>
>
(1.1.2) (1.1.2)
>
>
>
>
(1.1.1) (1.1.1)
>
>
(1.1) (1.1)
>
>
(1.1.3) (1.1.3)
>
>
>
>
Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål)
Alternativ besvarelse (med brug af Maple til beregninger, incl. pakker til VektorAnalyse2 og Integrator8).
Jeg gider ikke håndregne i de simple spørgsmål!
Her er selve opgaveteksterne indsat, så det er lettere at følge udregningerne.
Opgave 1
1.1)
Funktionen :
Konklusion: Gradienten i punktet (x,y) er , i punktet (0,0) er gradienten
1.2)
>
>
>
>
Givet mængden
>
>
>
>
(1.2.1) (1.2.1)
(1.3.1) (1.3.1) Stationære punkter i det indre:
Konklusion: Der er ét stationært punkt i det indre af M, nemlig
1.3)
er en afsluttet og begrænset mængde.
er en kontinuert funktion.
Derfor har såvel et maksimum som et minimum på mængden .
Da funktionen er differentiabel i M, kan ekstremum bestemmes med standardmetoden:
a) stationære punkter i det indre af (er bestemt i spørgsmål 2) b) randundersøgelse
Stationære punkt i det indre:
>
>
>
>
(1.3.10) (1.3.10)
(1.3.12) (1.3.12) (1.3.4) (1.3.4)
(1.3.9) (1.3.9)
>
>
>
>
(1.3.11) (1.3.11)
>
>
(1.3.2) (1.3.2)
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
(1.3.3) (1.3.3)
(1.3.5) (1.3.5)
(1.3.13) (1.3.13)
>
>
(1.3.1) (1.3.1)
(1.3.8) (1.3.8)
>
>
(1.3.7) (1.3.7) (1.3.6) (1.3.6)
>
>
0 Randundersøgelse:
Randen opdeles i 4 stykker.
1: lodret stykke, hvor , og :
1 2: vandret stykke, hvor , og :
0 0 3: lodret stykke, hvor , og :
4: vandret stykke, hvor , og :
1
Konklusion: har (globalt) maksimum på og (globalt) minimum på i mængden
(1.3.1) (1.3.1)
>
>
alternativ:
Opgaven kan løses MEGET lettere ved at observere 2 ting:
a) området er et akseparallelt rektangel
b) funktionen kan skrives som et produkt af 2 funktioner, som hver især kun afhænger af én variabel
hvor og Maximum:
Minimum:
Opgave 2
(2.1) (2.1)
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
(2.1.1) (2.1.1)
(2.1.2) (2.1.2) (1.3.1) (1.3.1)
(2.2.1) (2.2.1)
>
>
>
>
2.1)
Det ses straks, at den symmetriske matrix er:
alternativ:
NB: Kan også beregnes som halvdelen af Hessematricen for :
NB: Svaret står også i spørgsmål 2!
2.2)
>
>
>
>
(1.3.1) (1.3.1)
(2.2.4) (2.2.4) (2.2.2) (2.2.2)
>
>
>
>
(2.2.3) (2.2.3) Piller de 3 vektorer ud:
og er basis for egenrum hørende til egenværdien -1.
er basis for egenrummet hørende til egenværdien 1.
De 2 egenrum er ortogonale, idet matricen er symmetrisk.
Det ses tydeligt, at . Dvs. alle 3 vektorer er ortogonale.
Drfor skal vektorerne blot normeres til længde 1:
Mangler så at checke, at , og opfylder konventionen om, at :
(2.2.6) (2.2.6) (2.2.5) (2.2.5)
>
>
(2.3.1) (2.3.1)
>
>
(1.3.1) (1.3.1)
(2.2.4) (2.2.4)
>
>
>
>
alternativ:
Determinanten skal være +1. Hvis ikke, så ændres blot:
Konklusion: Den ortonormal basis bestående af egenvektorer er: , og
og den tilhørende ortogonale matrix er
2.3)
Skift af baser:
Konklusion: Med ovenstående valg af matrix bliver 2. grads polynomiet i nye
>
>
>
>
>
>
(3.1) (3.1)
(3.1.1) (3.1.1) (1.3.1) (1.3.1)
>
>
(2.2.4) (2.2.4)
>
>
>
>
>
>
>
>
koordinater:
idet egenværdierne er -1, -1 og 1 (hørende til de 3 søjlevektorer i ).
Opgave 3
3.1)
Kurven har parameterfremstillingen, hvor :
>
>
(3.1.2) (3.1.2) (1.3.1) (1.3.1)
(2.2.4) (2.2.4)
>
>
>
>
>
>
>
>
Kurven er givet ved .
