Integralregning og lidt om fysik

(1)

CT-2001 "fysinteg.doc"

Integralregning og lidt om fysik

For en retlinet bevægelse er hastighedsfunktionen v(t) differentialkvotienten af stedfunktionen s(t). Dette kan også skrives

s

s t s t v t dt

t



^{( )}

² 

^{( )}

¹ 



t¹²

^{( )}

øvelse 1 Opskriv det tilsvarende udtryk for sammenhængen mellem hastigheden og accelerationen.

øvelse 2 En partikels acceleration er givet ved a t( ) 4 t^{, 0}£ t £ 8 Partiklens hastighed til t = 0 er 5 m/s. Beregn den strækning, som partiklen tilbagelægger i tidsrummet [0;8].

Middelhastigheden i et tidsinterval [t1;t2] er defineret som s/t, med t = t2- t1. Dette kan derfor skrives

dt t t v t t

s

v ^t

mid ^^ ^ ^ _



t1²

) 1 (

/

1 2

I almindelighed defineres middelværdien <f> af en funktion i intervallet [a;b]

ved

dx x a f

f b ^b



a

 

 1 ( )

dx

At dette er en fornuftig definition kan indses ved at lave en lille figur af en positiv, voksende funktion på et interval [a;b]. Lav figuren og prøv at indse at;

for en positiv funktion er arealet under f-grafen lig med med funktionenes middelværdi ganget med intervallængden (areal af et retangel). Altså gælder:

dx x f f

a

b ^b



a







 ) ( )

( (areal af retangel = areal under graf)

For en sinusformet vekselspænding med periode T er spændingen u(t) = Umsin(wt) , hvor Um er den maksimale spænding, og w = 2p/T.

På lysnettet er T=1/50s , og spændingen angives til 220V, hvilket er

effektivspændingen, det vil sige den jævnspænding, der afsætter den samme effekt i en modstand.

øvelse 3 Udnyt at effekten er givet ved P(t) = u(t)i(t) samt i(t)=u(t)/R til at vise at

P t U t

R ( )

 m²

sin ( )

² w

øvelse 4 Opstil et udtryk for middelværdien <P> (integrer over en periode fra 0 til T).

øvelse 5 Eftervis eventuelt vha. Derive at

sin ( )

²

0^T wt dt

T 2



(2)

Du burde nu kunne verificere følgende udtryk 

P



U

 

RT

T U

R

m m

2 2

Dette udtryk sammenholdes med at en konstant jævnspænding afsætter effekten P=U2/R

Så derfor gælder det at U_m  2U. For lysnettet er Um=311V.

(3)

Det arbejde, A, som en kraft udfører på et legeme ved at flytte det fra position a til position b, er defineret som

A F s ds

a





b ^{( )}

eksempel Fjederkraften Ff er givet ved Ff = -kx , hvor k er

fjederkonstanten. Når en fjeder strækkes fra ligevægtsstillingen til positionen xo , udfører Ff derfor arbejdet

A





⁰^x⁰

⁽



kx dx ⁾

 

¹ 2 kx

⁰

øvelse 6 Udnyt Newtonsgravitationslov F = -GMm/r2 til at beregne tyngdekraftens arbejde ved flytning af en partikel med massen 1 kg fra det uendeligt fjerne til jordens overflade. Jordens radius er 6380 km, og G = 6,67  10-11 Nm2/kg2.

(Her er en indgangsvinkel til raketter og undslippelses hastighed)

øvelse 7 Beregn, hvor meget energi der frigøres, hvis et 1 kg lod falder fra det uendeligt fjerne ned på overfladen af en neutronstjerne med massen 4,0  1030 kg og radius 10 km.

øvelse 8 Hvad er en neutronstjerne.

øvelse 9 Hvordan kan definitionen på arbejde simplificeres i et konservativt kraftfelt ?

Integralregning og lidt om fysik