Loven om proportional effekt

Vi betragter en genstand, hvis størrelse (f.eks. vægt, volumen etc.) underkastes foran-dringer i

n

skridt. Vi går ud fra, at størrelsen efter det

r

’te skridt kan betragtes som en stokastisk variabel

X

r^{. Med}

X

⁰betegnes begyndelsesværdien. Lad os nu antage, at tilvæksten (der kan være en reduktion!) fra skridt

i

^?

1

^{til skridt}

i

er en stokastisk variabel af den aktuelle størrelse, d.v.s.

X

i^?

X

i^?1

= C

i

X

i^{?1 (1.15)}

eller

X

i

= (1 + C

i

)X

i^?1

:

^(1.16)

Heraf fås

X

n

= X

⁰

(1 + C

¹

)(1 + C

²

)

(1 + C

n

):

Bemærk, at

C

i’erne er stokastisk variable.

DEFINITION1.17. Et system siges at følge loven om proportional effekt, hvis det

tilfredsstiller (1.15). ^N

Hvis følgen af stokastiske variable

X

⁰

;1+C

¹

;

;1+C

n

;

tilfredsstiller betingelserne i sætning 1.29 eller sætning 1.30, da vil størrelsen af genstanden være asymptotisk LN-fordelt.

Hvis man derfor har en fysisk proces, som følger loven om proportional effekt, vil man derfor kunne beskrive udfaldet af processen ved en stokastisk variabel, der er LN-fordelt.

Som eksempel kan vi nævne biologisk vækst, idet tilvæksten her ofte vil være propor-tional med antallet af celler. LN-fordelte stokastiske variable anvendes derfor ofte til beskrivelse af vægt, højde, længde etc. af biologiske individer.

I kemien møder man ofte tilsvarende forhold f.eks. ved krystallers vækst. Eksem-pelvis anvendes LN-fordelingen ofte til beskrivelse af størrelsen af sølvpartikler i en fotografisk emulsion.

Endvidere kan LN-fordelingen ofte anvendes til beskrivelse af partikelstørrelser i ko-rnede materialer, der er resultatet af gentagne knusningsprocesser. Som eksempler på sådanne materialer kan nævnes sand og grus ("naturlig" knusning) og malm ("kunstig"

knusning). Begrundelsen er som før loven om proportional effekt, denne gang blot med negative tilvækster. Udsættes partiklen for et slag, vil den formindskes med en vis brøkdel. Udsættes den for nok et slag, vil den igen formindskes, denne gang formentlig en anden brøkdel etc., således at vi kan antage (1.15) opfyldt med negative C’er.

Det må også nævnes, at [11] har godtgjort, at en hydrologisk hændelse af en vis stør-relse

X

kan opfattes om et produkt

X = X

¹

X

r

af

r

uafhængige størrelser, der skyldes meteorologiske og geografiske faktorer. Da

r

^er

et stort tal, vil man igen forvente, at

X

er LN-fordelt.

EKSEMPEL1.25. I nedenstående figur er vist et histogram for fordelingen af diametre af alit-krystaller brændt i 18 timer ved

1500

. Alit er et cementklinkemineral. Data stammer fra [49].

Efter loven om proportional effekt skulle man forvente en logaritmisk normal fordeling, og dette bekræftes af den indtegnede frekvensfunktion for en LN-fordeling.

1.6. DEN LOGARITMISKE NORMALE FORDELING 139

0 20 40 60 80 100 120

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025

Diameter i mikrometer

Relativ hyppighed/klassebredde

EKSEMPEL1.26. Lad os antage, at diameteren af sandpartikler kan beskrives ved en stokastisk variabel

X

²

LN(;

²

)

. Hvis massetætheden af partiklerne er

, vil vægten af en partikel være

Z =

X

^{3, hvor}

er en konstant. Ifølge sætning 1.28 er

Z

²

LN(log

_e

(

) + 3;9

²

)

, d.v.s. vægtfordelingen er igen logaritmisk normal.

Dette resultat retfærdiggør den noget ubestemte vending "partikelstørrelse".

I tilknytning til ovenstående indfører vi begrebet en momentfordeling i

DEFINITION1.18 (MOMENTFORDELING). Lad den stokastiske variabel

X

have tæthe-den

f(x)

, som forudsættes at være 0 for

x < 0

^{. Ved den}

j

’te momentfordeling for

X

forstås da fordelingen med fordelingsfunktion

G

j

(x) = 1 E

^?

X

^j

Z x

0

t

^j

f(t)dt:

N

Læg mærke til, at

G

_j

(x)

er defineret for enhver tæthedsfunktion

f(x)

og således, at den automatisk bliver en fordelingsfunktion med

G

_j

(

¹

) = 1

^.

Der gælder nu

SÆTNING1.31. Lad

X

²

LN(;

²

)

. Da er den

j

’te momentfordeling for

X

^en

LN( + j

²

;

²

)

-fordeling.

