Modellering og
digitale værktøjer i
matematik
Kursusopslag
• Matematisk modellering i grundskolen handler i vid udstrækning om at kunne opstille og afkode matematiske modeller, der beskriver forhold fra virkeligheden. Brugen af digitale værktøjer i undervisningen giver mulighed for hurtigt at få svar på spørgsmålet: ”Hvad sker der, hvis…?”
• Matematisk modellering kommer i spil i de tilfælde, hvor matematik anvendes til at beskrive eller analysere en problemstilling fra omverdenen. Modeller kan også bruges til at forudsige, hvordan en given situation kan udvikle sig, eller hvordan et bestemt problem kan håndteres.
Arbejdet med modellering kræver ofte værktøjer, der kan behandle store datamængder, eller værktøjer, der kan udføre mange beregninger, fx ved simulering af en problemstilling.
• Kurset vil veksle mellem oplæg, diskussion af muligheder og udfordringer for underviser og elever og eksemplarisk arbejde i at bruge digitale værktøjer til modellering af forskellige situationer, hvor en matematisk model kan være med til at give et mere kvalificeret svar på en problemstilling.
Kursusmaterialer
• http://mitlink.dk/titan
Dagens program
Velkommen
En kop kaffe!
Modellering - Hvad står der i fælles mål og læseplan?
En model for matematisk modellering
Brug af cas til modellering – Hvad koster det at holde kanin?
Kritisk modellering – artikel fra Samvirke
Trinvis fremskrivning i regneark
Simulering i regneark
Modellering med brug af GeoGebra
Evaluering af modelleringskompetence
Tak for i dag
Hvad koster det at lave en kop kaffe?
Hvilke forhold har betydning?
Hvilke variable er relevante?
Matematisk model
Modelresultat
Tolkning af resultatet
Justering af modellen
Fælles mål
Modellering – trinmål efter 3. klasse Eleven kan undersøge enkle hverdagssituationer
ved brug af matematik Eleven har viden om sammenhænge mellem
matematik og enkle hverdagssituationer Eleven kan tolke matematiske resultater i forhold
til enkle hverdagssituationer
Eleven har viden om sammenhænge mellem matematiske resultater og enkle
hverdagssituationer
Modellering – trinmål efter 6. klasse Eleven kan gennemføre enkle
modelleringsprocesser Eleven har viden om enkle modelleringsprocesser Eleven kan anvende enkle matematiske modeller Eleven har viden om enkle matematiske modeller
Fælles mål
Modellering – trinmål efter 9. klasse Eleven kan afgrænse problemstillinger fra
omverdenen i forbindelse med opstilling af en matematisk model
Eleven har viden om strukturering og afgrænsning af problemstillinger fra omverdenen
Eleven kan gennemføre modelleringsprocesser, herunder med inddragelse af digital simulering
Eleven har viden om elementer i
modelleringsprocesser og digitale værktøjer, der kan understøtte simulering
Eleven kan vurdere matematiske modeller Eleven har viden om kriterier til vurdering af matematiske modeller
Fælles mål
Modellering – trinmål efter 10. klasse Eleven kan vurdere egne og andres
modelleringsprocesser Eleven har viden om hele modelleringsprocesser
Læseplanen 1. trinforløb
I 1. trinforløb skal undervisningen lægge vægt på elevernes anvendelse af matematik til undersøgelse og behandling af enkle hverdagssituationer uden for matematikken.
I arbejdet med disse hverdagssituationer skal eleverne foretage oversættelser til matematikken og inddrage matematiske færdigheder og viden fra alle tre stofområder.
Læseplanen 2. trinforløb
I 2. trinforløb lægger undervisningen vægt på, at eleverne bliver i stand til at gennemføre enkle modelleringsprocesser.
Sådanne processer omfatter opstilling af en problemstilling fra omverdenen, oversættelse af problemstillingen til en matematisk model, matematisk behandling af modellen og tolkning af den matematiske model i forhold til den oprindelige problemstilling.
