mar-kedsuro. Udbruddet af coronavirussen bekræfter valutaens “safe haven”-status med voldsom styrkelse af den handelsvægtede dollar. I løbet af marts 2020 har virksomheder efterspurgt USD-likviditet, og investorer har søgt mod den amerikanske valuta grundet valutaens tendens til at blive styrket i ti-der med høj markedsvolatilitet. Standard Chartered Bank har nævnt, at valutaen er blevet et “[...]
barometer for effektiviteten af den politiske reaktion på virksomhedernes kreditvanskeligheder og in-terbankfinansieringsudfordringer” (Financial Times, d. 27. marts 2020). Centralbanker har af denne grund prøvet at imødekomme efterspørgslen på USD for at forhindre likviditetsproblemer. Man har set, at globale finansielle institutioner har efterspurgt USD i så høj en grad, at Fed har været nødt til at udvide swaplinjer med centralbanker i bl.a. Brasilien, Mexico, Danmark og Sverige (Financial Times, 19. marts 2020, 27. marts 2020). USD har bevæget sig så højt under coronakrisen, at flere analytikere har advaret om risikoen for, at centralbanker ville intervenere i FX-markedet og sælge USD direkte for at svække valutaen. Trods “safe haven”-egenskaben i USD udlignes positionerne i vores portefølje under finanskrisen delvist af korte carrypositioner med USD som lavrentevaluta jf. figur 10.
Sidst i stikprøveperioden ser vi positive positioner gennem både momentum og carry (fra 2015-2019).
Resultatet skyldes uden tvivl, at USD har været understøttet af høje renter, positive rentespænd og kapitalstrømme fra bl.a. Europa ved bekymring om handelskrigen mellem USA og Kina.
FXALP-HA skal investoren beslutte, hvilke faktorer, der ønskes at inkluderes og med hvilke allokeringsregler, de skal implementeres. Investoren skal desuden vælge frekvensen for rebalancering af porteføljens sam-mensætning, gearingsniveau, volatilitet mv.
Før vi præsenterer MPMVO-resultaterne, er vi nødt til at adressere k∗. Bestemmelsen af k∗ kræver per konstruktion antagelser om de individuelle Sharpe ratios for hhv. EQ- og FXALPHA-porteføljen.
Tilgangen i Boudoukh et al. (2019) er at antage SREQ=0,5 og SRFXALPHA=0,3 over hele tidsperio-den. De understreger samtidig, at investorer kan benytte egne antagelser om de to størrelser – de kan enten være tidsvarierende eller statiske. Estimater på 0,5 og 0,3 er ikke intuitive for en EUR-baseret stikprøve (ift. USD), omend resultaterne for MPMVO-porteføljen med disse størrelser også er pæne.
Vi har imidlertid anvendt empiriske estimater for de to størrelser (hhv. 0,3 og 0,6). Det er vigtigt at bemærke, at jo større FXALPHAs Sharpe ratio er i forhold til Sharpe ratio-forholdet i EQ, desto større rolle spiller alphaporteføljen i den samlede MPMVO-portefølje. Jo højere Sharpe ratio i EQ, jo mere konservativ vil porteføljesammensætningen derfor være. Investorer skal i praksis derfor tage stilling til, hvor meget FXALPHA-eksponering, der ønskes. I vores tilfælde spiller FXALPHA-porteføljen en større rolle i den samlede MPMVO-portefølje sammenlignet med AQRs portefølje for en USD-baseret investor.
