Kopi af:
Birgitte Henriksen (f. 1961-02-16) : Matematikundervisning og tosprogethed
Dette materiale er lagret i henhold til aftale mellem DBC og udgiveren.
www.dbc.dk
e-mail: dbc@dbc.dk
Birgitte Henriksen
Matematikundervisning
og tosprogethed
Tryk: Bording A/S
© Forlaget Navimat og forfatterne, København 2010 1. udgave 1. oplag Lagerføring, distribution og salg:
Professionshøjskolen UCC, Titangade 11, 2200 København N Tlf: +45 4189 7000
Printed in Denmark 2010 ISBN: 978-87-92397-03-4
Forord
Dette hæfte er blevet til på baggrund af mit arbejde med en række projekter og mit afsluttende speciale i forbindelse med kandidateksamen i didaktik med særlig henblik på matematik ved Danmarks Pædagogiske Universitetsskole – Aarhus Uni- versitet (DPU). Specialet blev afsluttet i november 2009 og havde titlen ”Formativ evaluering og tosprogethed i matematikundervisningen – modsætninger og mulige sammentænkninger med henblik på den danske folkeskole”.
En stor tak til min specialevejleder Lena Lindenskov for meget engageret og kom- petent vejledning og for at have blik for det potentiale, der lå i min uddannelses- mæssige baggrund som studerende ved et matematikdidaktisk studie og en kandi- datuddannelse i et sprogfag, cand. pæd. i tysk.
I forbindelse med min ansættelse i Nationalt Videncenter for Matematikdidaktik har centerleder Mette Andresen gjort det praktisk muligt, at dette hæfte blev ud- givet. Jeg håber, at hæftet kan være til inspiration for undervisere i matematik på forskellige niveauer i uddannelsessystemet.
Indhold
Forord ...3
Indledning ...5
Terminologi ...6
Lærerens holdninger ...7
Den andetsproglige dimension i matematikundervisningen ...9
Integration af fag og sprog...9
Problemfelter i praksis ...14
Matematikundervisningens sproglige udfordringer ...16
Matematikundervisningens andetsproglige register ...19
At trække på elevernes sproglige og kulturelle ressourcer ...26
Sproglige situationer – intersprog og kodeskift ...26
Modersmålets plads i matematikundervisningen – hvorfor og hvordan? ...29
Skole-hjem samarbejde ...34
Evaluering og tosprogede elever ...37
Sproget som problematisk faktor ...37
Formativ evaluering ...38
Konsekvenser for matematikundervisningen ...48
Litteraturliste ...49
Indledning
I den danske grundskole er der en mangfoldighed af elever, der taler forskellige sprog og oprinder fra mange forskellige kulturelle områder. I skoleåret 2007/2008 var i alt 178 oprindelseslande repræsenteret i den danske grundskole, og godt 10
% af eleverne havde anden etnisk herkomst end dansk (http://www.uvm.dk/~/me- dia/Files/Stat/Folkeskolen/PDF09/090128_anden%20etnisk%20herkomst.ashx d. 15.10.10). Disse elever, som jeg vælger at kalde tosprogede elever, ser dog ud til, som gruppe betragtet, at klare sig ringere i skolen end elever af etnisk dansk herkomst. I OECD- rapporten om grundskolen i Danmark fra 2004 peges på en række problemer vedrørende udbyttet af skolegangen for tosprogede elever, bl.a.
signifikant dårligere skoleresultater end hos elever af etnisk dansk herkomst i hen- hold til PISA 2000 og overrepræsentation af tosprogede elever på specialskoler og i specialundervisning (OECD-rapport 2004). Manglen på lighed i den danske grundskole blev ekspliciteret af forfatterne bag OECD-rapporten: ”Manglen på lighed bekymrer os også. Sammenlignet med uddannelsessystemerne i reference- landene ser det ikke ud til, at Danmark giver sine elever en lige chance for at opnå succes.” (ibid., p. 125). For faget matematik viser en række undersøgelser som PISA 2003, PISA-København og PISA etnisk sammenstemmende, at tosprogede elever har ringere testresultater end etnisk danske elever1. Socioøkonomisk baggrund har betydning for elevernes testscore i matematik, men er ikke den eneste faktor af betydning. Etnicitet og sprog er faktorer, der også påvirker testscoren. Med hensyn til sprog er forskellen i testscore voksende med voksende grad af ikke-dansk-tale i hjemmet, således at jo mindre dansk tale, der er i hjemmet, jo lavere testscore havde eleven (http://www.dpu.dk/everest/Publications//nyheder/2008/20081209141305/
currentversion/danske_4_klasseselever_i_timss.pdf , p. 43 d. 15.10.10).
Hvordan kan matematikundervisningen medvirke til at skabe større lighed mellem tosprogede elever og elever af etnisk dansk herkomst? Gennem væsentlige nedslag i teori om tosprogede elever og matematik gives der en samlet fremstilling af de om- råder, som er betydningsfulde at have kendskab til og viden om, når man som ma- tematiklærer, på forskellige niveauer, er underviser for tosprogede elever. Endvidere gives der i tilknytning til teorien praktiske eksempler. De særlige sproglige forhold i relation til matematikundervisning belyses indgående, da de har stor lærings- mæssig betydning. Men også andre faktorer har indflydelse på tosprogede elevers matematiklæring, og derfor behandles også lærerens holdninger, elevernes egne sproglige og kulturelle ressourcer, skole-hjem samarbejde og formativ evaluering.
1 PISA 2003: Forskellen mellem matematikscoren for hhv. indvandrere og efterkommere og danskere viste i gennemsnit 65 og 70 points eller lidt mere end ét præstationsniveau (PISA 2003, p. 209). PISA-København fra 2004 viste det gennems- nitlige resultat i matematik for henholdsvis etsprogede og tosprogede elever 508 og 413 (PISA København, p. 38). PISA- etnisk fra 2005 viste i det faglige område matematik, at de etsprogede elever havde et gennemsnitligt resultat på 491, mens de tosprogede elever i gennemsnit havde 406 (Egelund & Tranæs 2007, p. 55).
Terminologi
I en dansk uddannelsesmæssig sammenhæng er anvendelse af begrebet ”tospro- gede elever” i dag udbredt. Tidligere blev et andet begreb anvendt. Andetsprogs- teoretikerne Lars Holm og Helle Pia Laursen skriver, at elever med dansk som andetsprog tidligere officielt blev betegnet som ”fremmedsprogede”. Forfatterne anfører, at betegnelsen fremmedsprogede hviler på et dansk perspektiv, der fokuse- rer på, at eleverne har et fremmed sprog og dermed ikke mestrer det danske sprog.
Betegnelsen fremmedsprogede kan dermed medvirke til et mangelsyn på eleverne.
Men det nutidigt anvendte begreb ”tosprogede” er ikke entydigt, og blandt fagfolk er forståelse og anvendelse af begrebet ”tosprogede” omdiskuteret. Den forståelse, som er udbredt i dansk pædagogisk praksis, er ifølge andetsprogsteoretikerne Lars Holm og Helle Pia Laursen ikke en definition, der bygger på et kompetencekri- terium, hvor forventninger til den sproglige kompetence på andetsproget antager et vist niveau, men bygger på en funktionel forståelse af tosprogethed. Udgangspunk- tet for funktionel forståelse af tosprogethed er sprog i anvendelse, hvor det forud- sættes, at den tosprogede person anvender sin samlede sproglige kompetence på så- vel andetsprog som modersmål (Holm og Laursen 2000). Folkeskoleloven bygger på en funktionel forståelse af tosprogethed. Folkeskoleloven definerer tosprogede børn således: ”Ved tosprogede børn forstås børn, der har et andet modersmål end dansk, og som først ved kontakt med det omgivende samfund, eventuelt gennem skolens undervisning, lærer dansk” (Folkeskoleloven §4 a. stk. 2).
Det kan være vanskeligt at finde et passende begreb eller en passende betegnelse.
Tosprogede elever eller tosprogethed er et hyppigt anvendt begreb i den offentlige diskurs og herunder i den politiske debat og er derfor ikke et neutralt begreb. I ud- dannelsesforskning vælger nogle teoretikere at anvende andre begreber eller beteg- nelser. Eksempelvis anvender læringsforskerne Ole Skovsmose, Helle Alrø og Paola Valero betegnelsen ”det multikulturelle klasseværelse”. Ifølge UCC magasinet er der i Undervisnings- og Integrationsministeriet ved at blive taget et nyt udtryk i brug: medborgerskab (UCC magasin 2010). Jeg har dog valgt at anvende begrebet tosprogede elever, da det er udbredt i pædagogisk praksis og bl.a. anvendes i fol- keskoleloven.
Lærerens holdninger
Flere forskere advarer mod at have for lave forventninger til tosprogede elever.
