derimod kan vi kravle op ad den skrå kant og måle, hvor langt der er fra foden til toppen. Den græske
matematiker har lavet denne prøvetegning:
Hvilke oplysninger skal han kende for at kunne beregne højden?
Du får nu at vide, at AB er målt op til 116, og CD er målt op til 188.
Bestem pyramidens højde.
Opgave 5 To målinger er nok
Forudsætningerne i opgave 1 var, at vi kunne måle afstanden helt hen til klippens fod; men det er sjældent tilfældet.
I en gammel kinesisk matematikbog kan vi se, at de også har stillet sig dette spørgsmål, og deres svar er, at vi kan løse problemet, hvis vi laver to målinger.
Vi ønsker at finde højden x af ST. Vi kalder stykket TA, som vi ikke kan måle, for y. Så foretager vi følgende målinger: h = 1, a1 = 1,2 , a2 = 1,7 og afstanden mellem pindene |AB| = 50.
a) Find to store trekanter, der er ensvinklede med de to små, og opskriv ved brug af x og y en ligning for hver.
b) Isolér y i hver ligning, og udnyt de to udtryk for y til at opstille en ligning, hvor x er eneste ubekendte, og løs denne.
Hvad er matematik? 1
ISBN 9788770668279
Projekter: Kapitel 6. Projekt 6.11. Tunnelen på Samos – udgravet for 2500 år siden
2. Hvordan bestemmes afstande
Opgave 6 Afstand til et skib ude på havet
Lad os antage, at vi ved, at højden af en næsten lodret klippe, der står ved havet er 80 meter. Vi ser et skib og foretager den måling, der er angivet på tegningen.
Brug oplysningerne til at finde afstanden til skibet.
Opgave 7 Hvor bred er floden?
Vi står på den ene side af en flod og vurderer, hvor bred den er. Tæt ved bredden af den anden side står et træ, vi kan bruge som sigtepunkt. Vi måler nu en afstand hen til et punkt C, og fra C går vi vinkelret på linjen AC og måler stykket CB op. Resultaterne indtegnes på en prøvefigur, så vi har følgende skitse (størrelsesforholdene er ikke korrekte!):
Hvor bred er floden?
Opgave 8 Vandret niveau
Hvordan findes samme vandrette niveau rundt om et bjerg?
Prøv at »lege ingeniører«, og forklar hvordan I ville kunne »bygge jer frem« til en løsning.
P
A
E C B 5
1 6
4 1,5
80 h
4,8 AB
A B
Hvad er matematik? 1
ISBN 9788770668279
Projekter: Kapitel 6. Projekt 6.11. Tunnelen på Samos – udgravet for 2500 år siden
3. Hvordan bestemmes en sigteretning?
Lad os nu sige, at vi har løst højdeproblemet.
Vi er i samme højdeniveau på hver side af et lille bjerg. I det ene punkt findes vandkilden, i det andet er vi tæt ved byen.
Opgave 9 Afstandsmåling med sigteretninger (1)
A og B kan ikke se hinanden. Der skal graves en tunnel fra A til B. Vi ønsker at grave fra begge sider.
Hvordan kan vi lægge en sigteretning de to steder, så vi er sikre på, at de to gravehold mødes?
Det kræver, at vi kender den helt nøjagtige placering af A og B. Lad os sige, at vi i A har fastlagt en retning nord-syd og vinkelret på retningen øst-vest:
Tegn nu en vej uden om bjerget fra A til B, således at du kan måle op, hvor meget B ligger øst for A, og hvor meget B ligger syd for A.
Forklar, hvordan du ud fra din vej vil måle de ønskede afstande.
Opgave 10 Pythagoras´ sætning og den omvendte Pythagoras´ sætning
Når vi ønsker at bevæge os efter to retninger, nord-syd og øst-vest, skal vi være i stand til at dreje præcis 90°. Det kan vi bruge Pythagoras’ sætning til!
Den almindelige udgave af sætningen siger, at hvis vinkel C i trekant ABC er ret, så gælder, at a2 + b2 = c2
Den såkaldte omvendte Pythagoras’ sætning siger, at hvis formlen a2 + b2 = c2 gælder i en trekant, så er vinklen C netop 90°.
a) Hvis en retvinklet trekant har de to kateter 8 og 6, hvor lang er da hypotenusen?
b) Hvis en retvinklet trekant har en katete på 10 og en hypotenuse på 12, hvor lang er da den anden katete?
c) Hvis en trekant har siderne 8, 7 og 11, er den så retvinklet, eller er den ikke retvinklet?
d) Du har tre stykker snor, et er 60 cm, et er 80 cm, og et er 1 m. Beskriv hvorledes du ved hjælp af disse kan konstruere en linje vinkelret på en anden linje.
Opgave 11 Afstandsmåling med sigteretninger (2)
Vi vender tilbage til punkterne A og B, og lad os nu sige, at punktet B ligger 970 meter længere sydpå og 380 meter længere østpå end A.
a) Konstruer en prøvefigur, hvor du indtegner den ønskede sigtelinje fra A til B (gennem bjerget), og hvor du har tegnet trekant ABC med de nævnte mål afsat.
b) Ved hjælp af ensvinklede trekanter skal du nu konstruere en lille trekant (uden for bjerget) ved punktet A, og som giver dig sigtelinjen fra A til B. Det samme skal du gøre ved B – lave en lille trekant, som giver dig sigtelinjen fra B til A.
Hvad er matematik? 1
ISBN 9788770668279
Projekter: Kapitel 6. Projekt 6.11. Tunnelen på Samos – udgravet for 2500 år siden
Opgave 12 Tunnelens virkelige forløb
Figur 7 Tunnelens virkelige forløb
Planen viser tilnærmelsesvis zigzagkursen i den nordlige halvdel af tunnelen.
Man ved ikke, hvorfor det ene hold er begyndt at grave i zigzag, mens det andet holdt kursen. Har du et bud på hvorfor?
4. Hvordan beregnes en hældning?
Opgave 13 Vandledningen
Tunnelen består af en forholdsvis stor skakt, i tværsnit 2 meter 2 meter, samt udgravet langs den ene væg den vandledning, det hele drejer sig om. Vandledningen skråner svagt nedad fra punktet A til punktet B. Det samlede fald er 9 meter.
Hvis tunnelen er 1036 meter lang, hvor stort er så faldet pr. meter? Hvor stort er det pr. 10 meter?
5. Afslutning – moderne positionsbestemmelse
Tunnelen under den østlige del af Storebælt fører jernbanetrafikken gennem to parallelle rør fra Halsskov til Sprogø.
Tunnelen er 8.000 meter lang og blev boret ud fra hver sin side. Ved sådanne projekter anvendes i dag et system baseret på satellitmålinger til at fastslå den nøjagtige position af punkter som A og B. Systemet hedder GPS.
Opgave 14 Hvad er GPS?
Find i Encyklopædien eller på internettet en artikel om GPS, og giv en kort forklaring på idéen bag denne metode.