈ B1 : kT(x)kB2 ≤CkxkB1,
for some real constant C. Finally, a compact operator K : B1 → B2 is a conti- nuous/bounded operator with the additional property that
{Kx:x∈ B1 and kxkB1 ≤1}is a compact subset of B2. Here are some examples
(1) B2 =Cn. Here all continuous operators are trivially compact. The casen = 1 consists of the continuous linear functionals on B1. The case B1 =Cm gives allm×n matrices.
(2) Sequence spaces `p(Z), 1 ≤p ≤ ∞. Examples of operators on (or between) sequence spaces are. Multiplication operators T(f)n := tnfn, with tn a bo- unded sequence. Iftn 6= 0 for finitely manyn, then clearlyT is compact, but there are other choices as well. Convolution operators (T f)n= P
k∈Ztn,kfk, with tn,k a sequence in`∞(Z2). Again suitable choices fortn,k yield compact operators.
(3) Function spaces Lp([0,1]), 1 ≤ q ≤ ∞. Examples of operators are: Mul- tiplication operators (T f)(x) = t(x)f(x), with t 6= 0 a bounded measu- rable function, are bounded linear operators on each Lp([0,1]), but they are not compact. Convolution operators (T f)(x) = R1
0 K(x, y)f(y)dy, where K ∈L2([0,1]2). This turns out to be a compact operator on L2([0,1]).
Compact operators are in many respect similar to matrices. Their spectrum (i.e.
λ ∈Cfor whichK−λdoes not have a continuous inverse) is a discrete set and apart from possibly 0all eigenvalues have finite multiplicity. As a comparison, multiplica- tion by x in L2([0,1]) is a continuous map and it has spectrum [0,1]. Discreteness of the spectrum makes it possible to extend some notions from linear algebra to compact operators. For example, the notion of trace can be extended to a subclass of the compact operators, the trace-class operators.
There are several directions one could take in a bachelor project. Some deal with general abstract properties of compact operators, some with special classes of ope- rators. Here are some suggestions:
• The general theory of compact operators, both on Banach and Hilbert spaces, with a view towards a particular result, e.g. Fredholm theory or the spectral theorem for compact operators.
• Convolution operators, as presented in (2) and (3) above. Possibly in con- nection with a study of operators with the property P
k|λk|p < ∞, where 1 ≤ p < ∞, and λk are the eigenvalues of K. For p = 1 one gets the trace class operators, and for p= 2, the Hilbert-Schmidt operators.
• Letµbe a finite positive Borel measure on a compact Haussdorf spaceX. It is easy to check that`(f) := R
Xf dµis a continuous positive linear functional on the Banach space C(X), as in (1) above. A positive functional satisfies
`(f) ≥ 0 if f ≥0. Are there other continuous positive linear functionals on C(X)? This could also be the subject of a project.
Possible literature:
M. Reed and B. SimonMethods of modern mathematical physics Volume I: Functio- nal analysis Revised and enlarged ed., Academic Press, 1980.
H. L. Royden Real analysis 3rd ed., Macmillan Publishing Co., 1988.
W. RudinFunctional analysis2nd ed., International series in pure and applied mat- hematics. McGraw-Hill, 1991.
J. Weidmann Linear operators in Hilbert spaces Graduate texts in mathematics, Springer Verlag, 1980.
Prerequisites:Analyse 1 (F99 or later). For Fredholm theory in addition:Kompleks funktionsteori.
9. Heltalsmatricer
Holger Andreas Nielsen - holger@imf.au.dk
Matrixregning og lineær algebra er grundlægende værktøjer i mange sammenhæn- ge. En vigtig anvendelse er til en beskrivelse af de Abelske grupper der fremkommer i forbindelse med homomorfier mellem frie Abelske grupper.
Der ønskes:
• En gennemgang af matrixregning over en vilkårlig kommutativ ring, herunder behandling af determinanten og regneregler for denne.
• Et bevis for sætningen om strukturen af en endelig frembragt Abelsk gruppe.
• En beskrivelse af nulrum og billedrum for en heltalsmatrix, herunder en præ- sentation af en endelig frembragt Abelsk gruppe ved en matrix.
• En redegørelse om rækkeækvivalens/søjleækvivalens af heltalsmatricer, re- duceret matrix og særlige forhold ved Gauss elimination.