Lave forventninger kunne bl.a. være begrundet i PISA-undersøgelserne og deres fremhævning af de kulturelle og socialøkonomiske forholds store betydning for elevernes præstationer. Dette har ført til, at røster i den skolepolitiske debat ofte forklarer forskelle i skolesucces med forskelle i elevernes socio-økonomiske og/
eller kulturelle baggrund. Men kulturelle og sproglige forskelle bør ikke antages som generelle indlæringsvanskeligheder, Andetsprogsforsker Holmen udtaler med udgangspunkt i en række nyere forskningsoversigter:”… at skolen og især kvali- teten af undervisningen er en væsentligere faktor.” (Holmen, 2007, p. 1). Kvalitet i undervisningen defineres såvel metodisk-didaktisk som organisatorisk, og de sær- lige sproglige forhold for tosprogede elever tillægges stor læringsmæssig betydning for deres udbytte af skolegangen (Holmen, 2007).
Et udviklingsprojekt blandt den oprindelige befolkning i New Zealand understøt- ter denne position. I New Zealand har man på uddannelsespolitisk plan samarbej- det med den oprindelige befolkning, maori folket, med henblik på at møde beho- vene hos maori elever, der traditionelt har præsteret på et lavere niveau end andre grupper af elever. Dette samarbejde har ført til udvikling af Maori Mainstream Programme. I programmet opfordres lærerne til at forstå deres egne kulturelle, forudfattede meninger og at skabe miljøer, hvor elever ikke føler sig fremmedgjorte i undervisningen, men kan være sig selv. Lærerne må udvikle forståelse af deres egne forudfattede meninger, mål og kulturelle præferencer og være i stand til at lytte til andre på en sådan måde, at deres tidligere erfaringer og formodninger ikke afskærer dem fra den fulde mening i elevernes beskrivelse af deres erfaringer. Det fremgår af de tilkendegivelser, som de involverede lærere har givet, at lærerhold- ninger i forhold til de tosprogede elever har en stor betydning for elevpræstationen (CERI 2005)2.
Et andet og vigtigt aspekt i relation til undervisning af tosprogede elever er at forveksle graden af andetsprogskompetence med intellektuelle evner, hvilket kan føre til en forfejlet undervisning. Den danske andetsprogsforsker Jørgen Gimbel redegør for undervisning af tosprogede elever i et historisk, dansk perspektiv. Om andetsprogsundervisningen tilbage i 80’erne siger han: ”For mig at se var det vig- tigste problem ved skolernes undervisning af tosprogede børn på det tidspunkt, at man underviste dem, som om der var tale om specialundervisning og ikke om sprogundervisning. Lærerne underviste på samme måde, som de ville undervise læsesvage elever. Vores opgave var at give læreren en viden, der kunne flytte ud- gangspunktet fra specialundervisning til sprogundervisning.” (http://www.ufe.dk/
jub2004_07.php d. 07.07.10).
OECD-rapporten fra 2004 viser, at problemstillingen stadig er aktuel. Rapporten
2 CERI er en forkortelse af Centre for Educational Research and Innovation, der er en afdeling under OECD.
peger generelt på utilstrækkelig støtte til tosprogede elever. Ekspertgruppen3, der står bag rapporten, udtalte på baggrund af de oplysninger, som de fik under deres besøg i Danmark: ”Vi har fået oplyst, at et højere end forventet antal tosprogede elever går på specialskoler eller modtager specialundervisning i folkeskolen. Dette var i hvert fald tilfældet i en kommune, vi besøgte …” (OECD-rapporten 2004, p.
124). På spørgsmål fra ekspertgruppen om, hvorfor der var sådan en forskel, blev der fra kommunens side peget på forskellige faktorer bl.a.: ”…en mulig kulturel skævhed i prøvematerialet; at der i visse menneskers opfattelse er en deficit model, der opfatter ikke-dansktalende børn som ”problemer”; utilstrækkelig supplerende undervisning i dansk som andetsprog; en ophobning af sprogproblemerne, der gør, at de bliver til indlæringsvanskeligheder” (ibid., p. 124).
Lærerens holdning til og faglige forventninger til tosprogede elever har altså vital betydning for elevernes faglige succes i skolen. Endvidere har lærerens og herunder matematiklærens viden om dansk som andetsprog betydning for tosprogede ele- vers udbytte af undervisningen.
3 Baggrundsrapporten er udarbejdet af Mats Ekholm, generaldirektør for det nationale agentur for skoleforbedring i Sverige (OECD-rapport 2004, p. 2) og ekspertrapporten er forfattet af et ekspertteam på 4 medlemmer: Peter Mortimore, profes- sor, forhenværende leder, Institute of Education, University of London, Maria David-Evans, viceminister for undervisning, Alberta, Canada, Reijo Laukkanen, dr., ledende rådgiver, Undervisningsministeriet, Finland og Jouni Valijarvi, professor, leder for Institut for pædagogisk forskning, Jyvaskyla-universitetet, Finland. Ekspertteamet besøgte Danmark i november måned 2003. Igennem 10 dage besøgte teamet skoler og institutioner og afholdt møder med forældre, elever, medarbej- dere fra skoler, skoleadministratorer, kommunalpolitikere og Danmarks Pædagogiske Universitet (OECD-rapport 2004, p.
61)
Den andetsproglige dimension i matematikundervisningen
Integration af fag og sprog
I en dansk grundskole er undervisningen organiseret således, at tosprogede ele- ver deltager i den almindelige undervisning sammen med etsprogede elever og har mulighed for supplerende at modtage undervisning i dansk som andetsprog. Den andetsprogspædagogiske udfordring blandt lærere er således ikke alene rettet mod specialister inden for dansk som andetsprog, men retter sig også mod generalister og herunder matematiklæreren. I undervisningsvejledningen for faget ”Dansk som andetsprog” fremgår det bl.a. at tilegnelsen af dansk som andetsprog foregår i alle fag: ”I klasser med tosprogede elever er det derfor nødvendigt, at alle lærere påtager sig ansvar for at tilrettelægge undervisningen, så der skabes gode betingel- ser for såvel fagligt som sprogligt udbytte” (Faghæfte 19, p. 63). Faghæftet giver således udtryk for, at fag og sprog skal sammentænkes ved, at tosprogede elever lærer sprog og fag gennem fagundervisningen, og at faglæreren således formelt er forpligtet til at medvirke til udvikling af andetsproglige kompetencer hos tospro- gede elever.
Begrebet dansk som andet sprog er et bredt begreb, der placerer sig i spændings- feltet mellem modersmål og fremmedsprog. Andetsprogsforskerne Lars Holm og Helle Pia Laursen beskriver begrebet således: ”Det beskriver et menneskeligt vilkår i en sproglig situation, der er særdeles sammensat, og derfor er det ikke i alle til- fælde et begreb, der kan afgrænses knivskarpt. Konkrete individuelle, sproglige og kulturelle forhold vil kunne spille ind og vanskeliggøre alt for firkantede definitio- ner.” (Holm og Laursen 2004).
Den andetsprogspædagogiske tilgang, som faghæftet ”Dansk som andetsprog”
bygger på, er en cirkulær tænkning. Denne tænkning står i modsætning til en li- neær tænkning, hvor man tidligere antog, at tosprogede elever gennem en for- beredende undervisning i andetsproget var sprogligt klædt på til at indgå på lige fod med etsprogede elever i de forskellige fag (Laursen 2004). Men forskning i andetsprogspædagogik viser, at det tager mindst 5 år at komme op på et niveau i andetsproget, der gør det muligt med udbytte at følge en fagundervisning (Cum- mins, 1984). Den lineære tænkning vil således resultere i, at tosprogede elever ikke får tilstrækkeligt udbytte af fagundervisningen. Den cirkulære tænkning sammen- tænker sproglig udvikling og faglig udvikling, hvilket betyder, at eleverne modtager fagundervisning, mens de lærer andetsproget. Men det er væsentligt for tosprogede elevers sproglige udbytte af fagundervisning, at den sproglige dimension i under- visningen ikke foregår ubevidst, men at der er eksplicit fokus på sprog, således at sproglæringen finder sted samtidig med matematiklæringen.
Input- og outputhypotesen, intersprog og kodeskift er fire vigtige andetsprogspæ- dagogiske begreber, som faglæreren og herunder matematiklæreren skal være vi- dende om og opmærksom på i en undervisning, der integrerer sprog og fag. De fire
begreber vil blive fremstillet i de følgende afsnit. Intersprog og kodeskift behandles i afsnittet ”At trække på elevernes sproglige og kulturelle ressourcer”. Nedenfor gives en fremstilling af input- og outputhypotesen.
Tidligere byggede teorier, der integrerer sprog og fag, på en inputhypotese, hvis udgangspunkt var, at mennesker grundlæggende lærer sprog ved at modtage for- ståeligt input. Den inputbaserede tilgang viste sig at give eleverne gode kompe- tencer til at lytte og læse og derved forstå det faglige stof, men elevernes tale- og skrivefærdigheder udviklede sig ikke i samme tempo. Teoretikere inden for andet- sprogsdidaktik begyndte at fokusere på elevernes sproglige output og formulerede tre funktioner, hvor output kan bidrage til at:
– erkende en udtryksevne og dermed sproglig opmærksomhed i relation til mang- lende ord, vendinger eller strukturer
– danne og afprøve hypoteser, det vil f.eks. sige at danne sætninger og afprøve, om kommunikationspartneren er i stand til at modtage meddelelsen
– danne grundlag for samtaler om sproget og skabe øget sproglig opmærksomhed (min omformulering efter Laursen 2004, p. 57).
