View of Lanczos Bidiagonalization With Partial Reorthogonalization

(1)

"'&( "$ ) (*

+,.-0/12-341257698:,<;=-0>5

?@>AB,<;DCE/>5FCHG.I'JKG./AL1MC=>;NPOQR>52O>

S52QRTU>;=-0QRCWVG.IYX(,<;=ZP12-

[V43\12576U>]^,._7>U`MaL12Qcbd_2Qc57]egfFh

?jikWlUhUhUhmXj,n;EZo12-J

>kp/,<Qdbrqs;=/m12576Lt(_L,.Qc/Qruv,.1wux_76

y OCzG<a{>%;|}U}Ul

~.pD

\%D^DDD0%Dx0r 7¡P¢2£¥¤§¦¨D:©ªD=Dx%x¬«©ª®¯DDD®

Dxc°*D©Y0(±¦vD²³0E'´<Dr0«µDrD³«¬xH´<Dr0«¶%xD0Dx0

´n7·w¤Yx«$«Eg¸#¹L¬³«xDDD³©ºx«ª©ª©$xDx°j»zµD=$@

«°©ª©Y³x:´nDr0«§DxDD³©½¼BK%xDnDDD0%Dx0¾ ¡o¢L£w¤¿µDxDK¶z°

À x©Y0ÂÁ=¶%o¼PDÃ«7rx°Ä0'{´nDr0«7¶%xD0Dxx0YD¦ÂÅ:¸FÆD2r0©Y%x¥

«x0%xBµDx«ÇD±µDrD³«wD¦PÈxDs«%³«s©$³ÊÉ¼BxKx0HD³Dr°DÁÂY7¡o¢L£

DDD³%©Ë««§0%°H%D¦P$D©Y0EwD¦2«D³DDÌ¦ DrD:D¦LÍpÎ=ÏH««§¼MDÃr0©s®

%±©ªz%«Ç¶%D«0¡P¢L£\%xxKKD»E%µDx=§«°©ª©Y³Ä«°z«©¬¸ª´nÃD

¡o¢L£ÄÁ0LDDD³©Ð«E$³Lx«^¶%D«ª0$«x©ª%M%r«Á=¼B%x³s¶L^

©Y0D.20««<D¦%D³DD0Dxc°¥D©Y0Ç2´<Dr0«UµDrD³«^³r°§¼B0n¦¨D³©ªx

xÇ³z%r«¸Y¹L«Yr«§'«±µDxD@Ì´nDr0«¥¶%xD0Dx0

DDD³%©4¼BÈ%³xDÑDDD0%Dx0gÁ%¼BxÒ¬D«2¶Ñ¬x©ª%©YEÌxÌªÓH^¹7®

´n{*%D³ÃD§¦¨D7«%³«

ÀzÔ

·mD'DEµDx¿³D¶%©ª«PDx¡o¢L£Ç¡ÑBÕ7ÖY¸×¿%©Y³xD

rÉzÑ³©Y=«B¼BÌ¥0«L¦¨0©¡o¢L£Ç¡ÑBÕ7ÖØ:r0%rK%«x$$«{D¶%©

¦v³0©)xEµD³«¥0«x«©ª0DD°''xxx«³§w³D³«7D¦U¥©Yg¸PÙdKD0ÂÁ

¬z©¥¶ÑwD¦7«Ä©ª³xr«¥¦v³0©Ë$Ú{¼MxÊ®RMzx¬r0xrx0@«Hr0©Y%

ÌD³Dr°jD(rÛ'r°D¦BÌÓH^¹L´n{\x©Y%x©Y=x0«¥D¦{7¡o¢L£Dj¡o¢L£

¼B$ÜÞÝß=Ü¥0xªxÓK^¹L´<¿Øàz¸xáÁU¼BxÒ@««:D©Y%xxx°¬«³´<Dr0«

DDD³%©Ì¸

(2)

êìëKí±îMïYí±î2ð

ñ òónôDõ0ö^÷Pøoùzô0ú¯önó û

âüâ ý:þzÿEÿvþ\ü$ü'ü$ü$ü'üªü$ü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$ü'ü$üªü'ü$ü$ü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$üªü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$ü'ü

ÑóPùöPúR÷PúÂönóRúô0ú¯ö<ó

góPùönöÂõ=úô "! ÑóP÷#%$Ñõ&%('*),+ ùRùø-ôDúRönó .

/üâ 021435768:9<;=ÿ?>A@4BBC;WÿEDE7FHGD þI59<;%BC> ü$ü'ü$üªü'ü$ü$ü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$üªü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$ü'ü J

/üã K3L:BC;%ÿ:9M;%DAD þD?8:97@4>A<>ON¯þDQP4RTSUF%:9<F=39VEÿE¨þ5>Èü'ü$ü$ü'ü$üªü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$ü'ü âXW

/üY/ Z\[;^]:F%_Wþ>`:9<aþ:DEvÿE[B ü$ü'ü$ü$ü'ü$ü'ü$üªü'ü$ü$ü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$üªü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$ü'ü â0ã

/üY/üvâ b`GGDÒþXcd7BeEÿE;^P4RHSf3>A<aC]:F=_þ>¥þgBe=ÿDEhcji ü'ü$üªü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$ü'ü â0ã

/üY/üÊã k{þ:;%Fpÿvþ@ÿ þC]8F%_Wþ>?I<L<:aþ:9<7_lEÿE¨þ ü'ü$ü$ü'ü$üªü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$ü'ü â m

û 'M$Ñõ&%noWôlpUøÑõ 4 ñ4q

r üâ ]s;l:>³ÿ`>A1o3:DE;=>`>Òþ976:;%DA>QI:>E;=L(þ,]tOS ü$üªü'ü$ü$ü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$üªü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$ü'ü ã:W

r üã bu97aþDEÿ[BC>vN¯þ:D\GD þI59<;%BC>Ow?vÿE[gBx39vÿE<G97;uDA<a[ÿAyz[:Lg>A<L;=>½ü$üªü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$ü'ü ãâ

{ ÑóPùöPúR÷PúÂönóRúô0ú¯ö<óúRó}|MóPúôX~$oõ %ùúú¯önóÑõ=úô !ô0úcù

üâ ]:F%_Wþ>Q:9<azþDEÿ[BC>vw?ÿ[gÑþCDE;þ:DÒÿ[þaþ89<<_%Eÿvþ ü'ü$ü$ü'ü$üªü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$ü'ü ã:

üã P%ÿ8I<97<_%7ax]:5F%_þ:>Q35>E<5aDA;þD³ÿ[Ñþazþ:97<_l=ÿ¨þ:ü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$üªü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$ü'ü ã:J

uÑõDô0ú-vöÂõDô oöÂönócúô0ú¯önó}ÂöÂõEú ô ! ÞöÂõj + ^ñ

üâ Z"DE:Fo<aÌÿE[;9¨þ>A>¥þ8NMþD³ÿ[Ñþ:aþ:97vÿ@ ü'ü$üªü'ü$ü$ü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$üªü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$ü'ü //

üã k{þBCG3ÿ7aÈÿ[5;^DA;þD³ÿ[Ñþ:aþ:97<_%Eÿvþ ü$üªü'ü$ü$ü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$üªü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$ü'ü /

üY/ k{þBCG3ÿ7a>EB:979>E7a39<:D68:973;%>Yü$ü'ü$üªü'ü$ü$ü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$üªü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$ü'ü r â

üY/üvâ bFWþDEDA;%Fpÿ¨þ:@ÿ þ¬ÿE[;C8OG:F&:a:;ü$ü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$üªü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$ü'ü r /

ür b[@dI5DE<L,BC;Wÿ[þdLÿrþ7BGDÒþX6;G*;=DAN¯þDABe8F%;YþgF%:F[;yzI:>A;%L:DAF[vÿE;%Fpÿ3DA;%> ü'ü r /

(ø!õ=úcùs$2õ=ú!%ó<ôX û*{

müâ 0c5G;%DA<BC;%ÿªâbuF=F%3DE:F=@þ8NPÿE[;FþBCG3ÿE;%L,>E<5a39V8D68:9<3;=> üªü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$ü'ü r

müã 0c5G;%DA<BC;%ÿ:ãd 0¡ CF%<;=F=@þ8NPÿE[;DE;þ:DÒÿ[þaþ89<<_%EÿvþeBC;WÿE[Ñþ4L>ü$ü'ü$ü$ü'ü$ü'ü r

müY/ 0c5G;%DA<BC;%ÿQ/5vk{þBCG:DA<> þ:þ:N>AG:DA>E;P4RHS¢:9<azþDEÿ[BC>)ü'ü$üªü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$ü'ü :W

. £'ö<óoùRø"ú¯önó {Ñû

ozõ %óPù4 {

'^úRó<øÑõ¤5cø4ö§ô (ôX4Wô !(ôDõ=úcù4 ^ñ

¥¦j£§©¨2'$Ñõ&%'),+góo÷ª%úó¤Rø@õ0önøFô0úRód¬úRó¬«f j

tÄüâ®ÿD þ4L3Fpÿvþ9ü$ü$ü'üªü$ü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$ü'ü$üªü'ü$ü$ü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$üªü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$ü'ü ã

tÄüã ¯Tdy97<;TLþdF=3B;=ÿEÿE¨þ ü$ü'ü$ü$ü'ü$ü'ü$üªü'ü$ü$ü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$üªü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$ü'ü ã

tÄüãüvâ °±o² ³µ´ ¶ ü$ü'üªü$ü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$ü'ü$üªü'ü$ü$ü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$üªü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$ü'ü ã

(3)

tÄüãü»/ °±o² ¼ ½¿¾±ü$ü$ü'üªü$ü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$ü'ü$üªü'ü$ü$ü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$üªü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$ü'ü

tÄüãür °±o²¸&¹Vº ü$ü'üªü$ü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$ü'ü$üªü'ü$ü$ü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$üªü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$ü'ü m

tÄüY/ Pþ3DAF%;Fþ4L; ü$ü$ü'üªü$ü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$ü'ü$üªü'ü$ü$ü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$üªü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$ü'ü

tÄüY/üvâ °±o² ³µ´ ¶ ü$ü'üªü$ü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$ü'ü$üªü'ü$ü$ü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$üªü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$ü'ü

tÄüY/üÊã °±o²·¸&¹Vºü$ü'üªü$ü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$ü'ü$üªü'ü$ü$ü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$üªü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$ü'ü m:/

tÄüY/ü»/ °±o² ¼ ½¿¾±ü$ü$ü'üªü$ü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$ü'ü$üªü'ü$ü$ü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$üªü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$ü'ü /

tÄüY/ür °±o²¸&¹Vº ü$ü'üªü$ü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$ü'ü$üªü'ü$ü$ü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$üªü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$ü'ü

tÄüY/üÀ ¹<¼%º¹<ÁÂ ü$ü'üªü$ü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$ü'ü$üªü'ü$ü$ü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$üªü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$ü'ü J/

tÄüY/ü» Ã=º5Ä^¸ÅXÁµ¼ üªü$ü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$ü'ü$üªü'ü$ü$ü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$üªü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$ü'ü J

tÄüY/üÀm Å¸:¶o± Áµ¼ Ä¥ÅoÆMÅ¸:¶o± Áµ¼ ²Åü$ü'ü$ü'ü$üªü'ü$ü$ü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$üªü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$ü'ü Jm

tÄüY/ü» Å¸:¶o± Áµ¼ º5Ä`¼%¾± ü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$ü'ü$üªü'ü$ü$ü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$üªü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$ü'ü J

tÄüY/ü»J ¹<¼=Ç² ¼8·:º5Å² ¶³\ü$ü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$ü'ü$üªü'ü$ü$ü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$üªü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$ü'ü JJ

tÄüY/üvâlWÈÅ¸:¶o± Áµ¼ ¾5·ºdÅ² ¶¾ü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$ü'ü$üªü'ü$ü$ü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$üªü'ü$ü'ü$ü$ü'ü$ü'üâXW:W

(4)