• En formulering af Smith normalform for en heltalsmatrix, herunder aspekter af beregning af baser for nulrum og billedrum.
Det er muligt, at komme ind på algoritmiske aspekter og/eller gennemføre bereg- ninger for mindre matricer.
Forudsætningerne er lineær algebra fra 1. studieår (Matematik 10) og algebra fra 2. studieår (Algebra 1).
10. Bieberbach’s conjecture and de Branges’ theorem Andrew du Plessis - matadp@imf.au.dk
The crowning achievement of the courseComplex Function Theoryis the proof of Riemann’s mapping theorem:
Let D be any simply-connected domain in C other than C itself. Then there exists a one-to-one holomorphic map f from the unit disc B1(0) ontoD. Moreover, f may be chosen such thatf(0) is any point ofD, and such that the argument off0(0) (which is the angle through which directions at the origin are rotated) can also be chosen arbitrarily; however, such data determines f completely.
This powerful result often allows mathematicians, both pure and applied, to reduce problems involving plane domains to the special case of the disc. In order to do so, however, more information about the univalent (that is, one-to-one and holomorphic) mappings of the unit disc is essential. It is convenient to consider
S ={f :B1(0)→C|f is univalent, f(0) = 0, f0(0) = 1}.
By Riemann’s theorem, every simply-connected domain containing 0 is uniquely given as the image of a function inS; the key question is, which function corresponds to which domain? An important example of a function inS is Koebe’s function
K0(z) = z/(1−z)2,
which maps B1(0) ontoC\ {t∈R| − ∞< t <−1/4}; its rotations Kθ(z) =z/(1−eiθz)2
are also called Koebe functions. It turns out that the Koebe functions are the “smal- lest” functions in S, in the sense that for all f ∈ S, f(B1(0)) ⊃ B1/4(0), whilst if f(B1(0)) contains no larger disc than B1/4(0), then f is a Koebe function. Koebe functions turn out to be extremal in many other situations too.
Functions f defined onB1(0) can be identified with their power series expansions about 0; if f(0) = 0 and f0(0) = 1then we have
f(z) = z+
∞
X
n=2
anzn.
For example,K0(z) = z+P∞
n=2nzn. An intriguing question, relating geometry and analysis in a very subtle way, is to ask what conditions on the coefficients an are required for f to be univalent. Bieberbach asked himself this question in 1916. He proved that if f ∈ S, then |a2| ≤ 2, with equality only for the Koebe functions;
and, inspired by this and the other extremality properties of the Koebe functions, conjectured:
|an| ≤n for alln = 1,2, . . .;
indeed, he also conjectured that if equality holds for any n, then f is a Koebe function.
This proved to be a most delicate question, and repeated attacks by many of the great names of analysis failed to resolve it for almost seventy years. To give a hint to the delicacy - which indeed led many to doubt that the conjecture was correct -
we consider some related functions. Given f ∈S, define f1(z) =p
f(z2) =
∞
X
i−1
b2i−1z2i−1,
where b1 = 1. This is an odd function in S, and indeed every odd function in S can be represented in this way. It is easy to see that
an =
n
X
i=1
b2i−1b2(n+1−i)−1.
For the Koebe function K0 we find b2n−1 = 1 for all n = 1,2, . . .. It is natural to conjecture, as Littlewood and Paley did in 1932, that for f ∈S, |b2n−1| ≤1 for all n = 1,2, . . ., which would imply the Bieberbach conjecture. However, this conjecture is false. A weaker conjecture, due to Robertson (1936), is that
n
X
k=1
|b2k−1|2 ≤n for all n= 1,2, . . . .
By the Cauchy-Schwarz inequality, this still implies the Bieberbach conjecture. Ano- ther transformation often used considers, for f ∈S,
f2(z) = log(f(z)/z) =
∞
X
i=1
ckzk.
For the Koebe function we find ck = 2/k for all k = 1,2, . . .. Again one might conjecture that, forf ∈S,|ck| ≤2/kfor all k = 1,2, . . .; this turns out to be correct if f(B1(0)) is starlike (Nevanlinna, 1920), for example, but it is false in general. In 1971 Lebedev and Milin replaced this with a much subtler conjecture:
n−1
X
k=1
(k|ck|2−4/k)(n−k)≤0 for alln = 1,2, . . .; this turns out to imply the Robertson conjecture.
