• Ingen resultater fundet

Produktreglen bevist med tretrinsreglen I beviset får vi brug for, at differentiable funktioner også er kontinuerte. Dette er vist i sætning 7

N/A
N/A
Info
Hent
Protected

Academic year: 2022

Del "Produktreglen bevist med tretrinsreglen I beviset får vi brug for, at differentiable funktioner også er kontinuerte. Dette er vist i sætning 7"

Copied!
2
0
0

Indlæser.... (se fuldtekst nu)

Hele teksten

(1)

Hvad er matematik? 2

ISBN 9788770668699

website: link fra kapitel 5A - Differentialregning 1 – Om polynomier og monotoniforhold, afsnit 4.2

© 2018 L&R Uddannelse A/S • Vognmagergade 11 • DK-1148 • København K • Tlf: 43503030 • Email: info@lru.dk

Produktreglen bevist med tretrinsreglen

I beviset får vi brug for, at differentiable funktioner også er kontinuerte. Dette er vist i sætning 7 Definition. Kontinuitet i et bestemt punkt

En funktion f siges at være kontinuert i x0, hvis der gælder:

Når xx0 vil f x

 

f x

 

0

Sætning. Differentiation af et produkt.

Antag funktionerne f og g begge er differentiable i punktet x0. Så er også produktet h f g differentiabel i x0med følgende differentialkvotient:

 

0 0 0 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

h x  f g  xf x g xf xg xBevis.

Ifølge forudsætningerne har vi, at f er differentiabel i x0, og g er differentiabel i x0 dvs.:

Når xx0 vil 0 0

0

( ) ( ) f x f x ( )

x x f x

  

 og 0 0

0

( ) ( ) g x g x ( )

x x g x

  

 Vi får endvidere brug for, at g er kontinuert i x0, dvs.:

Når xx0 vil g x( )g x( )0

Ideen i de omskrivninger der følger nedenfor er, at nå frem til de to udtryk ovenfor for sekanthældningerne for henholdsvis f og g.

Vi undersøger h ved hjælp af tretrinsreglens første version:

1. Opskriv sekanthældningen for funktionen h

   

0

0

0 0

( ) ( )

( ) ( ) f g x f g x h x h x

x x x x

  

 

 

2. Omskriv sekanthældningen:

   

0 0 0

0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

f g x f g x f x g x f x g x

x x x x

      

  Anvend definitionen på

f g x

( )

0 0 0 0

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x f x g x f x g x f x g x

x x

      

  Samme led trækkes fra og lægges til

0

0

0

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

f x f x g x f x g x g x x x

    

  Sæt udenfor parentes

0

0

0

0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

f x f x g x f x g x g x

x x x x

   

 

  Anvend brøkregel for sum af brøker

0

 

0

0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

f x f x g x g x

g x f x

x x x x

 

   

  Anvend brøkregel for at gange på brøker

Vi har nu fået skilt de to brøker ud, der netop er dem vi har styr på, når vi lader xx0.

I det første led ganges ( )g x på brøken. Men pga. at g er kontinuert har vi også styr på denne, når vi lader xx0.

(2)

Hvad er matematik? 2

ISBN 9788770668699

website: link fra kapitel 5A - Differentialregning 1 – Om polynomier og monotoniforhold, afsnit 4.2

© 2018 L&R Uddannelse A/S • Vognmagergade 11 • DK-1148 • København K • Tlf: 43503030 • Email: info@lru.dk

3. Lad xx0: ( )0

f x er en konstant og ændrer sig ikke under grænseovergangen.

De to brøker har vi som omtalt styr på ifølge antagelsen.

Og for ( )g x ved vi, at når xx0 vil g x( )g x( )0 . Regneregler for grænseværdier giver os nu:

0

 

0

0 0 0 0 0

0 0

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

f x f x g x g x

g x f x f x g x f x g x

x x x x

          

 

Dvs. 0 0 0 0 0

0

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

h x h x

f x g x f x g x x x

      

Referencer

RELATEREDE DOKUMENTER

På trods af alle reservationer tyder alt på, at for- skellene inden for det nordiske område var mindre end variationerne i mellem fx nor- disk og keltisk religion eller nordisk

ter og en fjerde med favnen fuld af penge, den femte under en flot bil, den sjette foran fjernsynet og den syvende som ville stirre dybt ned i en flaske, men det

Vores samarbejde i forbindelse med projekt Sikkerhed i Centrum (Petersen og Johansen, 2015), der satte fokus på børns inddragelse og deltagelse i væsentlige beslutninger om

version af beviset udnyttede en viden om differentiation af sammensat funktion, der gennemgås i kapitel 5B, afsnit 4.2, hvor det er sætning 24.. Bestem monotoniforhold

Antag, at f og g er kontinuerte og differentiable funktioner med stamfunktionerne F og G, samt afledede funktioner f  og g  , og antag at g

arkivernes verden blev erstattet med en ny faglig ansvarlighed, ja da måtte man frygte, at det åbne kræmmerhus blev skiftet ud med et utilgængeligt elfenbenstårn

Denne artikel vil i korte træk beskrive, hvor- dan de modellerede oversvømmelsesscenarier er frembragt og vise hvordan disse scenarier kan bruges til risikovurdering

Andre eksempler på uhensigtsmæssigt sprogbrug er fx “efter bjergarterne blev dannet”, som foregiver at bjergarterne blev dannet engang i tidernes morgen på trods af, at der