Integrand eller integrale gående imod uendelig?
Integrander
Betragt 2 potensfunktioner: og .
nærmer sig 0 fra højre:
Med håndregning:
nærmer sig 0 fra højre, fordi tæller er 1 og nævner nærer sig 0.
Med Maple:
= =
Grafer over integranderne:
Integraler
Integralet fra til 1, hvor .
Med håndregning:
Med Maple:
= =
Grænseværdien af integralerne for gående imod 0 fra højre.
Med håndregning:
Med Maple:
= = 1
Alternativ:
= = 1
Grafer over integralerne:
Konklusion:
går imod 0 fra højre.
Det ene integrale går imod 1, når venstre grænse går imod 0 fra højre.
går imod 0 fra højre.
Et integrale kan altså godt have en endelig grænseværdi selv om integranden ikke har det!
Integrationsgrænse, som går imod uendelig
Integrander
Givet 2 funktioner, som er defineret i , og som begge går imod 0, når går imod uendelig.
= 0 = 0
Grafer over integranderne:
Integraler
Hvad sker der med integralet fra 1 til , når går imod uendelig?
Med håndregning:
Med Maple:
= = b Grænseværdi af integralerne:
Med håndregning:
Med Maple:
= = 1
Alternativ:
= = 1
Grafer over integralerne:
Konklusion:
Begge integrander går imod 0, når
Det andet integrale går imod 1, når højre grænse
Et integrale kan altså godt have en endelig grænseværdi ved integration ud til uendelig!
Et omdrejningslegeme med endeligt rumfang og uendelig overflade
Gabriels horn: https://en.wikipedia.org/wiki/Gabriel's_Horn
Funktionen roteres om x-aksen, og betragtes for . Hvad sker der, når integrationsgrænsen går imod uendelig?
Endeligt rumfang
Rumfanget kan let beregnes med formlen kendt fra gymnasiet:
= b
Grænseværdien af rumfanget, når går imod uendelig:
= Alternativ:
=
Konklusion:
Så kan der kun være en endelig mængde øl i hornet!
Uendelig overflade
Overfladearealet (uden bunden ved ) beregnes med formlen - måske kendt fra gymnasiet:
=
Grænseværdien af overfladearealet, når går imod uendelig:
= Alternativ:
=
Konklusion: Overfladearealet er altså uendeligt.
Så er det umuligt at male hele overfladen!
Beregninger som lært i Matematik 1 på DTU
Rotationsmatrix for rotation om x-aksen:
https://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_matrix#Basic_rotations
NB: Jeg bruger altid rotationsmatrix frem for eNoterne, som kun beskæftiger sig med rotation om z-aksen!
Læs generelt om rotation om en vilkårlig akse:
https://steen-toft.dk/mat/3d-print/geometri.htm
Overfladearealet, som lært i Matematik 1 på DTU
Parametrisering af kurven, som ligger i xz-planen:
Parametrisering af hornets overflade:
=
Graf over hornets overflade:
= =
=
= Alternativ:
=
Overfladearealet er altså uendeligt.
Rumfang, som lært i Matematik 1 på DTU
Parametrisering af det plane område, som ligger under kurven i xz-planen:
Parametrisering af hornets rummelige område:
=
Graf over det rumlige område, som hornet udfylder:
=
= b
= Alternativ:
=