Î Ï

íî¡Ð2ëgÑÒÓwî¡Ôëí

Õ7Ö×ØÙAÚ:×ÛÝÜ:ØÚ:Þàß4á&ÙâÛÝ×Ýã4äå¥Ú:ÙØ¥æ4ØÞçÛéèEÚ:×µØê?á&ëØÙå%ìAí

î

RÈüb'ütO:DE8;%D

ï

Ú&ãØÛÝðòñ^ðÚóôØÛÝð~õnöáXåÞ<ØÛÝðòå×Øã4ð5÷

õnöáXåÞ<ØÛÝðnÚ:øù¥æ4ØÙTú^ØÛ-æ4Øðì

û Ú:ÙHåXá\üâø4ð4ßeødðæeäeá&Ùß4Øð5åXèã\öá&ð5÷

ý

ÛéØùxØÙHåXèã4ðØÞÝÞ»÷ØåðÚ&ãþ%øjåXØã4ð5÷

ï Ú&ã2ôåäÛÝ× ÜXÛéØÞ<ØðòÿMÙØø5æ4Øðì

õnöáXåÞ<ØÛÝð5÷¡õnöáXåÞ<ØÛÝð5÷¡õnöáXåÞ<ØÛÝð Ùá&×÷

õnöáXåÞ<ØÛÝðnÚ:øù¥æ4ØÙTú^ØÛ-æ4Øðì

î

þ[:þ97Na:ax6þ:Yþd;pÿ[;

Z\[;`]:F%_Wþ>I<L5V:aþ::9<7_lEÿE¨þ w?[5<F[C<>2L3;wÿrþYþ9<35I:L ^8[:ã84:5Lÿ>2I9vþdF¥;c%ÿ;=dy

>Evþ [8>TI*;=;%n3>A;%Ln:>ÄÿE[;xFWþBG53ÿEÿE¨þ:9:;%DA;%927eo3BxI;%DÄþ:NB;pÿ[Ñþ4L>s:L [:>TGDÒþ 6:;%L

ÿrþI;^:g;= CF%7;%ÿ:ÿ þþ:9*N¯þD\FWþBG53ÿ7aÌÿ[;>E7a39<:D68:973;HL;%FWþBCG<þ>AvÿE¨þP4RHS{þ8N9<:DEa;8L

>EG:DE>A;@þ:Dx>ÒÿEDE3Fpÿ3DA;%L BEÿEDE<F=;%>r 2ãm{âldü(Þÿ<>89<> þ w?7L;%9@35>E;%L N¯þD>Òþ9764<5a 9V:DAa;>AG:DE>A;

9<7;l8Du9<;%:>ÒÿT>E1o3:DA;%>GD þ:I9<;=B>M:LnÿT[:>HI;%;=n>E[ÑþXw?-FNüYm¥ÿE[EÿHBC;WÿE[Ñþ4L>TI:>A;%L*þ¾ÿ[5;

]tOS>E35F[ :>§ÿ[5;]P:97aþDEÿ[B I@! 8<a;^:L~P5:35L;%DA>"r J#$I;%9¨þ:aÿ þÌÿ[;^BKþ:>Òÿ?>Òÿ:I97;

vÿE;%DEEÿ6;`:9<aþ:DEvÿE[BC>N¯þD GD þI59<;%BC>w?[;%DA;:ÿ[5;uFþ4;= CF=<;%ÿBeEÿEDEhc<> <979yFWþLÿvþ;%L.ü&%þDE;WþX6;%D

]tOSf<>O3>A;%Lò<go3BxI;%Dwþ:NDE;=a39V8DE<_%Eÿvþj:97aþDAvÿ[5B>N¯þDÇÿ[5;H> þ973ÿvþþ:N"L<>AF%DE;pÿ;H79<9yzG<þ:>E;%L

GDÒþI9<;=B>s>E;=;C;EüYaü!YM'7ââ(M/â( r ã) r cüK7:9<9@(nÿ[;C]tOS <>u6:;%DA@n35>E;=N359¡N¯þDH> þ964<aj97;l:>³ÿ

>E1o38DE;%>QGDÒþI9<;=B>Ow?ÿ[gBx39ÿ7G9<;`DE<a:[ÿ y[8Lg>E<L5;%>*>A;%;+r â( r cü

]s<:;ÿ[5;~>A@4BCB;pÿDA<F,]:F%_Wþ>CGD þ4F%;=>E>,;züàaÑü-xâ .vâ*/0¿ÿE[; ]:5F%_þ:>I7LV8aþ:97<_%Eÿvþ7>

G9<:a3;=LCI@ÈÿE[;?<'13;%F=;:þ8NDÒþ3L7aH;%DAD þDA>ü2ª[;=ÿ2<>2F%:DEDA<;=Lþ:3ÿ <3ÿ;?GDA;%F%7>EvþC:DEÿ[dy

BC;Wÿ7F{ÿ[5<>¡97;l:L>7ÿ þsÿ[;\9vþ>E>2þ8N<þ:DÒÿ[þaþ89<vÿ@¥:Bþa:ÿ[;?]:F=_þ>26:;%FWÿ þDE> :5L¬ÿE[;?:GG;l8D:F=;

þ:N2>AG3DA¨þ3>Q>E7a39<:DO68:9<35;%>ü\Z\[5;x:97aþDEÿ[B GDE;=>E;=ÿE;%L7@ÿE[<>QG:G;%DQ> þ96;=>:ÿ[5<>?GD þ:I9<;=B Io@

<BCG97;%BC;%ÿ7ag,FWþBCG:FWÿ68:DAV:ÿªþ:N¿ÿ[;"4

Ú:Ùâ×Û-Ú:Þ2ÙØá&Ùâ×ãáEß4á&ðÚ:ÞçÛ þXÚ:×-Ûéá&ð

$ \¯T>EF[;=B;¡L;=6:;%9hy

þG;%LòIo@òP4<Bþ5à/#sN¯þD§ÿ[;^>A@4BCB;pÿDE7F^]8F%_Wþ>u89<aþDAvÿE[BüÞÿQL76;=DE>?ND þB P4<Bþ98à>QBC;WÿE[Ñþ4L

I@Ìÿ:o7a^:L568:ÿ:a:;§þ:N.ÿE[;?G:DÒÿE<F=39V:D"N¯þDEB½þ:N<ÿE[;QDE;%F=3DEDA;%F=;%>v<Ìÿ[;Q]:F=_þ>I7LV8aþ:97<_%&y

ÿvþò:Lgw{þDAo>uL7DE;%Fpÿ9@þÿE[;;:=<>©BeEÿEDEhc?w?vÿE[Ñþ3ÿQN¯þDEBC<5a:ò;=1o3768:97;%ÿu> @4BBC;WÿEDE<F

>A@4>³ÿ;%B@üZ\[<>?97;l:L>§ÿ þBþDE;H; CF%<;=ÿu89<aþDAvÿE[Bd:>?L7>EF%35>E>E;=L~I;%9vþ wªü

Þÿ¡w:>2L;%Bþ>³ÿDEEÿ;=LIo@xt;%DADA@

r

ÿE[Eÿ¡>AG:DA>E;QP4RTSªF%:9<F=39V=ÿ¨þ:>"I:>E;=Lþ:ÿ[;\> @4BBC;WÿEDE<F

]:F=_þ>e:9<aþ:DEvÿE[B w?ÿ[@ AO¯ :DE;~:BKþ:aÿE[;,BKþ>³ÿe; CF%<;=ÿBC;Wÿ[þdL>N¯þDCFþBCG3ÿE<a*ÿ[5;

9V8DEa;=>Òÿ>A<a:39V:DC68:9<3;=>:5L#FþDADE;%>AG<þ:L<5aÈ>E<5a39V8DC6:;%FWÿ þDE>þ:N9<:DEa:;~>EG:DE>A;BeEÿEDE7F%;%>Wü

P4RTS *bQkB "gÿ[;^>E3I5D þ3ÿE<;°±o² ³ ºeDÒþ3ÿ7;TND þ:B ÿ[;¥]sbsýuP¯C\G:F&:a:;¥L;6;=9¨þG;%LòIo@! ":DE97;WÿÒÿ

:LªFWþ8yzw¿þDE8;%DA>*u7>j3>E;=Lÿrþ FþBCG3ÿE; ;cdG97<F=vÿ9@mÿ[;;=<a;=o68:973;%>þ8N'þ:;¾þ:Nªÿ[;> @4BBC;WÿEDE<F

BEÿDA<F%;=>D?FEG?gþD

iIHKJ

W ?

?LE WMON

PRQ)SUTUV#WX$YZ[\^]F_Za`9bdcfegZ0_ihj[#X$ck]Llnmo`YF`YcfQSUV#Wpq0esrtqaucUqa\vX$ZAqxwtqam^\^q0b\yc&hjz$Z{|T}cR`\ym^b.~ilnYmvesYFm^{Bp\^cg{Bcg_*`X

(5)

ND þ:B w?[<F[ ÿ[;©>E7a39<:D68:9<35;%>þ:N?Fl8 I;©N¯þ:3LUü:þXw;6;=D*w{þDAo<a w?vÿE[?LEG? F%:

9<;%:Lÿrþ©G<þ%þD:F=F%3DE:F=@mþ8N:ÿE[;gFþBCG3ÿE;%L}>E<5a39V8Dx6:89<3;=>xw?[;%? 7><9<9hyFWþLÿ¨þ:;%LUü©Z\[7>

GDÒþI9<;=B <>vl6þ7L;%LI@CFþ:BG3ÿ<5a'ÿ[5;`;=<a;=o68:973;%>¿þ:NidI53ÿO3dN¯þDÒÿE3EÿE;%97@ÌÿE[<> >E7a73Fl:ÿE97@

<5F%DE;%:>E;=>ÿE[;ò:BKþ:3ÿKþ8NT>Òÿ þD8a;,:Lw¿þDAÈDE;%1o37DE;=L I@ÿ[;,DE;WþDÒÿE[Ñþaþ::9<7_lEÿE¨þ2I*;=Fl:3>A;

]:F=_þ>^6;%FpÿrþDA>Èþ:N9<;%5azÿ[5:¡ ¢>Bx35>Òÿ¥I*;3>E;=LUügbu9<>ÒþPÿE[;C435BxI*;=Dÿ;%DEEÿvþ>DE;=1o3<DA;%Lÿ þ

Fþ:BG3ÿ;a6;=©o3BI*;=Dsþ:N >E7a39<:D`68:973;%>T7>TLÑþ35I9<;=LUü%þDE;DA;%F=;%ÿ9@(sBC;Wÿ[þdL>uI:>E;=L*þ

ÿ[5;e<BCG97<F%ÿ9@òDA;%>³ÿ:D³ÿ;%L ]8F%_Wþ>x:97aþDAvÿ[5B [l6;:GG;l:DA;%L£F=Nü¤xâDã)"/püjR :DA¨þ3>>³ÿ3L7;%>

>E;=;;züàaÑüã:/#$s<5L<F%Eÿ;$ÿ[EÿÄÿ[;=>E;:DA;D þI35>Òÿ:5L©; CF%<;=ÿYÿrþ%þ9<>?N¯þDTFWþBG53ÿ7ajeN;=w½þ:NLÿ[5;

9V8DEa;=>Òÿ¡>A<a:39V:D68:9<3;=>2:Lx6:;%FpÿrþDA>ü Pd7F%;ÇÿE[;%>A;\B;pÿ[Ñþ4L>2:DA;\:97> þHL;6;%9vþG;%Lw?vÿE[x;%7a;%68:9<35;

GDÒþI9<;=B>u<BC<L9nÿ[;@(ÿ þþjFWþBG53ÿ;ÈÿE[;P4RTS I@~w¿þDA47ag;cdG97<F%ÿ9@jw?vÿ[,?LE¥? þDHi 8L

Fþ:>E;=1435;%ÿ9@j>E[8DE;ÄÿE[;uGDÒþI97;%BC>L;=>EF%DA<I;%Lg:InþX6;Tw?ÿ[j:97aþDAvÿ[5B>2I8>E;%LþKÿ[;T> @4BBC;WÿEDE<F

]:F=_þ>?GDÒþdF=;%>E>Wü

Z\[;tB \¯ 89<aþDAvÿE[B GDA;%>A;%ÿ;=L [5;%DE;ò<>CL;%>A<a5;%L >AG*;=F%73Fl:9797@Èw?ÿ[ 9<:DEa:;,>AG:DA>E;PoRHS

Fl89<F%359VEÿE¨þ>27eBC<Ld8LeI@¬ÿ:o7ax:Ld6:8ÿ:a;¥þ:NUÿE[;u>AG*;=F%V89N¯þ:DEB þ:NUÿE[;QDE;%F=3DEDA;%F=;%>\7Kÿ[5;

]tOSÿ<>2Gnþ>E>A<I97;ÇÿrþFþBI<;\azþþ4L:F%F=3D8F=@w?vÿE[Ìÿ[;?>EG;%;=LHþIÿ:7;%LI@B;pÿ[Ñþ4L>¡w¿þDEo7a

w?vÿE[¦?