It is this conjecture that de Branges proved in 1984, and with it the Bieberbach conjecture; a little later he also dealt with the case of equality. To give a hint as to the kind of arguments involved, we describe a construction, due to Loewner, which plays an important role. The construction provides, for f ∈ S, a one-parameter family of functions ft(z), 0≤ t < ∞, such that f0 = f, ft0(0) is strictly increasing, fs(B1(0))⊂ ft(B1(0)) for s ≤t, and S
0≤t<∞ft(B1(0)) = C; indeed it is possible to choose the parameter so that
ft(z) = et(z+a2(t)z2+· · ·).
As Loewner proved, the ft are solutions of a partial differential equation, now called the Loewner equation. Now consider the transformation
log(ft(z)/(etz)) =X
k=1
γk(t)zk;
one of de Branges’ key ideas is to use the Loewner equation to find ordinary dif- ferential equations satisfied by the γk, and hence to obtain information about the coefficients ck = γk(0) associated to f ∈ S. Deep insight is required to see that
this leads to anything at all; de Branges’ arguments are very ingenious, combining analysis and geometry in a most beautiful way.
11. Satellitnavigation
Hans Anton Salomonsen - mathas@imf.au.dk
Der er tre spørgsmål, som naturligt kan studeres under denne overskrift.
• Hvordan kan man ved hjælp af signaler fra satellitter finde sin position?
• Hvilken model af Jorden benytter man ved positionsangivelsen?
• Hvordan omsætter man positionen i geografiske koordinater til en position på et fladt kort?
GPS systemer finder mange praktiske anvendelser til bestemmelse af positioner.
Det kan være på fly, skibe eller i biler. Vi kan se på indholdet af de signaler, der udsendes fra satellitterne, og hvordan man herfra kan udregne positionen i det 3- dimensionale rum. Herunder hører at studere de koordinatsystemer, som kommer i spil. Det involverer også nogle begreber og resultater fra astronomien.
Normalt vil man foretrække at kunne angive positionen ved et sæt geografiske koordinater (længde og bredde) og evt. en højde over jordoverfladen eller over havet.
Det forudsætter en model af Jorden. Den simpleste model er en kugle, som kan være udmærket til en række kvalitative overvejelser. Den er imidlertid ikke præcis nok til praktisk brug.
Geoiden er en model, som er defineret som en flade, hvor tyngdefeltet har en konstant størrelse. Den ligger meget tæt på havets middelniveau. Det er en god model, men den er svær at regne på. Den kan imidlertid approksimeres godt med en omdrejningsellipsoide over store områder. Man kan dog ikke benytte den sam- me ellipsoide overalt. Der findes derfor en række specifikationer af ellipsoider, som benyttes forskellige steder på Jorden.
Når et område på en ellipsoide skal kortlægges støder man på et i princippet uløseligt problem, idet man ønsker, at et kort har et fast målestoksforhold og bevarer vinkler. I praksis må man derfor begrænse kravene. Som oftest vælger man at forlange vinkelbevarelse og acceptere, at målestoksforholdet varierer. Det er f.eks. tilfældet for en klassisk projektion som Mercator projektionen. Den er særligt velegnet omkring ækvator. Nær polerne er en stereografisk projektion velegnet. De er sammen med en række andre projektioner i praktisk brug. De har den fordel, at områder, som ikke er alt for store, ser rigtige ud.
Man kan også lave kort med et fast arealforhold, som i specielle situationer kan være nyttige, men de ser lidt mærkelige ud.
Studiet af disse problemer involverer emner fra lineær algebra, kompleks funk- tionsteori og differentialligninger foruden et studium af astronomisk, geofysisk og teknisk litteratur.
12. Wavelets
Erik Skibsted - skibsted@imf.au.dk
Ved en (diskret) ortonormal wavelet på den reelle akse forstås en funktion ψ ∈ L2(R)med den egenskab, at
n
ψj,k(x) = 2j2ψ(2jx−k)|j, k ∈Zo udgør en ortonormal basis for L2(R).
Et klassisk eksempel på en ortonormal basis af denne type er givet ved Haar waveletten
ψ(x) = 1(0,12)(x)−1(12,1)(x).
