Asymptoter.
I vores tidligere undersøgelser af grænseværdi, har vi udelukkende set på endelige værdier – i den forstand, at i udtrykkene
f(x) a for x x0 og lim f(x) = a xx0
er både xo og a reelle tal. I det følgende vil vi udvide grænseværdibegrebet, idet vi tillader en af størrelserne at antage værdien + eller -.
Vi ser på et eksempel for at illustrere forholdene (Derivenote 1):
2·x f(x) = ——
3·x + 1
Funktionen er ikke defineret i x = - 3
1 . Ved denne x-værdi kunne det se ud som om funktionen vokser ganske hurtigt, når x nærmer sig fra venstre side, medens den tilsvarende aftager hurtigt, når x nærmer sig fra højre side. Dette hænger sammen med at tælleren nærmer sig en værdi forskellig fra 0 (hvilken?), medens nævneren nærmer sig 0 - vi dividerer altså med noget, der bliver mindre og mindre, hvorfor brøkens værdi bliver større og større - enten positiv eller negativ. Prøv at forklare fortegnet ud fra funktionsforskriften.
Vi prøver nu at lade Derive finde værdierne (Derivenote 2):
Derive Asymptoter
Prøv nu at indtegne linien x = - 3
1 (Derivenote 3).
Det ses, at grafen nærmer sig linien, når x nærmer sig - 3 1.
Definition:
En lodret asymptote er en lodret linie, som funktionens graf nærmer sig mere og mere, når x går mod et fast punkt fra højre og/eller venstre. (Det faste punkt er et punkt, hvor funktionen ikke er defineret).
Når f(x) +/- for x x0 og/eller f(x) +/- for x x0 er linien med ligningen x = x0 lodret asymptote til grafen for f.
På figuren kunne det også se ud, som om grafen kommer tættere og tættere på en vandret linie, når x-værdierne bevæger sig mod minus eller plus uendelig. Vi lader lige Derive undersøge sagen (Derivenote 4):
3 2
3 2
Indtegn linien y = 3 2 .
Det ses, at grafen nærmer sig linien, når x bevæger sig mod minus eller plus uendelig.
Definition:
En vandret asymptote er en vandret linie, som funktionens graf nærmer sig mere og mere, når x går mod minus og/eller plus uendelig
Når f(x) a for x - og/eller f(x) a for x + er linien med ligningen y = a vandret asymptote til grafen for f.
Vi snupper lige et eksempel mere :
Det kunne se ud til, at grafen nærmer sig linien y = 1, når x går mod plus uendelig. Lad os først se på en tabel over funktionsværdier for store x-værdier (Derivenote 5):
x f(x)
Derive Asymptoter
Ideen om at grafen nærmer sig y = 1 bliver bekræftet af denne tabel. Vi lader Derive afgøre sagen:
Hvad sker der mon til den anden side? Lad os undersøge, om der er en grænseværdi:
Vi indtegner linierne – zoomer lidt
- og konkluderer, at y = 1 og y = -1 er vandrette asymptoter.
Så er det vist på tide med et par opgaver:
Undersøg nedenstående funktioner for lodrette og vandrette asymptoter.
x x x
k
x x
l x x h
x x x
g
x x x
f
) sin (
) 2 ln(
) (
1 ) 1
(
4 4 ) 4
(
1 5 ) 3
(
2
Derive Asymptoter
Foruden lodrette og vandrette asymptoter findes der skrå asymptoter. Lad os starte med definitionen:
Definition:
En skrå asymptote er en linie med ligningen y = ax + b , ( a 0 ), som funktionens graf nærmer sig mere og mere, når x går mod plus eller minus uendelig.
Når f(x) – (ax + b) 0 for x + og/eller f(x) – (ax + b) 0 for x -
er linien med ligningen y = ax + b skrå asymptote til grafen for f.
Vi ser på et eksempel :
For store x-værdier er x
2 lille, hvorfor funktionen er tæt på x + 1, så lad os prøve at se på grænseværdien af f(x) – (x + 1) for x gående mod minus uendelig og plus uendelig :
Dette betyder jo ifølge definitionen, at linien med ligningen y = x + 1 er skrå asymptote til grafen for f, så lad os prøve at indtegne linien :
Det ser da ganske rigtigt ud.
Vi tager et eksempel mere : g(x) = (x2 1)
Hvis x bliver stor, har 1-tallet faktisk ingen betydning, så derfor vil g(x) – for store x-værdier – ligne x2 , og hvordan er det nu med den; lad os se hvad Derive siger:
Vi tegner derfor grafen for den numeriske værdi af x :
Derive Asymptoter
Det betyder jo så, at y = x og y =-x er skrå asymptoter (overvej lige det).
Og nok et eksempel :
Den ser ikke så pæn ud, så lad os tage en Simplify>Basic :
Her er de sidste led x + 1 noget lineært, så lad os se på
Dette betyder, at y = x + 1 er skrå asymptote.
Lad os lige se grafen og asymptoten :
Hvad sker der, når x går mod minus uendelig?
- og så skal vi have et par opgaver:
Bestem skrå asymptoter (og evt. andre asymptoter) for følgende funktioner
e x
x x
f( ) 2 1
1 2 ) 3
( 2
2 3
x x x x x
g
3 ) 1 ( )
(x x 2 h
8 ) 4
( 3
4
x x x
k
) ln(
)
(x e2 1e1
l x
5 4 )
(x x2 x m
Derive Asymptoter
Vi har i det tidligere set på en række af forskellige typer af funktioner. I det efterfølgende vil vi give en systematisk beskrivelse (m.h.t. asymptoter) af de funktioner, der kaldes polynomiumsbrøker – d.v.s. funktioner, der er brøker, hvor både tæller og nævner er polynomier.