E

?¢:>\w?<979I;^L5;%Bþ>ÒÿEDEÿE;%L,I@±ÿ[;;âc5G;%DA<BC;%ÿ>?DA;%GnþDÒÿE;%L,<òPd;%Fpÿvþ m%ü

:DE:9<97;%94<BCG9<;=B;=ÿEÿE¨þ>oþ:NInþzÿ[ÈÿE[;T°¿±² ³AºH>A3IDÒþ3ÿ7;;-FNü§m/¡:LÈÿE[;\b¨F *bQkB G:Fy

:a;-F=NüD

r

/aw?[<F[7BG97;%BC;%ÿ>oÿ[;\7BG59<<F=vÿE97@TDA;%>³ÿ:D³ÿ;%LC]:F=_þ> :97aþDAvÿ[5B>::DA;OÑþXw X68:79y

:I97;züZ\[5;eD þ:3ÿ7;%>^<P4RHS bQkB ©-FNü¤

r

/0w?[<F[(I3<97Lþ: :þ9<L;=D>E;%1o3;=ÿV89 6:;%DE>A¨þþ:N

°¿±² ³ ºò8DE;l68:<9<:I97;¥ND þ:B ýQ;Wÿ97<IUü^Z\[7>H> þ:Nÿw:DE;7>uNDE;=;%97@ l6:8<9V8I9<;M:Ln7Z:I59<;±âwv;C[X6:;

9<7>ÒÿE;%Lÿ[;DA;%9<;68:ÿD;=I~:L5LDE;=>E>E;=>`NDÒþB w?[;=DE;^vÿ?Bl@I;^Lþ w?59¨þ:L5;%LUü

Z":I9<;Ìâ:Aª Ü&Ú:ÛÝÞÚó%Þ<ØTåXáµùâ×ë Ú:ÙØ2ùlá&ÙÞÚ:Ùß4ØTå 4 Ú:ÙåXØ ï¬« èá&ä 4 ø4×zÚ:×-Ûéá&ð5å%ì

*b-® bQkB °¯)±.±.²B³k´.´#µ)µ.µ¤¶·d¸)¸#¹D¶sº§».·d¼¶R¼(½¿¾§´À¿ÁdÂ¿±)µ'¸¿º¼'´Ã.Ä)Å)Ã)Æ¿Ç

]bÄýTP¯ °¯)±.±.²B³k´.´#µ)µ.µ¤¶$È¼¿ºÀ.·f¶sÉÁ#Ê´º¼Àd¼)¸(º§·i¯G´(ËÌÍÎ(Ï´#²§Ð(¸dÈ¥À¿Á2¶¯±(¹GÐ

P4RHS bQkB °¯)±.±.²B³k´.´#µ)µ.µ¤¶$È¼(±Ð»É¬¶Áº.É´)À#Ê)½¿²¸·Ñ

Z\[;`:9<aþ:DEvÿE[BC>¡L<>AF%3>A>E;=L<Ìÿ[5<>G:G;%D4[X6:;uI;%;=7BG97;%BC;%ÿ;=L<%,b2Z?]butG8F88a;

Fl89<9<;=L \¯ *bQkB ÌüZ\[5;\G:F&:a;O7>L;=>EF=DE<I;%L7x:GG;%5L cxtÈ:L7>¡l68:<9<:I9<;2NDÒþB4ÿ[;\83ÿ[Ñþ:D

3Gnþ,DE;%1o3;=>Òÿü

Z\[<>G8G*;=DH<>sþDAa:7_%;=L(8>TN¯þ9<9vþ w?>=u(Pd;=FWÿvþãew;L;=>EF%DA<I;Ìÿ[;]tOS :9<azþDEÿ[B!8L

DE;64<;=w[ÑþXw ÿ\Bel@jI;H3>A;%LòN¯þ:D?P4RHS¢Fl:97F%39<Eÿvþ>:LgN¯þDO> þ:9764<a97<;%:D97;l:>³ÿ?>E1o3:DA;%>QGD þI4y

9<;=B>Q<Pd;%Fpÿ¨þ:>H/:5L r üu©P4;%FWÿE¨þCw;L<>AF%3>A>sÿ[;¥I*;=[l6dvþDÄþ8N ]tS <Ò35vÿ;¥GDE;=F%7>E¨þ:

:DAvÿ[5B;pÿ<FEüKÂþ:9<9¨þXw?7aÇÿ[7>*8<Pd;%Fpÿ¨þ:xQwv;O>A[ÑþXw [ÑþXw}`>E;pÿ7þ:N>E<BCG97; DA;%F=3DEDA;%F=;%>2Fl8I;3>A;%L

N¯þDQBKþ:vÿ þDE7aÌÿ[;¥9¨þ>A>Äþ:N2þ:DÒÿ[þaþ89<vÿ@j:BKþ:aÿE[;x]:5F%_þ:>u6;=FWÿrþ:DE>üub G:D³ÿ<:9sDE;WþDÒÿE[Ñþaþ8y

:97<_%Eÿvþg:9<azþDEÿ[B N¯þD¥ÿE[;¥]tS GD þ4F%;=>E>`I:>E;=Ljþò;%>ÒÿE<BEÿ;=>:þ8NMÿ[5;9<;6;=9oþ8N2þDÒÿE[Ñþaþ::9<ÿ@

Fþ:BG3ÿ;%L3>E7aÿE[;%>A;DE;=F%3DADE;%5F%;%>7>¥L5;%>EF=DE7I*;=LUüòÈPd;%Fpÿ¨þ: mgwv;<979<3>³ÿDEEÿ;ÈÿE[;eGDÒþG;%DÒÿE<;=>

þ:NÇÿE[;DA;%>E359vÿ7a 89<aþDAvÿE[BI@(:GG9@4<a~,%òb2Z?]sbTt 7BG97;%BC;%ÿ=ÿ¨þ:þ8NÇÿ[;e:9<azþDEÿ[B ÿ þ

~o3BxI;%Dþ:NÇÿ;=>ÒÿG5D þI97;%BC>¥NDÒþB ÿ[;+u:D w;=9<9yt{þ4;%<5aòFWþ9<97;%FWÿE¨þ<:LLÿvþÿ þ~L7>EF=DE;WÿE;

<979yzG<þ>A;%LG5D þI97;%B NDÒþB 76;%DA>E;^[;%97¨þ>A;%7>EBþ9¨þa8@>E;=;ãsN¯þ:D?Ca;=;%DE:9s<ÿED þ4L3FWÿE¨þ0dw?[5<F[

(6)

w:>?:9<>Òþx3>A;%L,:>\'ÿE;%>³ÿ?GD þI59<;%B 7Óxâ r / r ãidü2(;TFþ:BG8DE;ÄÿE[;H:F=F%3DE:F=@Hþ:N^ÿ[;HFWþBCG3ÿ;=L

DE;=>E39ÿ>Q:Lÿ[5;^o3BI*;=D¥þ8NMþG;%DEEÿvþ>w?ÿ[

Ô > @dBCBC;WÿDA<F]:F=_þ>Q:5L~]tOSw?vÿE[ ùâø4ÞÝÞsÙØá&Ùâ×ãáEß4á&ðÚ:ÞçÛþXÚ:×-Ûéá&ð K2\¯¢:LòtOK2\¯a

Ô > @dBCBC;WÿDA<F]:F=_þ>\w?ÿ[gG:D³ÿV89MDE;WþDÒÿE[Ñþaþ:9<7_lEÿE¨þ$ \¯0

Ô

ÿE[;e¼ ½¿¾³^D þ3ÿ<5;7|%òb2Z?]sbTt %üvâ(w?[<F[3>E;=>: 7BG97<F=vÿ9@,DE;%>³ÿ:D³ÿ;=L ]8F%_Wþ>x:97aþ8y

DAvÿ[5B

Ô

:5L@ÿE[;>Òÿ8L:DAL:97aþDEÿ[B ND þ:B ÿ[5;¥]sý® *bQkB D þ:3ÿ7; ÕDÖ¤×(3>E;=L~I@ÿ[5;^³µ´ ¶

DÒþ3ÿ7;H<%òb2Z?]sbutÄü

ØAÙkØ ÚÜÛÝ'ÞfÝßgÛ¬à

ÿE[;HN¯þ9<9vþXw?<axwv;^w?79<9M35>E;^3GG;%DEF%:>E;á¥þ:Be:g97;Wÿ ÿE;%DA>F?

Ntâ+N

i

Nãã*ã

ÿrþCL;=Ñþzÿ;^BEÿDA<F%;=>*9vþ wOy

;%DAFl:>A;"wþBe8ò97;Wÿ ÿE;%DA>®ä

NxåGNtæ'Nã*ãã

w?<979L5;%ÑþzÿE;Fþ973BO6:;%FpÿrþDA>*s:5L 9¨þXwv;%DEF%:>E;"DA;%;%g97;Wÿ ÿE;%DA>

ç

NèANkéUN*ããã

:DA;e3>A;%L N¯þD¥>EFl89V:DA>ü¦;35>E;ê*ë¿ÿrþ L;=ÑþzÿE;Hÿ[;ìcÿE[ÈFþ973Bþ:NÇÿE[;<L5;%ÿÿ@nBe&y

ÿDAc<üuZ\[5;>A@4BxInþ9"FíBîïw?79<9L;%þzÿ;ÈÿE[;>A;Wÿªþ:NBEÿDA<F=;%>?w?vÿ[Ò:DÒþXw?>H:L,>(Fþ973B5>*M8L

L<:a§ð

C N ðñ

Nããã0N ð ï

"w?79<94L;%þzÿ;§ÿ[5;F><>gLV8aþ:9dBe=ÿDEhcáòHó$ô(ëõ0

N

ô(ëvë¥HðëÞü¡KÂþ:D6;=FWÿrþ:DE>

wv;C35>E;,ötä÷öRøÿ þgL;%ÑþEÿ;Ìÿ[;ù5yzÑþDAB ötä÷öRøúHKû5üäëü ø

C$ý

ø

:LnN¯þDTBEÿDA<F=;%>öa?öRøw?79<9L5;%ÑþzÿE;

ÿ[5;^7L3F=;%L,Be=ÿDEhcáùdyÑþDAB

öa?úöRøH B&c

þÿ

öa?ä÷öRø

ötä÷öRø

©G:DÒÿE<F=39V:Dötä÷öañ¥7>sÿ[;3>A3:92;%35F%9<7LV8ÑþDEB!:L¢öa?öañH ð C

?¨u<>sÿ[5;9<:DEa;=>ÒÿH>A<a:39V:D

68:9<35;$þ8N2?ü¬;^3>E;

C

ñ

ï

ÿrþL;%ÑþEÿ;ªÿ[;^;%7a;%68:9<35;%>`:L!ð

C ðñ

ð ï

ÿ[5;,>A<a:39V:Dx68:973;%>¬þ:N:ÿ[;gBEÿDAc ?ü}Z\[;gN¯þ9<9vþ w?7a>E[þDÒÿE[:L}ÑþzÿEÿvþÈw?<9<9I*;g3>A;%L ÿ þ

L;=Ñþzÿ;sÿE[;H>E;pÿ¥þ:N;%<a:;%68:9<3;=>ÇþD\>A<a359V:D 6:89<3;=>\xBe=ÿDEhc*Uü?