Af grunde, som ikke her skal uddybes, har wavelets (herunder wavelets i flere dimensioner) vist sig at være meget anvendelige i praktiske discipliner som signala- nalyse og billedbehandling. De har derfor tiltrukket stor opmærksomhed siden den grundlæggende matematiske teori blev udviklet i slutningen af 1980’erne.
Denne grundlæggende teori har følgende tre elementer: 1) Karakterisation, 2) Konstruktion og 3) Samspil mellem de kvalitative begreber glathed og lokalisation.
Ad 1): Hvilke funktioner ψ ∈ L2(R) er wavelets? Dette spørgsmål kan besvares v.h.a. Fouriertransformationen, idet der eksisterer to karakteriserende identiteter for den Fouriertransformerede
ψ(ξ) =ˆ Z
eiξxψ(x)dx, ξ ∈R.
Ad 2): Hvordan laver man wavelets? Den mest benyttede konstruktion går over den såkaldte multiskaleringsanalyse defineret ved en “father wavelet"φ(x). Den Fou- riertransformerede af denne funktion kan konstrueres efter følgende kogebog: Ladm være en vilkårlig kontinuert differentiabel 2π-periodisk funktion på den reelle akse, så
|m(ξ)|2+|m(ξ+π)|2 = 1, ξ ∈R, m(0) = 1,
m(ξ)6= 0 forξ ∈h
−π 3,π
3 i
.
Vi kan med disse betingelser og matematisk argumentation udråbe udtrykket φ(ξ) =ˆ
∞
Y
j=1
m(2−jξ)
til at være den Fouriertransformerede af en funktion φ ∈ L2(R), til hvilken vi kan knytte en wavelet ψ.
Ad 3): Hvis funktionen m ovenfor er et trigonometrisk polynomium giver proce- duren en wavelet ψ med kompakt støtte. (Eksemplet Haar waveletten fremkommer ved at bruge polynomiet m(ξ) = 2−1(1 +eiξ).) Det viser sig, at det er muligt på denne måde at konstruere ψ med kompakt støtte og med et vilkårligt specificeret
(endeligt) antal af kontinuerte afledede. Hertil kræves et polynomium af tilstrække- lig høj grad. Prisen for megen glathed er dårlig lokalisation, d.v.s. wavelets med stor støtte. Som en matematisk kendsgerning anføres, at der ikke findes uendeligt ofte differentiable wavelets med kompakt støtte.
Som bachelorprojekt vedrørende wavelets foreslås en udredning af Punkterne 2) og 3) ovenfor, herunder udregning af konkrete eksempler. Som det fremgår vil dette nødvendigvis involvere lidt om Fouriertransformationen. Forudsætningerne er Mat 11 og Analyse 1.
13. Harmoniske funktioner Henrik Stetkær - stetkaer@imf.au.dk
En reel funktion u, defineret i en åben delmængde af den komplekse plan C = R2, siges at være harmonisk, hvis de partielle afledede af 2. orden eksisterer, er kontinuerte og opfylder ligningen ∂2u/∂x2 +∂2u/∂y2 = 0 i ethvert punkt af den pågældende åbne mængde. De harmoniske funktioner spiller en afgørende rolle i flere områder inden for såvel ren som anvendt matematik, hvor de ofte beskriver stationære tilstande.
Det kan vises, at såvel real- som imaginærdelen af en analytisk funktion er har- monisk. I en åben cirkelskive er det omvendte også sandt: Enhvert harmonisk funk- tion er realdelen af en eller anden analytisk funktion.
Bachelorprojektet går ud på at udnytte kendskabet til analytiske funktioner fra kurset Kompleks Funktionsteori til at studere egenskaber ved harmoniske funktioner.
F.eks. at vise, at en harmonisk funktion er uendelig ofte differentiabel, at den har middelværdiegenskaben, at en version af Liouvilles sætning findes, at der gælder et maksimumsprincip m.v.
En væsentlig del af projektet vil bestå af et studium af artikel [A], der udleder The Logarithmic Conjugation Theorem. Det er en generalisering af den kendsgerning, som blev nævnt ovenfor, nemlig at enhver harmonisk funktion i en cirkelskive er realdelen af en eller anden analytisk funktion. Konsekvenser er bl.a. sætningen om den hævelige singularitet for harmoniske funktioner.
