5. Integration med Derive
5.1 Symbolsk integration
Det er også uhyre nemt at integrere med Derive. Hertil benyttes integrations- kommandoen
INT( udtryk, variabel, …) . Den findes i tre forskellige versioner:
• Stamfunktion: INT( udtryk, variabel)
• Ubestemt integral: INT( udtryk, variabel, integrationskonstant)
• Bestemt integral: INT( udtryk, variabel, nedre grænse, øvre grænse) Stamfunktionen fastlægges algoritmisk som en konkret stamfunktion, altså uden en integrationskonstant. Læg mærke til, at syntaksen er præcis den samme, der benyttes af TI-89/92+: De tre kommandoer
INT(X^3,x) , INT(X^3, x, c) og INT(x^3, x, 0, 2) udføres derfor som vist:
Man kan også nøjes med at indskrive det udtryk man gerne vil have integreret og efterfølgende klikke på integral-ikonet i værktøjsbjælken:
Eller man kan vælge Integrate i Calculus-menuen. I begge tilfælde åbnes en dia- logboks, hvor man skal angive integrationsvariablen og eventuelt grænserne for det bestemte integral:
Vælger vi Simplify kommer det til at se således ud:
Endelig kan man også integrere ved at differentiere baglæns, men det står for- klaret i kapitlet om differentiation!
5.2 Numerisk integration
Hvis et bestemt integral ikke kan udregnes symbolsk, kan man i stedet bede om en approksimativ numerisk udregning. Den vil i givet fald blive udført med en adaptiv Simpson-rutine, dvs. antallet af delintervaller justeres indtil den ønskede nøjagtighed synes nået. På den måde kan man f.eks. udregne det følgende inte- gral (der først returneres ubearbejdet med kommentaren: No elementary inte- gral, når vi beder om det eksakte svar, og dernæst udregnes approksimativt med
≈):
Man kan også – sådan mest af pædagogiske årsager – bestille en venstresum med kommandoen:
LEFT_RIEMANN( udtryk, variabel, nedre grænse, øvre grænse, antal inddelinger) I ovenstående tilfælde finder vi fx således:
Man kan endda i simple tilfælde udregne venstresummen symbolsk og derved illustrere den fundamentale sammenhæng mellem integraler og summer:
Vi kan endda som sædvanligt komme til at kigge summationsrutinen i kortene:
Ligesom ved differentiation kan man også integrere i funktions- og data-tabeller.
Det sker ved anvendelse kommandoen INT_DATA( x-y-tabel), der integreres ved hjælp af en trapez-sum. Vi viser et enkelt simpelt eksempel:
Eksempel 1: Ved en accelerationsprøve med en bil foretages hvert se- kund en måling af bilens fart. Resultatet fremgår af den nedenstående tabel:
Antal sekunder
efter start 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Fart i meter
pr. sekund 0 2 6 12 19 24 28 29 30
Skitsér grafen for den funktion v, der angiver bilens fart som funktion af tiden.
Skitsér grafen for et skøn over den funktion a, der angiver acceleratio- nen som funktion af tiden.
Giv et skøn over den maksimal acceleration.
Skitser grafen for et skøn over den funktion s, der angivere den tilbage- lagte strækning som funktion af tiden.
Giv et skøn over den vejstrækning, bilen har tilbagelagt i de første 8 se- kunder af prøvekørslen.
Løsning: Tabellen indskrives som en punkttabel v_data, hvorefter vi umiddelbart kan konstruere et plot over hastigheden som funktion af tiden:
For dernæst at finde accelerationsdataene skal vi udføre en tabeldifferentiation:
Et skøn over den maksimale acceleration er altså 6 m/s2 (som opnås efter 3 se- kunders kørsel).
Endelig skal vi have fat i vejlængden som funktion af tiden og det kræver en tabel- integration. Den viser samtidigt, at den samlede vejstrækning kan skønnes til ca.
135 m.
☺
5.3 Sammenhængen mellem integraler og arealer
Integralet er tæt knyttet til arealbegrebet, og det kan man nemt få illustreret med PLOTINT-kommandoen:
PLOTINT( udtryk, variabel, nedre grænse, øvre grænse) .
Det genererer som vist en liste af tre plot-udtryk: Først grafen, så det område mellem x-aksen og grafen, som ligger over x-aksen, og endelig det område mellem x-aksen og grafen, som ligger under x-aksen:
Værdien af integralet er så differensen mellem arealet af området over x-aksen og arealet af området under x-aksen:
Hvis vi der i mod vil have bestemt det geometriske areal af det skraverede områ- de, kan vi enten opdele det i passende stykker eller inkludere integranden i en numerisk værdi:
Hvis integralerne kan udregnes eksakt, vil Derive selv forsøge sig med en opdeling af området:
Først integralet:
Så arealet:
Det kan selvfølgelig alt sammen nemt udtrækkes til arealet begrænset af to gra- fer. Igen kan arealet i almindelighed udregnes automatisk ved at inkludere et sæt numeriske tegn omkring differensen, dvs. udregne integralet:
( ) ( )
b
A =
∫
a f x −g x dx5.4 Regneregler for integration
Der findes også specifikke integrationsrutiner, såsom delvis integration og inte- gration ved substitution. Problemet er nemlig, at kun de mest simple regneopera- tioner har en integrationsregel knyttet til sig:
Når det kommer til integration af fx produkter må man i stedet forsøge sig med delvis integration eller integration med substitution.
