Statistik og sandsynlighedsregning

(1)

Statistik og

sandsynlighedsregning

DLF-Kursus Frederikshavn

24.-25.9 2015 Eva Rønn UCC

(2)

Indhold og mål

Mål At I får

 får overblik over statistik og sandsynlighed som fagområde i folkeskolen

 får indblik i didaktiske forskeres anbefalinger til undervisningen i statistik og sandsynlighed

 får konkrete ideer til undervisning i statistik og sandsynlighed.

(3)

Fagområdet statistik og sandsynlighed

Handler om at

 Beskrive variationer

 Undersøge sammenhænge i data

 Opstille modeller over, hvordan tilfældige tal opfører sig

(4)

Forskningen

Castro (1998)(Spanien): Tre krav som forudsætning for at undervisningen i sandsynlighed skal lykkes:

 Elevernes forforståelser og overbevisninger om sandsynlighed skal tages i betragtning

 Der skal benyttes en statistisk tilgang til sandsynligheder

 Der skal arbejdes specifikt med ræsonnementer - ikke kun med mere traditionelle beregninger vedrørende sandsynlighed, for at udfordre misopfattelser.

Fra Schou m.fl. (2013), Matematik for lærerstuderende, Stokastik 1.-10. klasse

(5)

Eksempel på oplæg til elever

Castro

Tre kort lægges i en kasse:

- et er rødt på begge sider - et er sort på begge sider

- et er rødt på den ene side og sort på den anden side.

Et kort trækkes, - man ser kun den ene side.

En spiller tilbyder dig et væddemål, hvor I begge satser det samme beløb. Han vinder, hvis den anden side har samme farve som den viste. Hvis den anden side har en anden farve vinder du. Er det et fair væddemål?

Eleverne skal selv afgøre, om det er et retfærdigt væddemål, ved gentagne gange at trække et kort og notere resultatet.

Eleverne benytter så frekvensfortolkning, dvs. statistiske sandsynlighed som udgangspunkt for afgørelsen.

(6)

Tre slags sandsynligheder

Det statistiske

 En landmand vil have forsikret sin gård. Værdien af gården anslås at være 10 millioner.

Hvad skal det koste at forsikre gården?

Det kombinatoriske

 I en slikpose er der 12 karameller, 9 skolekridt og 4 lakridser.

To stykker slik tages op. Hvor stor er chancen for, at det netop er en lakrids og et skolekridt, der bliver trukket.

Det subjektive

 X lider af en meget sjælden hjertesygdom. Rigshospitalet tilbyder en ny behandlingsform, som aldrig har været prøvet før. Den er ikke ufarlig. Skal X prøve den nye behandling?

(7)

Statistisk sandsynlighed

Eksperiment

 En række handlinger eller hændelser, der gentages, - fx kast med mønt, centicube eller terning

Sandsynligheden for et udfald (ved et stort antal forsøg)



𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑔𝑔𝑎𝑎𝑎𝑎𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑎𝑎𝑎𝑎𝑢𝑢𝑔𝑔𝑎𝑎 𝑢𝑢𝑓𝑓𝑓𝑓𝑔𝑔𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑔𝑔𝑓𝑓 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑔𝑔𝑎𝑎𝑎𝑎𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑔𝑔𝑓𝑓𝑒𝑒𝑒𝑒𝑔𝑔𝑓𝑓𝑒𝑒𝑓𝑓𝑔𝑔𝑎𝑎𝑎𝑎𝑔𝑔𝑎𝑎 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑓𝑓𝑔𝑔𝑒𝑒

(8)

Kombinatorisk sandsynlighed

Laplaces princip:

hvis n udfald i et eksperiment er symmetriske, så er sandsynligheden for hvert udfald ¹

𝑎𝑎

Sandsynligheden for en hændelse, der består af m udfald

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑎𝑎𝑎𝑎𝑢𝑢 𝑒𝑒 ℎæ𝑎𝑎𝑢𝑢𝑔𝑔𝑎𝑎𝑒𝑒𝑔𝑔𝑎𝑎

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑎𝑎𝑎𝑎𝑢𝑢 𝑒𝑒 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑎𝑎𝑎𝑎𝑢𝑢𝑒𝑒𝑓𝑓𝑢𝑢𝑓𝑓𝑓𝑓𝑔𝑔𝑎𝑎 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑔𝑔𝑢𝑢𝑎𝑎𝑒𝑒𝑎𝑎𝑒𝑒𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑎𝑎𝑎𝑎𝑢𝑢 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑓𝑓𝑢𝑢𝑎𝑎𝑒𝑒𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑎𝑎𝑎𝑎𝑢𝑢

=

(9)

Sandsynlighedsforståelsen hos elever

Jones m.fl. (Illinois State University) har undersøgt forståelsen hos elever i 3.

klasse. De identificerede 4 niveauer i elevernes tænkning. Udgangspunkt et lykkehjul med røde og hvide felter.

 Et niveau med subjektiv sandsynlighedstænkning

Den lander på rød for det er min yndlingsfarve

 Et overgangsniveau fra subjektiv til naivt kvantitativ sandsynlighedstænkning

Der er mere rødt end hvidt

 Et niveau med en uformel, kvantitativ tænkning om sandsynligheder

der er tre røde dele over for en hvid

 Et niveau med numerisk sandsynlighedstænkning

Røds chance er tre ud af fire, og hvids er kun en ud af fire.

Undervisning kan rykke elevernes niveau.

(10)

Elevers forventninger ved stikprøver

Asta: Der er lige stor chance i Den højre er der dobbelt så mange af hver farve som i den anden.