Herefter kan man gå over til at studere og løse det såkaldte Dirichlet-problem for en cirkelskive. Det går ud på at finde en funktion, der er harmonisk i det in- dre af cirkelskiven, og som på randcirklen tager foreskrevne værdier. Et forslag til fremgangsmåde er at udlede Poissons integralformel for løsningen ud fra Cauchys integralformel for analytiske funktioner, og derefter at se nøjere på det geometriske indhold af Poissons integralformel som beskrevet i artiklen [N].
Hvis tiden tillader det, men det gør den nok ikke, så kan det videre forløb f.eks.
bestå i at udvide nogle af ovenstående resultater for harmoniske funktioner i R2 til harmoniske funktioner i Rn, dvs til funktioner u : Rn → R, der opfylder, at
∂2u/∂x21+∂2u/∂x22+· · ·+∂2u/∂x2n = 0. Her må man gribe til andre hjælpemidler end kompleks funktionsteori. Se f.eks. monografien [B].
Forudsætninger: Matematik 10, Matematik 11 og Kompleks Funktionsteori.
Litteraturhenvisninger
[A] Axler, Sheldon,Harmonic functions from a complex analysis viewpoint. Amer.
Math. Monthly 93 (1986), 246-258.
[B] Axler, S., Bourdon, P. and Ramey, W.: “Harmonic function theory”. Graduate Texts in Mathematics no. 137. Springer-Verlag, New York 1992.
[N] Needham, T.,The Geometry of Harmonic Functions. Math. Mag.67(1994), 92-108.
14. Bezouts sætning og gruppestrukturen på en elliptisk kurve Jesper Funch Thomsen - funch@imf.au.dk
Det er velkendt, at 2 rette linier i planet R2 kan skære hinanden på 3 forskelli- ge måder; linierne kan være sammenfaldende, parallelle (og ikke sammenfaldende) eller have netop 1 punkt til fælles. Udvider man den sædvanlige plan R2, kan man imidlertid opnå et rum, hvori 2 linier ikke kan være parallelle med mindre, at de er sammenfaldende. Dette rum kaldes den projektive plan og betegnesP2. Man kan beskrive P2 som mængden (R3\ {0})/∼, hvor ∼ er en ækvivalensrelation defineret ved
(a1, a2, a3)∼(b1, b2, b3)⇔ ∃c∈R\ {0}:c(a1, a2, a3) = (b1, b2, b3).
Via denne beskrivelse kan man identificere planet (som her betegnes A2) med en delmængde af P2 via den injektive afbildning
ι:A2 →P2 ι(x, y) = (x, y,1).
Komplementet til A2 i P2 kaldes linien i uendelig. Man kan løst sagt sige, at hvis 2 linier i A2 er parallelle, så vil linierne skære hinanden i uendelig. Med andre ord gælder der, at 2 ikke sammenfaldende rette linier i P2 skærer hinanden i netop 1 punkt. Ud fra definitionen af P2 er dette i sig selv ikke overraskende. Hvad der er mere overraskende er at ovenstående generaliserer til kurver, som ikke nødvendigvis er rette linier. Dette er, hvad Bezouts sætning udtaler sig om. Mere præcist; givet 2 ikke sammenfaldende kurver i P2 af grad henholdsvis nogm, så skærer disse kurver hinanden i præcist nm punkter. Ved en kurve forstås her nulpunktsmængden for et homogent polynomiumP(X, Y, Z), mens der med graden af kurven menes graden af polynomietP(X, Y, Z). Rette linier i planet er som bekendt givet ved førstegradspo- lynomier af formen aX+bY +c, a, b, c ∈ R. I den projektive plan svarer en sådan ret linie til nulpunktmængden for polynomiet aX +bY +cZ, og har dermed grad 1. Bezouts sætning giver os altså specielt, at 2 rette (ikke sammenfaldende) linier skærer hinanden i 1·1 = 1 punkt. På dette punkt snyder vi dog en smule i argu- mentationen, idet Bezouts sætning ikke er rigtig, når vi arbejder over de reelle tal. I stedet bør man arbejde over de komplekse tal C eller et vilkårligt andet algebraisk lukket legeme; dvs et legeme, hvori ethvert polynomium i en variabel har en rod. En anden vigtig bemærkning er, at de omtalte mn punkter ikke nødvendigvis er for- skellige, men at flere punkter kan være sammenfaldende. Man er derfor nødt til at tælle skæringspunkter med såkaldte multipliceter. Dette er kun toppen af et kæmpe isbjerg indenfor algebraisk geometri, som kaldes for snitteori.