I tabel 12 præsenterer vi de empiriske resultater for vores samlede MPMVO-portefølje, delkompo-nenterne FXHEDGE, MINVAR og FXALPHA og de tilhørende benchmarkporteføljer, den hedgede aktieportefølje (EQ) og den uafdækkede aktieportefølje (EQU). Vi bemærker, at det afkastmæssigt ikke er en fordel at holde den EUR-hedgede aktieportefølje, EQ, sammenlignet med den uafdække-de aktieportefølje, EQU. EQU producerer i gennemsnit et årligt merafkast på 5,22%, mens EQ giver 5,12%. Det skyldes især, at EQU outperformer EQ i slutningen af stikprøveperioden. Volatiliteten er imidlertid lavere i EQ (15,76%) sammenlignet med EQU (16,30%), hvorfor et 100% hedge af valuta-eksponeringen reducerer volatiliteten i aktieporteføljen. Sharpe ratios i de to porteføljer er omtrentligt ens med hhv. 0,32 og 0,33. Selvom EQU har den laveste Sharpe ratio, har porteføljen en højere Sortino Ratio (0,41 vs. 0,39). Husk, at Sortino ratio måler det risikojusterede afkast på tilsvarende vis som en Sharpe ratio, men adskiller sig ved, at den kun måler volatilitet på negative afkast. Der er således en højere volatilitet på de negative afkast i EQ sammenlignet med EQU. EQ har generelt en lavere volatilitet men større drawdowns med en Maximum drawdown på -41,1% vs. -28,9% for EQU. En forklaring kan være, at valutapositionerne i den uafdækkede aktieportefølje har fungeret som naturligt hedge mod aktienedture i tider med markedsuro, herunder finanskrisen. Det skyldes blandt andet, at USD vægter tungt i verdensporteføljen (MSCI ACWI), og vi husker fra afsnit 6.3.4, at USD typisk har
“safe haven”-status i tider med høj markedsvolatilitet, hvor valutaen har tendens til at blive styrket.
EQ-porteføljen viser imidlertid mindre halerisiko, når vi sammenligner risikomål som VaR (7,17% vs.
7,29%) og ES (10,69% vs. 10,79%).
Mål EQU EQ FXHEDGE MINVAR FXALPHA MPMVO
Middelværdi 5,22% 5,12% 1,95% 7,17% 5,10% 8,44%
Volatilitet 16,30% 15,76% 9,62% 9,74% 7,99% 15,02%
Sharpe ratio 0,32 0,33 0,20 0,74 0,64 0,56
Sortino ratio 0,41 0,39 0,26 0,89 0,90 0,67
Skævhed -0,89 -1,92 -0,24 -0,96 -0,34 -1,26
Max. drawdown -28,90% -41,1% -17,9% -33,6% -18,7% -37,3%
VaR(0,95) 7,29% 7,17% 1,92% 6,04% 2,98% 6,33%
ES(0,95) 10,79% 10,69% 3,08% 9,68% 4,94% 10,02%
Tabel 12: Afkast- og risikomål for 1) den uafdækkede internationale aktieportefølje, EQU, 2) 100% EUR-hedged internationale aktieportefølje, EQ, 3) valutaportefølj-en, FXHEDGE, dannet ved Optimized dynamisk tilgang, 4) MINVAR-porteføljen med Optimized dynamisk FXHEDGE (EQ+FXHEDGE), 5) FXALPHA-porteføljen (ligevægtet portefølje af de tre faktorer momentum, carry og value) og 6) den sammensatte portefølje MPMVO (EQ+FXHEDGE+k∗FXALPHA). Den optimale vægt k∗ er bestemt ved k∗ =σEQ
1−ρ2FXHEDGE,EQ SREQ−ρFXALPHA,EQSRFXALPHA
. Esti-mation af risikomålene Value-at-Risk (VaR) og Expected Shortfall (ES) er baseret på en ikke-parametrisk model ved beregning af fraktilen på de historiske merafkast, og der er således ingen fordelingsantagelser om valutamerafkastene. Middelværdi, volatilitet, Sharpe ratio og Sortino ratio er annualiserede. Alle mål er beregnet på merafkast over hele stikprøveperioden, 2002-2019.
