Lidt om stokastiske modellers verifikation

Blandt statistikere (og erkendelsesteoretikere) foregår en livfuld diskussion om, hvilke af en række sandsynlighedsbegreber (logiske, subjektive, frekventielle o.a.), der skal danne grundlaget for den praktiske anvendelse af stokastiske modeller. Det er ikke meningen her at referere, endsige bidrage til denne diskussion. En rimelig tilgængelig

85

oversigt findes i [2]. Se også [26]. Vi vil her gå ud fra eksistensen af - og, at læseren er indforstået med - begrebet sandsynligheden for givne udfald af visse såkaldte til-fældige) fysiske eksperimenter, og at vi kan udnytte stokastiske variable til at angive målinger af disse udfald.

I dette kapitel skal vi som nævnt beskæftige os dels med de analytiske egenskaber ved sandsynlighedsfordelinger og dels med disse fordelingers genesis (oprindelse).

For at lette læsningen vil det være af værdi, at der knyttes konkrete eksempler til frem-stillingen. Vi vil derfor først give en beskrivelse af de matematiske resultater, som gør det muligt at vurdere en models rimelighed ud fra en række gentagne observationer af et fænomen. En nærmere diskussion af de problemer, der er forbundet med vendingen

"en gentagelse af et eksperiment" gives i indledningen til kapitel 2. I nærværende afsnit kan vi nøjes med det almindeligt accepterede indhold, ordet umiddelbart tillægges.

Vi omtaler først begrebet indikatorfunktionen

I

Afor en vilkårlig mængde A. Den er defineret ved

I

A

(x) =

1;

^hvis

x

²

A 0;

^hvis

x

⁶²

A :

Vi er nu i stand til at indføre et meget vigtigt begreb, nemlig den empiriske fordelings-funktion for en række stokastiske variable

X

¹

;

;X

n

:

^{Vi har}

DEFINITION1.1 (DEN EMPIRISKE FORDELINGSFUNKTION).

F

n^for

X

¹

;

;X

n er givet ved

F

n

(x) = 1n

^X_i=1ⁿ

I

^fXix^g

;

hvor

I

betegner indikatorfunktionen. Verbalt kan vi udtrykke det, at den empiriske fordelingsfunktion er den relative hyppighed af de

X

i’er, der er mindre end eller lig

med

x

^{. N}

BEMÆRKNING1.1. Vi ser, at den empiriske fordelingsfunktion taget i et vilkårligt punkt er en stokastisk variabel. Har vi givet realiserede udfald

x

¹

;

;x

n, da er det re-aliserede udfald af

F

n

(x)

lig værdien af fordelingsfunktionen for ligefordelingen over

x

¹

;

;x

n(den fordeling, der tilordner hvert af punkterne

x

¹

;

;x

n

sandsynlighe-den¹n). Dette er skitseret i nedenstående graf. ^H

1.1. LIDT OM STOKASTISKE MODELLERS VERIFIKATION 87

3 Relativ hyppighed af de enkelt udfald

Realiseret udfald af F n

x x x

Hvis

X

¹

;

;X

n er uafhængige og identisk fordelte med fordelingsfunktionen

F

^,

kunne man håbe, at et realiseret udfald af

F

nkan anvendes som skøn over

F

^{. Det}

forholder sig virkelig således, idet der gælder følgende meget vigtige sætning.

SÆTNING1.1 (DEN MATEMATISKE STATISTIKS HOVEDSÆTNING). Lad

X

¹

;

;X

n, være indbyrdes uafhængige og identisk fordelte med fordelingsfunktio-nen

F

. Da er sandsynligheden for, at den empiriske fordelingsfunktion

F

nkonvergerer ligeligt mod den teoretiske fordelingsfunktion

F

, lig 1. Udtrykt formelt har vi

P

Bevis. Forbigås. Se f.eks. [47, p. 335].

På basis af denne sætning kan man ud fra gentagne observationer af et stokastisk fænomen vurdere, om en postuleret fordeling er rimelig ved at sammenligne det re-aliserede udfald af den empiriske fordelingsfunktion med den postulerede fordelings-funktion.

Hvis afvigelserne mellem de to funktioner skønnes store, har man en indikation af, at modellen ikke er fyldestgørende. En nærmere præcisering af, hvad der menes med

"store", vil blive gennemgået i afsnittet om testteori og uddybet i kapitel 4.

I stedet for at sammenligne fordelingsfunktionerne vil man ofte se på

frekvensfunk-tionerne. Hvis der er tale om diskrete fordelinger, er dette ganske ligefremt. Hvis der derimod foreligger observationer fra en kontinuert fordeling, vil den realiserede empiriske fordelingsfunktion ikke svare til en kontinuert fordeling, men til en diskret fordeling med støtte i observationsværdierne.