Outputhypotesen baserer sig altså ikke alene på elevens forståelse af et fagligt stof, men også på sprogbrug og udtryksfærdigheder af en faglig viden på andetsproget.
Der er i et sprogligt perspektiv ikke noget modsætningsforhold mellem andet- sprogspædagogikken og målsætningen for matematikundervisningen, som bl.a.
kommer til udtryk i kompetencetermer. Begge fagdidaktikker tilstræber ikke kun brug af den receptive dimension i undervisningen, men i høj grad også af den produktive dimension. En matematisk kompetence udtrykkes som ”indsigtsfuld parathed til at handle hensigtsmæssigt i situationer, som rummer en bestemt slags matematiske udfordringer” (KOM-rapporten 2002, p. 43). I KOM-rapporten ud- peges otte centrale kompetencer, som tilsammen beskriver matematisk faglighed.
Kompetencerne kan udtrykkes i to grupper, den ene gruppe omhandler: ”At kunne håndtere matematikkens sprog og redskaber” (ibid., p. 44), og den anden gruppe omhandler: ”At kunne spørge og svare i og med matematik” (ibid., p. 44). Det er karakteristisk for de otte kompetencer, at de alle har en dual karakter. Dette kan eksemplificeres gennem kommunikationskompetencen:
”Denne kompetence består dels i at kunne sætte sig ind i og fortolke andres ma- tematikholdige, skriftlige, mundtlige eller visuelle udsagn og ”tekster”, dels i at kunne udtrykke sig på forskellige måder og på forskellige niveauer af teoretisk eller teknisk præcision om matematikholdige anliggender, skriftligt, mundtligt eller visuelt over for forskellige kategorier af modtagere” (ibid., p. 61, min fremhævelse gennem brug af fed skrift).
Kompetencen har både en modtagende/receptivt side eller undersøgende side f.eks.
at sætte sig ind i/afkode og fortolke matematiske fremstillinger og en udtryksside eller produktiv side f.eks. at kunne gøre rede for en matematisk løsning af en op-
gave (ibid., p.64). Kommunikationskompetencen inddrager eksplicit den receptive og produktive side mens andre matematiske kompetencer inddrager disse mere implicit. Der er således overensstemmelse mellem såvel det receptive som det pro- duktive sigte i outputhypotesen og kompetencetænkningen, som indgår som mål for dansk matematikundervisning.
Gennem forskellige aktiviteter, der har eksplicit fokus på sprog, er der mulighed for at gøre sproget mere produktivt og interaktionelt i matematikundervisningen.
Rapporten ”Dansk som andetsprog i fagene” giver en række aktivitetsforslag, her følger et eksempel:
Billede diktat, hvor en elev får et billede med en geometrisk figur eller en graf. Kor- tet må ikke vises til de andre i gruppen. Elevens opgave er mundtligt at beskrive figuren eller grafen så godt som muligt, så de andre elever i gruppen kan tegne den.
Eleverne må undervejs i forløbet gerne spørge eleven, som beskriver. I dette forløb trænes den produktive mundtlige kommunikationskompetence hos de elever, der beskriver figuren eller grafen, og den receptive mundtlige kommunikationskompe- tence trænes hos de elever, som lytter og tegner.
For at matematikundervisningen kan støtte eleverne i mundtligt at sprogliggøre deres matematiske indsigt, er det vigtigt, at læreren ikke stiller lukkede spørgsmål, men åbne spørgsmål. Hvis læreren eksempelvis viser eleverne en femkantet poly- gon og stiller spørgsmålet: ”Hvad hedder denne figur?” er det et lukket spørgsmål.
Men hvis læreren f.eks. spørger: ”Hvad kan du fortælle om denne figur?” er det et åbent spørgsmål.
Endvidere kan læreren gennem brug af ICM-Modellen (Inquiry Cooperation Mo- del), der er udviklet af læringsforskerne Helle Alrø og Ole Skovsmose, få inspira- tion til udvikling af elevernes sproglige kunnen og matematiske kommunikations- kompetence. Modellen tager udgangspunkt i grundprincipperne for aktiv lytning, hvilket indebærer at stille nysgerrigt undersøgende spørgsmål og give bekræftelse med henblik på at finde ud af, hvad den anden tænker og føler. Der er otte led i modellen, som omfatter kommunikative handlinger mellem lærer og elev:
1. At etablere kontakt er en grundlæggende forudsætning for at kunne forhandle indhold og mening, som er det centrale i modellen. Lærer og elever ”tuner”
sig ind på hinanden i undervisningen, at de så at sige impulsivt tænker med på hinandens ideer.
2. At opdage betyder at finde ud af noget, man ikke vidste før. Lærer og elev kan opdage hinandens perspektiver ved at f.eks. læreren spørger ind til, hvordan eleven tænker om en konkret opgave.
3. At identificere et fagligt indhold gennem aktiv lytning og gøre det synligt for alle deltagerne i undersøgelsen.
4. At advokere betyder at udtrykke det, man tænker, og samtidig være villig til at undersøge og suspendere sine forståelser og forforståelser. En kollektiv reflek- sion er involveret mhp. at afklare, hvad en given forståelsesmåde indebærer.
5. At tænke højt kan anvendes som supplement til spørgestrategien for at klargøre de respektive perspektiver. Det kan være, at eleven har svært ved at formulere sine tanker, og her kan læreren så hjælpe med afklarende spørgsmål og refor- mulering af elevens bidrag.
6. Gennem reformulering – altså at gentage det, der bliver sagt, måske med et lidt andet tonefald – at medvirke til at fremhæve nøgleudsagn og fremme en gensi- dig forståelse.
7. At udfordre, dvs. at forsøge at stille spørgsmål ved allerede opnåede erkendelser eller fastlåste forståelser.
8. At evaluere ved, at lærer såvel som elev reflekterer over, hvad processen har bibragt dem af nytænkning. Eleven kan måske sætte ord på, hvad han mener at have lært, og læreren kan tilsvarende formulere, hvad den gensidige proces har givet ham af nye overvejelser.
(Min omformulering af Alrø og Skovsmose, 2006).
Modellen kan medvirke til at skabe eksplicit fokus på såvel den receptive som den produktive side af kommunikationskompetencens mundtlige dimension. Eleven modtager matematikholdig information og eleven udtrykker matematiske tanker og ideer samtidig med, at eleven får mulighed for at danne og afprøve sproglige hypoteser på andetsproget.
Læringsforsker Lene Østergaard Johansen giver i en artikel et eksempel på en un- dervisningsaktivitet, hvor IC-modellen kan bruges som inspiration til at øge læ- rerens opmærksomhed på elevernes sprogtilegnelse i matematikundervisningen.
Undervisningsaktiviteten, som retter sig mod indskolingen, er blevet udviklet af ressourcepersoner inden for matematikundervisning af tosprogede elever i for- bindelse med et udviklingsprojekt ”Sproget i matematikundervisningen” i 2005.
I fokus for udviklingsarbejdet var anvendelse af sprog og tilegnelsen af førfaglige begreber (de førfaglige begreber vil jeg behandle særskilt i næste afsnit).
I udviklingen af undervisningsaktiviteter fokuserede ressourcepersonerne på at ind- drage erfaringer, som man ikke antog, at eleverne havde, men som man vidste, at eleverne havde, fordi erfaringerne var skabt gennem undervisningen. Denne tilgang ser jeg som værende i fuld overensstemmelse med trinmålet efter 2.kl. i faghæftet for Dansk som andetsprog, hvor der om de kommunikative færdigheder i relation til det talte sprog skrives ”forstå ord og vendinger knyttet til dagligdagen og sko- lens fag” (Faghæfte 19). I eksemplet på undervisningsaktiviteten regnehistorie har eleverne passet kageboden til skolens sommerfest og har således erfaringer med at passe en kagebod.
Lene Østergaard Johansen fremstiller aktiviteten således:
Eleverne får hver især udleveret et papir, hvor følgende regnehistorie med tilhø- rende spørgsmål er beskrevet:
3.a skaL passe kageboDen TIL skoLens sommerFesT.
Her kan du se, hvad man kan købe i kageboden.
En kop kaffe: 3 kr.
En kop te: 3 kr.
Et stykke kage: 3 kr.
Et stykke kage og en kop kaffe: 5 kr.
Et stykke kage og en kop te: 5 kr.
Hvad koster en kop kaffe?
Hvad koster et stykke kage og en kop kaffe?
Hvor meget skal du betale for at købe kage og kaffe til far og mor?
Først skal regnehistorien læses. Eleverne arbejder sammen i par og skiftes til at læse hele eller dele af regnehistorien op. Historien skal gerne læses flere gange. Eleverne kan også på skift læse en sætning, altså frem til næste punktum. Afslutningsvis læser læreren regnehistorien højt for alle.