Først ser vi på lodrette asymptoter. Som vi tidligere har set er der tale om en lodret asymptote for de x-værdier, hvor nævneren er 0 uden at tælleren er det. Hvis begge er 0, må der en yderligere
undersøgelse til. For polynomiumsbrøker går det let med Derive – vi får simpelthen programmet til at faktorisere tæller og nævner og forkorte, hvis det er muligt. Lad os se på et eksempel:
Simplify>Factor giver
Herefter er der ingen fælles rødder i tæller og nævner, hvorfor nævnerens rødder giver de lodrette asymptoter – i dette tilfælde x = -1. Lad os lige se grafen og den lodrette asymptote:
(Derivenote 6).
Vi skal nu undersøge, hvad der sker for polynomiumsbrøker, når vi lader x gå mod + og -. Det viser sig, at det er størrelsesforholdet mellem graden af tælleren og graden af nævneren, der er afgørende. Vi kalder tællerpolynomiet for T(x) og graden af dette for grad(T) – for nævneren N(x) og grad(N). Der forekommer 4 tilfælde, som vi undersøger ved eksempler – og generaliserer.
1) grad(T) < grad(N).
Metoden er at forkorte brøken (d.v.s. dividere i tæller og nævner) med den højest forekommende potens af x (her x3). (Derivenote 7):
Dette kan omskrives til (Derivenote 8):
Det ses nu let, at når x går mod + eller - går tælleren mod 0, og nævneren går mod 2 (som jo er
0). Derfor går funktionen mod 0, når x går mod + eller -. Det betyder at y = 0 er vandret asymptote.
Generelt:
Når grad(T) < grad(N) er linien y = 0 (x-aksen) vandret asymptote.
Derive Asymptoter
2) grad(T) = grad(N).
Vi benytter samme trick som før, og får
hvilket viser, at grænseværdien er 2
4 = 2 når x går mod + eller -. Det vil altså sige, at linien med ligningen y = 2 er vandret asymptote.
Generelt:
Når grad(T) = grad(N) er linien med ligningen y = b
a vandret asymptote (hvor a og b er er koefficienterne til højestegradsleddet i henholdsvis tæller og nævner).
3) grad(T) = grad(N) + 1.
Vi lader Derive udføre en polynomiers division og får
hvoraf følger, at f(x) – (x+1) 0 for x (Overvej lige hvoraf det følger).
Således gælder, at linien med ligningen y = x + 1 er skrå asymptote.
Generelt:
Når grad(T) = grad(N) +1 er der en skrå asymptote. Ligningen findes ved polynomiers division (Simplify<Expand).
4) grad(T) > grad(N) + 1.
Prøv lige at udføre polynomiers division i hånden! Forklar herefter hvorfor der hverken er
vandrette eller skrå asymptoter. Måske skulle du undersøge, om Derive kan klare divisionen og få det samme som dig.
Derive Asymptoter
Og så som sædvanlig et par (eller flere) opgaver.
Bestem samtlige asymptoter til graferne for følgende funktioner:
Derivenoter til Asymptoter.
1:
Declare>Function Definition
I første linie skrives f(x), i anden linie skrives funktionsudtrykket.
Klik på OK
Fremhæv funktionen i algebravinduet (venstre-klik).
Klik på knappen 2D-plot window (ligner en sinuskurve, 3. knap fra højre).
Du har nu et 2-dimensionalt koordinatsystem.
For at få indtegnet grafen, klikkes på Plot Expression (ligner også en sinuskurve, 6. knap fra venstre).
Prøv at zoome med de 6 knapper med pile.
Du kommer tilbage til algebravinduet ved at klikke på knappen yderst til højre (den med prikkerne). Prøv det.
Det kan være en fordel, at have begge vinduer (algebravinduet og plotvinduet) åbne samtidig: Window>Tile Vertically.
2:
Fremhæv funktionen i algebravinduet.
Klik på knappen lim.
Den variable x står der formodentlig allerede, ellers skriv den.
Limit Point er her - 3 1. Approach From: vælg left.
Klik på Simplifly (ikke OK) Gentag seancen med right.
Prøv også med Both.
3:
I indtastningslinien skriver du ligningen for linien: x = - 3
1 . Enter.
Skift til plotvinduet. Hvis skærmen er to-delt klikker du i plot-vinduet, ellers klikker du på ”sinuskurven”.
Klik på den nye ”sinuskurve”. Linien tegnes.
4:
Som ” 2” – blot skal Limit Point være (findes i sektionen under indtastningslinien).
Prøv alle tre muligheder i Approach From.
Gentag med Limit Point = -.
. 5:
Fremhæv funktionen i algebravinduet.
Calculus>Table Den variable er x.
Derive Asymptoter
Starting Value sættes til 50.
Ending Value sættes til 300.
Step Size sættes til 50.
Da vi skal bruge tabellen til at sammenligne værdier, vælger vi Approximate.
6:
Ønsker man en faktorisering uden forkortning kan følgende gøres: Fremhæv tælleren og Simplify<Factor, fremhæv derefter nævneren i det nye udtryk og
Simplify<Factor:
Prøv det.
7:
Hent funktionsudtrykket (kun højre side) ned i indtastningsfeltet og tilføj division med x3 i tæller og nævner (der skal i indtastningen parenteser om henholdsvis tællerbrøk og nævnerbrøk af hensyn til beregningen senere):
8:
Fremhæv tællerbrøken og Simplify<Expand, og i det nye udtryk fremhæves nævnerbrøken og Simplify<Expand
