Det er lidt mere vanskeligt end vist i kapitel 2.0 at beregne minimum-varians-porteføljen, hvis der indgår flere end to aktiver. Igen er short sales tilladt men ingen risikofri placering eller lån tilladt (ligesom i kapitel 2). Teknikken ved flere end to aktiver er, at beregne to tangentporteføljer med
forskellige konstanter, beregne kovariansen mellem de to tangentporteføljer og bagefter at beregne MVP ved at behandle de to tangentporteføljer som enkelte aktiver.
Som det første har jeg lavet en korrelationsmatrix for de fire aktiver, jeg ønsker at kombinere med hinanden for at få et hurtigt overblik over korrelationerne:
Tabel 13
Kilde: Egen tilvirking
Tabellen viser at både DAX og REXP såvel som REXP og Pairs Trading Strategien er negativt korreleret med hinanden. Trendfølgeren og Pairs Traderen er næsten ukorrelerede og mens DAX og Trendfølgeren har den højeste korrelation af de fire aktiver.
For selve beregningen har jeg lavet en kovariansmatrix hvor
, = ,
Tabel 14
Kilde: Egen tilvirking
For at finde porteføljevægtene af de enkelte aktiver beregner jeg først følgende ligningssystem:
= + , + , + ,
= , + + , + ,
= , + , + + ,
= , + , + , +
hvor
Kovarianser Trendfølger Pairs Trader REXP DAX Trendfølger 0,00049608 0,00000251 0,00000092 0,00012371 Pairs Trader 0,00000251 0,00004859 -0,00000100 0,00000105 REXP 0,00000092 -0,00000100 0,00000505 -0,00000494 DAX 0,00012371 0,00000105 -0,00000494 0,00024055 Korrelationer Trendfølger Pairs Trader REXP DAX
Trendfølger 1,000 0,016 0,018 0,358
Pairs Trader 0,016 1,000 -0,064 0,010
REXP 0,018 -0,064 1,000 -0,142
DAX 0,358 0,010 -0,142 1,000
Rx = gennemsnitlig daglig afkast K1 = Konstant
Zx = Andel aktiv X
x,y = Kovarians mellem aktiv x og aktiv y = Eigenvarians aktiv x
Ved at indsætte observerede værdier for R, beregnede kovarianser og eigenvarianser samt 0 % for K, hvilket også godt kunne være en anden værdi større eller lig med 0, i ligningssystemet får jeg følgende værdier for Z:
Tabel 15
Kilde: Egen tilvirking
For at beregne porteføljevægtene, W, af de enkelte aktiver dividerer jeg de enkelte Z-værdier med summen af alle Z.
= 58,42894
WTF = 1,413441/58,42894 = 2,419 % WPT = 6,60868/58,42894 = 11,311 % WREXP = 48,40919/58,42894 = 82,851 % WDAX = 1,99763/58,42894 = 3,419 %
Ovenstående porteføljevægte er markeds- eller tangentporteføljen for konstant K = 0.
Efterfølgende gentager jeg samme beregninger som ovenfor, bare med konstant K = 6 %, hvilket igen er tilfældigt valgt, og får følgende porteføljevægte:
Z ZTF 1,413441 ZPT 6,60868 ZREXP 48,40919 ZDAX 1,99763
WTF = -0,289 % WPT = 10,140 % WREXP = 86,570 % WDAX = 3,578 %
Nu kender jeg to punkter på den efficiente rand: Markedsporteføljen med K = 0 og markedsporteføljen med K = 6 %. Deres respektive forventede afkast, standardafvigelse samt kovariansen mellem de to porteføljer bliver vist i nedenstående tabel.
Tabel 16
Kilde: Egen tilvirking
Da jeg nu kender to punkter på den efficiente rand kan jeg behandle de to porteføljer som enkelte aktiver og indsætte i den bekendte ligning fra kapitel 2.0 for at finde andelene i minimum-varians-porteføljen:
%= ( % %, %)
( %+ % 2 %, %)= (0,202% 0,00000409254)
(0,202% + 0,211% 0,00000409254) = 0,399%
%= 1 %= 99,601%
Minimum-Varians-Porteføljen for de 4 aktiver består altså af 0,399 % af markedsporteføljen med K = 0 og 99,601 % af markedsporteføljen med K = 6 %.