Konsistent med afsnit 6.2 ser vi, at MINVAR-porteføljen reducerer volatiliteten relativt til både EQU-og EQ-porteføljen til 9,74% fra hhv. 16,30% EQU-og 15,76%. Den konstruerede MINVAR-portefølje redu-cerer derfor den eksisterende aktievolatilitet i den samlede portefølje. Dette bør ikke overraske, da formålet med FXHEDGE-porteføljen er at reducere aktievolatiliteten ved at producere en maksimalt negativt korreleret valutaportefølje med aktieporteføljen. Fra tabellen ses også, at FXHEDGE har fle-re attraktive risikomål og lav halerisiko. Både skævhed (-0,24), Maximum drawdown (-17,9%), VaR (1,92%) og ES (3,08%) er lavest blandt de præsenterede porteføljer i tabellen. Overraskende ser vi også et forbedret absolut og risikojusteret afkast i MINVAR på trods af porteføljens variansminimerende formål. Resultatet afviger fra Boudoukh et al. (2019), hvilket i høj grad skyldes, at vores FXHEDGE-portefølje i gennemsnit producerer positive merafkast på 1,95% sammenlignet med deres model for en USD-baseret investor, hvor FXHEDGE-porteføljen har et annualiseret negativt merafkast på -0,9%. I vores tilfælde afgiver vi ikke et forventet afkast i reduktion af aktievolatiliteten. En del af forklaringen er, at vores dynamiske kovariansestimater er forskellige fra AQRs model. Husk fra afsnit 5.1, at vi foreslår beregningsgange af de dynamiske kovariansmatricer ved en dynamisk model for den estime-rede correlation shrinkage modsat AQR, som anvender et fast estimat på 0,25 over hele tidsperioden.
Correlation shrinkage er nødvendigt for at sikre inverterbare kovariansmatricer i optimeringsprocessen.
Vores simple justering af shrinkage-metoden sikrer, at vi automatisk producerer en positiv definit ma-trix med fuld rang og ikke-negative varianser. Samtidig understreger Boudoukh et al. (2019), at det ikke altid er tilfældet, at MINVAR-porteføljen reducerer volatiliteten på bekostning af det forventede afkast.
Resultaterne for FXALPHA-porteføljen blev introduceret i afsnit 6.3.4 (CMV-porteføljen). Porteføljen genererer pæne afkast med et selvstændigt højt risikojusteret afkast ved en annualiseret middelvær-di på 5,10%, en volatilitet på 7,99% og en tilhørende Sharpe ratio på 0,64. Sharpe ratio fordobles sammenlignet med Sharpe ratios i aktieporteføljerne EQU og EQ på hhv. 0,32 og 0,33. Vi bemær-ker, at FXALPHA-porteføljens risikoegenskaber tilnærmelsesvis udviser samme karakteristika som FXHEDGE-porteføljen. Faktisk er volatiliteten lavere i FXALPHA end i både EQU og EQ, mens det gennemsnitlige annualiserede merafkast befinder sig lige under EQ-afkastet (5,12%). Da FXALPHA-porteføljen er ukorreleret med MINVAR-FXALPHA-porteføljen (resultat fra afsnit 5.1), giver FXALPHA mulighed for at forbedre afkastet i den samlede MPMVO-portefølje.
Tilføjer vi k∗FXALPHA til MINVAR-porteføljen dannes MPMVO-porteføljen, og vi ser, at Sharpe ratio-forholdet forøges til 0,56 sammenlignet med 0,33 i EQ, hvilket er en stigning på 70%. MPMVO producerer samtidig et højere afkast (8,44% vs. 5,12%) og en lavere volatilitet (15,02% vs. 15,76%) sammenlignet med en 100% hedged aktieportefølje, EQ (og er for fuldstændighedens skyld også bedre end den uafdækkede aktieportefølje, EQU). MPMVO producerer tilmed det højeste gennemsnitlige årlige merafkast sammenlignet med alle porteføljerne. Alle risikomål inklusiv skævhed (-1,26), Maxi-mum drawdown (-37,3%), VaR (6,33%) og ES (10,02%) er lavere end i EQ-porteføljen. Resultaterne indebærer, at en middelværdi-varians-optimerende investor vil foretrække MPMVO-porteføljen over både EQ og EQU.