Bezouts sætning er en meget anvendt sætning indenfor algebraisk geometri. I dette projekt vil man kunne se på dets anvendelse i forbindelse med elliptiske kurver. En elliptisk kurve C er en glat kurve af grad 3 i den projektive plan. Givet 2 punkter P og Q på C, så vil den rette linie gennem P og Q skære C i 3·1 = 3 punkter (ifølge Bezouts sætning); altså i et punkt R udoverP ogQ. Da Rpå denne måde er konstrueret udfra P ogQ, skriver vi R =P ∗Q. Kompositionen ∗ kan bruges til at konstruere en kommutativ gruppekompostion + på C : Start med at vælge et fast punkt O på C. Så defineres +ved P +Q= (P ∗Q)∗O.
At vise at (C,+, O) på denne måde bliver til en gruppe er ikke helt let. Associa- tiviteten af + volder problemer, og her er Bezouts sætning uundværlig.
Dette projekt vil, hvis tid og interesse tillader det, kunne fortsættes i flere retnin- ger, såsom i et nærmere studium af snitteori eller af elliptiske kurver. Forudsætninger for projektet er Algebra 1.
15. Fraktaler og billedkomprimering Klaus Thomsen - matkt@imf.au.dk
Der findes endnu ingen generelt accepteret definition af hvad en ’fraktal’ er. En af de mere kontroversielle definitioner er, at enhver lukket og begrænset delmængde af planet (altså af R2) er en fraktal. På den måde kan ethvert (sort/hvid) billede opfattes som en fraktal, nemlig som den mængde af R2 som det har været nød- vendigt at farve sort, for at få det pågældende billede. Denne opfattelse af fraktal begrebet er blevet advokeret af blandt andre M. Barnsley, som har udviklet metoder til at fremstille fraktaler (= billeder) ud fra affine transformationer af R2. En affin transformation L består af en lineær afbildning efterfulgt af en translation, og kan altså beskrives ved hjælp af en reel 2×2 matrix
a b c d
og en vektor (e, f)(translationsvektoren) i R2, via formlen R2 3 (x, y) 7→
a b c d
(x, y) + (e, f) = (ax+by+e, cx+dy+f) . Hvis man har nogle stykker (f.eks. 4) af sådanne transformationer, lad os sige L1, L2, . . . , L4, som er valgt sådan at indgangene i de tilhørende matricer ikke er for store, så kan man bruge dem til at producere en fraktal på følgende måde : Man starter med en vilkårlig (ikke-tom) lukket og begrænset delmængdeK afR2, danner billedmængderne L1(K), L2(K), L3(K), L4(K) og danner deres foreningsmĄængde
L(K) = L1(K)∪L2(K)∪L3(K)∪L4(K) .
Dette er så en ny fraktal i R2, og man gentager proceduren med L(K) i stedet for K. Derved fremkommer en ny fraktal,
L1(L(K))∪L2(L(K))∪L3(L(K))∪L4(L(K)) ,
som det er naturligt at kalde L2(K). Dette er også en fraktal, processen gentages og producerer L3(K) = L(L(L(K))). Fortsætter man i det uendelige fremkommer på denne måde en hel række fraktaler :
K, L(K), L2(K), L3(K), L4(K), . . . . Det kan f.eks. være følgende fraktaler :
I alle tilfælde vil denne proces hurtigt stabilisere sådan atLn+1 ikke er til at skelne fra Ln(K). På denne måde giver de affine transformationer anledning til en fraktal eller et billede som man passende kan betegne
L∞(K) .
Nu viser det sig - måske lidt overraskende - at det billede vi ender med (altså L∞(K)) ikke afhænger af K, men kun af de affine transformationer der er blevet brugt. Med andre ord er al information om billedet L∞(K) komprimeret i de affine transformationer. Metoden giver altså en måde at opbevare informationen i et billede v.h.a. affine transformationer. F.eks. er billedet af bregnen, som ovenstående lille tegnefilm slutter med, frembragt af 4 affine transformationer, og al information om hvordan bregnen ser ud, er altså kodet ind i de 24 tal der skal til for at fastlægge de 4 transformationer.