Herefter stiller læreren spørgsmål til teksten. Spørgsmålene har ikke nødvendigvis et matematisk indhold.
”Hvem skal passe kageboden?”
”Hvilken fest er der tale om?”
”Hvor mange forskellige ting kan der købes i kageboden?”
”Er det rigtigt, at en kop kaffe og en kop te koster det samme? Hvorfor?”
”Hvad betyder rabat?”
”Hvornår får man rabat i kageboden?”
”Hvordan kan du vide det?”
Det er vigtigt, at læreren hjælper eleverne til at svare i hele sætninger (Johansen 2007, p. 19). Der er i aktiviteten fokus på centrale nøgleord, som der arbejdes med receptivt og produktivt ved at eleverne læser og lytter og endvidere formulerer sig mundtligt.
Gennem nedenstående indsætningsøvelse tilgodeses også den skriftlige dimension.
InDsæTnIngsøveLse
Indsæt fra ordlisten: tilbage, mangler, forskellen Når man trækker 5 fra 9, er der 4______________
_____________ mellem 8 og 4 er 4.
Hvis du har 6, ______________ du 4 for at have 10.
_____________ mellem 12 og 7 er 5.
Hvis du har 8, _____________ du 7 for at have 15.
Når man trækker 7 fra 14, er der 7_________
(Johansen 2007, p. 20).
Ud over opgaver, der er udviklet specielt til tosprogede elever, findes der en række opgaver, som er velegnede for alle elever, fordi de kan medvirke til at fremme ma- tematiske og sproglige kompetencer hos eleverne. På hjemmesiden hos det svenske videncenter for matematikdidaktik ”Nationellt centrum för matematikutbildning”
(NCM) http://ncm.gu.se/ findes der en lang række problemløsningsopgaver med tilhørende løsningsforslag f.eks. følgende opgave:
”Agnes är 10 år. Hennes mamma Lisa är 4 gånger så gammal. Hur gammal är Lisa när Agnes är dubbelt så gammal som hon är nu?”
Med hensyn til udvikling af sproglige kompetencer hos tosprogede elever i forbin- delse med problemløsningen er det nødvendigt, at læreren er bevidst om, hvilke ord der kan give forståelsesproblemer, så at de ord gives særlig opmærksomhed gen- nem dialog, forklaring og eksempler. Men det er også betydningsfuldt, at læreren er bevidst om, hvilke receptive elementer (lytte og læse) og produktive elementer (tale og skrive), som opgaven lægger op til. Læreren kan med udgangspunkt i en konkret opgave supplere med øvelser således, at såvel receptive som produktive elementer inddrages. F.eks. kan læreren i forlængelse af opgaven fra Nationellt centrum för matematikutbildning med fokus på den skriftlige dimension udforme en indsæt- ningsøvelse om nævnt tidligere eller lade eleverne udforme en matematikopgave, hvor f.eks. ordene dobbelt så gammel skal indgå. Det er vigtigt for sprogtilegnelsen, at eleverne arbejder såvel receptivt som produktivt, og at eleverne får mulighed for at møde et nyt begreb mange gange og i forskellige kontekster. Gentagelse er et centralt begreb inden for andetsprogspædagogikken.
problemfelter i praksis
Forskellige evalueringer af indsatsen med at integrere sprog og fag i folkeskolen peger på nogle problemfelter. Initieret af Undervisningsministeriet udkom i 2004
rapporten ”Evaluering af dansk som andetsprog i skolen”. I relation til dansk som andetsprog som en dimension af skolens øvrige fag giver rapporten bl.a. følgende vurderinger:
Dansk som andetsprog indgår kun sporadisk som en dimension i skolens alminde- lige fag. Ansvaret for dansk som andetsprog er placeret hos nogle få lærere og ikke som en fælles opgave for hele lærerkollegiet.
Ofte anses de tosprogede elevers sprogudvikling som en barriere for den faglige indlæring i stedet for som en integreret del af elevernes læring. Der er sjældent bevidsthed om dansk som andetsprog i fagundervisningen – og omvendt er der sjældent fagundervisning i dansk som andetsprog.
(Saarup mf. 2004, p. 69-70).
I 2007 udarbejdede Danmarks Evalueringsinstitut (EVA) en rapport om undervis- ning af tosprogede elever i folkeskolen. Rapporten undersøger, hvordan skoler or- ganiserer og gennemfører undervisningen af tosprogede elever, og hvordan under- visningen kan inddrage elevernes forudsætninger. Evalueringen konkluderer bl.a., at nogle skoler har et statisk sprogsyn, idet skolerne primært fokuserer på elevernes sproglige kundskaber som forudsætning for læring og ikke i tilstrækkelig grad an- skuer sprog som noget, der skabes i en sammenhæng. Derved glider andetsprogspæ- dagogikken i baggrunden og der fokuseres i stedet på elevernes mangler. Rapporten anbefaler bl.a., at skoleledelser sikrer, at alle lærere, der har tosprogede elever i deres klasser, har viden om andetsprogspædagogik, så de bedre kan støtte de tosprogede elevers læring i forskellige fag. Endvidere anbefaler rapporten, at skole-hjem-samar- bejdet skal sikre tosprogede forældres aktive deltagelse (EVA 2007).
Samlet set efterlader evalueringerne et indtryk af, at faglærernes andetsprogsdi- daktiske forudsætninger er utilstrækkelige, og at lærernes sprogsyn ofte er præget af et mangelsyn. Det danske sprog bliver normen i undervisningen, og tosprogede elever vurderes ud fra denne norm og ikke ud fra, hvilke sproglige ressourcer, som de kan befrugte undervisningen med. Udfordringen til matematikundervisningen handler derfor om, hvordan elevernes sproglige såvel som kulturelle ressourcer kan inddrages i undervisningen. Denne udfordring bliver uddybet i afsnittet ”At trække på elevernes sproglige og kulturelle ressourcer”.
Integration af fag og sprog har overordnet fokus på, hvorledes matematiklæreren i undervisningen kan sammentænke sprog og fag ved at have eksplicit fokus på sprog. Det teoretiske udgangspunkt er outputhypotesen, der ikke alene har fokus på forståelse af et fagligt stof, men også på sprogbrug og udtryksfærdigheder af en faglig viden på andetsproget. I afsnittet er det i høj grad sprogbrug og udtryks- færdigheder af matematisk viden på andetsproget, der er blevet belyst. Det næste afsnit omhandler i særlig grad det receptive aspekt, nærmere betegnet den del af det receptive aspekt, der omhandler tosprogede elevers forståelse af skriftlig mate- matikholdig tekst.
matematikundervisningens sproglige udfordringer
Hvilke ord og strukturer, der kan volde tosprogede elever vanskeligheder i mate- matikundervisningen, er stærkt individuelt, men forskellige undersøgelser inden for området kan bidrage til en større indsigt i de sproglige udfordringer, som tospro- gede elever er konfronteret med i matematikopgaver. Allerførst stilles der skarpt på, hvad der kendetegner matematisk sprog og matematikundervisningssprog.
Den særlige måde, som en matematisk faglig profession bruger sproget på, kaldes matematiske registre. Det matematiske register er f.eks. en måde at bruge symboler, særlige ord, præcision af udtryk, grammatiske strukturer og karakteristiske måder at argumentere på (Pimm 1987). Den engelske matematikdidaktiker David Pimm betoner, at et matematisk sprog er et vitalt element i matematiklæringen og formu- lerer sig således: ”Part of learning mathematics is learning to speak like a mathema- tician, that is, acquiring control over the mathematic register” (ibid., p. 76). (”En del af det at lære matematik er også at lære at tale som en matematiker, hvilket vil sige at tilegne sig kontrol over det matematiske register”. Min oversættelse).
Det kan diskuteres, hvorvidt der kan sættes lighedstegn mellem det matematiske re- gister og det matematiske sprog, som eleverne møder i matematikundervisningens lærebøger. Den engelske matematikdidaktiker Clare Lee skelner mellem disse to og beskriver sproget i matematikundervisningens lærebøger som præget af en konven- tionel stil, som er koncis, upersonlig og tidløs. Den konventionelle stil indeholder ikke ekstra, forklarende ord, også kaldet redundante ord, men kommunikerer kun det, som er nødvendigt. Hun nævner, at højt respekterede matematikere ikke altid anvendte en konventionel stil i de papirer, som de skrev. Clare Lee argumenterer for, at det er muligt at bruge det matematiske register, hvilket vil sige at tale om og skrive om matematiske begreber uden at bruge konventionel matematisk stil. Ved at bruge ekstra ord/redundans kan det matematiske sprog blive mere tilgængeligt for elever i matematikundervisningen, og derudover kan de ekstra ord også insi- nuere menneskelig aktivitet, hvilket ikke bliver betragtet som en nødvendighed i den konventionelle stil. Som eksempel på den konventionelle stil vil jeg pege på, at den hyppige brug af passivsætninger i matematiktekster. Disse kan erstattes med aktivsætninger med et agerende subjekt f.eks. kan afgiften betales af medlemmerne erstattes med medlemmerne betaler afgiften. Kendskab til den konventionelle stil er nødvendig, påpeger Clare Lee, idet eleverne ofte kan møde den gennem under- visningsmaterialet i matematiktimerne (Lee 2006).