Figur 17 viser de akkumulerede merafkast for de fem præsenterede porteføljer: 1) MPMVO, 2) MINVAR (EQ + FXHEDGE), 3) FXALPHA, 4) EQ og 5) EQU. Vi ser tydeligt, at vores MPMVO-portefølje både outperformer den 100% hedgede aktieportefølje, EQ, og den uafdækkede aktieportefølje, EQU.
Faktisk er det akkumulerede merafkast i MPMVO større end EQ-afkastet i 91,88% af hele stikprøvepe-rioden målt på månedlige merafkast. Vi bemærker også, at MPMVO outperformer den 100% hedgede aktieportefølje, EQ, under finanskrisen. Sammenholdes resultatet med den lavere annualiserede vola-tilitet i MPMVO, er det tydeligt at se, at afkast-risiko-forholdet i en international aktieportefølje kan forbedres ved anvendelse af et aktivt forvaltet currency overlay gennem to selvstændige long-short FX-porteføljer ved MPMVO-modellen.
Figur 17: Tidsserier for de akkumulerede merafkast i porteføljerne MPMVO, MINVAR, FXALPHA, EQ og EQU over hele stikprøveperioden, 2002-2019.
Data genereret ved egen kode.
Figur 18 illustrerer 6M rullende volatilitet for MPMVO, EQ, MINVAR og FXALPHA over hele stikprø-veperioden. Som tabel 12 indikerede, bekræfter vi nu, at MINVAR-porteføljen generelt har lavere volati-litet end EQ-porteføljen. Den realiserede volativolati-litet i MINVAR-porteføljen er lavere end den realiserede volatilitet i EQ i 68,4% af perioden. MPMVO har i gennemsnit en lavere volatilitet end EQ-porteføljen.
Som forventet er den gennemsnitlige volatilitet imidlertid højere end i MINVAR-porteføljen. Vi be-mærker ligeledes det lave 6Ms rullende volatilitetsniveau over hele stikprøveperioden for FXALPHA-komponenten. Det lave volatilitetsniveau i porteføljen betyder, at det risikojusterede afkast fordobles fra EQ til FXALPHA. Det fremgår af figuren, at der er en tendens til, at MINVAR og FXALPHA følger de samme volatilitetsmønstre som EQ parallelforskudt af hinanden.
Figur 18: 6M rullende volatilitet for MPMVO-, EQ-, MINVAR- og FXALPHA-porteføljen i perioden 2002-2019. Data genereret ved egen kode.
I figur 19 viser vi de gennemsnitlige hedge- og alphapositioner i den samlede optimerede MPMVO-portefølje. Bemærk, at vi tidligere har præsenteret valutapositionerne i de enkelte delkomponenter FXHEDGE og FXALPHA (i hhv. afsnit 6.2 og 6.3.4), men nu introducerer bidragene i den samlede MPMVO-portefølje. Kombinationen giver os et indblik i, hvordan de enkelte valutaer hver især bidra-ger til de separate valutakomponenter.
Vi bemærker først de gennemsnitlige negative positioner i CAD (-15,4%) og SEK (-20,7%). Det er interessant, at de korte positioner både er drevet af negative hedge- og alphapositioner. Resultatet skyldes, at begge valutaer er positivt korrelerede med EQ (hh. 0,33 og 0,34), og at der optages store negative positioner gennem FXALPHA ved korte valuepositioner i CAD og korte momentum- og car-rypositioner i SEK. Omvendt tager vi i gennemsnit en større positiv position i CHF (10,8%) drevet af hedgeporteføljen, hvilket er konsistent med valutaens negative korrelation med EQ-afkastet på -0,15 dokumenteret i tabel 4.
