Operationelle klimamodeller
5.2 Estimerede modeller
5.2.2 Input-output-model for udetemperatur
Solstrålingen har stor indflydelse på forløbet a f u detem peraturen. I figur 5.8 ses forløbet af globalstrålingen i forsøgsperioden. P å figuren iagttages naturligvis en kraftig døgnvariation, samt en svag trend i løbet af perioden . P å figur 5.9 er globa
l-L a g
Figur 5.5: E stim eret partiel autokorrelationsfunktion for residualerne til u detem pe
raturen.
R a d
Figur 5.6: N orm eret kumuleret periodogram for residualerne til udetem peraturen.
D ato
Figur 5.7: Predikteret (---) og observeret (--- ) u detem peratur i perioden 24 april 1988 til o g m ed 30 april 1988.
W/m2
Dato
Figur 5.8: G lobalstråling i perioden 6. m arts til og m ed 30. april 1988
D a t o
Figur 5.9: U detem peratu r (___ ) og global stråling ( ---) i perioden 24 A pril 1988 til og med 30 A p ril 1988.
stråling o g u detem peratu r afbildedet sam tidig. Der observeres en tidsforsinkelse fra solindstrålingen til udetem peraturen.
Det er således nærliggende, at prøve at forbedre de i 5.2.1 fundne m odeller for udetem peraturen, ved at inddrage o g udnytte den inform ation, der ligger i kendskab til globalstrålingen.
I dette afsnit bestem m es en “ inpu t-ou tpu t” -m odel til beskrivelse a f variationen i udetem peraturen, m ed globalstrålingen som “ Input” . Der henvises til afsnit 4.2.4.
Herved op nås dels, at den resulterende m odel bliver simplere o g lettere at give en fysisk fortolknin g, dels opnås, at forklaringsgraden forbedres m ed ca. 20% i forh old til m odellerne i 5.2.1.
Identifikation
Første trin i bestem m elsen af en “ in p u t-ou tpu t” -m odel, eller som den også kaldes
“ transfer” -fu n k tion sm odel, er identifikation og estim ation a f im pulsrespons fu n k tio
nen eller “ transfer” -funktionskom ponenten. Denne beskriver den funktionelle sam menhæng m ellem “ input” — global stråling, og “ o u tp u t” — udetem peraturen.
Når “ transfer” -funktionskom ponenten er bestem t, benyttes sam m e teknik som i det foregående afsnit, til at identificere og estim ere m odeller for restvariation i udetem peraturen.
Ved identifikationen a f “ transfer” -funktionskom ponenten udnyttes, at impulsre- sponsfunktionen pånæ r en konstant faktor er lig krydskovariansfunktionen, såfremt
“ Input” er h vid støj. D erfor estimeres først et filter for globalstrålingen, og dette
0.2
Figur 5.10: Estimeret krydskorrelationsfunktion for u detem peratu r og global stråling.
benyttes til at “ pre-w hite” både globalstråling og u detem peratur. På residualerne efter denne filtrering er den estim erede krydskorrelationsfunktion beregnet, hvilket ses i fig 5.10.
A f figur 5.10 frem går, at dersom globalstrålingen æ ndrer sig, vil dette have en vis øjeblikkelig effekt på udetem peraturen. Derudover vil effekten falde efter et nærmest eksponentielt forløb , for efter tre til fire tim er at væ re forsvinden de. pulsresponsfunktionen (5 .5 ) og den globale stråling som “ in p u t” bliver autokorrelati
onsfunktionen o g den partielle autokorrelationsfunktion for residualem e som vist på figurerne 5.11 o g 5.12.