C N

ñ

NãããN

ï

'ð?¨

ð

C N ðñ

N*ããã*N

ð

ï

üK3D³ÿ[;=DEBþDE;

ÿ

üä

Nå

÷H8DEF%FWþ>

äE

å

ötä÷öañdö

å

öañ

w?<979L;=ÑþzÿE;$ÿE[;^:F%3ÿE;^:a97;TI*;pÿw;=;% þdy_=;%DÒþC6:;%FWÿ þDE>Lä8L

å

8L

ÿ

üä

N

H B7

!#"%$

ÿ

ä

N'&

ÿ[5;~:F=3ÿ;~:a97;gI*;pÿw;=;%ÿ[5;ò6;=FWÿ þDäª8L ÿE[;~>A3I>EG:F%; >AG:5;%L¬I@mÿ[;,Fþ:9<3BC>þ:N

ü

K7:9<9@ú?)(* ü?

E

?'+ C ? E

w?<979L;=Ñþzÿ;YÿE[;%þDE;âyR ;%DÒþ>E;^G>E;=3LÑþ8yz<6;=DE>A;þ:NU?ü

ª[;%jL5<>EF=3>E>A<a;6*;%FWÿE>Çþ:N93vÿE;`GDA;%F=<>Evþj:DAvÿE[B;pÿ7F ê üä¥2w?<979L;%ÑþEÿ;uB:F[7;uo3BI*;=D

F%9vþ>E;=>ÒÿªÿrþäFüK3D³ÿ[;=DEBþDE;xwv;3>E;Ìÿ[5;C> @4BxI<þ:9 ø ÿrþgL;=Ñþzÿ;ÌÿE[;3vÿªþ8NB:F[7;xD þ:3LdyÞþd6f

w?[7F[ < µ000ªLÑþ3I97;¥G5DE;%F=<>A¨þ 7>sã

+,.-0/

â ã âzâ

âXW

+ C21

*:Lÿ[;x> @4BxI<þ:9

é ï HI>

ø43

³â5 > ø

<ÿED þ4L3F%;=LI@,`7a[:B 7 à/midüª[;=nL<>AF%3>A>E<5ajL6*;%DA;%ÿT68:DE<:ÿ>sþ8N2ÿ[;]:F=_þ>HG5D þ4F%;%>A>

w?vÿE[gL6*;%DA;%ÿQ47L>wþ:N"DE;WþDÒÿE[Ñþaþ:9<7_lEÿE¨þCw;^>E[89<9M3>A;$ÿE[;HN¯þ9<9vþXw?<a8IIDE;64VEÿE¨þ>

(7)

]tOS ]:5F%_þ:>QI5<L<:aþ89<<_%Eÿvþ

K2\¯ ®Po@dBCBC;WÿDA<FH]:5F%_þ:>Qw?ÿ[jN39<9DE;þ:DÒÿ[þaþ89<<_%Eÿvþ

tOK2\¯ ]:5F%_þ:>QI5<L<:aþ89<<_%Eÿvþw?vÿ[jN3979MDE;WþDÒÿE[Ñþaþ::9<7_lEÿE¨þ

\¯ ®Po@dBCBC;WÿDA<FH]:5F%_þ:>Qw?ÿ[! :D³ÿ<:9MDE;WþDÒÿE[Ñþaþ::9<7_lEÿE¨þ

tB \¯ ]:5F%_þ:>QI5<L<:aþ89<<_%Eÿvþw?vÿ[gG8DÒÿ<:9MDA;þD³ÿ[Ñþazþ:97<_l=ÿ¨þ:9

w?[;=DE;©Io@76P4@4BBC;WÿEDE7F]:F%_Wþ>98 wv;(BC;l:ÿE[;*þDE7a<89u]:F=_þ>ò:97aþDEÿ[B NDÒþB r WTN¯þ:D

DE;=L3F=<au> @4BBC;WÿEDE<F BEÿDAcªÿrþsÿEDE7LV:azþ:9N¯þDABüZ\[;\]:5F%_þ:>¡I<L5V:aþ::9<7_lEÿE¨þ89<aþDAvÿE[B

<>\L5;3;=L~7ÿE[;HN¯þ9<9vþXw?<ax>A;%Fpÿ¨þ:Uü

: ;=<

íÓ>¥ëð@?ÔlÑÔ

<BA ëí

<DC Ô>

<

î¡Ôëí

(;©I;%a:<ÿ[5<>j>E;=FWÿE¨þ I@#>ÒÿEÿ7a#ÿ[;N35L:BC;%ÿ:9uDE;%F=3DEDA;%F=;%>@ÿ[EÿgL5;3;¾ÿE[;©]8F%_Wþ>

I7LV:azþ:97<_l=ÿ¨þ:Uüs±ÿ[;uG:D8aD:G5[>OI;%9¨þXw#wv;HL;%>AF%DA<I;T<eN35DÒÿ[5;%DOL;pÿ:79*[þ wÐÿE[<>Oÿ;=DEÿE76;

GDÒþdF=;%>E>uBel@,I*;¥3>E;=L< P4RHS F%:9<F=39VEÿE¨þ5>`8L~N¯þD`> þ96d7ae97;l:>³ÿu>A1o3:DE;=>HGD þ:I9<;=B>WüF(;3>A;

Fþ:>E7>Òÿ;=ÿ97@ÌÿE[D þ:3a[Ñþ3ÿBÿE[;?G:G;%D2ÿ[5;Q68:DAV:ÿL;=>EF%DA<I;%LIo@ú ":<a:;?:LeP5:3L5;%DE>¨

r

J#$ow?[5<F[

<>ÇÿE[;^:GGDÒþGDAVEÿE;T6;%DA>EvþòN¯þD\>Òþ97647a9<;l8>Òÿ?>E1o38DE;%>QGDÒþI9<;=B>;F=Nü®àm#ü KÂþ:DÇÿ[7>QDA;l:>Òþ9gþ35D

N¯þDABx39V8>"7ÿ[;>E;%FpÿvþÈþPoRHS#Fl:97F%39<Eÿvþ>L76;=D>E97<a[ÿE97@HND þ:B)ÿE[;OGDA;%>A;%ÿEÿE¨þ7;EüYaÑüã8J

[ÑþXwv;=6;=D<ÿ[EÿFþÿE;c%ÿÈÿ[5;%DE;:DE;Ñþ L76;=DE;%5F%;%><FWþBCG3ÿ=ÿ¨þ::92;= CF=<;%5F=@þDx:F=F%3DE:F=@

I;Wÿwv;%;%ÿ[;Yÿw¿þCN¯þDAB>Wü

KgþD?CDA;%Fpÿ:a:39V:DD: <Ò>nBe=ÿDEhc?4ÿ[5;¥]:5F%_þ:>QI5<L<:aþ89<<_%EÿvþCFþBCG3ÿE;%>`>A;%1o3;=F%;

þ:N

ý Ú:ðèEþ&áXåÜ:Øè×µá&Ùå4E

õGF Lí 8L

&

õ)F DïT:5L>EFl89V:DA>

ç

õv:5L

è

õN¯þDIH"Hâ

N ã Nãã*ãNKJ

:>N¯þ979¨þXw?>%

âüvk[Ñþ%þ>E;^>Òÿ:DÒÿE<a6;=FWÿ þD÷ù

F í :L,9<;pÿ

è C H öù

öañi E C

Hù

3 è C :L

& W

ãü ÞöÂõ H"H)â

N ã Nã*ãã*NKJ

÷Fö

L

õBH?FE

E

õM5

è õ & õ + C

ç

õDH ö L õ(öañ

&

õDH

L õ 3 ç õ

ù.õBH?

&

õN5

ç õ E õ

è

õPO

C H öù.õ(öañ

E õ9O

C

H|ù.õ

3 è õ9O

C

%óP÷

(ÿE[;¥N¯þ979¨þXw?<5awv;¥w?79<9sDA;=N;%D¥ÿrþKþ;G:>E>E:a;'ÿE[D þ:3a[(ÿE[; ÞöÂõ 9vþþGòEÿsãü*:>u

ý Ú:ðèEþ&áXå^å×Ø

4

Rþ:D?: ÛÝ×ØÙAÚ:×Ûéá&ð ü2b`N ÿE;%D

J

>Òÿ;=G>*wv;¥[X6:;¥a:;%;=DEÿE;%Lÿ[;

¯öQxõ

I<L<:aþ:9*BEÿEDEc

â0R

H STTTTTTTU ç C è ñ ç ñ

è - ü ü ü

ü ü ü ç R

èVR O C

WYX

XXXXXX

Z ã

cãüvâi

(8)

=

^l

m

n o

K7a3DA;Èâ ]:F%_Wþ>?I<L5V:aþ::9<7_lEÿE¨þþ:NU?ü

,;c5:FWÿ`:DAvÿE[B;pÿ7FÄÿ[;^]:F=_þ>\6:;%FWÿ þDE>`:DA;$þ:DÒÿ[þÑþDABe:9*>E3F[@ÿ[=ÿ

p R O C H E C N E ñ

NãããN E R O C

F

íBî

!R O C $ N p E

R O C p R O C Hrq

R O C N

cãüÊãd

:L

R H & C

N'&

ñ

NãããN'&R

NF

ï.î R N E

R

R Hrq

R"N

cãü»/(

w?[;=DE;sq

R

7>Çÿ[;

J < J

<L;=ÿvÿ@eBe=ÿDEhc<ü¡tv@jFWþ>³ÿDE35FWÿvþÿ[;HFWþ9<35B>{þ:N p R O C

8L

R

>EEÿ7>ANÝ@

ÿ[5;^DA;%F=3DEDA;%F=;%>

ç õ &

õLH ? E E õ5

è õ & õ + C

cãü r

è

õ9O

C E õ9O

C

H?

&

õM5

ç õ E õ N

cãüÀd

:Lgwv;^F%:gw?DEvÿE;sÿ[7>?<gFþBCG:Fpÿ?BeEÿEDEhceN¯þDAB :>

?

R

H p R O C

âGR

cãü»(

? E p R O C H

VR*â

E

R ç R O C

&tR

O C ê ER O C N

cãüÀmd

w?[7F[ò7>\<9<973>ÒÿEDEÿE;%Lj7òK"<a3DA;Èâü

Pd<5F%;+dãüY¿Fl8 :97> þI*;w?DEÿ ÿE;%

p E

R O C ? VR

H

â0R

wv;^w?79<9MDA;=N;%D§ÿ þÿE[;¥FWþ9<35B>wþ:N p R O C

8>

Þ<Øùâ× ý Ú:ðèEþ&áXåHÜ:Øè×µá&Ùå :Lÿ[;Fþ:9<3BC>§þ:N

R

8> ÙâÛß&ã4× ý Ú:ðèEþ&áXåÜ:Øè×á&Ùå üA%@þDE;Wþ 6:;%D

E R O C

Fvu

R O C

?®?

E N E C

7w E C N

?®?

E E C

Nã*ãã*N ü?-?

E R E

Cyx

N

cãü»(

&R Fvu

R

?

E ?

N'&

C

zw

& C N ? E ? & C NãããN

?

