Fordelingerne i Crystal ball

I forrige afsnit blev der gennemgået teori omkring generering af tilfældige tal og vigtigheden af samme i MCS.

Det næste skridt er at fastlægge, hvilke fordelinger inputvariablene skal følge. Når fordelingen er blevet fastlagt, bliver der simuleret x antal gange ved hjælp af de tilfældige tal. Derfor er det helt essentielt, hvilke fordelinger der vælges til input variablene (value drivers), da de fastlægger indenfor hvilket interval

simuleringerne falder.

Problemet er, at det ikke nødvendigvis fremgår, hvilke fordelinger de forskellige input variable følger. Som udgangspunkt vil fordelinger blive baseret på historiske data. Problemet med historiske data er imidlertid flere.

For det første kan det være, at mængden af data ikke er tilstrækkelig, hvis overhovedet til stede. For det andet kan virksomheden have gennemgået en transformation over en periode, der gør historiske data

usammenlignelige over tid.

Derfor vil der nedenfor blive gennemgået de mest kendte fordelinger, der samtidig vurderes at være mest relevante i forhold til denne opgave samt hvilke fordele og ulemper, der følger med. Der vil blive taget

udgangspunkt i fordelinger som Crystal ball har samt dem, der er mest udbredte og mest relevant for opgaven.

Der er grundlæggende to kategorier af fordelinger. Diskrete fordelinger og kontinuerte fordelinger. De diskrete fordelinger/variable er kendetegnet ved faste definerede udfaldsrum, f.eks. ja/nej eller 1-6 (terninger). De kontinuerte fordelinger er kendetegnet ved, at variablene kan antage alle værdier inden for et givent interval.

Da de forskellige valuedrivers er budgetteret i % af omsætningen (relativt), vil der blive lagt størst vægt på de kontinuerte fordelinger, da disse vurderes langt mere relevante i denne sammenhæng.

Side 57 af 121 Herefter vil der blive diskuteret lidt om problematikken omkring valg af fordeling og hvilke mulige fejlkilder, der kan være i forbindelse med MCS.

10.3.1 Normalfordeling

Normalfordelingen er nok den mest kendte kontinuerte fordeling, fordi den beskriver en række naturlige fænomener såsom afkast på aktier, inflationsrate, salgsvækst, personer højde eller vægt m.m. Endvidere har den en meget magtfuld egenskab, da den kan bruges i forbindelse med ”Central Limit Theorem”. Denne siger, at gennemsnittet af et tilstrækkeligt stort antal gentagelser af tilfældigt valgte variable, hver med en defineret forventet værdi og varians, approksimativt vil være/blive normalfordelt uafhængig af de underliggende distributioner⁸². Da fordelingen er defineret gennem stikprøvens gennemsnit og standardafvigelse, er

observationerne symmetrisk omkring middelværdien (gennemsnit) og fremstår som den kendte klokkeformede fordeling.

Figur 25 Normalfordeling

Det er mere sandsynligt for værdierne i normalfordelingen at lande omkring middelværdien end langt fra samme. Da fordelingen er symmetrisk omkring middelværdien, kan man via standardafvigelsen fastlægge mængden af observationer med x -% sandsynlighed. En standard afvigelse til hver side af middelværdien indeholder fordelingen ca. 68 % af observationerne. To standardafvigelser til hver side indeholder den ca. 95 % og tre standardafvigelser til hver side indeholder fordelingen ca. 99% af observationerne. Fordelen ved

fordelingen er naturligvis dens stærke empiriske relevans og dens symmetri. Men ulempen ligger i, at visse variable ikke ligger symmetrisk omkring gennemsnittet, men med en skævhed (enten positiv eller negativ). Et eksempel i denne opgave kunne være estimerede risikofri rente. Der bliver taget udgangspunkt i 0,27 % for en 10-årig tysk statsobligation. Selvom det er umuligt at spå om fremtiden, ville en normalfordeling med

middelværdi på 0,27 % nok ikke være en god approksimation. Hvis der kigges på historiske data, vil man givetvis forvente, at den risikofrie rente i fremtiden vil have større sandsynlighedsmasse i et scenarie med højere renter end middelværdien og uden negative værdier (positiv skævhed, lognormal).

82 http://en.wikipedia.org/wiki/Central_limit_theorem

Side 58 af 121

Figur 26 Skævhed, egen tilvirknig

10.3.2 Uniform fordeling

Som nævnt i tidligere afsnit, herunder afsnit 10.2.2, er den uniforme fordeling en kontinuerlig fordeling, hvor alle udfald er defineret mellem et maksimum og minimum og har den samme sandsynlighed for at indtræffe.

Dermed skabes et rektangulært billede, som også kaldes rektangulær fordeling eller lige fordeling.

Figur 27 Uniform fordeling, Crystal ball

Fordeling bliver anvendt, når man ingen viden har om de sandsynlige udfald. Af samme årsag er det ikke mange variable der beskrives ved denne fordeling. Fordelen ved denne fordeling er, at hvis man er ”på ukendt farvand” kan det være en god fordeling at starte med, da alle udfald vægtes med samme sandsynlighed. Hvis man efterfølgende bliver klogere på variablen, der estimeres eller man får mere data til hjælp, kan man efterfølgende skifte den uniforme fordeling ud med en, der passer data/variablen bedre.

10.3.3 Triangulær fordeling

Den triangulære fordeling er, som navnet antyder, en fordeling, der ligner en trekant. Den opdeler data i minimum, maximum og ”most likely”. Netop disse attributter gør den anvendelig i mange sammenhænge. Fx når der er begrænset eller ingen data at tage udgangspunkt i, men man har en fornemmelse af de mulige udfald. Dermed bliver denne fordeling oftest anvendt som et første estimat og erstattet på et senere tidspunkt, når viden omkring variablen bliver større. Fordelingens enkelthed er derfor også dens svaghed. Fordelingen bliver afskåret med minimum- og maksimumværdier. Usikkerheden om disse værdier, fordi den triangulære fordeling lægger større vægt på de ekstreme værdier (minimum og maksimum værdierne) end

normalfordelingen. Denne fordeling er derfor en smule primitiv, men kan være særdeles brugbar som et tidligt estimat.

Figur 28 Triangulær fordeling Crystal ball

Side 59 af 121 10.3.4 Lognormal fordeling

Figur 29 Lognormal fordeling, Crystal ball

Den lognormale fordeling er en fordeling, hvor en tilfældig variabel hvis naturlige logaritme følger

normalfordelingen. I modsætning til normalfordeling er lognormalfordeling bundet af 0 på venstre side, men er ikke bundet af noget på højre side. Derfor kan variablen ikke blive negativ, men er uendelig positiv (positiv skævhed, højre skæv). Dette gør den god til at skildre total afkast på aktier, da man ikke kan miste mere end sin initiale investering. Ligeledes bliver den ofte anvendt til at skildre rentesatser, da de meget sjældent er

negative. Lognormalfordelingen er ligesom normalfordelingen defineret af middelværdi og standardafvigelse, dog i intervallet 0;∞ (uendeligt), og har også en centrering af sandsynlighedsmassen.