A f figurerne 5.11 o g 5.12 frem går det, at restvariationen indeholder et kraftigt autoregressivt led. Den svage dæ m pning af pk i figur 5.11 o g den kraftige partielle autokorrelation i lag 1 på figur 5.12 antyder tilsam m en, at restvariationen har en p ol m eget nær enhedscirklen. Det ville således være næ rliggende, at fjerne denne tilsyne
ladende instationaxitet ved hjælp a f en første ordens differensning. En difFerensning m edfører im idlertid også at man frasiger sig en vigtig d yn am isk karakteristik i form af en tidskonstant, der er tilgængelig via polerne i “ in p u t-o u tp u t” -modellen. D ette er grunden til, at differensning undlades i det følgende.
Pk
L a g
Figur 5.11: Estim eret autokorrelationsfunktion for residualerne i udetem peraturen.
t ’ kk t.o
0.8 0.6 0.4-0.2 0.0
-0.2 0.4
--0.6
- 0.8
~ 1 '| i " I " ’ I '■ ... . p TTTTrrrri i | i i i | i i i | i i i | i . i | i i i | i i i | . i . | i M | . i Ty
0 + 8 12 16 20 2+ 28 32 36 +0 44 +8 52 56 60 6+ 68 72 L a g
Figur 5.12: Estim eret partiel autokorrelationsfunktion for residualerne i udetem pe- raturen.
, - 1 - ‘1 [j p - - V,1U ’J u L’ l - 1 .
6
SEE 0.000162517 0.000153849 0.00018383 0.000185077
0>i E stim at 0.00261145 0.00278148
SEE 0.000192983 0.000191901
U?2 E stim at 0.00130298 -0.0013758
SEE 0.000183387 0.000184991
«i E stim at -0.750531 -0.751612
SEE 0.0203327 0.0177162
a 2{° C) 2 0.159552 0.167002 0.168155 0.178427
Tabel 5.2: Param eterestim ater for “ in p u t/o u tp u t” -m odeller.
D en partielle autokorrelationsfunktion kan ligeledes antyde, at der er en svag døgnvariation tilbage.
Estim ation
T il beskrivelse a f variationen i udetem peraturen er der i m odellerne (5.7 ) - (5.10) o p fø rt forskellige “ In p u t/O u tp u t” -m odeller. Som m an kan se, er de alle variationer over følgende to tem aer:
1. Bruger m an “ transfer” -funktionskom ponent af form en (5.5 ) eller en af form som (5.6 ) ?
2. Forsøges en eventuel døgnvariation beskrevet ved hjæ lp af et m ultiplikativt autoregresivt sæ sonled?
H vorvidt m an væ lger den ene eller den anden løsning vil im idlertid afhænge af den aktuelle situation.
D ette vendes der tilbage til i afsnit 5.3
Param eterestim ationerne for m odellerne (5.7 ) - (5.10) er op ført i tabel 5.2.
(1 _ _ ^ 2 ) ( 1 _ $ iß 2 4 ) [T( _ ( _ ^ 0 _ ) J(] = (5 7)
(1 - f a B - h B 2) [t( - i] = et (5.8 ) ( 1 - f a B -<f>2B2) ( l - ^ B 24) [ T t - ( c j0 + ^ i B +Lo2B2) I t] = c, (5.9 ) (1 — <f>\B — <t>2B 2) |T( — (wq + u>iB 4- W2-02)/(J = £( (5.10)
Pk
L a g
Figur 5.13: E stim eret autokorrelationsfunktion for residualerne til udetem peraturen.
M o d e l k o n t r o l
For at kunne vu rdere m odellernes evne til at beskrive variationen i udetem peraturen er på figurerne 5.13 og 5.14 vist henholdsvis den estim erede autokorrelations-funktion o g den estim erede partielle autokorrelationsfunktion for residualerne til ettrinspredik- tionen, når udetem peraturen søges beskrevet ved m odel (5 .7 )
Som det frem går a f figurerne, er der stort set ingen korrelation tilbage i residua
lerne til ettrinsprediktionerne. Det er således meget få væ rdier a f både /5*. o g (f>kk, der falder uden fo r det optegn ede 5% niveau. D et ser ud som o m , der er en korrelation i lag 23, der ikke er beskrevet af m odellen. M en da udseendet a f pk og <f>kk stort set er ens, er det ikke sandsynligt, at m odellen kan forbedres inden for ram m erne a f lineære stationære m odeller.