Delvis integration benyttes til produkter, hvor man skal kunne differentiere den første faktor og integrere den anden faktor. Kommandoen ser således ud:
Hvis vi indsætter g'(x) for den anden faktor kan den uden videre integreres og vi finder:
Men reglen er i øvrigt svær at illustrere, da den kræver et produkt, som Derive ikke kan håndtere på anden vis! Faktisk vil Derive af sig selv udføre en delvis in- tegration, hvis integranden forenkles ved denne operation.
Integration ved substitution benytter kommandoen INT_SUBST( y(x), x, u(x) )
hvor vi udfører substitutionen x = u–1(t) til at udføre integrationen og dernæst substitutionen t = u(x) til at føre integralet tilbage til x. Tilsvarende bygges kom- mandoen op for bestemte integraler (men læg mærke til navneskiftet!):
DEF_INT_SUBST( y(x), x, u(x), a, b )
Men her skiftes grænserne blot til t1 = u(a) og t2 = u(b) efter at integralet er ble- vet omformet med substitutionen x = u–1(t) . Til slut omdøbes t så igen til x, hvil-
ket godt kan virke lidt forvirrende, men navnet på integrationsvariablen er jo uden betydning for slutresultatet. Denne gang kan man godt se, at der er sket noget:
Specielt integration med substitution kan være nyttig ved analysen af symbolske integraler, som ellers ikke kan knækkes af Derive. Fx kan vi få trukket symbolske konstanter uden for integralet. Forsøger vi os fx med integralet:
har Derive ikke umiddelbart noget bud. Men foretager vi substitutionen t = k·x, ser vi til vores glæde at integralet faktisk slet ikke afhænger af k og derfor i hvert fald kan udregnes numerisk:
Som ved den delvise integration er det svært at give simple eksempler på overbe- visende anvendelser af substitutionen, fordi Derive kaster sig over denne mulig- hed i langt de fleste eksempler helt af sig selv. Gode eksempler bliver derfor nemt lidt giftige! Vi skal se på et sådant senere hen.
5.5 Anvendelser af integralregning
Der findes også to specialkommandoer til typiske anvendelser af integralregnin- gen. For det første kan vi udregne buelængder ved hjælp af kommandoen
ARC_LENGTH( udtryk, variabel, nedre grænse, øvre grænse) Det foregår altså på præcis samme måde som for TI-89/92+:
For det andet kan vi beregne rumfanget af et omdrejningslegeme ved hjælp af kommandoen (hvor det er underforstået, at der drejes omkring x-aksen):
VOLUME_OF_REVOLUTION(udtryk, variabel, nedre grænse, øvre grænse)
Det er selvfølgelig ikke særligt ophidsende, men Derive kan faktisk også finde au- tomatisk rumfanget af omdrejningslegemer, hvor vi i stedet drejer grundområdet (begrænset af x-aksen, grafen y = f(x) og de lodrette linjer x = a og x = b) omkring y-aksen. Det sker ved hjælp af kommandoen:
VOLUMEY_OF_REVOLUTION( f(x), x, a, b) Det sker ved hjælp af en overraskende simpel formel:
Endelig har Derive en kommando til udregning af overfladearealet for et om- drejningslegeme. Det skever ved hjælp af kommandoen:
AREA_OF_REVOLUTION( udtryk, variabel, nedre grænse, øvre grænse) når vi drejer grundområdet omkring x-aksen:
Og tilsvarende kan vi benytte kommandoen
AREAY_OF_REVOLUTION( udtryk, variabel, nedre grænse, øvre grænse) når vi drejer grundområdet omkring y-aksen:
Alt sammen kan nemt illustreres i et 3d-grafvindue. Når vi fx drejer omkring x- aksen sker det ved tegning af fladen:
[t, f(t)·cos(s), f(t)·sin(s) ] med a < t < b og 0 < s < 2π
5.6 Et ’giftigt’ eksempel: Plancks strålingslov
Her i hundredåret for opdagelsen af Plancks konstant h, kan vi bruge hulrums- strålingen til at illustrere, hvordan man håndterer semisymbolske beregninger med Derive.
I forbindelse med strålingslovene for et sort legeme opstillede Planck det følgende berømte udtryk for tætheden af hulrumsstrålingen som funktion af bølgelængden λ og temperaturen T:
2 5
2 1
( )
1
hc k T
s c h
e λ λ = π ⋅
λ −
Bemærkning: Udtrykket er specielt berømt, fordi det var første gang Plancks kon- stant h blev inddraget i en fysisk teori.
Det førte blandt meget andet til Stefan-Boltzmanns lov for den totale udstråling, og Wiens forskydningslov for den maksimale strålingstæthed. Det er disse to love, vi nu vil forsøge at undersøge.
