Statistik og sandsynlighed

Statistik og

sandsynlighed

WORKSHOP 2C, DLF-kursus, Krogerup, 26. november 2015

Mål

At I får



overblik over statistik og sandsynlighed som fagområde i folkeskolen



indblik i didaktiske forskeres anbefalinger til undervisningen i statistik og sandsynlighed



konkrete ideer til undervisning i statistik og

sandsynlighed.

Plan

 Et par opgaver

 Hvad er statistik og sandsynlighed, og hvordan er progressionen i FFM?

 Hvad er svært, og hvad siger forskningen?

 Undervisningsideer til forskellige

klassetrin

Øvelse: Statistik

 Forestil dig, at du har søgt nyt job på en skole og har mulighed for at få

oplyst én deskriptor vedrørende dine kollegers alder.

 Hvilken deskriptor vil du vælge?

 Hvad hvis du måtte vælge to?

 Tre?

 Fire?

Øvelse: Sandsynlighed

Træk to centicubes fra

krukken. Du vinder, hvis de to centicubes har forskellig farve.

To måder at trække centicubes på:

1) Du trækker en centicube, ser farven, lægger den tilbage i krukken og

trækker en centicube igen.

2) Du trækker begge

centicubes ”på en gang”.

Hvilken måde vælger du?

Hvorfor?

Ide fra www.ffm.emu.dk

Hvorfor statistik og sandsynlighed?

 For at kunne forstå og handle

kvalificeret i situationer, der vedrører

tilfældighed og uforudsigelighed.

Hvad er statistik?

Statistik kan være at indsamle, ordne,

præsentere, analysere og fortolke data for at få information til at svare på et spørgsmål vedrørende at

 sammenligne

 undersøge mulige sammenhænge

 forudsige en udvikling

Hvad er sandsynlighed?



Sandsynlighed kan være at udtrykke en

”grad af overbevisning” i situationer, hvor vi ikke kan være sikre på, hvad der sker.



Tre sandsynlighedsbegreber:



Statistiske

▪ Hvor stor er sandsynligheden for, at en tilfældig person begynder at ryge?



Teoretiske/kombinatoriske

▪ Hvor stor er sandsynligheden for at vinde i Lotto?



Personlige/subjektive

▪ Hvor stor er sandsynligheden for, at du kommer for sent til …?

Hvordan er

progressionen i FFM?

Trin Nogle stikord

Indskoling

Udføre statistiske undersøgelser

Arbejde med intuitive chancestørrelser i forbindelse med hverdagssituationer og spil

Mellemtrin

Anvende og tolke tabeller og grafiske fremstillinger

Gennemføre og præsentere egne statistiske undersøgelser

Statistisk sandsynlighed – undersøge tilfældighed og chancestørrelser gennem eksperimenter og simuleringer

Udskoling

Analyse af datasæt med relevante deskriptorer Vurdering af statistiske undersøgelser

Statistisk og teoretisk sandsynlighed

Tæt på forskningens anbefalinger



udvikle en grundlæggende forståelse for

begreber fremfor kun at lære procedurer udenad



koble konkrete erfaringer og procedurer sammen

 Gennemsnit: Fx 8 blyanter i forskellige længder. Klip

længden af et sugerør, så det får en længde svarende til, hvad du vil gætte gennemsnitslængden af blyanterne til at være.

 Læg derefter blyanterne efter hinanden. Tag et stykke

tape/ståltråd eller lignende af samme længde og buk det i 8 lige store stykker.

Tæt på forskningens anbefalinger

 kobler konkrete erfaringer og procedurer sammen



Median og typetal. Stil jer i rækkefølge efter, hvor mange søskende I har. Hvem repræsenterer

medianen?



Kan vi identificere typetallet?



Hvad stor er medianen knyttet til skostørrelser?



Kan vi finde medianen knyttet til hårfarve?



Typetallet knyttet til hårfarve? Hvorfor?

Typer af variable:

• Kategoriske variable: elementerne placeres i en kategori (fx hårfarve: lyshårede,

mørkhårede gråhårede ..)

• Diskrete variable: adskilte størrelser (fx skostørrelser)

• Kontinuerte variable: talværdier inden for et interval kan bruges (fx alder, vægt,

højde …)

Tæt på forskningens anbefalinger

 få mulighed for at udvikle sprog



Nogle elever kan ellers udvikle et oversimplificeret sprogbrug a la: ”Typetallet er det meste/største.”



Formuler en sætning om typetallet knyttet til skostørrelser.



Typetallet er den skostørrelse, som forekommer

flest gange.

Tæt på forskningens anbefalinger

 få forskellige typer af problemstillinger



Peter fik i gennemsnit 150 point i bowling. I de to første spil scorede han 170 og 110 point. Hvad scorede han i sidste spil?



Middeltallet af fem drenges alder er 4, og

typetallet er 3. Hvor gamle kan drengene være?