Vi bemærker også, at hedgepositionerne i AUD og NZD i gennemsnit er negative grundet de positive korrelationer med EQ-afkastet (hhv. 0,50 og 0,38). De gennemsnitlige korte positioner gennem hed-geporteføljen udlignes imidlertid af deres tilhørende alphapositioner. Investoren vil i gennemsnit derfor være lang i valutaerne med hhv. 2,4% og 3,9%. Resultatet er ikke overraskende, da vi tidligere har set i afsnit 6.3.4, at vi tager store positioner i valutaerne primært gennem vores carryporteføjle. Faktisk er de gennemsnitlige FXALPHA-positioner i AUD og NZD hhv. 33,5% og 31,7%.
Investoren holder i gennemsnit en mindre positiv position i JPY (1,9%), hvilket er drevet af en gen-nemsnitlig lang position i hedgeporteføljen (jf. JPYs negative korrelation med EQ på -0,40). Selvom der både tages lange positioner i AUD og JPY, og de har modsatte fortegn i en carrystrategi, er den svage korrelation mellem valutaerne (ρAUD,JPY=0,01) med til at skabe et indbyrdes naturligt hedge.
Denne egenskab gør det ønskeligt at holde begge valutaer i den samlede portefølje. Samme argument kan bruges om USD og SEK, da vi samlet tager korte positioner i begge valutaer, og de indbyrdes har en negativ korrelation (-0,002). Resultatet stemmer overens med vores tidligere argument i afsnit 6.2 om at anvende en optimeret tilgang til bestemmelse af FXHEDGE: Optimized udnytter alle elementer i ΣFX og ΣEQFX til at minimere den samlede aktievolatilitet. Vi oplever derfor flere tilfælde, hvor FXHEDGE og FXALPHA komplementerer hinanden i den samlede portefølje.
Figur 19: Gennemsnitlige hedge- og alphavægte i alle valutaer for den endelige MPMVO-portefølje. Data genereret ved egen kode.
7 Modelrobusthed
De præsenterede resultater i afsnit 6.4 taler for MPMVO, men spørgsmålet er nu, om modellen er robust under andre betingelser. I dette kapitel undersøger vi robustheden af vores empiriske resultater.
Helt konkret præsenterer vi resultaterne for MPMVO-porteføljen, når vi 1) justerer begrænsninger og input i modellen, 2) måler over delstikprøver og indflydelsesrige observationer og 3) tager højde for turnover og transaktionsomkostninger.
Robusthed er også et spørgsmål om out-of-sample inferens, som både kan vedrøre 1) et nyt valg af indenlandsk valuta, 2) et nyt valg af underliggende aktivklasse og 3) et nyt valg af tidsperiode. Som udgangspunkt er en indenlandsk valuta selvsagt påkrævet som numeraire for at implementere model-len, men løsningsmetoderne er generiske og gælder for investorer i alle lande. Boudoukh et al. (2019) præsenterer eksempelvis resultater for en MPMVO-portefølje med en USD-baseret investor. Samtidig er vores resultater en undersøgelse af hedging af valutarisiko i internationale aktieporteføljer, men sam-me tilgang kan implesam-menteres for andre finansielle aktiver, herunder fixed incosam-me (Boudoukh et al., 2019, s. 81). Valget af tidsperiode er også en naturlig overvejelse i undersøgelse af modelrobustheden og afhænger af datatilgængelighed, investorpræferencer og kapacitetsbegrænsninger. Det er relevant at udsætte en model for stresstestscenarier ved at simulere resultater over større makroøkonomiske hændelser. I den forbindelse undersøger vi effekten af den aktuelle krise som følge af coronavirus.