Bachelorprojektet går ud på at introducere den fornødne matematik til at forklare hvorledes metoden virker, og udvikle variationer af metoden, der i praksis (f.eks. på en hjemmekomputer) virker bedre. De centrale matematiske begreber er : metrisk rum, kontraktioner og ’iterated function systems’. Omfanget og dybden af projektet kan naturligvis varieres, afhængig af ambitioner og tidsressourcer.
16. Træer og frie grupper Jørgen Tornehave
En fri gruppe er en gruppeGmed en delmængdeS afGsåledes at ethvert element i G kan skrives entydigt på formen (et ord af længde n)
sε11sε22. . . sεnn
hvor sj ∈ S og εj ∈ {±1} for j = 1, . . . , n. Ordet af længde 0 giver det neutrale element. For eksempel er den additive gruppe Z af hele tal en fri gruppe. Som S kan bruges {1}. Der kan læses noget om emnet i §8 af Johan P. Hansens noter til Algebra 1, hvor det behandles fra en algebraisk synsvinkel.
Et centralt resultat i et bachelorprojekt kunne være følgende:
Sætning(Bass, 1976) En gruppeGer fri, hvis og kun hvis den har en fri virkning på et træ.
En del af projektet vil naturligvis være at forklare de sidste fem ord. Et træ er en speciel form for graf, dvs. der er en mængde V af hjørner (knuder) samt en mængde E af kanter, hvor hvert e ∈ E er en delmængde af V bestående af 2 forskellige hjørner v0, v1 kaldet endepunkterne fore. Grafen kan anskueliggøres ved at tegne en mængde punkter i planen svarende til hjørner, og forbinde hvert par endepunkter v0, v1 for en kant med en kontinuert kurve.
Grafen er enskov når den ikke indeholder nogen cyklerv0, . . . , vr−1, v0,dvs. et sæt afr≥3forskellige hjørnerv0, . . . , vr−1med kanter mellemvj−1 ogvj forj = 1, . . . , r, hvor vi har sat vr =v0. Et træ er en sammenhængende skov.
En virkning afGpå en graf består i at have virkninger påV ogE, der respekterer endepunkterne mellemE ogV. Den er fri, når intetg ∈Gforskelligt fra det neutrale element har et fixpunkt i V eller i E.
For eksempel kan grafen med V =Z og E ={(n, n+ 1)|n ∈Z}tegnes sådan 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
Dette er et træ og gruppen Z virker frit på dette træ ved “translation".
En umiddelbar konsekvens af sætningen er at enhver undergruppe af en fri gruppe også er fri. Dette blev oprindeligt vist i 1920’erne af O. Schreier og J. Nielsen. Flere andre af deres resultater kan vises ved hjælp af træer.
I gruppen SL2(Z) forekommer der undergrupper af endeligt index, som er frie.
Bevis: Konstruer et træ . . .
17. Quadratic reciprocity Alexei Venkov - venkov@imf.au.dk
One of the parameters showing the importance of a mathematical law or formula is the number of its separate known proofs. If this number is large then very likely you are in the main stream of a certain area.
The law of quadratic reciprocity is a good example of such formula. In the simplest case it is formuated as follows. Let p be an odd prime, and an integer which is not divided by p. If there exists an a integer x such that
x2 ≡a (mod p)
(that means x2−a is divided by p) then a is called a quadratic residue mod p (notation aRp). If these exists no such x, then a is called a quadratic non-residue mod p (aN p). The Legendre symbol mp
is defined as follows:
m p
=
+1 if mRp
−1 if mN p 0 if p divides m The law of quadratic reciprocity is given by the formula
(∗) p
q q
p
= (−1)12(p−1)·12(q−1)
where p,q are two distinct odd primes. The law was formulated by Euler and Legendre. Gauss was the first to provide a complete proof (1796). He was proud of this result, called it “the golden theorem”. In fact Gauss has found eight separate proofs of (∗). By 1921 there were 56 known proofs. New proofs continue to appear in recent times also.
To the end of this description I would like to mention one method of proving (∗) by analytical methods and to some extent by using the ideas of hyperbolic geometry. In the proof the Poission summation formula, Gauss sums and theta-series are involved.
