2y0svarer til den x- værdi vi kalder x0T2

(1)

Hvad er matematik? 1

ISBN 978 87 7066 827 9

website: link fra Kapitel 4, Eksponentielle vækstmodeller, afsnit 5

Bevis for sætning 5 i det generelle tilfælde (især for A-niveau)

Betragt grafen for en eksponentielt voksende funktion f x( ) b a^x.

Vælg en tilfældig værdi x₀af den uafhængige variable. Vi indsætter x₀ i funktionsforskriften og får den tilhørende y₀:

0 0

( ) f x y

0 0

b a x y

Vi fordobler y₀ til 2y₀ og finder det tilsvarende tal på 1. aksen (se figur). Dette tal kaldes x₀T₂, dvs. T₂ er det stykke vi er gået frem på 1. aksen.

2y0svarer til den x- værdi vi kalder x₀T₂. Det betyder at indsættes disse tal i forskriften for funktionen, så stemmer ligningen. Når vi indsætter x₀T₂i forskriften for funktionen, får vi derfor:

0 2 0

( ) 2

f x T  y

0 2

2 0 x T

b a ^  y

0 2

2 0

x T

b a a  y Anvend potensregel nr. 1

0 ^T2 2 0

y a  y Udnyt, at b a ^x⁰ y₀

2 2

aT  Divider med y₀

log(a^T2) log(2) Anvend log

2 log( ) log(2)

T  a  ”log” T₂ ned

2

log(2) log( )

T  a Isolerer T₂

Konklusion:

Formlen er uafhængig af valget af startværdien x₀. Tallet T₂afhænger kun af værdien af a. Tallet T₂er således en karakteristisk konstant knyttet til denne bestemte eksponentialfunktion, så det har god mening, at vi betegner den fordoblingskonstanten.