Nu kan jeg beregne det forventede afkast
( ) = ( ) = 0,399% 0,026% + 99,601% 0,024% = 0,024%
samt standardafvigelsen
Portefølje K = 0% Portefølje K = 6%
Andele Andele
2,419% -0,289%
11,311% 10,140%
82,851% 86,570%
3,419% 3,578%
E(R) 0,026% 0,024%
StdDev 0,211% 0,202%
Kovar 4,09254E-06
= + + 2 ( , )
for MVP.
Resultaterne, som er beregnet med daglige observationer bliver omregnet til årlige tal vha.
følgende formler:
Å = 252
Å = (1 + ) 1
Nedenstående tabel viser resultaterne for Minimum-Varians-Porteføljen inkl. de to kvantitative modeller og sammenligner med MVP uden kvantitative modeller, altså kun bestående af DAX og REXP.
Tabel 17
Kilde: Egen tilvirking
Tabellen viser, at det forventede årlige afkast inkl. kvantitative strategier er ca. 0,057 % højere end uden kvantitative strategier samtidig med at den årlige standardafvigelse er ca. 0,217 % lavere ved anvendelse af kvantitative strategier.
Nu er det for en investor ikke hensigtsmæssigt at købe to gange markedsporteføljen men at kende de enkelte porteføljevægte af de bagvedliggende aktiver i MVP.
For at finde de enkelte porteføljevægte af de fire aktiver løser jeg følgende ligninger:
= 0,399% 2,419% + 99,601% 0,289%
= 0,399% 11,311% + 99,601% 10,140%
Med Quant Uden Quant
Andel W0% 0,399% 3,912% Andel DAX
Andel W6% 99,601% 96,088% Andel REXP
E(R) 0,0239% 0,0237% E(R)
Standardafvigelse 0,202% 0,216% Standardafvigelse
Årlig E(R) 6,213% 6,155% Årlig E(R)
Årlig Std.Afv. 3,212% 3,429% Årlig Std.Afv.
= 0,399% 82,851% + 99,601% 86,570%
= 0,399% 3,419% + 99,601% 3,578%
De respektive porteføljevægte af de enkelte aktiver i MVP vises i nedenstående tabel:
Tabel 18
Kilde: Egen tilvirking
Minimum-Varians-Porteføljen består altså af en kort position i trendfølgemodellen, en mindre position i DAX, en position i Pairs Trading Strategien samt en stor position i REXP.
Figur 34 viser den akkumulerede udvikling hvis man havde investeret den 03-01-1995 i henholdsvis MVP inkl. Kvant og MVP uden Kvant.
Figur 34
Kilde: Egen tilvirking / Data fra Reuters
MVP Andele
Trendfølger -0,2781%
Pairs Trader 10,1448%
REXP 86,5554%
DAX 3,5779%
100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 E g e n k a p i t a l
Minimum-Varians-Porteføljer
MVP inkl. Kvant MVP uden Kvant
Da forskellen i det årlige afkast kun er på ca. 0,06 % ligger de to linjer ret tæt på hinanden hvorfor man ikke kan se en reel forskel. Indekstallet for MVP inkl. Kvant er på ca. 262,5 i januar 2011 og indekstallet for MVP uden Kvant er på ca. 260 i januar 2011.
Figur 35 viser den efficiente rand med Kvant og uden Kvant samt placeringen af de enkelte aktiver i risiko/afkast diagrammet. Det er tydeligt at se, at den efficiente rand med Kvant er forskudt mod
”nord-vest”, altså op og mod venstre, ensbetydende med at man for det samme risiko får et højere afkast, hvis man inkluderer de to kvantitative modeller. Samtidig er hældningen på den efficiente rand stejlere, hvilket betyder, at man for hver enhed risiko man påtager sig bliver belønnet med et forholdsvis højere afkast end ved en lavere hældning.
Figur 35
Kilde: Egen tilvirking / Data fra Reuters
Forskydningen af den efficiente rand og dermed også af MVP resulterer også i en højere Sharpe Ratio for MVP inkl. Kvant.
Tabel 19
Kilde: Egen tilvirking
5,00%
10,00%
15,00%
20,00%
25,00%
30,00%
2,00% 7,00% 12,00% 17,00% 22,00% 27,00% 32,00% 37,00%
Forventet Afkast
Standardafvigelse
Efficient rand med og uden Kvant
Eff. Rand inkl. Kvant Eff. Rand uden Kvant
DAX REXP
Pairs Trader Trendfølger
Med Quant Uden Quant
Sharpe Ratio 1,31 1,21
Jeg har beregnet Sharpe Ratio igen med et risikofrit afkast på 2 %, ligesom i kapitel 5.2.