Det norm erede kumulerede p eriodogram på figur 5.15 indikerer ligeledes , at der ikke er periodiske variationer i residualerne. Sammenlignes m ed den tidligere fundne m odel uden exogen variabel ses, at den system atiske døgnvariation nu er fjernet, hvilket givetvis skyldes, at strålingens tilstedeværelse i m odellen giver en bedre b e
skrivelse af variationerne af udetem peraturen. Der er således ikke um iddelbart grund til ikke at acceptere en beskrivelse af udetem peraturen ved m odellerne (5 .7 ) - (5.10).
5.3 Diskussion
Som afrunding p å nærværende kapitel vil de estim erede m odeller her blive resumeret o g deres form åen diskuteret.
6*
Lag
F igu r 5.14: E stim eret partiel autokorrelationsfunktion for residualerne til u detem pe
raturen.
Figur 5.15: N orm erede kum ulerede periodogram for residualerne til u detem peratu ren.
Som sam m enligningsgrundlag bruges de i [Madsen, 1985] tilsvarende m odeller.
Diskussionen a f m odellerne leder naturligt til en række forslag til forbedrin g a f de bestem te m odeller, eller til forslag om yderligere data til beskrivelse a f udeklim aet.
Den tydelige døgnvariation m å også delvis tilskrives årstiden. D ette hæ nger sam m en med, at solen, i forh old til vintermånederne, er kom m et til at stå højere på mindre for reguleringsform ål, da man b lot vil tage h øjd e for årstidsvariationen ved at estimere m odelparam etrene løbende. modellernes evn e til at beskrive udetem peraturen.
Er dette tilfæ ldet, b ør m an nok væ lge m odel (5.11), dels p å grund a f det m indre hvor R n t er nettostrålingen. O verføringsfunktionernes poler er
Pi = 0.9835 Pi = 0.5935
P a r a m e t e r e s t im a t e r er g iv e t i ta b e l 5.1 sid e 75.
Erkender— eller anderkender— m an derim od, at solen, so m nævnt oven for, har stor indflydelse p å udetem peraturen, o g ønsker m an at inddrage den inform ation, der ligger i globalstrålingen, så kan (5.1 2) være udgangspunkt for en model for støjdelen i en “ transfer” funktionsm odel.
K onklusionen på afsnit 5.2.1 m å således være, at ønsker m a n at beskrive u d etem peraturen m ed en ren A R IM A -m o d e l, vil det væ re passende m ed en m ultiplikativ A R IM A ( 2 , 1 , 0 ) X ( 0 , 0 , l) 2 4 sæsonm odel.
D enne m odel beskriver 98.76% a f udetem peraturens oprindelige variation på (4 .0 6 8 °C )2.
Som ovenfor antydet, er det d og m uligt, at opnå en b e d re beskrivelse a f u detem peraturen,ved at inddrage globalstrålingen i m odellen. D ette er gjort i afsnit 5.2.2.
“ Transfer” -funktionskom ponenten i den resulterende “ in p u t-o u tp u t” -m odel b estem mes ved hjæ lp af den estim erede krydskorrelation m ellem den “ prewhitede” globa le stråling og den filtrerede udetem peratur.
B lan dt de mulige “ In p u t-ou tp u t” -m odeller næ vnes2:
der har en varians a\ = (0 .3 9 9 4 °C) 2 , hvilket er 20% m indre end variansen a f den m ultiplikative (2,1,0) x (0,0, l) 2 4 sæsonm odel.