Med henblik på at indkredse de andetsproglige udfordringer, som tosprogede elever kan møde i matematikholdige tekster, inddrages en undersøgelse af andet- sprogsforskeren Jørgen Gimbel , et speciale af to specialestuderende Tina Pedersen og Maria Ellehuus ved Aarhus Universitet, rapporten ”Dansk som andetsprog i fagene” og et materiale fra det daværende svenske ”Myndigheten för skolutve- ckling”. På baggrund disse fire teoretiske kilder har jeg sammenskrevet en række sproglige områder, der fordrer særlig opmærksomhed i en matematikundervisning, der integrerer fag og sprog. Men først en introduktion til de teoretiske kilder.
Jørgen Gimbel har lavet en undersøgelse af ord fra det almene ordforråd, som volder de tosprogede elever vanskeligheder. Han benævner disse ord det førfaglige ordforråd og forstår det som de ord, der ligger mellem det mest grundlæggende ordforråd/det daglige ordforråd og det helt fagspecifikke ordforråd. Jørgen Gimbel foretog i 1995 en komparativ undersøgelse af, hvordan 16 tyrkiske tosprogede elever og 16 dansksprogede elever i 5. Klasse i Køge Kommune klarede at forklare et udsnit af førfaglige ord i fagene biologi, historie og geografi. Jørgen Gimbel udvalgte i første omgang 90 ord, som hørte til de faglige domæner. Disse ord blev sendt ud til tre erfarne orienteringsfaglærere, som afmærkede, hvilke ord de ville forklare i klasser med udelukkende danske elever. Der var en høj grad af overens- stemmelse mellem de tre lærere. De afmærkede ord blev udeladt sammen med enkelte ord, hvis betydning kunne være flertydig. Tilbage var 50 ord, som 32 elever fik præsenteret hver for sig, såvel mundtligt som skriftligt, uden nogen kontekst.
De blev derefter bedt om mundtligt at forklare dem eller indsætte dem i en sætning, så det klart fremgik, hvad de betød. De tyrkiske elever fik instruktionen på tyrkisk og måtte selv vælge, om de ville svare på tyrkisk eller dansk. Eksempelvis indgik ordene: afgrøde, ansvar, appetit, bevidstløs, bønder, dyrke, døgn, energi, fattig og flod. I gennemsnit kendte de tyrkiske elever 15 af ordene (minimum 3, maksimum 37), mens de danske elever i gennemsnit kendte 42 (minimum 35, maksimum 47).
Der var stor forskel mellem antallet af ord, som eleverne på forhånd opgav at for- klare eller indsætte i en sætning. I gennemsnit opgav de tyrkiske elever på forhånd 24 ord, mens de danske elever i gennemsnit opgav 3 (Gimbel 1995).
To specialestuderende fra Aarhus Universitet, Tina Pedersen og Maria Ellehuus (2005) har med udgangspunkt i Jørgen Gimbels førfaglige begreb gennemført en analyse af matematikbøgers indhold af såvel fagord som førfaglige ord. Pedersen og Ellehuus har yderligere kvalificeret de førfaglige ord, idet de har foretaget en opdeling af kategorien førfaglige ord i to underordnede kategorier: almene førfag- lige ord og matematiske førfaglige ord. Opdelingen er foretaget på baggrund af den kontekstualisering, der er sket i matematik, således at en meget bred vifte af førfaglige ord kan optræde i forskellige kontekster.
Rapporten ”Dansk som andetsprog i fagene” fra 2004 er blevet til på baggrund af et projekt under ledelse af andsprogsforsker Helle Pia Laursen, der tog sin begyn- delse i 2002 og beskæftigede sig med udvikling af en andetsprogsdidaktik i forhold til centrale fagområder, og som for matematikfagets vedkommende især omhand- ler implementering af outputhypotensen i faget og det matematiske register.
Det svenske ”Myndigheten för skolutveckling” har i 2008 udarbejdet et støtte- materiale til matematiklærere med tosprogede elever i deres klasser. Hovedsigtet med materialet er at vise vejen til et sprogudviklende miljø, hvor tosprogede elever får mulighed for at udvikle deres andetsprog i matematik, og matematiklæreren opfordres til at understøtte eleverne i denne udvikling. Dette betyder ikke, at van- skeligheder skal forenkles eller undgås, men at den sproglige dimension i matema- tikundervisningen bliver set i perspektiv af modifikation og progression frem for reduktion. Indledningsvist behandles læseforståelse i forbindelse med faget mate-
matik og kontekstens betydning, og dernæst behandles sproglig omformulering/
modifikation.
At læse på et sprog, man ikke behersker fuldt ud, medfører, at afkodningen bli- ver langsommere. I forbindelse med matematiktekster kan tosprogede elever miste implicit information, få misledende information og møde ord og udtryk, der er ukendte for den tosprogede elev.
Ved kontekst forstås dels den sproglige sammenhæng, som et ord indgår i, og dels den omgivende situation (Myndigheten för skolutveckling 2008, p. 12). Med in- spiration fra den canadiske sprogforsker Jim Cummins har forfatterne udarbejdet et diagram, der viser krav til elevens sproglige formåen ud fra to variable: kognitiv sværhedsgrad og graden af støtte i konteksten.
kognITIvT krävanDe
Uppgifter som är kognitivt krävan- de. eleven har fortfarende stöd i kontexten.
Exempel:
Eleven ska lösa en matematiskt krävande textuppgift. Eleven kan läsa i sitt eget tempo och kan för- handla om betydelsen, dvs. ta hjälp av kamrater och lärare om det är något hon/han inte forstår.
Uppgifter som är kognitivt krävande. eleven har inget stöd i kontexten.
Exempel:
Eleven ska på egen hand lösa en avancerad textuppgift i ett mate- matikprov. Uppgiften har inga bilder som illustrerar texten och eleven har inte möjlighet att be kamrater eller lärare om hjälp.
Uppgifter som kognitivt är relativt enkla. eleven har dessutom stöd i kontexten.
Exempel:
Eleven skal lösa en uppgift där sam- manhanget (t.ex. text och bild) är bekant. Hon/han kan också ta hjälp av kamrater och lärare.
Uppgifter som kognitivt är rela- tivt enkla. eleven har inget stöd i kontexten.
Exempel:
Eleven ska på egen hand lösa enkla, rent aritmetiska uppgifter av samma typ, s.a. tyst räkning.
kognITIvT enkeLT
(ibid., p. 14).
En opgave, der har støtte i teksten og er kognitiv enkel, er sproglig set ikke så kræ- vende (diagrammets nederste venstre hjørne). En opgave bliver sproglig set mere krævende i takt med, at den kognitive sværhedsgrad øges, og støtten i konteksten
sTÖD – konTexTen Ingen sTÖD – konTexTen
mindskes (diagrammets øverste højre hjørne). Den støtte, teksten giver, kan være i form af en tekst og/eller et billede, som er kendt for eleven. Forfatterne argu- menterer for, at der bør fokuseres på kontekster i matematikundervisningen af tosprogede elever, og diagrammet viser vha. pilene en progression i dette arbejde.
Eksempelvis bør aritmetiske opgaver, som for eleven er kognitivt enkle og sprogfat- tige (nederste venstre hjørne), ikke prioriteres højt i undervisningen (ibid., p. 13).
Konteksten har en betydning for elevens løsning af en opgave. Som eksempel på dette inddrager forfatterne to opgaver, som er hentet fra PRIM-gruppens undersø- gelse af årsprøven på 9. klassetrin i matematik i 2006.
Beräkna 30 0,6
En hundvalp äter 0,4 kg torfoder varje dag. Hur länge räcker en säck torrfoder som väger 20 kg?
(ibid., p. 15).
Både opgave A og B testede elevernes forståelse af målingsdivision. Forfat- terne skriver, at næsten alle elever havde et bedre resultat i opgave B end i op- gave A. En forklaring på dette forhold kan ifølge forfatterne skyldes, at opga- ven giver mange løsningsstrategier, f.eks. kan eleverne beregne, hvor meget tørfoder, der bliver spist på 10 dage, hvilket giver 4 kg, og derpå indse, at svaret på opgaven er 50 dage. Konteksten i opgave B tilbyder i modsæt- ning til opgave A også mulighed for at kontrollere, om svaret er rimeligt.
Hvordan bør en matematikopgave, der betænker tosprogede elever, formuleres?
