Vektorfunktioner – parameterkurver.
En vektorfunktion kan defineres direkte i DERIVE ved at taste f.eks:
f(t): = [t^3-t,t+1].
Det kan i nogle sammenhænge være smart at have navngivet koordinatfunktionerne, så ovenstående funktion kunne også defineres:
x1(t): = t^3-t y1(t): = t+1 f(t):=[x1(t),y1(t)]
Advarsel: Lad være med at skrive: x(t):=…. y(t):=… x:=…. eller y:=…
x og y er i DERIVE forbeholdt som specielle variabelnavne, og så skal de ikke defineres til noget. Brug derfor andre navne end lige x og y. Her er brugt navnene x1 og y1.
Grafen for en vektorfunktion tegnes på sædvanlig måde. Bemærk, at man under ”Plot Parameters”
lige skal definere maksimums- og minimumsværdien for t, ligesom I vælger Plot Mode til ”Line”.
Øvelse 1.
Tegn grafen for f i et passende vindue.
Ved at taste f ’(t0) fås hastighedsvektoren i punktet med t = t0
Øvelse 2.
Bestem f ’(2), og kontroller, at det passer.
Bestem vinklen mellem denne vektor og 1. aksen.
I DERIVE er indbygget, at man kan bestemme ligningen for en tangent til kurven. Ordren y = PARA_TANGENT(f(t),t,t0,x)
giver en ligning for tangenten, der rører i punktet med t-værdi t0. Variablerne i denne tangentligning er så kaldt x og y.
Øvelse 3.
Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet med t-værdi -1. Tegn denne tangent, og se på figuren, at det er en tangent.
I DERIVE er der også en anden ordre:
y = PARA_PERPENDICULAR(f(t),t,t0,x)
giver ligningen for den linje, der går gennem punktet f(t0) og står vinkelret på tangenten i dette punkt.
Øvelse 4.
Bestem en ligning for normalen til tangenten til grafen for f i punktet med t = -1. Tegn denne linje.
I nogle tilfælde kan I have lyst til at omdanne forskriften for en vektorfunktion til at udtrykke y som en funktion af x. Det kan man f.eks. gøre som i følgende eksempel:
Eksempel.
En vektor funktion er givet ved f(t) =(x,y)= (t-3, 2t+5). I ønsker at udtrykke y som funktion af x.
I DERIVE taster I nu:
[x,y] = [t-3,2t+5], og herefter løser I ligningen mht. t.
Det giver jer løsningen:
t x t y
3 5
2
Herefter sætter I de to udtryk for x hhv. y lig med hinanden og løser denne ligning mht. y. Det skulle gerne give jer resultatet y=2x+11.
I nogle tilfælde er det smartere at udtrykke t ved x og herefter (v.hj.a. variabel-substitution) indsætte denne t-værdi i udtrykket for y.
Øvelse 5.
En vektorfunktion er givet ved: f(t) = (x,y) = (ln(t), t2 – 3t +2). Udtryk y som funktion af x.
Øvelse 6.
En vektorfunktion er givet ved: f(t) =(x,y) = (t - 1,t2 - 4). Udtryk y som funktion af x.
Bestem på begge måder fra formelsamlingen arealet af den punktmængde, der begrænses af grafen og 1. aksen.
Herefter kan I ved hjælp af DERIVE regne de vejledende eksamensopgaver 3.073, 3.074 og 3.075.