Karl køber fire små stykker lys chokolade til 2 kr.

stykket og fem små stykker mørk chokolade til 3

kr. stykket. Hvad er gennemsnitsprisen pr. styk?

Tæt på forskningens anbefalinger



arbejde med problemstillinger med data i forskellige repræsentationsformer

 Det kan være svært for elever at identificere middeltal, median og typetal, når data ikke står i numerisk

rækkefølge. Eleverne har brug for erfaringer med både at organisere data i en tabel eller en graf og med at

”pakke data ud” til et datasæt

.



få lov til selv at indsamle og analysere deres egne data

 Det er motiverende.

 Det hjælper dem til større fleksibilitet i forhold til at oversætte fra en repræsentation til en anden.

Forskning viser, det er vigtigt, at eleverne



udvikler en grundlæggende forståelse for begreber fremfor kun at lære procedurer udenad



kobler konkrete erfaringer og procedurer sammen



får mulighed for at udvikle deres sprog



får forskellige typer af problemstillinger



arbejder med problemstillinger med data i forskellige repræsentationsformer



får lov til selv at indsamle og analysere deres egne data



bruger hjælpemidler som fx lommeregner - eleverne kan fokusere mindre på beregninger og mere på

meningen af det, data repræsenterer.

Fra Zawojewski: Teaching Statistics: Mean, Median, and Mode.

I: Putting Research into Practice in the Elementary Grades, s.

238 – 242.

Hvad er svært?

1)

Udfaldsrummet – eleverne ræsonnerer uden at tage hensyn til udfaldsrummet.

Eksempler:

”Ludoeffekten” / ”forgrundseffekten”. Det er sværere at slå en 6’er end fx en 3’er.

”Lottoforblindelsen”. Hvorfor skulle det ikke være mig næste uge?

Hvad er svært?

2)

Sandsynlighedsfeltet – eleverne tror, at det ændres, efterhånden som spillet skrider

frem / ”en tro på balance”.

Eksempel:

Nu har vi ingen 6’ere fået i de første 8 kast, så nu er der større chance for en 6’er i næste

kast.

Hvad er svært?

3) Udfaldsrummet – eleverne

ræsonnerer fx ud fra en lineær model Eksempel:

Sandsynligheden for at få en 6’er ved kast med én terning er 1/6 – så er

sandsynligheden for at få netop én

6’er med to kast 2/6.

Hvad er svært?

4) Gentagelser – gentagelsesfejlen, når en situation ses isoleret og ikke som en

række af enkeltsituationer Eksempel:

Kast med en terning. Hvad er

sandsynligheden for, at du får en 6’er

netop i 4. kast? Flere elever vil fejlagtigt

sige 1/6 ).

Anbefalinger fra forskningen

Castro (1998)(Spanien): Tre krav som forudsætning for at undervisningen i sandsynlighed skal lykkes:



Elevernes forforståelser og overbevisninger om sandsynlighed skal tages i betragtning.



Der skal benyttes en statistisk tilgang til sandsynligheder.



Der skal arbejdes specifikt med ræsonnementer - ikke kun med mere traditionelle beregninger

vedrørende sandsynlighed, for at udfordre

misopfattelser.

Hvad er svært?

Overvej, hvilke sider af statistik og sandsynlighed der er særligt

udfordrende for dine egne elever.

Flere undervisningsideer

Udvælg opgaveideer fra opgavesamlingen, som kan være relevante for dig.



Løs de opgaver, du vælger.



Overvej for hver opgave, hvilke(t) konkret(e) læringsmål, der kunne knyttes til den.



Overvej for hver opgave, om den kan

justeres/ videreudvikles, så den passer til din

klasse – og måske ”går i andre retninger”.

Eksempler, Indskoling

Yndlingskæledyr i klassen?

• Hvilket yndlingskæledyr har de fleste?

• Hvilket yndlingskæledyr har de færreste?

• Hvor mange flere har kat end hund som yndlingskæledyr?

Statistisk undersø

gelse

MATLAB, O

Eksempler, Indskoling

 Hvor stor er chancen?

MATLAB, 1a Intuitiv chan

cestørrelse

Eksempler, Mellemtrin

 Undersøgelser i klassen

 http://mikaelskaanstroem.skoleblogs .dk /

gennem

føre og præ

sentere egne sta

tistis

ke unde

rsøgelser

Eksempler, Mellemtrin

 Kast med to terninger. Hvor stor er sandsynligheden for at få summen 2? 3? … 12?

www.ffm.emu.dk

statistisk sa

ndsynlig hed

Eksempler, Sluttrin

Usikkerhed og stikprøver

 1134 repræsentative personers svar.

http://www.gallup.dk/work/gaf/ugensgallup/tekst/59662_Kongehuset.pdf

 Undersøg ved hjælp af simulering, om stikprøveundersøgelsen kan have

givet dette svar, selv om måske kun 60 % af befolkningen som helhed ville give dette svar.

vurdere s

tatistis ke unders

øgelser