E

? R + C &

C{x

N

cãü»J(

:LÿE[;%DA;=N¯þDA;

E C N E ñ

NãããN E R O C

:L

& C N'&

ñ

NãããN'&R

N¯þ:DEB 8 þ:DÒÿ[þaþ89TI:>A<>N¯þD±ÿE[;%>A;*ÿw¿þ

HDA@49¨þX6e>E3I>AG:F=;%>ü

@ÿE[;TN¯þ979¨þXw?<a^w;L7>EF=3>E>?[ÑþXwØÿE[;HI7LV:azþ:97<_l=ÿ¨þ:CF%:gI*;H35>E;%LÿrþF%:9<F=39VEÿE;H:GG5D þlcoy

<BEÿE¨þ>BÿrþÌÿ[5;^>A<a:39V:Dv6:89<3;=>¥þ8Nf?¢:Lÿ þ>Òþ976:;^97<;%:DO97;l:>³ÿ?>E1o3:DA;%>QGD þI59<;%BC>ü

| }7~

ï

;<

íÓ>:ëð

<DC{A ëCÐÔWî

~ <

íÑ ð*

<

ÐLðMï Ó

<DC ÓQÒ

C<

î2Ôëí¾ð

Z\[;C]:F=_þ>I7LV:azþ:97<_l=ÿ¨þ:@þ8N¤? 7>TF%9vþ>E;=97@ DA;%9<Eÿ;=L*ÿ þ±ÿ[;¬þDA<a7:9]:F=_þ>GDÒþdF=;%>E>¥:Gdy

(9)

P4RTS :97aþDEÿ[B I8>E;%Lþÿ[;^DE;=F%3DADE;=F%;=>uL;=>EF%DA<I;%L,<ÿ[5;^G5DE;=64vþ3>Q>E;%FpÿvþUübf>E<BC<9<:D GDE;ây

>E;=ÿEÿE¨þN¯þDÄÿE[;I9¨þ4F ]:5F%_þ:>^I5<L<:aþ89<<_%Eÿvþg<>Ta:76;=n<ã:mcüt;=N¯þ:DE;w;GDÒþdF=;%;=L99<;Wÿ

3>¥DE;=647;=w >ÒþB;N3L:B;=ÿ:9DE;=>E39ÿ>N¯þDªÿ[;C>A@4BCB;pÿDE7F;%<a:;%68:9<3;CGDÒþI9<;=B :Lÿ[;C>A@4By

BC;WÿDA<Fu]8F%_Wþ>\GD þ4F%;=>E>5w?[<F[jwv;HBx3>³ÿ?:GG9@¬ÿrþ3L5;%DE>³ÿ:5LÿE[;TGDÒþG;%DÒÿE<;=>Çþ:NFÿ[;T]8F%_Wþ>

I7LV:azþ:97<_l=ÿ¨þ:Uü

¢DÙkØ £¥¤¦ß.§÷Þ¨Y©&à¤Ý«ª¬G®7©9Ý¯§ß±°²)¯ÛN³´¨±©jzª

Z\[;T>A<a:39V:D268:973;`L5;%Fþ:BGnþ>EÿvþKþ8Nn?7>F%9vþ>E;=97@DA;%9V=ÿ;%LÿrþÿE[;HP4F[435DOL;%FWþBCG<þ>AvÿE¨þþ:N^ÿ[5;

>A@4BCB;pÿDA<FHBEÿDA<F%;=>B?FE¥?µF ï.îï ?®?FEF~ íBîí :L

i¶ J W ?

?FE WM

F !í O ï $ î !í O ï $ N

-/üvâi

:Lÿ[5;%>E;^DE;=9VEÿE¨þ5>N¯þDEBìÿ[;I8>E<>wþ:N:@,P4RTSU89<aþDAvÿE[Bò

öÂõ&4! ñ ý Ø× ? óØ^Ú:ð : <> äCÚ:×ÙâÛ¸·Ú:ðæCÚ&ååø4äeØTë2ÛÝ×Ýãá&ød×Þ<áXåå^áµù?ß4ØðØÙAÚ:ÞçÛÝ×2¹x×ã5Ú:× : > ì

ý

Ø×ùâø4Ùâ×ãØÙ×ÝãØHåÛÝð4ß:ødÞÚ:ÙÜ&Ú:ÞçøØ¥æ4Øèá&ä

4

áXåÛÝ×-Ûéá&ð©áµù

?

óØ

p E ? H L5V:a§üð

C

NãããN ð ï ã

-/üÊãd

º ãØð

E

?

E

?¨

H L<:a§üð

ñC

Nããã0N ð ñ

ï N

-/ü»/(

p E

?-?

E p

HªLV:að

ñC Nã*ãã*N

ð ñï N W

N*ããã0N

W

» ¼.½ ¾

í + ï ã

-/ür

¿ á&ÙØá&Ü:ØÙ÷Ûù p Û<å

4

Ú:Ùâ×ÛÝ×-Ûéá&ðØEæjÚ&å

p H p C p ñ

À ÁÃÂDÀ

N

×ÝãØð×ãØá&Ùâ×Ýãá&ðá&ÙäCÚ:Þèá&Þçødäð5åáµùT×ãØ

ü: >nD<|: >9

äCÚ:×-ÙÛ¸·

Ä H â

Å ã J p C p C Å ã p ñ

5 W M

-/üÀd

ùlá&Ùâä Ú:ðØÛß4ØðÜ:Øè×á&Ù^óÚ&åÛ<å2ùlá&ÙH×ãØ^äCÚ:×-ÙâÛ¸·

i

æ4Ø¡ÆðØEæCÛÝðÇ.ÈoìÊÉyËX÷vÚ:ðæ

Ä E i Ä H LV:að

C

Nãã*ãN ð ï N

5Fð

C

Nããã0N 5Fð

ï N W

N*ããã0N

W

» ¼.½ ¾

í + ï ã

-/ü»(

Ì ÙáXáµù=ì Z\[;Èÿ[5;þDA;%B N¯þ:9<9¨þXw?>`<BCB;=LVEÿE;%9@I@ >A3I>ÒÿEvÿE3ÿ7a±ÿ[;P4RHS þ:N? 7/ü»/¿a÷-/ür

:L /ü»¿vN¯þ:9<9¨þXwv;%LjI@,:GG59<<F%Eÿvþ±þ:NB/üÀ(O8L@ÿE[;ªþDÒÿE[Ñþaþ::9<ÿ@þ:N

p

8L

ü Í

Z\[;ªÿ[;WþDE;=B ÿ;=9<9<>3>*ÑÿE[Eÿ\wv;¥F%:þIÿ8<±ÿ[5;^>A<a:39V:Dv6:89<3;=>?:Lg6;%FpÿrþDA>:þ8NU?fI@jFWþBy

G3ÿE<a¬ÿ[5;^;=<a;=6:89<3;=>u:5LòFWþDEDA;%>EGnþL5<aC;%7a;%6;=FWÿ þDE>:þ:N7þ5;$þ8NMÿ[5;¥;=1435768:9<;=ÿ`> @4BBC;WÿEDE<F

BEÿDA<F%;=>ü Z\[<>?N¯þDAB>ÇÿE[;¥I:>E7>:þ:N¡:@òP4RHSU:9<azþDEÿ[B@ü2bu>`:,;c5:BCG9<;Ñÿ[;^>Òÿ:L:DAL :97aþ8y

DEÿ[B!8w?[5<F[<ÿ>PþDE7a<89oN¯þ:DEB¢<>¡L35;{ÿrþ;Yþ9<35I:L :[8!ã:#:L35>E;%L7;züàaÑü]sb¨ bQkB "

Fþ:BG3ÿ;%>wÿ[5;xP4RTSUI@

ÛÝä

4

ÞçÛéèÛÝ×Þ#¹

:GG9@d7a¬ÿ[;á:9<aþ:DEvÿE[B N¯þD§ÿ[;^>A@4BCB;pÿDE7FH;%7a;%68:9<35;

E

(10)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0

0.5 1 1.5 2 2.5 3

| 1 − x ² | 2 | 1 − x |

| 1 − x |

|1 − x| ²

K7a3DE;ãd

ÖâÞÝÞçøoå×-ÙAÚ:×Ûéá&ð áµù¥×ãØxóá&ø4ðæ&åá&ð(×ÝãØ¥ÙØÞÚ:×-ÛÝÜ:ØCØÙÙá&Ù^ÛÝðÏÎ

ðë

ì º ãØÜ&Ú:ÞçøØá&ð(×ÝãØxÚóåXèÛ<åå%Ú

ÙØ

4

ÙØåXØð×å

äH

Î

ðë 3 ðë

ÛÝð×ãØØP·

4

ÙØååÛéá&ð5åùlá&Ù×ãØ¥ÙØÞÚ:×ÛÝÜ:ØØÙâÙá&Ùxóá&ø4ðæ&å÷2åXá

äHâ

äeØEÚ:ð5å^×ã5Ú:×

×ÝãØÚóåXá&Þçød×ØxØÙâÙá&Ù^Û<åuþ&ØÙá:ì

¢DÙ.Ð Ñ´¦à)ÒÞ7©Uà¤Ý'Þ¨Ó©Ô¯V¯Û¯£Þà¨Þ¨±¬ªß±ª^ÕaÛ¯×ÖØ×Ù °nÞ¨Y°Ô¦´¨RÞfÝßgÛ¬à)ª

Z\[;jN-:FpÿÈÿ[=ÿ?FEG? <>¥N¯þDEBC;%Lþ597@(<BCG9<7F%vÿE97@7>xF%DA3F%<:9¿ÿ þ¾ÿ[;jo3BC;%DA<Fl89>Òÿ:I79<vÿ@þ:N¥ÿ[5;

:97aþDEÿ[B@üZ\[5<>j<>KÿDE35;~N¯þDj:@#P4RHS :97aþDEÿ[B,ÛÚ`59<;%>A>? [:>g6:;%D @¬>EB:979`FWþLÿ¨þ:

o3BxI;%Dÿ[5;uD þ:3L7a;=DED þ:DE>Lÿ[Eÿ{þdF=F%3D w?[;%+?FE¥? 7> N¯þ:DEBC;%LeG;%D³ÿ3DAIHÿ[5;uBEÿDAc>A3F[±ÿ[=ÿ

wv;Fl8Ñþzÿu;cdG*;=FWÿ:ÿrþeL5;Wÿ;=DEBC<;ªÿ[5;>EB:979<;%>³ÿQ>E<5a39V8DO6:89<3;=>Äþ:NPÿ[;'þDE7a<89MBe=ÿDEhc¦?fND þB

ÿ[5;¥>ABe:979<;=>ÒÿQ;%7a;%68:9<35;%>wþ:N÷?LEG?¢w?ÿ[ò:@~8F%F%35D:F@ü\Zoþe>ÒÿEÿ;$ÿ[7>?BKþDA;143:ÿvÿEÿ6;=97@(wv;

DE;=a:DALÿE[;HN¯þDAw:DALò;=DED þ:DQInþ35LgN¯þ:D\BeEÿEDEhcBx359vÿ7G9<7FlEÿE¨þÒ->A;%;+à/mPd;=FWÿvþò/üÀâ

ê ?

E

?¨H ? E

? ÃÜ

N

öyÜ!öañÝ

é í öa?

