Problem 1.15

Problem 1.8

(a) Følger ved gentagen anvendelse af definitionen.

(b) Fra (a) f˚as E(x_t) =δt. Endvidere er, idet vi uden tab af generalitet antager t≥s,

γx(s, t) = E(

t

X

k=1

wk s

X

l=1

wl) =

t

X

k=1 s

X

l=1

Ewkwl=

s

X

k=1 s

X

l=1

Ewkwl+

t

X

k=s+1 s

X

l=1

Ewkwl

=

s

X

k=1

Ew²_k+ 0 =sσ_w².

Bemærk, at vi s˚a har vist, dels at variansen af x_t er lig med tσ_w², og dels at γ_x(s, t) = min(s, t)σ²_w.

(c) Alts˚a er x_t ikke stationær, da disse størrelser afhænger af absolut tid.

(d)

ρ_x(t−1, t) = γ_x(t, t−1) ptσ_w²p

(t−1)σ_w² = (t−1) pt(t−1)

σ_w² σ_w² =

rt−1 t →1.

(e) Første differensen vil gøre x_t stationær, dvs. tidsrækken ∇x_t.

Problem 1.15

Ext = Ewtwt−1 = 0.

Ex_txt−k = Ew_twt−1wt−kwt−k−1 =

( Ew_t²w_t−1² = Ew²_tEw_t−1² =σ₂⁴ hvis k = 0 0 ellers

Konklusion: x_t er stationær.

Problem 1.20

Denne kode løser problemet: (2 ekstra observationer pga. tab i endepunkter ved genererin- gen af MA).

wa=rnorm(502,0,1) wb=rnorm(52,0,1)

1

va=filter(wa, sides=2, rep(1,3)/3) vb=filter(wb, sides=2, rep(1,3)/3) par(mfrow=c(2,1))

acf(va,20,na.action=na.pass) acf(vb,20,na.action=na.pass)

Problem 1.21

Generer data ligesom i problem 1.2 og skriv acf(x,25). Sample ACF vil vise signifikante korrelationer i en cyklus hver fjerde lag. Processen er ikke stationær fordi middelværdi- funktionen afhænger aft.

Problem 2.1

(a)–(c): Den følgende kode vil producere de nødvendige resultater. Modellen er over- parametriseret, hvis en afskæringsværdi er inkluderet (leddene for hver Q er afskæringsværdier).

Generelt s˚a erαi−αj den gennemsnitlige stigning (det gennemsnitlige fald) fra kvartal i til kvartal j. Der er væsentlig korrelation i residualerne.

jj=ts(scan("/minedata/jj.dat"), start=1960, frequency=4) Q1=rep(c(1,0,0,0),21)

Q2=rep(c(0,1,0,0),21) Q3=rep(c(0,0,1,0),21) Q4=rep(c(0,0,0,1),21)

time=seq(1960,1980.75,by=0.25) reg=lm(log(jj)~0+time+Q1+Q2+Q3+Q4 summary(reg) # regressionsoutput plot.ts(log(jj))

lines(time,reg$fit,col="red") # de tilpassede v{\ae}rdier er i reg$fit plot.ts(reg$resid) # residualerne er i reg$resid

acf(reg$resid,20)

Problem 2.6

(a) Det er klart, at Ex_t = β₀ + β₁t og at middelværdien afhænger af t. Bemærk at punkterne vil være tilfældigt fordelt omkring en ret linie.

(b) Bemærk, at ∇x_t=β₁+w_t−wt−1 s˚aledes at E(∇x_t)) =β₁, og

Cov(∇x_t+h,∇x_t) =







2σ_w², for h= 0

−σ²_w, for h=±1 0 for |h|>1 2

(c) Her er∇x_t =β₁+y_t−yt−1, s˚a Ex_t=β₁+µ_y −µ_y =β₁. Endvidere

Cov(∇x_t+h,∇x_t) = Cov(y_t+1−y_t+h−1, y_t−y_t−1) = 2γ_y(h+ 1)−γ_y(h−1), som er uafhængig af t.

3