For den generelle “ in p u t-ou tpu t” -m odel
t ( B ) S ( B ) [Tt - v ( B )I t ] = 6( B ) Q ( B ) e , (5 .1 5 ) hvor 4>(B), $ ( B ) , 0 ( B ) o g Q ( B ) er p olyn om ier i B a f ord en p , P, q og Q gæ lder, at rødderne i p olyn om iet
Å ( B ) = B l ’+ ^ 4 ) ( B - ' ) Q ( B - 1) (5 .1 6 ) er poler i de uforkortede overføringsfunktioner fra I t og et til T(, og rødder i det karakteristiske p olyn om iu m i en tilstandsm odel der m odsvarer (5.15).
For m odellen (5.1 4) fås polerne P1 = 0.9603 P2 = 0.5445
P24 = 0 .9 3 8 3 eik2*/24-, k = 0 , 1 , . . . , 2 3
2P a r a m e te r e s tim a te r er g iv e t i t a b e l 5 .2 sid e 82
hvor p t4 er den m ultiple rod hørende til det autoregresive sæsonled.
Der er en sim pel sam m enhæng m ellem en positiv p ol p,- o g den i et kontinuert tilstandssystem svarende tidskonstant r,, idet m an har:
A, = — ln (p ,) (5.17)
tv = A - ^ ( - l n ( p , ) ) “ 1 (5.18) hvor A; er egenvæ rdierne i transitionsm atricen i det kontinuerte tilstandssystem .
Polerne oven for svarer således til tidskonstanterne:
Ti = 24.67 ft t2 = 1.645 ft r24 = 15.70 ft
Ved form uleringen a f en “inp u t-ou tpu t” -m od el tages i [M adsen, 1985] udgangs
punkt i en allerede form uleret kontinuert m odel. H erved sikres at “ in p u t-ou tp u t” - modellen har en forn u ftig fysisk parallel m ed tilsvarende rim elige tidskonstanter. Det er således n aturligt, at vurdere m odellen (5.14) i forh old til “ referencem odellen” i
• Betragtes overføringsfunktionernes poler og de tilhørende tidskonstanter, ser man, at den p ol, der svarer til den store tidskonstant i [Madsen, 1985] (pi =
O verføringsfunktionen fra globalstrålingen til udetem peraturen har en tidsforsin
kelse, der kan beregnes til 2 timer og 20 m inutter, for et inputsignal m ed perioden 24
D ette hæ nger sam m en m ed den kraftige kobling, der er m ellem den globale stråling o g solens h ø jd e p å himlen. I stedet kan m an udnytte, at solh øjd en er determ inistisk.
B etragter m an således differensprocessen mellem den m axim alt opnåelige stråling givet solh øjden o g den observerede stråling, kan denne i dagtim ern e opfattes so m et udtryk for skydækket. D a bevægelser i skydækket ikke begræ nser sig til dagtim erne, vil der væ re m ere forsvarligt, at m odellere denne proces som resultat af en stokastisk proces.
Ved at betragte globalstrålingen som en funktion a f solh øjd en og skydækket vil der også væ re et begrundet håb om , at m an kan beskrive d øgn - o g årstidsvariationer.
Ud over de her behandlede to klimavariable kunne der væ re andre, der ville væ re interessante i forbindelse m ed et væksthus eller som har afgørende indflydelse på udeklimaer. T o nærliggende ville væ re nedbør og vin dh astigh ed. Ligeledes kunne m an forestille sig, at m an er interesseret i en opspaltning a f solens stråling, således at m an ikke b lo t har global stråling, m en f.eks. også diffus stråling og nettostråling som i [Madsen, 1985].
Endelig skal nævnes m uligheden at bevæ ge sig over i andre modelklasser. I det foregående er kun univariate eller “ single input-single O u tp u t” -m odeller uden tilb a gekobling. I det virkelige system vil der være tilbagekobling m ellem de forskellige parametre. D ersom m an ønsker at beskrive sådanne fo rlø b , m å m an benytte m u lti
variate m odeller m ed tilbagekobling. Spørgsm ålet er så om m an vil betragte sådanne m odeller som operative.