Læseplanen 3. trinforløb
Elevernes modelleringsprocesser skal i dette trinforløb omfatte strukturering og afgrænsning af den del af omverdenen, de skal modellere, opstilling af en problemstilling, oversættelse af
problemstillingen til en matematisk model, matematisk behandling af modellen, tolkning af den matematiske model i forhold til den oprindelige problemstilling og kritisk analyse af
modellen.
I arbejdet med modellering skal eleverne kunne inddrage digital simulering, når det er muligt og hensigtsmæssigt. Det kan fx være i forbindelse med analyse af usikkerheden i en
stikprøveundersøgelse eller i forbindelse med analyse af en vækstmodel ved hjælp af regneark.
Læseplanen 10. klasse
• I 4. trinforløb skal undervisningen i modellering lægge vægt på, at eleverne bliver i stand til at vurdere egne og andres modelleringsprocesser. Elevernes vurdering skal bl.a. finde sted i tilknytning til egne og andres præsentationer af deres arbejde med matematisk modellering og omfatter vurdering af:
Problemstillingen, der er opstillet.
Struktureringen og afgrænsningen af den del af omverdenen, der er modelleret.
Oversættelsen af problemstillingen til en matematisk model.
Den matematiske behandling af modellen.
Tolkningen af den matematiske model i forhold til den oprindelige problemstilling.
Den kritiske analyse af modellen
Problemstilling
Matematisk system
Matematisk model
Modelresultat
Handling Model af modellering
Str uk tur eri ng Afg ræ nsn ing
Matematisering Matematisk
behandling Kriti
sk a naly se af m ode
llen
Tolkning af resultat
Hvad koster det at holde hund?
• Hvilke variable kan indgå?
• Race – størrelse – dyrlæge – købspris – forsikring – stamtavle – sterilisation – sundhedsforsikring – farve – køn – antal leveår – halsbånd – navneskilt – legetøj– osv.
• Afgrænsning og systematisering
• Engangsudgifter
• Variable udgifter
Matematisk model
Simpelt regneudtryk
Algebraisk udtryk med brug af variable
Regnearksmodel
Modelresultat
Handling
• Tolkning af resultatet – er det rimeligt?
• Hvordan kan modellen gøres bedre?
Mål og tegn på læring for et modelleringsforløb
• Eleven kan
Opliste variable, som kan indgå i modellen.
Afgrænse, systematisere og strukturere de variable.
Opstille en beregningsmodel.
Bruge modellen til at beregne et modelresultat.
Forholde sig kritisk til det beregnede resultat.
Forholde sig kritisk til modellen.
Hvad koster det at holde kanin?
• Brug af cas!
Wordmat - videovejledninger
• Wordmat – Model
• http://mitlink.dk/WORDMAT1
• Wordmat – Hvad sker der hvis
…?
• http://mitlink.dk/WORDMAT2
Smath - videovejledninger
• Smath – Model
• http://mitlink.dk/SMATH1
• Smath – Hvad sker der hvis …?
• http://mitlink.dk/SMATH2
Modelkritik
Formel til beskrivelse af vækst
� ( � + 1 ) = � ( � ) + � ( � )
•
Lineær vækst
Sonja får en sparebøsse. Hun aftaler med sin mor, at hun hver lørdag kommer 20 kr. i sparebøssen.
…
•
Trinvis fremskrivning
• Niels Jacob køber en ny bil til 110 000 kr. Han har 30 000 kr. til udbetalingen og vil kunne betale 3000 kr. hver måned.
• Han mangler derfor at betale 80 000 kr. De penge låner han, men der
bliver lagt 2 % i omkostninger til de 80 000 kr., så i alt låner han 81 600 kr.
• Renten, som tilskrives månedligt er 5 % p.a.
• Hvor mange måneder vil det vare før lånet er betalt tilbage, når ydelsen er 3000 kr. pr. måned?
• Hvor meget skal Niels Jacob i alt betale i rente?
• Hvad nu hvis …?
• http://mitlink.dk/AFBETALING
Danmarks befolkningstal
• Tegn en kurve, der viser udviklingen i befolkningstallet.
• Opstil en matematisk model – vurder hvilken model der er mest rimelig!
• Hvor stort vil befolkningstallet være i år 2020, hvis udviklingen fra år 2000 fortsætter?
• Begrund dit svar.
GeoGebra
Regneark
