Eksamensopgave 6. december 2010,
2-timers prøven, DTU Matematik 1 (E10) Opgave 1
1.1
= 2 eller
= 2
Absolutværdien (modulus) af er =
Hovedargumentet for er
1.2
= da = Eller:
= = Løsningen er:
1.3
er løsning til ligningen . =
= Dvs. højresiden er
1.4
= Dvs. et komplekst tal kan være
Der er naturligvis mange andre løsninger. Den fuldstændige løsning er
hvor .
Opgave 2
2.1
I følge Maple-udskriften er en 4 x 5 matrix.
Der er således 4 ubekendte i ligningssystemet.
må være de 4 første søjler i . har samme rang som .
har rang 3, da der er 3 initial-ettaller.
Derfor er
har også 3 initial-ettaller, og og har samme rang.
Derfor er også
2.2
= 3
Samtlige løsninger til ligningssystemet:
=
Hermed kan udvælges 2 forskellige løsninger (hvor den frie parameter sættes til 0 hhv. 1):
og
2.3
Udtrækker fra :
=
Kernen for afbildningen beregnes:
=
Dvs. en basis for er f.eks.
2.4
og udgør en basis for billedrummet , fordi de 3 initial-ettaller i matricen viser at de 3 vektorer er lineært uafhængige.
Og 3 lineært uafhængige vektorer i danner altid en basis.
På matricen kan man i 4. søjle se, at der må gælde:
Dvs. koordinaterne til i basen bestående af og må være
Opgave 3
3.1
Differentilalligningssystemet består af 2 differentialligninger med 2 variable:
og
3.2
Den fuldstændige løsning til differentialligningssystemet er:
= Dvs.
Tjek
=
= =
3.3
Differensen bliver:
=
Dette kan kun blive 0, hvis , fordi eksponentialfunktionen altid er positiv.
Dvs. = 0
Hvad er så og ? =
=
Dvs. de er så ikke blot ens i , men i alle punkter. Så for alle . Derfor er og identiske funktioner.
Opgave 4
=
4.1
Funktionen er defineret for alle . Dvs.
4.2
Punktet A: = e Punktet B: = 1
Punktet C: =
= 1
Så funktionsværdierne bliver , og .
Da , så ligger både B og C på niveaukurven givet ved , altså
på .
Niveaukurven:
Dvs. niveaukurven er givet ved ligningen:
4.3
Gradienten i A:
= Dvs. gradienten er
Retningsafledede i A i retningen (1,-1) er skalarproduktet af gradienten og enhedsretningsvektor:
= Dvs. den retningsafledede er
4.4
=
Den sammensatte funktion udregnes (parametriseringen og indsættes i :
= e u
Den afledede skal være 0 i et , som så kan beregnes:
= 1 =
Dvs. punktet er