Mikkel: Først tæller jeg hvor mange sorte der er i hver krukke. Når jeg har talt dem, også tæller jeg de hvide kugler, og derefter finder jeg ud af, at der er størst chance i krukke 1. fordi der er færest sorte

Sofia: Der er størst chance i den højre, for der er flest hvide

Ona: Der er lige stor chanse fordi at i den en kruke er de

1

5 hvid og ₁₀² i den anden. Det gir det samme fordi en brøkstreg er det samme som divider.

Forsøg i 5. klasse

(11)

En anden undersøgelse af elevers forventninger ved stikprøver

Watson m.fl. (Australien)undersøgte elever i 3., 6. og 9. klasse

Æske A og B er fyldt med røde og blå

marmorkugler som beskrevet nedenfor. Hver æske rystes. Du ønsker at få en blå

marmorkugle, men du må kun tage en enkelt kugle op uden at se. Hvilken æske vil du

vælge? Forklar dit valg?

Æske A (med 6 røde og 4 blå) Æske B ( med 60 røde og 40 blå) (=) det kan være lige meget

Svarene blev inddelt i 4 niveauer

N 1: valgte (=) af forkerte grunde, både røde og blå favoritfarver, så lige meget

N2: både blå og røde i hver æske, så alt kunne ske

N3: Opmærksomhed mod det faktiske antal, præference for B, da der var flest blå kugler.

N4: Sammenligning af antallet i de to æsker.

Men nogle kunne vælge (=) fordi der var flest røde i begge æsker.

3. – 6. klasse: flest i N1- N3

9. klasse: den korrekte forklaring dominerende

(12)

Fra Undervisningsvejledningen Indskolingen

Arbejdet med statistik og sandsynlighed skal ses i en tæt sammenhæng.

I starten af skoleforløbet arbejdes der med enkel deskriptiv statistik, samtidig med at eleverne gør sig grundlæggende erfaringer med chancebegrebet ud fra intuitive overvejelser og systematiske observationer af stokastiske

eksperimenter, fx i forbindelse med spil.

(13)

Færdighedsmål - Indskolingen

Statistik

 Eleven kan anvende tabeller og enkle diagrammer til at præsentere

resultater af optællinger

 Eleven kan gennemføre statistiske undersøgelser med enkle data

 Eleven kan gennemføre statistiske undersøgelser med forskellige typer data

Sandsynlighed

 Eleven kan udtrykke intuitive

chancestørrelser i hverdagssituationer og enkle spil

 Eleven kan udtrykke chancestørrelse ud fra eksperimenter

(14)

Eksempler indskolingen

Statistik

 Tabel over fritidsinteresser

 Tabel over kæledyr

 Undersøgelse af antal søskende Sandsynlighedsregning og statistik

 Kast med to terninger, udregne sum eller forskel

 Udtræk af kugle fra ikke gennemsigtig pose. Hvilken farve er mest

sandsynlig?

(15)

Fra Undervisningsvejledningen Mellemtrinnet

På mellemtrinnet skal eleverne gennemføre og præsentere statistiske undersøgelser samt analysere og tolke resultater af undersøgelser fra fx medierne og internettet.

Sideløbende arbejdes der med statistiske undersøgelser af

chanceeksperimenter ved simulering, og eleverne knytter beregning af

frekvenser til sandsynlighedsbegrebet.

(16)

Færdighedsmål - mellemtrinnet

Statistik

 Eleven kan anvende og tolke grafiske fremstillinger af data

 Eleven kan gennemføre og præsentere egne statistiske undersøgelser

 Eleven kan sammenligne datasæt ud fra hyppigheder, frekvenser og enkle statistiske deskriptorer

Sandsynlighed

 Eleven kan undersøge tilfældighed og chancestørrelser gennem

eksperimenter

 Eleven kan undersøge

chancestørrelser ved simulering af chanceeksperimenter

 Eleven kan beskrive sandsynlighed ved brug af frekvens

(17)

Fra undervisningsvejledningen Udskolingen

I udskolingen arbejder eleverne videre med en mere kritisk stillingtagen til forskellige anvendelser af statistik både ved at gennemføre egne undersøgelser og ved at analysere og tolke præsentationer af resultater af statistiske undersøgelser.

 Det teoretiske (kombinatoriske) sandsynlighedsbegreb introduceres ud fra erfaringer med det statistiske sandsynlighedsbegreb samt overvejelser over udfaldsrum og tællemåder, og eleverne arbejder bl.a. med sammensatte sandsynligheder.

 I statistik anvendes overvejelser om sandsynligheder til at analysere og vurdere stikprøveundersøgelser.

(18)

Færdighedsmål - Udskolingen

Statistik

 Eleven kan vælge relevante deskriptorer og diagrammer til sammenligning af datasæt

 Eleven kan undersøge

sammenhænge i omverdenen med datasæt

 Eleven kan kritisk vurdere statistiske undersøgelser og præsentationer af data

Sandsynlighed

 Eleven kan anvende udfaldsrum og tællemåder til at forbinde enkle sandsynligheder med tal

 Eleven kan beregne sammensatte sandsynligheder

 Eleven kan anvende sandsynlighedsregning

(19)

Gruppearbejde

Aktiviteter

Fra indskoling

 Hvem holder længst

 Snurretop

 Trække centicubes Fra mellemtrin

 Befri fangerne

 Simulering i regneark

 Fair spil

 Kast med centicube Fra udskoling

 Livsforsikring

 Femkamp

 Terningespil

Diskussionspunkter

 Overvej, om I mener aktiviteten kan bruges i undervisningen og på hvilket trin

 Hvad kan komme før og efter?

 Overvej, hvilke kompetencer arbejdet med denne aktivitet kan bidrage til at udvikle?

 Hvilke andre mål kan den medvirke til at udvikle?