Kvadratsætninger og længder Sætning 17: Kvadratsætninger og længder af vektorer

(1)

Hvad er matematik?

ISBN 978 87 7066 827 9

website: link fra Kapitel 6, Vektorer og trigonometri, afsnit 8.1

Sætning 17: Kvadratsætninger og længder af vektorer Der gælde følgende vigtige formler for alle vektorer:

1) (𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗) ∙ (𝑎⃗ − 𝑏⃗⃗) = 𝑎⃗²− 𝑏⃗⃗²

2) (𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗)²= 𝑎⃗²+ 𝑏⃗⃗²+ 2 ∙ (𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗) og (𝑎⃗ − 𝑏⃗⃗)²= 𝑎⃗²+ 𝑏⃗⃗²− 2 ∙ (𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗) 3) 𝑎⃗ ∙ 𝑎⃗ = 𝑎⃗²= |𝑎⃗|²

Bemærk. vi skriver skalarproduktet af en vektor med sig selv som a², ligesom vi gør med tal.

Bevis

1) Udnyt den distributive og den kommutative lov flere gange:

(𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗) ∙ (𝑎⃗ − 𝑏⃗⃗)

= (𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗) ∙ 𝑎⃗ − (𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗) ∙ 𝑏⃗⃗

= 𝑎⃗ ∙ (𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗) − 𝑏⃗⃗ ∙ (𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗) = 𝑎⃗ ∙ 𝑎⃗ + 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ − 𝑏⃗⃗ ∙ 𝑎⃗ − 𝑏⃗⃗ ∙ 𝑏⃗⃗

= 𝑎⃗²− 𝑏⃗⃗²

2. Vises efter samme princip

3) Udnyt definitionen på skalarproduktet, 𝑎⃗² = 𝑎⃗ ∙ 𝑎⃗: til at udregne skalarproduktet af en vektor med sig selv:

𝑎⃗² = 𝑎⃗ ∙ 𝑎⃗ = 𝑎₁∙ 𝑎₁+ 𝑎₂∙ 𝑎₂= 𝑎₁²+ 𝑎₂²= |𝑎⃗|²