Forfatterne bag støttematerialet oplister en række sproglige områder og under- bygger disse med konkrete eksempler fra årsprøver i matematik. Der er en række eksempler på opgaveformuleringer før og efter sproglig bearbejdning. Disse eksem- pler er nedenfor oplistet sammen med en række sproglige områder som Tina Pe- dersen og Maria Ellehus og desuden rapporten ”Dansk som andetsprog i fagene”
peger på. Min sammenskrivning af de sproglige områder og den liste, der derved er fremkommet, vil jeg kalde for matematikundervisningens andetsproglige register.
matematikundervisningens andetsproglige register Ordvalg
– Almene førfaglige ord:
Lavfrekvente ord, der ikke optræder i relation til et given matematisk stofom- råde, men optræder i forbindelse med et emne (Pedersen og Ellehuus 2005) som f.eks. Marco Polo, Den kinesiske mur, Fiskeri, Stamtræ, Shopping på nettet.
Eksemplerne er hentet fra Matematik-tak grundbog 6. kl.
– Hverdagssprog og matematisk sprog:
Visse ord har både en hverdagsbetydning og en matematisk betydning f.eks.
plante og det matematiske begreb rod. Det er vigtigt, at eleverne får mulighed
for gradvist at udvikle det matematiske sprog, således at de i den sidste del af grundskoleforløbet har et funktionelt sprog som værktøj for problemløsning.
Inden matematiklæreren anvender matematiske termer, må hun sikre sig, at ter- merne er veletableret hos eleverne.
(ibid.,p. 17).
I denne opgave har en bearbejdning fundet sted, da det fra opgavestillernes side ikke blev vurderet at ”rymmer” er et etableret ord blandt yngre elever.
– Misledende og tvetydige ord:
Nogle ord kan være misledende eller tvetydige. Eksempelvis opgaven fra den svenske Âp 5, som før bearbejdningen lød: ”Här är en ritning över ett kvarter i staden” (ibid., p. 26). Da ordet kvarter kan forbindes med ordet kvart, lød op- gaven efter bearbejdningen således: ”Här är en ritning över ett område i staden”
(ibid., p. 26).
– Ukendte ord og udtryk:
En forudsætning for at forstå, hvad man læser, er at have et solidt ordforråd.
Læsning medvirker til udvikling af ordforråd, og derfor bør læreren i sin un- dervisning ikke undgå nye ord, men give eleverne mulighed for at udvikle deres sprog gennem mødet med nye ord og udtryk. For at kunne læse en tekst og kunne anvende indholdet må læseren forstå mindst 95 % af teksten. De ord, der udpeges som vanskelige, er de ord, som ikke er hverken højfrekvente eller lavfrekvente, og de ord gives ikke særlig opmærksomhed i undervisningen fra lærerens side. I en prøvesituation er det af stor betydning, at eleven forstår or- dene, så derfor er det mere hensigtsmæssigt at udvælge ord og udtryk, der bliver brugt i et stort omfang frem for ord og begreber, der ikke er særlig brugte.
Eksempelvis opgaven Âp5 før bearbejdning:
”En solig vacker dag beger sig eleverna i klass 5 tilll stranden” (ibid., p. 30).
Efter bearbejdningen lød opgaven:
”En solig vacker dag går eleverna i klass 5 till stranden” (ibid., p. 30).
– Signalord:
Signalord er specielle ord, der signalerer, hvilken regningsart som skal vælges.
Ord som f.eks. mere, længere, tjener forbindes ofte af elever med addition, mens ord som yngre, mindre og billigere forbindes med subtraktion. Det er på den baggrund vigtigt, at eleverne bliver i stand til at forstå helheden i en tekst (ibid.).
– Matematisk sammenligning:
Under henvisning til Mestre og MacGregor nævner Helle Pia Laursen sproget omkring den matematiske sammenligning som grundlag for sproglige misfor- ståelser, der kan føre til forkerte løsninger af problemløsningsopgaver. Sammen- ligninger udtrykkes forskelligt på forskellige sprog og kan være en kilde til fejl- læsninger. Eksempelvis siger man på engelsk: “A is twice as long as B” mens man på spansk siger: “The length of A is the double of B”(Laursen 2004, p. 47-48).
Grammatiske træk og strukturer – Grammatiske træk:
1. bydeform/imperativ: f.eks. find x-værdien. Det agerende subjekt findes impli- cit i bydeformen: find du x-værdien.
2. passiv: passivformen kan på dansk udtrykkes på to måder, idet enhver pas- sivform kan omskrives med inddragelse af verbet at blive f.eks. y afsættes eller y bliver afsat. Sprogkonstruktioner med verber i passiv form er generelt sværere at forstå end sprogkonstruktioner med verber i aktiv form. (Myndigheten för skolutveckling 2008).
– Logiske forbindere:
Småord, der markerer sammenhængene/ de logiske relationer mellem tekstens sproglige enheder.
Eksempel: Emmas afstand fra Horsens er 45 km, og for hvert minut, hun kører, mindskes afstanden til Horsens med 20/60 km = 1/3 km (Laursen 2004, p. 44).
– Tydelige bindinger:
Henførende stedord kan til tider udelades f.eks. regn på den måde du synes bedst om eller regn på den måde som du synes bedst om. Det anbefales at skrive det henførende stedord, da sætningen så vil fremstå mere tydelig for tosprogede elever (Myndigheten för skolutveckling 2008, p. 25).
– Overdreven brug af bisætninger:
Brug af mange på hinanden følgende bisætninger kan besværliggøre for- ståelse for alle i elever og i særdeleshed tosprogede elever. Følgende op- gave fra den svenske prøve Äp5 viser opgaven før og efter bearbejdningen:
Lista ut vad de olika tecknen betyder och skriv talet som saknas under den sista bilden
inskjuten bisats 1 inskjuten bisats 2 (ibid., p. 27).
Formuleringen lød således efter bearbejdningen:
Fundera ut vilka symboler som betyder ental, tiotal, hundratal och tusental.
Vilket tal visa den sista bilden? Skriv på raden (ibid., p. 27).
– Verber med præpositionsforbindelse:
Eksempel: Renten nedsættes til/fra/med 4 % eller at gå ud og gå over. Vanske- ligheden i forståelsen af disse ord består i, at verbet og præpositionen tilsammen danner en enhed med en specifik betydning som ikke nødvendigvis har noget at gøre med verbet isoleret set. Nedenstående eksempel er fra den svenske Äp 9 før og efter bearbejdning:
Inför OS i Turin var det snöbrist. I Pragelato där langdskidåkningen skulle genomföras behövde banan förbättras. Man transporterade dit 3000 msnö med hjälp av lastbilar. En lastbil kan lasta ungefär 15 msnö per lass. Hur många lass gick åt?(ibid., p. 23).
Efter bearbejdningen lød spørgsmålet:
En lastbil kan lasta ungefär 15 msnö per lass. Hur mänga lass behövdes? (ibid., p. 23).
– Substantivering:
Når et verbum transformeres til et substantiv, er der tale om en substantivering, f.eks. at ekspandere og ekspansion. Gennem brug af substantivering kan infor- mation komprimeres, men det betyder også, at teksten bliver mere fortættet og kompleks. I prøvesituationer bør substantiveringer undgås, medmindre læreren ved, at eleverne er fortrolige med disse.
Eksempler på tekster før og efter bearbejdning:
(ibid., p.22).
Førfaglige begreber
Ord og udtryk der angiver:
Placering og rækkefølge, f.eks. under, til venstre, øverst til venstre, i træk, den næst- sidste.
Retningsangiverlser, f.eks.opad, baglæns, fra hinanden.
Mål, f.eks. kort, bredere, tungest.
Kvantitet og kvantitative forhold, f.eks. enhver, færrest, halvt så mange, dobbelt så mange.
Kvalitet og kvalitative forhold, f.eks. dyr, billigere, krum, buet, plan.
Ind-og opdeling, f.eks. pr., hver, resten af.
Præcision og sandsynlighed, f.eks. næsten, nøjagtig, sandsynligvis.
Tidsbegreber, f.eks. oftest, for nylig, samtidig.
Verber, der er særlige for matematikken, f.eks. bytte, erstatte, markere, veje, veksle, vælge.
Substantiver, der er særlige for matematikken, f.eks. antal, chance, figur, løsning, regler, regnskab, rækkefølge
(Pedersen og Ellehuus 2005, p, 66-67).
Matematikopgavens genretræk, referenceramme og layout – Genre:
En gennemgående genre i matematik på grundskoleniveau er problemløsningsop- gaven. Denne type opgave indeholder meget læsestof og har en tredelt udform- ning. Der indledes med en kort fortælling, hvorefter der følger nogle konkrete informationer og afslutningsvis er der et spørgsmål, der skal besvares. Opgavens nødvendige informationer er at finde i opgavetekstens indhold. Helle Pia Laursen betegner problemløsningsopgaverne som selvreferentielle til trods for, at de på indholdssiden forsøger at relatere til elevernes liv og erfaringer. Udfordringen for eleven i forbindelse med løsning af problemet er at finde frem til tekstens centrale element og bruge dette som referencepunkt for de øvrige elementer. Problemløs- ningsgenren kombinerer det fortællende element og de matematiske relevante in- formationer med en regulerende sproghandling som: Bevis at……….. aflæs………
se på diagrammet. Problemløsningsopgaven nævnes som en stor udfordring for de tosprogede elever, idet formidlingen af det tekniske og symbolske sprog fore- går på elevernes andetsprog, som generelt ikke er så udviklet som de etsprogede elevers sprog. Endvidere er opgaveteksten opbygget med en fortættet kompleks sætningsstruktur, hvilket stiller store krav til andetsprogslæseren, som ikke får meget hjælp gennem konteksten men skal have et stort ordforråd (Laursen 2004).