Kurven har parameterfremstillingen hvor :
(1.3.1) (1.3.1)
(2.2.4) (2.2.4)
>
>
>
>
>
>
>
>
(2.2.4) (2.2.4)
>
>
(3.2.1) (3.2.1)
(3.2.2) (3.2.2)
(3.2.3) (3.2.3)
(3.2.4) (3.2.4)
>
>
>
>
(1.3.1) (1.3.1)
>
>
>
>
3.2)
Givet vektorfelterne og (der er defineret som ) :
Det tangentielle kurveintegral af langs : Med Integrator8-pakken:
Med teorien fra Matematik 1:
(3.2.12) (3.2.12)
>
>
(3.2.9) (3.2.9)
>
>
(3.2.7) (3.2.7)
>
>
>
>
(2.2.4) (2.2.4)
(3.2.11) (3.2.11)
>
>
(3.2.8) (3.2.8) (3.2.6) (3.2.6)
>
>
(3.2.4) (3.2.4)
>
>
(3.2.5) (3.2.5) (1.3.1) (1.3.1)
(3.2.10) (3.2.10)
>
>
>
>
>
>
Det tangentielle kurveintegral af langs : Med Integrator8-pakken:
2 Med teorien fra Matematik 1:
Konklusion: Tangentielt kurveintegral af langs = , og langs =
3.3)
Fluxen af gennem fladen (afgrænset af kruven ) er i følge Stokes' sætning = det tangentielle kurveintegral af langs randen af fladen =
>
>
>
>
(2.2.4) (2.2.4)
(3.3.2) (3.3.2)
>
>
>
>
(3.2.4) (3.2.4)
(3.3.1) (3.3.1) (1.3.1) (1.3.1)
>
>
>
>
>
>
alternativ:
Parameterfremstilling for fladen F:
Med Integrator8-pakken:
Fluxen gennem fladen F:
4 3 Med teorien fra Matematik 1:
Fluxen gennem fladen F beregnet med standardmetoden (sætning 26.2 i eNoterne):
(3.3.7) (3.3.7)
>
>
>
>
(3.3.6) (3.3.6) (2.2.4) (2.2.4)
>
>
>
>
(3.3.5) (3.3.5) (3.3.4) (3.3.4)
>
>
(3.3.3) (3.3.3) (3.2.4) (3.2.4) (1.3.1) (1.3.1)
>
>
>
>
NB: har samme retning som den angivne (0,-1,0), da
4 3
Konklusion: Fluxen af gennem fladen (afgrænset af kruven ) er
Opgave 4
>
>
(4.1) (4.1) (2.2.4) (2.2.4)
>
>
>
>
>
>
(3.3.3) (3.3.3)
>
>
(3.2.4) (3.2.4)
(4.1.1) (4.1.1)
>
>
(1.3.1) (1.3.1)
>
>
>
>
>
>
>
>
4.1)
Givet en parametriseret flade i rummet, hvor og :
(4.1.4) (4.1.4)
>
>
(2.2.4) (2.2.4)
>
>
(4.1.2) (4.1.2) (3.3.3) (3.3.3) (3.2.4) (3.2.4) (1.3.1) (1.3.1)
(4.1.3) (4.1.3)
>
>
>
>
>
>
>
>
Fladen er et kvadrat, som ligger 1 oppe ad z-aksen.
Konklusion:
(4.2.4) (4.2.4)
(4.2.5) (4.2.5) (4.2.2) (4.2.2)
>
>
(2.2.4) (2.2.4)
>
>
>
>
>
>
(4.3.1) (4.3.1) (3.3.3) (3.3.3)
>
>
>
>
(3.2.4) (3.2.4) (1.3.1) (1.3.1)
(4.2.3) (4.2.3)
>
>
(4.2.1) (4.2.1)
>
>
>
>
dvs. en konstant enhedsvektor i z-aksens positive retning - hvilket IKKE er overraskende, da fladen er et vandret kvadrat.
4.2)
Givet vektorfeltet :
Med Integrator8-pakken:
Fluxen af gennem fladen
8 Med teorien fra Matematik 1:
Sætning 26.2 i eNoterne:
2 Dvs- integranden er faktisk konstant 2.
Da er et kvadrat med siderne 2, så bliver integralet
8 Konklusion: Fluxen af gennem fladen er
4.3)
Et rumligt område er givet ved parameterfremstillingen:
>
>
>
>
>
>
>
>
(2.2.4) (2.2.4)
>
>
>
>
(4.3.1) (4.3.1) (3.3.3) (3.3.3)
>
>
(3.2.4) (3.2.4) (1.3.1) (1.3.1)
>
>
>
>
Det rumlige område tegnes med Integrator8-pakken ( valgt):
Det rumlige område tegnes med Integrator8-pakken ( valgt):
(4.3.2) (4.3.2)
>
>
(2.2.4) (2.2.4)
>
>
(4.3.1) (4.3.1)
>
>
(3.3.3) (3.3.3)
>
>
(4.3.3) (4.3.3) (3.2.4) (3.2.4) (1.3.1) (1.3.1)
>
>
(4.3.4) (4.3.4)
>
>
Det rumlige område er for identisk med fladen F!
Jacobi-funktionen bestemmes:
NB: Ingen grund til at tage den numeriske værdi, da altid.
Konklusion: Jacobi-funktionen for parametriseringen er
Volumenet af beregnes:
Med Integrator8-pakken:
>
>
(4.3.5) (4.3.5) (2.2.4) (2.2.4)
>
>
>
>
(4.3.1) (4.3.1)
>
>
(4.4.1) (4.4.1)
(4.4.3) (4.4.3) (3.3.3) (3.3.3) (3.2.4) (3.2.4)
>
>
(4.4.2) (4.4.2) (4.3.6) (4.3.6) (1.3.1) (1.3.1)
>
>
>
>
>
>
Med teorien fra Matematik 1:
Konklusion: Volumenet af er
NB: , så rumfanget er heldigvis altid positivt!
har rumfang 0 (det er fladen F)!
4.4)
8
Konklusion: Volumenet af er givet ved , og det er beregnet, at
Sidste spoørgsmål følger af sætning 26.6 i eNoterne:
Da er defineret som volumenet af , betyder det at dvs.