E

öañ÷öa?úöañÝ

é í ð ñC N

-/üÀmd

w?[;=DE;,ð

C

<>HÿE[;9V8DEa;=>Òÿ>A<a:39V:DC68:9<3;þ:N;? :L

é í H : ø43 âÞ5 : ø ßÝ â ã

Wâ: ø w?[5;%

: ø ÝªW

ã

WâÝN¯þDµ0 00nLÑþ3I59<; GDE;=F%<>A¨þ$ÿ[7>"[þ9<L>":>"9¨þa`:>U? [:>N;=wv;%Doÿ[: r ã

âXW C- D þXw?>tü

ý:þXwdG*;=DÒÿ35DEIEÿE¨þÿ[;WþDA@CN¯þDLÿ[;u>A@4BBC;WÿEDE7F`;=<a;=o68:973;uG5D þI97;%BO>E;%;u;züàaÑünã:JPd;%Fpÿvþ>Oüvâ(

üY//Fl:¬ÿ;=9<9535> [þ w Bx3F[¬ÿ[;?;=<a;=o68:973;%>2þ8N ê ? E ?¨L6*;%D¡NDÒþB½ÿE[Ñþ>A;¥þ8N? E ?ü¡Z\[;?DA;%>E359vÿ

;cdGDA;%>A>E;%L~<ÿ;=DEBC>¥þ8NPÿE[;>E<5a39V8D68:9<3;=>§þ:NU?á<>

à Î

ð ñ

ë 5 ð ñ ë à

Ý£:

ø ð ñC N

-/ü»(

w?[;=DE;

Î

ðë

N

ìH â

Nããã0N

>ª:DA;Hÿ[;e;%<a:;%68:9<3;=>Ìþ:N

ê

ü?FEG?¨pü©Z\[<>x>A[ÑþXw?>Ìÿ[EÿxÑþBe=ÿ ÿ;=D[ÑþXw

:F=F%3DEEÿ;ÿ[;ò:97aþDEÿ[B wv;~>E35I>E;=1435;%ÿ9@ 3>A;@ÿ þ(F%:9<F=39V=ÿ; ðës w;òFl:þzÿe[þG*;ÿÎ þ(DA;%FþX6:;%D

ÿ[5;^>ABe89<9<;=>Òÿ>E<5a39V8D68:9<3;=>Ow?vÿE[,[5<a[gDE;=9VEÿE76:;H:F%F=3D8F=@üb`o@g75N¯þDABeEÿE¨þe:Inþ3ÿ§ÿ[5;H>EB:9<9

>E7a39<:D\68:9<3;=>`[:>`L5D þXw?;%L7@ÿE[;DÒþ3L5<aC;%DAD þDA>ü?Z\[;Inþ35L < /üY¿\<>QDEÿE[;%DQL F=39vÿ

ÿrþ7ÿE;%DAGDE;pÿ>E7F%;ÿ?a76:;%>Q:,;cdGDE;=>E>A¨þ,N¯þDÇÿ[;;=DED þ:D\<

Î

ð ñ

DEÿE[;%D§ÿ[:

Î

ðëdü÷;Fl8þIÿ:7

(11)

BKþDA;H3>E;N39sInþ3L,ÑþzÿE<aÌÿ[EÿQI<þzÿE[ ðë¡:5L!ðë:DA;^InþzÿE[,Gnþ>AvÿÎ 6;Ho3BxI;%DA>*ND þ:B w?[<F[,vÿ

N¯þ979¨þXw?>{ÿ[Eÿ

à Î

ðë5|ðë

à

ðë

Ý à Î ð ñ

ë

5|ð

ñ

ë à

ð ñ

ë

Ý£:

ø ð ñC

ð ñë ã

-/ü»J(

Z\[;<5;%1o3:97vÿ@ 7>H<979<3>³ÿD=ÿ;%L~<©K<a:3DE;¬ã)Mw?[;%DA;ÿE[;;cdGDE;=>E>A¨þþ¾ÿ[;9<;NÿH>E7L;¬þ:N¨/üYJ¿`7>

>E[þ w?~:>Çÿ[5;^LþzÿAyzL:>E[5;%L9:5LÿE[;ªþDE7a<:9I<þ35Lòa:76;=gIo@Hÿ[;BC<LL97;u;âc5G5DE;%>A>Evþ~7>\>E[ÑþXw?

:>§ÿ[5;^>Òþ9<7Lj9<7;zü2t @±ÿ[;HN¯þ979¨þXw?<5a:DEa:3B;=ÿl

è à Î

ðë5|ðë

à

ðë é ñ H êêêêê â5

Î

ðë

ðë êêêêêñ

Ýçê

êêêê

â5

Î

ðë

ðë êêêêê êêêêê

â¤

Î

ðë

êêêêê

H êêêêê è â5

Î

ðë

ðë é è â¤

Î

ðë

ðë é êêêêê H êêêêêê âæ5

è Î

ðë

ðë é ñ êêêêêê

H à Î

ð ñë 5|ð

ñ

ë à

ð ñ

ë N

wv;¥a;pÿQL6*;%DA;%ÿQI<þ35L

à Îðëh5 ðë

à

ðë

Ý¢:

C$ý

ñ Å ø ð C

ðë

N

/üâXW¿

I3ÿ¿ÿ[7><> ;=6;=w;%::;=D{ÿ[:/ü»J¿¡;âc5F=;%Gÿw?[;%±ÿE[;`DA;%9<Eÿ6;Q;%DEDÒþD <> 9V:DAa;%D2ÿ[:ãd:>v>E[ÑþXw?

I@ÿ[;LÑþEÿ ÿ;=Lò97<;u<,K<a:3DE;ªã%ü Z\[5;3a3DE;F%:ò[þ wv;=6:;%D`<>AG<DA;H3>¥ÿ þ"3Lò>A9<7a[ÿ97@ÿ7a[ÿ;=D

Inþ3LUü Z\[;^L:>A[;%Lò9<<5;T<L5<Fl=ÿ;%>ÇÿE[Eÿ?w?[;= ðëÎ

ðëwv;¥F%:,DE;%L53F%;$ÿ[;Inþ3L,I@,N-8FWÿrþ:D

þ:N7ãd

àÎ

ðë5|ðë

à

ðë

Ý à Î ð ñ

ë

5|ð

ñ

ë à

ãð

ñ

ë

ÝªW

ã : ø ð ñ

C

ð ñ

ë N

/üââ

Zoþ a;WÿInþ3L N¯þ:D

Î

ðëëÝ ðë`w;~>E<BCG9@ >Aw:G£ðë:L

Î

ðëT<ÿ[;~<;=143:9<ÿ@}:I<þX6:;|w?[5<F[

Fþ:DEDE;=>EGnþL>wÿrþDA;%G9<:F%7aä I@*â 3 äò<ÿE[;3a3DA;i{ÿrþa;pÿ

à Îðë%5|ðë

à

Î

ðë

Ý à Îð ñ ë 5 ð ñë à

ã Î ð ñ

ë

ÝªW

ã : ø ð ñC

Î

ð ñë N

N¯þ:D ðë4Ý£ðëÎ

ã

/üâ0ã(

ý:þXw w;^Fl:gw?DEÿ;sÿE[;;=wI<þ35Lò7ÿ[;Fþ:BG8FWÿ\N¯þDAB

à Îðë5|ðë

à

BC<9

Î

ðë

N

ðë

ÝªW

ã : ø Îð ñC

BC<9

Î

ðë

N

ðëü ñ ã

/üâX/¿

Z\[;^9V:>³ÿQ<;=143:9<ÿ@<>?ÑþEÿ`7@ÿE[;3>E3:9sN¯þDEB þ:NN¯þDAw:DELò;%DAD þD?Inþ3L9>A<F=;^wv;¥Inþ35Lÿ[5;

;%DAD þDQDE;=9VEÿE76:;ªÿ þÿE[;^>E<_=;'þ8N7ÿ[;^Fþ:BG3ÿ;%Lò1o3:ÿÿ@gDEÿE[;%Dwÿ[8ÿ[5;$ÿEDE3;68:9<3;I3ÿ¥ÿ[EÿQ7>

ÿ[5;HGDE7F%;Twv;HGl@eN¯þD{ÿE[;Yÿ7a[ÿ;%DI<þ35LUü2bu>\F%:gI*;H>A;%;=ò7gK<a35DE;Yã)ÿ[7>O<><N-:FpÿÇÿ[;HI;%>³ÿ

9<7;l8DOI<þ:3Lgw;Fl8ò[Ñþ:G*;HN¯þDWü

Z\[<>>A[Ñþ397L©I;Fþ:BG8DE;%Lw?ÿ[¾ÿ[;;=DED þ:DHI<þ35L©N¯þ:DHjI:FwO8DEL>³ÿ:I59<;BC;Wÿ[þdL9Mw?[5<F[

;%:DE9@FWþBG53ÿ;=>Èÿ[;;âc5:FWÿeP4RTS þ:N` BeEÿEDEhc ? ×Ü w?[;%DA;öyÜ¦öañ 3 öa?úöañìÝ ù}:

N

>9 ø v8L

ù&ü:

N

>nO<>\>ÒþBC;H>E9¨þXw?9@aDÒþ w?7aN3Fpÿ¨þ:@þ8Nf: :L!>Mü2ÿ[7>Q>AvÿE3Eÿvþwv;^[X6:;$ÿE[Eÿ

à Îðë5|ðë

à Ý ù&ü:

N

>n

ø ð C N

/üâ r

(12)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 10 ⁻¹⁴

10 ⁻¹² 10 ⁻¹⁰ 10 ⁻⁸ 10 ⁻⁶ 10 ⁻⁴ 10 ⁻² 10 ⁰ 10 ²

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

10 ⁻²⁰ 10 ⁻¹⁵ 10 ⁻¹⁰ 10 ⁻⁵ 10 ⁰ 10 ⁵ 10 ¹⁰

i Relative error | θ i − σ i | / σ i

íkîïñðò9óõôgöæ÷Ôø¡ùKújûgüýIøyþÿ ýþü tüþVø±ùõúVøBú.øyúüú ÷ !"$#% &úÔûgüýIøyþÿ'yþÊþ(yúPü)

ú

tý*±ùúVø0ø++,&"+&ý.-&/# 0

ütý.-&12&3 ú4Vø5øyþüú

ø)ø+6,&

ý

ýþü' tüþVø7±ùæú.øyú8üú

5 ÷& !":9 øø ø;yú tý=<>#@?BA;&0û.ú±øC-ü&´ú4VøDø øyý2 tüþVø±ù D5E.DF( ýú4Vø'G>HJIK&ú ýIø ý

LNMPO ÷QMSR TNüý.-U;+,$ øsú4VøV ýþüV tüþøW;&0û.ú.øC-N- ø;yú2þXù6&YDZ( ýÓúVø5[]\>^_,&ú ýIø

ý`LUMPO ÷MSR#aOVøb-túú.øC-&T- ü&VøC-üý.-c-tú)d- ü&VøC-¥þ

ýIø:2&3µú4Vø tüþøsû.'øC-

;yú±øC-c"/XÛø++,&

"+&ý.-& ýe9f?g#4!hA$TS9f?g#4!i?BAëüý.-j9f?g#4k+Aüý.-3 ú4lnmYoTæüý.-ëú4Vø$tþ -þ ýIøV2&3põú4Vøq"+&ý.- ý

9f?g#4!/rAq3 ú4ts8ul_vCwQxymzog#

{

ó{óÛó|ï}|~7óBB9îi}|S||Ni$

{

¡òi CóÛóòPòCñòU}

{ î{

apîïñó~J(&VC2N,gó

{

:Óó+'òPî: }/¡B

{

ïiò9îC}¢£}£}îó/¤_,*¥¦u¤§CóòPóBñòPó

{

U,ó¨ © ªW

{

Nó

{

2

{

ó{ó

« ó/$x

{

'î

{

4 « ñð}}¤

{

KCî

{

ñò*|

¬'ó « ñð}}¤

{

}¤KB9ð2Ió{ò9òñò

{

îb,óVBi:£ð'óB¤

{

îïñð}ò1ðó

{

ió7,gó7'ó

{

®9ò9îó

{

¡òC¯óBB'îi°|ôqòPó´îð {

'ò,&'ó/¤bîìíkîïñðgò9ó´ô|

±'²± ³`´7µ·¶q¸º¹7»Q¼Q½1¾¸º¿dÀÁ½ÁÂÃfÄ}´VÅ

í2ñò7Nò9ïñóa}¤

{

£2ò

{

óq9ò9îÆU,ó:ÇVið « ®]Èt2jïiñò9îÉ,} î{

î:£òCB9îÊË|7¬'óq ïiñòPîC}

{

,ò

{

ñð « c££}îgïN

{

óòPîó {

{

îîò9îÉfN'òC

{

òC¨'îi

{

¤gîò9óBBCK,ND,bòPó/¤ðóîSC

«

î¤î@ïi2Ìñò*|K¬'ó{ò9óBò9óbîBò9óBÍ ðîòPó

{

Cób¨'òPîÉÆ_C

« ó {

,ò9ó/¤ó6Æ£}îîC8ÎîÏÊ

« ó

î:£.