– Opgavens struktur:
På et generelt plan gælder det, at det er lettere at forstå en opgave, hvis den er opbygget, så den har en tankemæssig tydelig struktur, f.eks. logisk rækkefølge eller kronologisk rækkefølge. Følgende opgave viser, at brug af en klar kronolo-
gisk struktur og mindre vekslen mellem verbernes tider kan tydeliggøre opgaven uden at forenkle selve opgavens matematiske problem. Opgaven fra det svenske Äp9 lød før bearbejdningen således:
”Maria är med i ett hockeylag. Spelartruppen har en medelålder på 20 år och består av 20 spelare. Två av spelarna slutar och då sjunker medelåldern till 19 år. Hur gamla kan de två spelarna som slutade ha varit?” (Myndigheten för skolutveckling 2008, p. 33).
Efter bearbejdningen lød opgaven således:
”Maria är med i ett hockeylag. Först bestod spelartruppen av 20 spelare och hade en medelålder på 20 år. Två av spelarna slutade och då sjönk medelåldern till 19 år. Hur gamla kan de två spelarna ha varit som slutade?” (ibid., p.33).
– At udbygge teksten:
Det er en udbredt tendens hos lærere og lærebogsforfattere at forkorte teksten i opgaverne ved at undgå småord og komprimere indholdet. Risikoen ved at forkorte teksten er, at man fjerner de markører i teksten, som giver læseren in- formation om de logiske relationer mellem sætningerne. Følgende eksempel er fra den svenske Äp5 før bearbejdningen:
”Här är en del av muren som är gjord av två olika sorters tegelstenar och som i verkligheten är 16 cm og 8 cm höga” (ibid., p. 34).
Efter bearbejdningen gives informationen om muren og teglstenene hver for sig:
”Här är en bild som visar hur muren var uppbyggd. Den var gjord av två olika sorters tegelstenar. I verkligheten var de största 16 cm höga och de minsta 8 cm höga” (ibid., p. 34).
– Layout og illustrationer:
Layout og illustrationer i en opgave er betydningsfulde, hvis der er et samspil mellem tekst og layout/illustrationer, der gensidigt understøtter hinanden (ibid., p.35).
– Referenceramme:
Elevernes forforståelse er afgørende for, hvordan de forstår teksten i en mate- matikopgave. Elevernes tidligere erfaringer er udgangspunkt for, hvordan de opfatter sammenhængen i matematikopgaverne. Hvis tekstopgaven eksempelvis relaterer til svenske traditioner og kulturelle forhold, kan det indebære, at to- sprogede elever ikke får samme støtte i teksten som deres etsprogede klassekam- merater (ibid., p. 39).
Teori fra Myndigheten för skolutveckling argumenterer stærkt for bearbejdning af sproget i matematikopgaver gennem brug af sproglig modifkation, der står i kontrast til sproglig reduktion dvs. at minimere sproget i matematikopgaver. Det er igennem omgang med sprog, at sprog læres. Under sprogtilegnelsen er det be- tydningsfuldt, at der bevidst arbejdes med de ord og sproglige strukturer, der er problematiske for tosprogede elever, og at der i undervisningen anlægges et pro- gressionssyn på sprogtilegnelsen, således at tilegnelsen finder sted fra skolestart og udvikles kontinuert.
Men det svenske eller danske sprog er ikke de eneste sprog, som eleverne anvender, de anvender også deres modersmål. Det næste afsnit handler om, hvordan moders- målet og elevens kulturelle baggrund kan indgå som en ressource i matematikun- dervisningen.
at trække på elevernes sproglige og kulturelle ressourcer
sproglige situationer – intersprog og kodeskift
Begrebet dansk som andetsprog er som tidligere skrevet et bredt begreb, der place- rer sig i spændingsfeltet mellem modersmål og fremmedsprog. Der findes to sprog- lige situationer, som er særlig interessante at have kendskab til som faglærer for tosprogede elever.
Den ene sproglige situation er intersprog, der også kaldes mellemsprog, og som er et sprog, der befinder sig mellem den tosprogedes modersmål og andetsproget.
Intersproget har sine egne regler og er under forandring, efterhånden som der kom- mer nye sproglige erfaringer til. Intersproget er derfor stærkt individuelt. Fejl anses som naturlige og som nødvendige led i sprogtilegnelsesprocessen (Holm og Laur- sen, 2004). Følgende eksempel på intersprog gives på Skolestyrelsens hjemmeside under Tosprogs Taskforce. En del arabisktalende børn siger: ”Jeg ikke var i skole i går”. Her placerer de ordet ligesom på deres eget modersmål, hvor det hedder:
”Anâ ma kunto filmadrasati ams” (Jeg ikke var i skole i går). På dansk hedder sætningen: ”Jeg var ikke i skole i går”. Eksemplet viser, at den tosprogede arabi- ske elev overfører sin sætningsbygning fra sit eget modersmål til dansk. (http://
www.tosprogstaskforce.dk/fakta%20om%20tosprogede/begreber%20paa%20 tosprogsomraadet.aspx d. 04.07.10).
En anden sproglig situation er kodeskift, som er et skift mellem sprog inden for samme samtalesekvens. Eleven er i stand til at adskille sprogene, men bruger ko- deskift for at nå sine kommunikative intentioner med en given samtale. Det blev tidligere anset som udtryk for sproglig uformåenhed eller manglende evne til at adskille sprogene, når tosprogede personer foretog kodeskift. I dag er holdningen ændret, og kodeskift bliver anset som en naturlig del af en tosproget sprogbrug (Holm og Laursen 2004).
I matematikdidaktisk forskning gives der eksempler på, hvorledes kodeskift kan indgå som en ressource i undervisningen. Judit Moschkovich er en amerikansk matematikdidaktiker, der i sin forskning bl.a. fokuserer på kodeskift. Ved at anven- de følgende tre perspektiver: et vokabular perspektiv, et mangeartet meningsper- spektiv og et sociokulturelt perspektiv, som en analysemodel på tosprogede elevers læring i matematikundervisningen, er det Judit Moschkovichs hensigt at vise, at de to første perspektiver, et vokabular perspektiv og et mangeartet meningsper- spektiv, har bidraget som nyttige sproglige analyseværktøjer, men at en ensidig fokusering på disse to perspektiver kan give et unuanceret og mangelfuldt billede af tosprogede elevers matematiske kunnen, mens det tredje perspektiv, et sociokul- turelt perspektiv, kan medvirke til at skabe fokus på tosprogede elevers ressourcer i matematikundervisningen.
Det første perspektiv, et vokabular perspektiv, der var centralt tilbage i 1980’erne, har fokus på tilegnelse af vokabular/ordforråd med henblik på forståelse af at ud-
føre udregninger eller for at kunne læse tekster (i forbindelse med introduktion til dansk som andetsprog blev dette perspektiv kaldt inputhypotesen). Dette perspek- tiv er ikke tilstrækkeligt i en nutidig matematikundervisning, da undervisningen fordrer, at eleverne kan mere end at forstå matematikholdigt materiale. Matema- tikundervisningen stiller også krav til eleven om f.eks. at argumentere for mate- matiske ideer, og her vil eleven ikke udelukkende skulle lytte og forstå, men også skulle producere sprog.
Det andet perspektiv er et mangeartet meningsperspektiv, som er knyttet til det ma- tematiske register og matematisk kommunikation, idet den tosprogede elev bliver opmærksom på de forskellige betydninger, der er indeholdt i det samme ord eller udtryk, og bliver fortrolig med at udvælge ord eller udtryk, der er afstemt efter situationen i den matematiske kontekst.
Det tredje perspektiv omhandler deltagelse i matematisk diskurspraksis og er et so- ciokulturelt perspektiv, der overordnet skal tilvejebringe et mere komplekst syn på andetsprogselever i matematikundervisningen og vægte ressourcer og kompetencer frem for mangler og hindringer. Forfatteren giver et eksempel på en matematisk diskussion mellem to elever med den hensigt at illustrere, hvordan kodeskift kan være en ressource for tosprogede elever. To 9. klasses elever arbejder sammen om en matematikopgave, hvor de har tegnet det grafiske billede af funktionsudtrykket y=-0,6x og diskuterer, hvorvidt linjen er stejlere eller mindre stejl end det grafiske billede af funktionsudtrykket y=x. Den ene elev, Giselda, foreslår, at den første linie er stejlere, og derefter antager hun, at den er mindre stejl. Den anden elev, Marcela, spørger, om hun er sikker. Derefter angiver Marcela, at hun mener, at linjen er min- dre stejl, og hun giver sig til at forklare sit ræsonnement for Giselda:
Marcela: ”No, it´s less steeper…”
Giselda: ”Why?”