Dette problem omgår vi ved at foretage en såkaldt gruppering af materialet, d.v.s. vi inddeler et interval, der indeholder alle observationer i et antal delintervaller, såkaldte klasser. Vi tænker os nu, at alle observationer, der ligger i et delinterval, er jævnt fordelt over intervallet, og inddelingen giver således anledning til

DEFINITION1.2 (HISTOGRAM). Den tæthedsfunktion, som er konstant i ethvert delin-terval, og hvis integral over ethvert interval er proportionalt med antallet af observa-tioner i intervallet, kaldes det til inddelingen svarende histogram. ^N

DEFINITION1.3 (SUMPOLYGON). Den til et histogram svarende fordelingsfunktion

kaldes en sumpolygon. ^N

Problemer vedrørende valg af delintervaller (antal, størrelse, etc. ) behandles i kapitel 4.

Vi illustrerer nu begreberne i følgende eksempel.

EKSEMPEL1.1. I nedenstående tabel er anført målingen af hovedets diameter på 36 nittehoveder. (Uddrag af større datamateriale i [25]).

Diameter i mm

13.62 13.26 13.24 13.39 13.51 13.52 13.44 13.33 13.25 13.26 13.13 13.56 13.20 13.35 13.28 13.55 13.47 13.38 13.29 13.44 13.49 13.54 13.40 13.20 13.26 13.34 13.33 13.37 13.56 13.37 13.63 13.33 13.26 13.31 13.35 13.33

Vi vil nu konstruere et histogram og en sumpolygon svarende til disse målinger. Vi har, at den mindste og den største observation er

13:13

, henholdsvis

13:63

^.

Vi vælger derfor at inddele intervallet

[13:105;13:705]

, der omslutter alle observa-tioner, i 6 lige store dele. Vi bemærker, at intervalendepunkterne har en decimal mere end målingerne på nittehovedet. Dette sikrer, at der ikke opstår tvivl om, hvilket interval en måling skal placeres i. Vi bestemmer nu antallet af observationer i hver klasse og får følgende skema. I skemaet er endvidere anført de kumulerede antal., d.v.s. de successive summer af antallene i de enkelte klasser.

1.1. LIDT OM STOKASTISKE MODELLERS VERIFIKATION 89

Klasse Antal Kumuleret Kum.

antal ant.

=36

13.105–13.205 111 = 3 3 0.08

13.205–13.305 11111 111 = 8 11 0.31

13.305–13.405 11111 11111 111=13 24 0.67

13.405–13.505 1111 = 4 28 0.78

13.505–13.605 11111 1 = 6 34 0.94

13.605–13.705 11 = 2 36 1.00

Histogrammets værdi i f. eks. klassen

[13:205;13:305]

skal åbenbart være

antal i klassen

totale antalklassebredden

=

relative antal i klassen klassebredden

= 8

36

0:100 = 2:222:

Hvis alle klasser har samme bredde (som det er tilfældet her), bliver histogrammet pro-portionalt med den funktion, der i det

i

’te interval antager værdien

a

i^{, hvor}

a

ier antallet af observationer i den

i

’te klasse. Derfor anføres ofte to inddelinger på ordinataksen svarende til hver af de ovenstående funktioner.

De samme betragtninger gør sig selvfølgelig gældende for sumpolygonens vedkom-mende.

Vi anfører nu histogram og sumpolygon for det ovenfor anførte datamateriale i

neden-stående to figurer.

13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 0

2 4 6 8 10 12 14

Histogram

Antal

Diameter i mm.

13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 0

5 10 15 20 25 30 35 40

Diameter i mm

Kumuleret antal

Sumpolygon

Ofte vil man ikke være interesseret i at sammenligne en empirisk fordeling med en specifik fordeling, men snarere i at få belyst, om den empiriske fordeling kan antages at stamme fra en familie af fordelinger, f.eks. givet ved fordelingsfunktionerne

F(

;);

²

;

hvor

er en parameter.

Mere konkret kan man forestille sig, at man ønsker at afgøre, om en empirisk fordeling kan antages at være af f. eks. formen

F(x;) =

1

^?

e

^?x=

; x

0 0 ; x < 0 ;

men at man ikke er interesseret i den specifikke værdi af

^.

I denne situation er det nærliggende at vælge det

, der giver den "bedste" overensstem-melse, og dernæst vurdere afvigelser mellem den empiriske fordeling og den fordeling, der svarer til det valgte

. Denne fremgangsmåde vil blive fulgt i dette kapitel, men de metoder og principper, efter hvilke et sådant "bedste"

vælges, gennemgås først i kapitel 2. Den valgte værdi af

vil blot blive postuleret i nærværende kapitel.

Efter disse indledende betragtninger over verifikation af stokastiske modeller vil vi gå over til de konkrete tilfælde.

In document En Introduktion til Statistik (Sider 85-91)