7.1 Gearing og rebalanceringer
I nedenstående tabel 13 præsenterer vi resultaterne for MPMVO-porteføljen ved begrænsninger på 1) antallet af rebalanceringer og 2) gearingsniveauet. Rebalanceringsfrekvensen ændres fra månedlig til kvartalsvis, og gearingsniveauet i valutaporteføljerne begrænses til ≤100% i alle delperioder. Gearin-gen defineres ved summen af porteføljevægtene divideret med to konsistent med AQR (Boudoukh et al., 2019, s. 77). Begrænsningerne er implementeret for hele stikprøveperioden, 2002-2019.
Mål MPMVO Rebalancering (kvartal) Gearingsbegrænsning
Middelværdi 8,44% 8,02% 6,77%
Volatilitet 15,02% 15,46% 14,55%
Sharpe ratio 0,56 0,52 0,47
Sortino ratio 0,67 0,49 0,55
Skævhed -1,26 -1,95 -1,07
Gearing 1,4 1,4 1,0
Max. drawdown -37,3% -48,5% -34,9%
VaR(0,95) 6,33% 6,68% 6,13%
ES(0,95) 10,02% 11,29% 11,40%
Tabel 13: Modelrobusthed i MPMVO. Tabellen viser resultaterne for MPMVO-porteføljen ved to begrænsninger: 1) rebalancering af porteføljen ændres fra månedlig til kvartalvis og 2) gearingsgraden i valutaporteføljer-ne begrænses til ≤ 100% i alle delperioder. Alle mål er beregnet for hele stikprøveperioden, 2002-2019.
En ændring til kvartalsvise rebalanceringer medfører et mindre fald i det annualiserede merafkast (8,02%) og en mindre stigning i det annualiserede volatilitetsniveau (15,46%). Det betyder, at Sharpe ratio og Sortino ratio falder fra hhv. 0,56 til 0,52 og fra 0,67 til 0,49. Vi ser, at begrænsningen forværrer risikomålene, hvor både Maximum drawdown (-48,5%), VaR (6,68%) og ES (11,29%) er (numerisk) større end i vores oprindelige MPMVO. Resultaterne er primært drevet af den manglende fleksibilitet under finanskrisen ved kvartalsvis FX-positionering. Ikke overraskende oplever vi, at turnover redu-ceres. Resultatet vil blive behandlet i afsnit 7.3. Begrænsning på antallet af rebalanceringer ændrer fortsat ikke vores konklusion om, at MPMVO-porteføljen outperformer EQ og EQU.
Tabellen viser også, at det gennemsnitlige gearingsniveau i den oprindelige MPMVO-portefølje er 1,4.
En begrænsning af gearingen under dette niveau vil derfor være bindende i en optimal løsning. Gearing er et værktøj, vi kan anvende til at forstørre potentielle gevinster og tab givet en bestemt mængde kapital. Brugen af gearing kan øge afkastet men også forhøje volatiliteten, hvilket er nøjagtigt, hvad vi ser for MPMVO-porteføljen. Gearingsbegrænsningen medfører, at porteføljen oplever mindre ekstreme halehændelser. Det betyder, at både annualiseret middelværdi (6,77%) og volatilitet (14,55%) falder fra sit oprindelige niveau. Det større fald i merafkastet relativt til faldet i volatilitetsniveauet betyder, at Sharpe ratio falder fra 0,56 til 0,47. Husk også, at vores portefølje har en større eksponering mod den Sharpe ratio-maksimerende FX-portefølje, som i gennemsnit er gearet (jf. tabel 11), og derfor vil en begrænsning ikke overraskende medføre en reduktion af det risikojusterede afkast i den samlede portefølje. Trods en begrænsning på gearingsniveauet ser vi stadig, at MPMVO outperformer både EQ og EQU jf. afkast- og risikomålene dokumenteret i tabel 12. Resultaterne for rebalancerings- og gearingsbegrænsningerne tyder fortsat godt for modellens anvendelighed.