Litterature:
• K. Ireland and M˙Rosen, A classical introduction to modern number theory, Springer 1984.
• E. Hecke, Lectures on the theory of algebraic numbers, Springer, 1981.
18. Forslag til bachelorprojekter i analyse Bent Ørsted - orsted@imf.au.dk
Der er mange muligheder for at skrive bachelorprojekt i emner relateret til analy- se; overordnet set kan det basere sig på målteori, klassisk analyse (som i matematisk analyse), kompleks analyse, Hilbertrumsteori, geometri, algebra, topologi og ope- ratorteori, men også med udgangspunkt for eksempel i matematisk fysik eller i en historisk sammenhæng. Her er en liste af konkrete forslag (der kan suppleres med litteraturhenvisninger mm.); de sidste på listen er mere avancerede og kan evt. også komme på tale som specialeprojekter:
(a) Fouriertransformationen i hyperbolsk geometri (b) Bernhard Riemanns arbejder
(c) Brouwer’s fixpunktssætning
(d) Brintatomets matematiske beskrivelse (e) Radon transformationen
(f) Krystallografiske grupper
(g) Matematiske emner i Newtons Principia (h) Stone von Neumanns Sætning
(i) Hilbertrumsformuleringen af kvantemekanikken (j) Symmetrigruppen forC60, Fullerene
(k) Segal-Bargmann transformationen (l) Riemanns afbildningssætning
(m) Fouriertransformationen for topologiske grupper (n) Den harmoniske oscillator
(o) Matematisk konstruktion af fraktaler (p) Målteori og analyse på fraktaler
(q) Spektralteori for ubegrænsede operatorer (r) Kurver og deres analyse i græsk geometri (s) Variationsregning og Lagrange mekanik (t) Repræsentationer af kompakte Lie grupper (u) Anvendelser af symmetrier i kvantemekanik (v) Haar målet på en lokalkompakt gruppe (w) Huygens princip og bølgeligningen
(x) Sobolev rum og elliptiske operatorer
(y) Selvadjungerede udvidelser af Schrödinger - og Dirac-operatorer (z) Determinanter af Laplace-operatorer på Riemann-flader
19. Thomas–Fermi teori Søren Fournais - fournais@imf.au.dk
Det er meget kompliceret at lave præcise kvantemekaniske beregninger på store atomer (eller molekyler). Derfor har man allerede siden kvantemekanikkens begyn- delse i 1930’erne forsøgt at introducere simplere modeller, der giver en god beskrivel- se atomernes opførsel. En klasse af disse er de såkaldte “tæthedsfunktionaler” (som for øvrigt gav en Nobelpris in 1998). Det simpleste, men også det mest velfunde- rede sådanne tæthedsfunktional er Thomas–Fermi funktionalet. Dette funktional er meget vigtigt i moderne matematisk fysik.
Funktionalet kan skrives som E(ρ) = 3
5 Z
R3
ρ(x)5/3dx− Z
R3
Z
|x|ρ(x)dx+D(ρ, ρ)q, (1)
hvorρ≥0er elektrontætheden i atomet, og skal opfylde ρ∈L5/3(R3)∩L1(R3), dvs Z
R3
ρ(x)dx <+∞, og
Z
R3
ρ(x)5/3dx <+∞.
Det sidste led i (1) er givet ved D(ρ, ρ) = 1
2 Z
R3
Z
R3
ρ(x)ρ(y)
|x−y| dxdy . (2)
Parameteren Z >0 i funktionalet E angiver atomkernens ladning.
Bachelorprojektet går ud på at give en matematisk analyse af Thomas–Fermi funk- tionalet. Dvs. blandt andet analysere følgende spørgsmål: Er funktionalet begrænset nedadtil (på en passende mængde) og har funktionalet i givet fald et minimum? Er dette minimum i så fald entydigt?
Analysen af disse spørgsmål vil føre os godt rundt omkring i integrationsteorien.
Mulig litteratur:
E. H. Lieb og M. Loss:Analysis AMS 1997.
E. H. Lieb and B. Simon: Thomas–Fermi theory of atoms, molecules and solids, Adv.
in Math 23 (1977), pp. 22–116.
Forudsætninger: Målteori og Reel Analyse.