Bevis. Beviset er ligefremt. Vi har

Vi ser nu, at integranden er proportional med frekvensfunktionen for en

LN( + j

²

;

²

)

-fordeling. Heraf følger resultatet umiddelbart. Bemærk i øvrigt, at det i oven-stående ikke er nødvendigt at holde rede på konstanterne, da vi ved, at

G

j

(

¹

) = 1

^.

EKSEMPEL1.27. Ved analysen af kornede materialer som f.eks. sand anvender man ofte et sold med forskellige maskestørrelse. På denne måde kan man få separeret mate-rialet i en række grupper svarende til forskellige diametre. Ved sådanne undersøgelser er man som regel interesseret i fordelingen af korndiameteren. Man kan derfor "blot"

tælle antallet af partikler i hver klasse. På denne måde får man et histogram over korn-fordelingen. Nu vil der jo ofte være et endog meget stort antal partikler i hver klasse, således at dette ikke er praktisk muligt.

I stedet kan man veje materialet i hver klasse og anvende vægte som udtryk for den relative hyppighed i de forskellige klasser. Lad der være

n

i partikler i klassen med midtpunkt i

x

i. Ved vejemetoden får vi "hyppigheden"

cx

³_i

n

i^'

c

¹

x

³_i

f(x

i

);

hvor

f(x

i

)

er tætheden for fordelingen af korndiameteren. Vi ser nu, at vejemetoden i stedet for at give den søgte fordeling giver den tredie momentfordeling.

Hvis (tælle-)fordelingen af korndiametre er

LN(;

²

)

, bliver vægtfordelingen derfor en

LN( + 3

²

;

²

)

-fordeling, og det fremgår, at det umiddelbart er muligt at komme fra karakteristika i den ene fordeling til karakteristika i den anden.

1.6. DEN LOGARITMISKE NORMALE FORDELING 141

Sluttelig må nævnes, at LN-fordelingen har været anvendt til beskrivelse af elektricitets-forbruget f.eks. i en by og til beskrivelse af indkomstfordelinger.

EKSEMPEL1.28. Fra et elektricitetsværk oplyses, at middelforbruget i et døgn i en bydel er 5000 kWh, og standardafvigelsen er 2500 kWh. Man er interesseret i at erfare, hvad sandsynligheden er for, at forbruget i et enkelt døgn overstiger 10000 kWh. For at besvare dette spørgsmål må vi gøre en antagelse om fordelingen af forbruget. Vi antager, at forbruget kan beskrives ved en stokastisk variabel

X

²

LN(;

²

)

^{, og vi}

søger

P

^f

X > 10000

^g. Vi bestemmer først

^og

². Sætning 1.27 giver umiddelbart

= log

_e

5000

^?

1 2 log

^e

625

10

⁴

25

10

⁶

+ 1

= 8:40559

²

= log

_e

625

10

⁴

25

10

⁶

+ 1

= 0:22314 = 0:472

²

Vi har nu

P

^f

X > 10000

^g

= P

^f

log

_e

X > 4log

_e

10

^g

= P

N(8:40559;0:22314) > 9:21034

= P

N(0;1) > 1:70

= 0:0446

Under antagelsen om, at

X

²

LN(;

²

)

, har vi altså fundet, at sandsynligheden for et

forbrug på over 10000 kWh er

4:46%

^.

1.7 Ekstremværdiproblemer

Statistiske problemer, som vedrører den mindste eller den største værdi blandt et antal stokastiske variable, benævnes ekstremværdi problemer. Sådanne problemer optræder hyppigt i praksis i forbindelse med bestemmelse af eksempelvis levetider, brudstyrker eller i forbindelse med vurdering af såkaldte ’outliers’, dvs. observationer, som ligger betænkeligt langt fra de øvrige observationer i en stikprøve.

EKSEMPEL1.29. Betragt en almindelig kæde, som består af

n

led. Kæden brydes, når det svageste led bryder. Det kan være rimeligt at antage, at brudstyrken for de enkelte led,

X

i^,

i = 1;2;:::;n

, er uafhængige stokastiske variable med fordelingsfuk-tion

F(x)

. Ordnes de

n

stokastiske variable (brudstyrken af kædens enkelte led) efter størrelse, benævnes den mindste

X

⁽¹⁾, den næstmindste

X

⁽²⁾ osv, indtil den største, som benævnes

X(n)

^.

En kædes brudstyrke er således netop givet ved

X

⁽¹⁾. Hvis man ønsker at vurdere kædens brudstyrke, må man derfor tage i betragtning, at brudstyrken afhænger af, hvor mange led, der er i kæden, såvel som variationen mellem de enkelte led.

Ek-stremværdistatistikken beskæftiger sig hermed.

In document En Introduktion til Statistik (Sider 137-142)