Marcela: “See, it’s closer to the x-axis…[looks at Giselda]…Isn’t it?”
Giselda: “Oh, so if it’s right here … it’s steeper, right?”
Marcela: “Portque fíjate, digamos que este es el suelo.” [“Because, look, let’s say that this is the ground.”] “Entonces, si se acerca más, pues es menos steep.” [“Then if it gets closer, then it’s less steep.”] “…’cause see this one [referring to the line y=x]
…is….está entre el medio de la “x” y de la “y”. Right?” [“Is between the “x” and the “y””]
Giselda: [Nods in agreement.]
Marcela: “This one [referring to the line y=-0.6x] is closer to the “x” than to the
“y”, so this one [referring to the line y=-0.6x] is less steep.”
(Moschkovich 2007b, p. 99-100).
Judit Moschkovich argumenterer for, at hverken et vokabular perspektiv eller et mangeartet meningsperspektiv er tilstrækkeligt til at vurdere elevens matematiske formåen.
Et vokabular perspektiv er ikke nyttigt, hvis man som lærer skal have en forståelse af, for det første, hvad eleven Marcela ved, eller for det andet beskrive, hvordan hun kommunikerer matematisk og for det tredje give formativ information om planlægning af fremtidig undervisning. Dialogen viser, at Marcela frem for at ud- trykke sig mangelfuldt på engelsk i situationen valgte at bruge sit modersmål for at præcisere en matematisk beskrivelse. Hendes kompetence rækker ud over at kende betydningen af stejlere og mindre stejl, dette var ikke blevet tydeligt ved udeluk- kende at bruge et vokabular perspektiv på undervisningssituationen.
Hvis der blev anlagt et mangeartet meningsperspektiv, ville det træde frem, at ele- verne forhandler og afklarer betydningen af stejlere og mindre stejl. Marcela brugte det matematiske register som en ressource for at kommunikere matematisk. Hun brugte desuden to sætningskonstruktioner, som er almindelige i en matematikun- dervisningskontekst: ”Let’s say this is…” og endvidere ”If_______, then________.”
Men hvis der fokuseres på, hvordan eleven brugte sit modersmål, kodeskift og ma- tematiske artefakter, dvs. det grafiske billede og hverdagserfaringer, hvor x-aksen bliver beskrevet vha. hverdagserfaringen ”the ground”: ”Because, look, let’s say that this is the ground” er det mangeartede meningsperspektiv som ressource ikke tilstrækkeligt.
Ved at anlægge et sociokulturelt perspektiv kan den matematiske diskurspraksis, der er knyttet til situationen, undersøges. For det første ekspliciterede Marcela sin formodning (på engelsk ”Because, look, let’s say that this is the ground”). Dernæst understøttede hun sin formodning ved at inddrage matematisk repræsentation, det grafiske billede af funktionsudtrykket. Et sociokulturelt perspektiv, der bl.a. aner- kender kodeskift som en ressource, viser, at Marcela deltog i to diskursive praksis- ser ved at eksplicitere formodninger og forbinde formodninger med matematiske repræsentationer (Moschkovich 2007b).
modersmålets plads i matematikundervisningen – hvorfor og hvordan?
Inddragelse af tosprogede elevers modersmål i matematikundervisningen har et dobbeltsigte. For det første kan modersmålet være en begrebsmæssig støtte for eleverne i deres matematiklæring, og for det andet kan synliggørelse af elevernes forskellige modersmål medvirke til at skabe kulturel anerkendelse, når de sprog- kulturer, som eleverne tilhører, afspejles i undervisning og klasseværelse.
Modersmålet har en understøttende funktion for tosprogede elever og er derfor vigtig for elevernes begrebsforståelse. Rönnberg og Rönnberg skriver om elevernes begrebsforståelse ved skolestart:
”Trots att alla barn, oavsett kulturell och språklig bakgrund, utvecklargrundläg- gande, informella, matematiska begrepp innan de börjar skolan, är det vanligt att matematiklärare anser att elever med annat modersmål än svenska inte har de begrepp och erfarenheter som anses nödvändiga för att tillgodogöra sig undervis- ningen. Detta kan bero på att elevens begrepp är förankrade i modersmålet och att eleverna därför har svårt att referera till dem i en undervisning på majoritetssprå- ket” (Rönnberg og Rönnberg 2001, p. 12-13). Tosprogede elever har fra skolestart uformelle matematiske begreber, men disse begreber er ikke nødvendigvis forank- ret i andetsproget, men i modersmålet. For at undervisningen ikke skal være frem- medgørende for eleven, således, at han bremses i sin læring, er det derfor vigtig, at matematikundervisningen knytter an til de kundskaber og erfaringer, som eleven har erhvervet sig før skolestarten.
Gennem rig brug af repræsentationsformer kan der skabes mulighed for, at to- sprogede elever understøttes i deres modersmål såvel som i andetsproget. Gennem et projekt, ledet af Michael Wahl Andersen, hvor jeg deltog som konsulent, blev mentale repræsentationers betydning for læring i matematik for tosprogede elever undersøgt. Økonomisk var projektet finansieret af Nationalt Videncenter for Ma- tematikdidaktik (NAVIMAT). Det centrale teoretiske afsæt i projektet var teori
om dual kodning, som er beskrevet af Michael Wahl Andersen i en artikel i Dansk Pædagogisk Tidsskrift. Med henvisning til Paivio forklarer Michael Wahl Andersen begrebet dual kodning. Den mentale billeddannelse er fundamental for tænkning omkring tal og fordrer det, Paivio kalder for dual kodning. Tænkning består af et verbalt og et nonverbalt afkodningssystem og disse to systemer skal arbejde sammen, for at verbalt sprog giver mening. Fx giver ordet ”kvart” ikke mening, hvis det ikke knyttes til det referentielle billede ”1/4”. Hensigten i projektet var at afsøge de muligheder, der ligger i, at man med udgangspunkt i det nonverbale forestillingssystem, kan understøtte såvel første- som andetsproget, da sprog er es- sentielt for al læring (Andersen, 2009).
Projektet blev gennemført på Skanseskolen i Hillerød på mellemtrinnet i en 4.kl.
og en 5.kl. over en periode på 4 uger i april og maj 2010. De deltagende klasser var en 4. klasse og en 5. klasse med henholdsvis 20 % og 45 % tosprogede elever.
I klasserne arbejdede eleverne med relationer mellem repræsentationsformer gen- nem arbejde med repræsentationskort, hvor forskellige opgaver inden for division blev repræsenteret sprogligt, symbolsk og visuelt, f.eks. opgaven 48:4. Eleverne skulle samle repræsentationskortene i sæt, dvs. et sæt var en opgave, som var re- præsenteret gennem forskellige repræsentationsformer. Senere skulle eleverne selv fremstille forskellige sæt af repræsentationskort. Desuden arbejdede klasserne med faglig læsning gennem, hvor de som afslutning på dette forløb selv skulle producere en matematikopgave og hertil hørende relevante repræsentationer. Projektet blev evalueret gennem ALP-testen.4 Eleverne blev testet før forløbet og efter forløbet.
ALP-testen viste efter projektperioden samlet set en forbedret score.
Anvendelse af repræsentationsformer som f.eks. illustrationer kan understøtte to- sprogede elevers matematiklæring ikke kun på de yngste klassetrin men også på senere klassetrin. Irene og Lennart Rönnberg skriver: ”För lärare i lägre årskurser är det naturligt att använda olika metoder att konkretisera undervisningen, men i senare årskurser tänker man kanske inte på betydelsen av att använda illustratio- ner och konkret materiel när man ska introduceranya begrepp på ett språk som är främmande för eleverna” (Rönnberg og Rönnberg 2001, p. 25).
Den svensk producerede internet-side webbmatte.se har også fokus på inddragelse af modersmålet i matematikundervisningen. Webbmatte har eksisteret siden 2007 og er et gratis støttemateriale for matematikundervisning på grundskoleniveau og gymnasieniveau. Materialet består af tekster, film og øvelser med tilhørende løsnin- ger. For grundskolen findes materialet på: svensk, arabisk, persisk, polsk, engelsk, russisk, somalisk og spansk. Materialet er tænkt som et supplement til den ordi- nære undervisning. I materialet står matematiske begreber centralt, og materialet kan derfor anvendes som et matematisk opslagsværk, hvor der er forklaringer og øvelser. Læreren kan f.eks. bruge det som forberedelse for tosprogede elever i for- bindelse med undervisningsforløb, da materialet netop giver eleverne mulighed for
4 ALP er en forkortelse af Analyse af Læseforståelse i Problemløsning. Testen er udviklet af Gudrun Malmer, der har været lektor på Lärarhögskolan i Malmö. ALP-testen er en screeningstest, som afdækker færdigheder i afkodning, læse- forståelse, matematiske grundbegreber og matematisk-logisk tænkning. Testen findes i en dansk oversættelse.
