Determinant for 2 × 2-matricer det

(1)

(2)

Determinanter for n × n -matricer

Determinant for 2 × 2-matricer det

a b c d

:= ad − bc . (a, b, c , d ∈ R )

Hvis ad − bc 6= 0 s˚ a er den inverse af a b

c d

givet ved

a b c d

−1

= 1

ab − bc

d −b

−c a

Omvendt, hvis ad − bc = 0, s˚ a er a b

c d

ikke inverterbar

(3)

LadA= [aij] være enn×nmatrix.

UndermatricenAij er den (n−1)×(n−1) matrix, der fremkommer ved at slette række nr.i og søjle nr.j fraA.

Aij=







a11 · · · 6a1j · · · a1n

... ...6 ... 6ai1 6· · · 6aij 6· · · 6ain

... ...6 ... an1 · · · 6anj · · · ann





 .

KofaktorenCij er givet ved:Cij= (−1)^i+jdetAij. Eks:

A=







1 2 −2 4

3 0 5 −1

−4 −5 6 2







, A12=





3 5 −1

−4 6 2

3 3 4



, C12= (−1)¹⁺²det(A12)

(4)

Determinanter for n × n -matricer

Med kofaktoren C

_ij

givet ved C

_ij

= (−1)

ⁱ^+j

det A

_ij

.

Definition af determinant Vi har

det A := a

11

C

11

+ a

12

C

12

+ · · · + a

1n

C

1n

.

Sætning: Udvikling after række nr. i Vi har

det A = a

i1

C

i1

+ a

i2

C

i2

+ · · · + a

in

C

in

.

Sætning: Udvikling after søjle nr. j Vi har

det A = a

1j

C

1j

+ a

2j

C

2j

+ · · · + a

_nj

C

_nj

.

(5)

3 × 3-matricer

det





a b c d e f g h i



 = a det e f

h i

− b det d f

g i

+ c det d e

g h

Triangulære n × n-matricer (nedre)

det







u

11

0 · · · 0

∗ u

22

0 0

∗ · · · . .. 0

∗ · · · ∗ u

_nn







= u

11

u

22

· · · u

_nn

.

(6)

Determinanter og rækkeoperationer

Følgende gælder for enn×nmatrixA(med rækkerne~r1, . . .~r_n) Fremkommer matricenBved at adderek gange rækkei fraA til rækkej (i6=j), da gælder: detB= detA.

A=







− −~ri− − ...

− −~rj− −





→B=







− −~ri− − ...

− −~rj+k~ri− −







Fremkommer matricenBved at ombytte rækkei ogj fraA (i6=j), da gælder: detB=−detA.

A=







− −~ri− − ...

− −~rj− −





→B=







− −~rj− − ...

− −~ri− −







Fremkommer matricenBved at gange rækkei fraAmedk, da gælder: detB=kdetA.

A=

"

− −~r_i− − ..

#

→B=

"

− −k~r_i− − ..

#

(7)

Sætning

En kvadratisk matrix A er invertibel hvis og kun hvis det A 6= 0.

Sætning

Lad A og B være n × n-matricer. Da gælder det(A

^T

) = det(A)

det(AB) = det(A) det(B).

Eksempler:

For A invertibel har vi:

AA

⁻¹

= I

n

⇒ 1 = det(A) det(A

⁻¹

) ⇒ det(A

⁻¹

) = det(A)

⁻¹

.

(8)

Store matricer

For en kvadratisk matrixAmed trappeformE3E2E1A=T, hvor En,n= 1,2,3 er elemntære matricer:

det(E3)det(E2)det(E1)det(A) =det(T)

⇒det(A) = 1

(det(E3)det(E2)det(E1))det(T)

HvisE_n svarer til at læggek gange rækkej til rækkei, s˚a er det(En) = 1.

HvisEn svarer til at ombytte to rækker, s˚a erdet(En) =−1.

HvisE_n svarer til at gange en række med konstantenk6= 0, s˚a erdet(En) =k

DaT er p˚a trappeform, er den øvre triangulær, dvs. vi kan let finde determinantendet(T) ved at gange indgangene p˚a diagonalen sammen. Eksempel:

T =







2 2 1 3

0 1 3 12

0 0 3 3







det(T) = 2·1·3·1 = 6

(9)

Hvis ~ v = (v, 0), er arealet af parallelogrammet med sider ~ u og ~ v givet ved

A = |vu

2

| = |vu

2

− 0u

1

| =

det

v u

1

0 u

2

= |det([~ v ~ u])|.

(10)

Areal af parallelogram

Hvis b˚ ade ~ u og ~ v roteres med vinkel θ ændres arealet ikke, og

|det([A^θ~u A^θ~v])|=|det(A^θ[~u~v])|=|det(A^θ)det([~u~v])|=|det([~v~u])|=A

Areal af parallelogram med sider ~ v = (v

1

, v

2

), ~ u = (u

1

, u

2

) A = |det([~ v ~ u])| =

det

v

1

u

1

.