Wiens forskydningslov: Vi starter med at tegne graferne for tæthedsfordelingen ved forskellige temperaturer. Vi får da brug for værdierne for naturkonstanterne c, h og k udtrykt i SI-enheder:
c = 299 792 458 m/s
h = 6,626 076·10–34 Js k = 1,380 66·10–23 J/K Først indskrives udtrykket for tætheden:
Derefter substitueres disse værdier for naturkonstanterne sammen med en pas- sende værdi for temperaturen, fx T = 1000 K:
Så overføres udtrykket til grafvinduet i det vi sætter vinduesgrænserne til at lade x gå fra 0 til 10–5 , dvs. 10000 nm, så vi får lidt mere end det synlige område med, og lader Derive om at finde y-grænserne ved en autoscale:
Her ses så grafen med et tydeligt maksimum ved λ = 2,9 µm, dvs. λ = 2900 nm.
Undersøger vi nu tæthedsfordelingen ved forskellige temperaturer kan vi tydeligt se at maksimumspunktet forskydes: Når temperaturen stiger falder den optimale bølgelængde:
Men hvordan afhænger maksimumspunktets bølgelængde λ af temperaturen T+
Det er netop indholdet af Wiens forskydningslov. For at finde ud af det kan vi jo bare differentiere tæthedsfunktionen med hensyn til bølgelængden:
Det ser jo rimeligt kompliceret ud, men vi forøger alligevel at lade Derive finde nulpunktet symbolsk:
Men det får vi ikke meget ud af! Derive svarer stort set bare at i så fald skal tælle- ren være nul, og det kan jo være rigtigt nok! Vi kan så gøre et af to: Vi kan løse problemet numerisk, ved enten grafisk eller numerisk at finde værdien for den optimale λ for en stribe udvalgte værdier af T, og så se om fx en simpel potens- model kan bruges til at fitte disse data, eller vi kan forsøge at løse problemet se- misymbolsk ved hjælp af en passende substitution. Vi er ambitiøse og forsøger det sidste. Da argumentet for eksponentialfunktionen
hc
ekTλ
er temmelig snasket forsøger vi os med substitutionen x hc
=kT λ Det giver pote:
Resultatet er nemlig en simpel transcendent ligning i x
( 5) 5
ex ⋅ x− = −
som Derive godt nok heller ikke kan løse symbolsk, men den kan til gengæld lø- ses numerisk. Den har en triviel løsning i x = 0, som er uinteressant, så vi søger i intervallet ]1;5[:
Tilbage er der så kun at substituere udtrykket for λ og vi har fundet Wiens for- skydningslov:
Den optimale bølgelængde er altså omvendt proportional med temperaturen og indsættes værdierne for naturkonstanterne finder man:
Men det skal understreges, at det kunne vi selvfølgelig også have fundet ved hjælp af den numerisk grafiske metode ud fra en tabel over sammenhørend vær- dier af λ og T.
Stefan Boltzmanns lov:
Vi går så over til at se nærmere på den samlede udstråling, som er givet ved inte- gralet (dvs. arealet under tæthedskurven):
2
0 0 5
2 1
( )
1
hc kT
S s d c h d
e
∞ ∞
λ
= λ λ = π ⋅ λ
λ −
∫ ∫
Den komme så til at afhænge af temperaturen, og spørgsmålet er blot: hvordan?
Vi pudser Derive på integralet:
Det får vi tydeligvis ikke meget ud af. Derive opgiver stort set at udregne integra- let. Vi kunne jo nok også selv have fundet ud af at trække konstanterne udenfor!
Igen kan vi så gøre et af to: Vi kan løse problemet numerisk, ved at beregne inte- gralet numerisk for en stribe udvalgte værdier af T, og så se om fx en simpel po- tensmodel kan bruges til at fitte disse data, eller vi kan forsøge at løse problemet semisymbolsk ved hjælp af en passende substitution. Vi er ambitiøse og forsøger
hc
ekTλ
er temmelig snasket, og forsøger os derfor igen med substitutionen
hc hc
x =kT ⇔ λ =kTx
λ
Det giver næsten pote:
Bortset fra lidt sjov med den nedre grænse, der selvfølgelig skal være + ∞, er det lykkedes os at hive alle konstanterne ud af integralet. Vi er derfor klar til at ud- regne integralet numerisk, men lad os lige prøve først med en symbolsk integrati- on, efter at vi har håndrettet grænsen:
Miraklet skete: Derive kunne faktisk godt finde ud af at regne det bestemte inte- gral ud. Det er så meget mere imponerende, som at Derive ikke har nogen anelse om, hvordan stamfunktionen ser ud! Dermed har vi udledt Stefans Boltzmans lov ifølge hvilken den totale udstrålingen er proportional med fjerde potens af tempe- raturen. Og vi har endda fundet et fuldstændigt symbolsk udtryk for sammen- hængen:
5 4 4
2 3
, 2
15 S T k
c h
= σ ⋅ σ = π
Sig så ikke, at Derive ikke kan integrere – selv om den måtte have lidt hjælp un- dervejs!