{C{

î« ó

{

î:£}K¤ðóWCbî

{7{

î¡ó|WÐ*ñòPó/$ñó{ò/ÔîSÊ « ó¤î

ð}ÉS,N,Ñóq¤g,ïñóWÒg

{

9ò9ð}+'ðòPóWñò

{

£2ò

{

îÉfìî°DP

{

î}{óP,gî

{ î{

ÍðgîÑgK¤ó

{

'ò$ñó/¤ « K,ó'ò,

{

ñò&'î

{

,2SòPó

£}£îóB¤b,q,ót¨'òPîÉÆÓ|

ÔÕÔQÕÖ ×bØÙØ8Ú>ÛÜ ÝÞàßá$âcãåäKæèçÙé/Ýê ë`ìºß2ê8íiî(ÛÓéqÛ.êïÞàßá$Ú&Ý4Ü

¥

ðóBKDµî

{

@ò9ïñóS}¤

{

£}ò

{

óò

{

9ò9ð}+'ðòPó/¤*W¨ñòPó0ó

{îóBg5óBC}¤¨ñò /¨£ð'îgïa,ógñVª

î {

,Þð

{

ótCó

{

:Óó+'òPî7 /¡/

{

£gòCó

{{

u {

óósó|ï}| ~o>ò2òoB@x £}£}îóB¤,igóV ,ó´óBÍðgîóB(

{

:Óó+'òPî

{ {

9ó/

{ {

î}{óS,óB,góS¨'òPîÉÆî

{

i}É¨/{ó

{C{

ó {

î@P9ò9îÆ®ËñóBB,ò1£ò¤gð}B

{

îC

Dó}¤=D

E

|1ñòsó+Æ:£}óWMób£}£}°,ó

{

:Óó+'òPî: }/¡B

{

£òCó

{C{

îÉ,

{

,ò9îïUñóBBCñò

(13)

= +

íkîïñðò9ó:ö: }B¡/

{

9ò9î¤gî@ïi2î¡Ê9îi°5¥:|°¬'ó

{

}¤ó/¤Ïó/BCñòWi`CóëòPî ïi(d®f2¤

{

î¤óëî

{

"! |

mu$#2E v%(xfE*,gó/j&4'óò5'&

{

'óB£

{

Mó2Êñóõò9ó/¤gð}óB¤j¥zC:Có

{

£%ó/îå9ò9î¤gî@ïi2.9ò9îÆ

(

!

m )*******+ % ,

, % !

!

% | | |

| | | | | | ,

, %

-/.

...

0 1

uô|Éo>òix

¬'óK/ñòPò9ó

{

£.i}¤îï` }B¡/

{

ñóBBCñò

{

"243 576 98

v;:qm oiv

1<1=1

v6'&eBi¨£gð'óB¤ îCó*£gòCó

{{

É'óò29ó

«

ó+fNó{ó/°f1:òC

{ ö

<!$>@? mYu$#

E>

v%(x

E v <!$> mzuA%vCB

E

> x E v Dm·oiv

1=1=1 v@&jv

Îó{ò9óE# >E3 5 6 vFB >G3 5 8

8}¤ßîÛó+Æ+Wò9îC}óB'î4, > H> I# > }¤JB > òPó î¤óBg9î/p,U,gó

/ò9ò9ó

{

£.i}¤îïbÍ ð2(9î'îó

{

/i:£ð9ó/¤ « K,óa }/¡B

{ « î¤î@ïii2î¡/'îiîC

{

òd'îgï¨ñóBBCñò

# |LK$nCóc }B¡/

{

9ò9î¤gî@ïi2î¡Ê9îieP¥¦Ê « ó°ò9îÉC'óBÏî 9óòC

{

t,gó_9ò9îó

{

MN! mYu v <! v

1<1=1

v <! x'¤O( ! {

,óVi$îgïò9óB@9îi

¥ MF! m MN! ( !QPR<! S

E

!

uô|ÉoT(x

m MN! ( !QPRVU

#

% W S E

!

v uô|Éo>ix

Îî î{ îð

{

9ò,9ó/¤bî í4îïñðòPó7}|

X {

Có7 ð} « óò Ôî'ó{ò,9îi

{ î{ îò9ó/

{

óB¤Có)óîïñó/(ðó

{ZY

2 vZ:Ùm oiv

1<1=1

v6'&¨[( ! Îgî

òPóÒ,ó5%

ú]\Î tüþøÙ.¥îCò9ó

{

£%ó/ByC7,ó Èsòd$

{ ð « {

£2ó

{

£2 u MF!

x+iî

«

óî}òPóÊ

{

îï

BðòC'óa£}£ò$Æî9îi

{

,¨Cóõóîïó/(ðó

{

º¥:.¤jB/ñò¤îï:,¨¬'ó/ñòPó/ oPCó^&K}i®

ó{ï('îÉñóPió

{

î « óa£}£ò$Æî9îi

{

,¨Cóaò9ïó

{ {

îïñð}ò'ðó

{

yDa|Î¬'ó^5îÉ,¡t ðó

{

òPótð}}¤ « U/i:£ð9îïWCóP ðò¤gó//¨£.

{

îÉ'îiN(

!

ö

_ E

!

(

!_`!

m¤î@ï.u

Y v

1=1<1 v Y

!

xVv uô|Éo$(x

¬'î

{

Ê « ó ¤}igó « ð

{

îï}ó|ï}|iCó

{

:Óó+'òPîZab5 ïñò9îÉ,}óu

{

óó~i&( X Xdc ÈròCñð9îó

e9fdghNi x6åñò « î ó/B9îi « óB¤ci§'ðgòC ó/Í ðóB}ó i$Mó/¤ « vî(ñóò ó î9óòC'îiÏu óóK~ô&Ë

(14)

X Xdc

È òCñð9îó

{

e9flg`

}¤

e9fdg

x6|ðîó ,góoab5 ïiñòPî, î{ ð {

ð2P,óÎ

{

9ó

{

Áò

/¨£ð'îgïN4óîïñó/( ðgó

{

Ò'òPî¤îïii} 9ò9îÆå.,óC9óòV£}£òCic2

{

,góq¤(ïó

,}óÊvó{îïñóB}£2îòæî

{

/¨£ð'ó/¤ î}¤gó/£%ó/}¤óB(,.}¤*CóòPóBñòPóBîÉî

{

i}ÉNó/{ó

{{

òd*C¨Biq®

£ð9óÒ,gó'£2òp,ó

{

£%ó/B9ò9ð} ,2&î

{

B9ð2ÉóóB¤ó/¤^BîP,î

{

Ê

{

óÒ,gó'£Ó

{

î9îñóMóîïñó/( ðgó

{ |

¬'î

{Á{

Êñó

{

2.,gó51ñòCÑq}¤¨}Ó,ó

{

Cñò,ïñógóó/¤gó/¤ñòÌCóóîïó/(ñóBB,ò

{

`(

!

}¤

{

¨Ñó

{

Cósóîïñó/(ðgóVÊð}'îi

{

ó/

{

NC:£}ò, óBî¡{óWu

{

ó{óBó|âï}|~o$&@x+|

¬'ó7/ðgò,+¨,ó5/¨£ð'ó/¤G5îÉ,¡'ðgó

{

Ê « óGó

{

'î&'ó/¤ð

{

îït,ó5i$îï´òPó

{

ðÊ

Îî î{

ñò9îïñî2q¤gðóV,¨pîïñó:~i&ö

^ âgÛÚ&âÞ

û û2$ øÁ&Uyú.ø.û27±ùæú4Vø +X&ëøyú

;÷ üýå;\&$4û.$;øStý¥Ygü ø5"yøøyýBûVø+ÊùÊ&6ëøC-

üý.-ëú4güúMú4Vø ;P-ø;&0û2$ ú tý§±ùsú4Vøõú - ü$tý%üþQüú ( !b S øyý_"/Xj9f?g#4!BA#÷ÔøyúNú4Vø

üú ±ù% ú]\a ø;yúf&,P"yø

! mYu v

1=1=1

vC ! xym MN!_`!N3 5o6 98A'!

ú4VøyýùÊ&Z:pm oiv

1=1=1

v6&§3Nø7gü ø

¥F 2

Y 2 2 ! m !" 2 '¡£¢ 2 v uô|Éo$(x

3pVø+'ø _`!

mYuA¤@¥,x/#

¦1$±ùB#ÁÙ

{

,ð'î£}juô|o>x

« _`!

Cq

«

î

¥

! m

! ¤îïu

Y v

1=1=1 v Y

! x PRC§U

#

% W S E

! _`!

1

Ù

{

,Dð}9î£}ÉîïWiót¨ò9ó « S<2 Nót « ,î

¥N

2

Y 2 2 m

QU

#

% W S E

! _`!<S<2

1

¬'ót,óBñò9óBZi$

{ « NÑ îï}ñò

{

}¤U}'îgïqC2

#

! mzo| ¨

¬'óBñò9óB Þïîñó

{

,óVi$îïDóò9òñò « ð}}¤

{

ñò Cósóîïó/(ðót£}£òCÊÆî¨9îi

{

Óî

©ª<«

¬

® Y 2 °¯±¢ 2 v uô|'%(x

u{

óó%ó|âï|8~ c 2£9óò5@x+|

¬'ó°%

ú\U ø;yúf&,²

2

v^:m¦oiv

1<1=1

v&`ò9ób£}£ò$Æî9îi

{

C°,óbó{îïñóB(ñó/+,ñò

{

5¥q|=`ó+

³

# 23 5 6

}¤ ³B 23 5 8 « ót¤ó´2óB¤

{

ð*,}

U ³# 2

³

B 2 W

m¶µ 2 v :Ùm ov

1=1=1 v@&jv

,gó/ /BñòC¤gîï`CÏ¬'ó/ñòPó/ o #³ 2 }¤ B³ 2 ò9ój,gó·5îÉ,¡*ó/+,ñò

{

PD¢îÉ,«òPó

{

£%ó/+N,Ï,gó

{ ð « {

£2ó

{Z¸

>

uDD5E8vC#

xÁ}¤

¸ >

uDÎE.DavCB

x+}¤¨, ð {

£gòC$î¤ó

{ ð {

îÉ,£}£ò$Æî9îi

{

Ca,gó

{

îïñð}òó/+,ñò

{

ÁDa|õí2ñò7/¨£}óB9ó/ó

{C{

ÓNóqî{

5,ó£%óòd'ðò « 9îivòPó

{

ð}VBñò9òPó

{

£Ói¤îïbC

¬'óBñò9óB Wò ,óF5î,¡7ó/+,ñò ö

(15)

^

âgÛÚ&âÞ Ô

÷Ôøyú¹ 2 "yøÓüU% ú\¨ ø;yúf&3 ú`;&6'ø.û2tý.- ý% ú]\: tüþø

Y 2 ü&¨-ø$ºýIøC- ý OVø&)

'ø+ üý.-Dþøyú7»

¼

"yøúVøsø

øyý2 tüþVø7±ùÁ¥ ;yþ$ øyúÔúf

Y 2

T*üý.-Dþøyú

»

B*"yø

úýå&6üþ

\tøC- ø

øyý2 ø;yúf&B#

0ø$ºýIøsú4VøS üyû ½ 2 ¡ î

«¿¾ÀÁ«

¼ Y 2 uô|o>x

ú4Vøyý

{

î

¾

u

2 v »

BxÂ¯

¥N 2

Y 2 2 !

½ 2 ¯ ¢ 2

½ 2 1

uô|iix

¦1,$±ùB#Òó{ó~òoi

c

}£'ó{òtoio/| ¨

¬'ó,gó/ñòPó/

{

}$

{

,2S,óBi(ñóòPïñó/óÒïîñóBJ5îÉ,¡Pó/+,ñòsî

{ ó {C{

ó/('îÉ°îÑóa,2&V

,gó7/ñòPò9ó

{

£.i}¤îï45î,¡5ðóó6Æó/£'Îó/N,góS@&C'ó{òNî

{

N£}£òCÊÆî¨9îiq,óîïñó/( ðgó

Îîßî

{

îcb/ð {

'ó{òquCî

{

2

{

}Cîgï,N¤}bîÉ,jCóq }/¡B

{

ïiñò9îÉ,} « óîïð

{

ó/¤ « ð

{

î¨£Bò9ó"Ãó/B

{

7Mó/É®fÑg}$Î ò9ó

{

ð}ÉÁ « ñðy,gó5Bi}¤îÉ'îiîgï7hóîïó/(ñóBB,ò

{

îW,gó

{

¨óB9ò9î

óîïñó/(ðóP£gòC

«

ó/x+|Òð óW

{

¨ÓóB('îKC25,óBï(£®

{

'òPð}B9ðò9óPÊ

«

óBð

{

óB¤°,

{

2òC£%ó/j,gó

óòPòCñòæó

{

9î¨'ó

{

îN¬'ó/ò9ó/ W,

îOÄ

¢ !

2

½ 2

v¢ 2Å v

{

{ò9î« óB¤ « ó/>tQMóÓð

{

óq,ó

{

óî:£òC$ñóB¤ ó{ò9òñòsó

{

9î¨'ó

{

, ò9óB¤ð}óq,gó¨óBó

{C{

ò§ ð} « óòt

{

9ó/£

{

î*CóW /¡/

{ «

î¤î@ïi2î¡Ê&'î|1f*,ói>îï}}>MóBóòBåNó

{

2 })ï¨¡ðòd,ó{ò

î(CW,ó

{

óV'óB}î/îÉ'îó

{ {

î}ó7CóBbò9ó´ó

{C{

óB('î@ëîòPò9ó/óB(ÒC,ó´î

{C{

ðgó

{

¤î

{

ð

{{

óB¤ îb,î

{

£2£%óòB|

X

î¨£.ñò,(5/i

{

ó/Í ðóB}óqyCóa¤î

{

{ð

{C{

îiî*,góW£ò9óBóB¤îï£2ò,ïñò,£

{ î{

,})ó{ò9òCò

« ñð}}¤

{

Ê « óU/i:£ð9ó/¤ góÊ£}É « =ð

{

îïÈÇºÍ ð2&'î u2ô|ö¿%(xyöU¬'óK/i

{

g Ê « ó

ñð}¤ « ÏÑ îï=ó ó6Æ'ò,

{

9ó/£ îCó*8}/¡B

{

£ò{ó

{{

¤É !Ê2 î{

,óK@

{

òC$î _`!

ÎîàÊ

«

óñð}}¤§î,ñðsïñóBóòC'îïKCóqÎ}ióq _`!

|:¬' ð {

ó¨/

{

î:£}É

{

Êó¨,gó

}B¡/

{

ñóBBCñò

{

iïW,gótÒÊU}¤UiÎgó/U,óVBi(ñóòPïñó/óa{ò9îÉ'óòPîiN}

{ « ó{ó/U¡ð}´}óB¤

¤}ó

{

,óGó/('îò9ó _`! óóB¤, « ó5/i:£ð9ó/¤Óî:ñòC¤ó{òÁCP/{ð}@&'ó',ól5î,¡'ó/BCñò

{

|º¬'î

{

Bî

{

ó/('îió/¤ î

{

óBóòCÙ9ó+Æ

{ ~òåòiòåòoiÓòô&p}¤vî(ió { {

¨QBi¨£gð9îi}'òPîÑ.Îgî

î {

òPð}î,DïóB'ëó"Ë:{îó/(æî¨£ó/ó/(,'îi öQQ,góbab5ïiò9îC}çî

{ ð {

ó/¤bñòÁ/¨£ð'îgï

Y 2

,gó/ _`! P£gòC¤ð}B1Ó,ó

{

ó{ò9îó {

QñòC}ñïi2}'òC

{

ñòC¨'îi

{¹Ì

v Ì ! v

1=1=1

u£}@góò&'î

{

ñò7Í5ñð

{

óB}i¤óòò9óÃVó/+,ñò

{

xæð

{

óB¤*C:¤gî@ïi2î¡ód(

!

ö

Ì E

¤EÎÎÎ

Ì E! Ì E ( ! Ì Ì !

ÎÎÎ

Ì

¤Sm ¤gî@ï.u

Y v

1=1=1 v Y

! x7v _`! m Ì Ì !

ÎÎÎ

Ì ¤ 1

f Có§£òCó

{C{

_`! î{

}ñò Bð}ð@9ó/¤ « {

òd'îgïîÉ,ÐÏ ! }¤ £.

{

,ð}É'î£}(®

îgï

« Ì Ì !

óBC|Ì

{

,góBÏò9óëïó/ó{ò,9ó/¤|_î

{

9óÊ¤àMó

{

,òPîC

S

E! pMóbó/¤ð}£àîC

S E

!

Ì Ì ! ÎÎÎ

Ì

¤°m S E

!

_`! m uÑ !9 v

1=1=1

v@ !Ê! xVÎîî

{

ó6Æ}B,É=Có

{

DòC$F _`! |°f`,gó

X

KSÆó£2ÑïñóQñò)ó6Æ¨£ó b:¤î´VóB¤jñó{ò

{

îi§

{ ð « òñð9îó¬daVyo¡òCiÒÇºd

Xdc

È î{

ð {

ó/¤àñòt,gî

{

£ðòC£.

{

ó|U « î{

ó/+'îi î{ ð {

ó/¤=,°Bi:£ð'óq,góÓ5î,¡ðó

{

,óBà,gó¨

{

BòC$

(16)

_`! ¨Ê « ó¨Bi¨£gð'óB¤à49óòV,gó¨¤ó

{

îò9ó/¤Ô5îÉ,¡Wðó

{

2Êñó « ó{ó/§ñð}}¤ßóîÉ,ó{ò « ßî(óò

{ ó

î9óòC'îiò

«

ð

{

îï:CóVi$îïaòCð}P¡òC¯pîïñó:~J(&

!

!Ê2

mÐÕ !"? uY 2 xÖ¿Õ[×! u Y 2x7v

Îó{ò9ó7Õ ! u ¼ x4î

{

,gó'2ò,B'ó{ò9î

{

>®

« óîÉ`Õj}¤GÕ

×

òPóó+ð2&'ó/¤ð

{

îït,ó

{

î¨£óÒCò9ó{ó+®9óò ò9ó/{ðò9òPó/}{ó

{"Ù

{

« óî:£} óBÓóBg,&®

'îibî

{

¤ó

{

ò9î

«

óB¤

«

UÙòCóBÎ}¤ÚKðòd® ÆVî¤ëî=~òô}£|1'%'T4x6|Ì8,ó }B¡/

{ «

î¤î@ïii2î¡/&®

'îiDî

{ ð {

ó/¤ ó{ò9òñòkó

{

'î&'ó

{

Ê « óNïñóBóòC'óB¤q

{ « £ò¤ðByÎóBÊð}'îï5Có

{

îïð}@ò

ðgó

{

QÛ u {

óó « óB$x+hó|ï}|hð

{

îgï,ó « î¤îïii}8ñVªçòñð9îó Ü¹ehFi ¡òCi X Xdc È|

fN(¨Ê

{

ó,óGóò9òñò

«

ñð}¤

{

/

«

óS/¨£ð'ó/¤ëîÓÝuÑ&

!

xºi£%óòC'îi

{

ÎîbóÊ

{

,2&Ò,gó

/góòPïñó/}{óN Cót5î,¡ðó

{

Ê « ó:iîÉ,ñòPó/¤§¤ðòPîïK,óÓî'ó{ò,9îi_îÉ,}ñða,Kð}

$ñó{òCó/¤|Míò ¡ðòCóòÎ¤î

{

ð

{C{

îi

{Î{

ó{ób~òôQo>ò&|

ð ó2ÊñóP}5ñó+S¤î

{

{ð

{C{

ó/¤à2&3=Có²5îÉ,¡Vðó

{

/i(ñó{ò9ïñó|Î¬'î

{ î{ ò,Cóò5/i:£}îÊ&'ó/¤

¨C9óò/ÁÎî ¤ó/£%ó/}¤

{

i,ó*£òCi£%óòd'îó

{

SCó

{

£hóBB9ò9ð} 7DP|ÈtîóBP~ôi>}¤ Ùîïó

~J(ÒMóòPóN,óÓ´Vò

{

q,ïîñó « ñð}¤

{

i`,góbò,9óN5/i(ñó{ò9ïñóB}óK5,óO5îC¡ðgó

{

|§¬'ó

{ ó

«

ñð}}¤

{

(Îî:2Êñó5@9óò

«

óóBëî¨£ò$ñó/¤

«

:¤*~ò&Ë

{

> ,2&yÎîó NóÎÊÓó6Æ£%ó/+NòC£î¤

/góòPïñó/}{óWÙ,ó²5îÉ,¡7ðó

{

£}£òÊÆgî&'îgïW,óõó+Æ'òPó/óbu4,óPïñó « òCî/É

{

¨ó

{

5}¤

@ò9ïñó

{

6xó{î ïñóBgðó

{

Ì¥:2CóBî('óòPîñòæó{îïñóB(ðó

{

î î ïñóBóòC /i(óò9ïóa:ñò9ó

{

$Îi|1f

~ò}¬'óBñò9óB &Ùi¤K£gòC$ñó

{

CóVi>îïòPó

{

ðö

^ âgÛÚ&âÞ Þ

÷Ôøyú§Û "yøÓüK+Xëøyú ;twàß§w üú 3 ú4 ø øyý2 tüþVø ¼ ^á ¼ !

ÎÎÎ

á ¼ 8 üý.-

;&6'ø.û2tý.- ýU&Kú2týå&6üþkø øyý2 ø;yúf&lâ vâ ! v

1=1=1 vâ 8 #Êù

Y

dã

Y

!oã

ÎÎÎ

ã Y üøõú4Vø ø øyý2)

tüþVøW±ùZ(

"ú ü

ýIøC-ëüPùKú±ø+l&cyú.ø.û2W±ùsú4Vø´÷`üýå;\&$

ú±ø+Püú

týj3

úNyúüKú

ý ø;yúf&

Tú4Vøyý

%4¯ ¼ 2

Y 2 ¯ u ¼ 2

¼ 8 x )+ ä C

2

å "?H2 u ½ 2x

¾

uâ 2 v

x -0 ! v uô|ô(x

üý.-Óú4VøDüýþøP"yøyú3Nøøyýtâ 2 üý.-Óú4Vøbæ6Xþ& a+"+.ûgü;ø

¸ mu vÛ v

1=1=1 vÛ

?

x7üú $ºø

¾

uâ 2 v ¸ xZ¯

ä

2

å "?H2 u½ 2 x

,

¾

uAâ 2 v xtv uô|gx

3pVø+'ødå ?H2 sú4VøauÑ& :fxKúÈçÙVø/"/X$Vø+ Gû2tþXtýå& üþÔüý.-

ä

2 m

2?

è

> À Y

>Â

¼ 8

Y

>Â ¼ 2 v ù·:démzobv

ä

m obv

½ 2 m o P

}u ¼ 2 ¼ 2 x

¼ 2I ¼ 8 1

¬'ó c ó « {

óB:£.i}iî@9å > iÎgî

{

9î

{

´ó

{

,góòPó/{ðò9òPó/}{óyå > u½

xÁm ½ å >? u½ x å >@?ê! u½ x+

î « ñð}}¤óB¤ « ðîf§i§,óÓî('ó{òS~ oivÊo/ « ðïñò$ ó+Æ£.ióBg9î@ÛîëD_ñð î¤ó|U¬' ð

View of Lanczos Bidiagonalization With Partial Reorthogonalization

=

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0

0.5 1 1.5 2 2.5 3

| 1 − x 2 | 2 | 1 − x |

| 1 − x |

|1 − x| 2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 10 −14

10 −12 10 −10 10 −8 10 −6 10 −4 10 −2 10 0 10 2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

10 −20 10 −15 10 −10 10 −5 10 0 10 5 10 10

i Relative error | θ i − σ i | / σ i

= +

| 1 − x ² | 2 | 1 − x |

|1 − x| ²

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 10 ⁻¹⁴

10 ⁻¹² 10 ⁻¹⁰ 10 ⁻⁸ 10 ⁻⁶ 10 ⁻⁴ 10 ⁻² 10 ⁰ 10 ²

10 ⁻²⁰ 10 ⁻¹⁵ 10 ⁻¹⁰ 10 ⁻⁵ 10 ⁰ 10 ⁵ 10 ¹⁰