Hvad er matematik? 2
ISBN 9788770668699
website: link fra kapitel 5A - Differentialregning 1 – Om polynomier og monotoniforhold, afsnit 4.2
© 2018 L&R Uddannelse A/S • Vognmagergade 11 • DK-1148 • København K • Tlf: 43503030 • Email: info@lru.dk
Produktreglen bevist med tretrinsreglen
I beviset får vi brug for, at differentiable funktioner også er kontinuerte. Dette er vist i sætning 7 Definition. Kontinuitet i et bestemt punkt
En funktion f siges at være kontinuert i x0, hvis der gælder:
Når xx0 vil f x
f x
0Sætning. Differentiation af et produkt.
Antag funktionerne f og g begge er differentiable i punktet x0. Så er også produktet h f g differentiabel i x0med følgende differentialkvotient:
0 0 0 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
h x f g x f x g x f x g x Bevis.
Ifølge forudsætningerne har vi, at f er differentiabel i x0, og g er differentiabel i x0 dvs.:
Når xx0 vil 0 0
0
( ) ( ) f x f x ( )
x x f x
og 0 0
0
( ) ( ) g x g x ( )
x x g x
Vi får endvidere brug for, at g er kontinuert i x0, dvs.:
Når xx0 vil g x( )g x( )0
Ideen i de omskrivninger der følger nedenfor er, at nå frem til de to udtryk ovenfor for sekanthældningerne for henholdsvis f og g.
Vi undersøger h ved hjælp af tretrinsreglens første version:
1. Opskriv sekanthældningen for funktionen h
00
0 0
( ) ( )
( ) ( ) f g x f g x h x h x
x x x x
2. Omskriv sekanthældningen:
0 0 00 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f g x f g x f x g x f x g x
x x x x
Anvend definitionen på
f g x
( )0 0 0 0
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x f x g x f x g x f x g x
x x
Samme led trækkes fra og lægges til
0
0
0
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f x f x g x f x g x g x x x
Sæt udenfor parentes
0
0
0
0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f x f x g x f x g x g x
x x x x
Anvend brøkregel for sum af brøker
0
0
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
f x f x g x g x
g x f x
x x x x
Anvend brøkregel for at gange på brøker
Vi har nu fået skilt de to brøker ud, der netop er dem vi har styr på, når vi lader xx0.
I det første led ganges ( )g x på brøken. Men pga. at g er kontinuert har vi også styr på denne, når vi lader xx0.
Hvad er matematik? 2
ISBN 9788770668699
website: link fra kapitel 5A - Differentialregning 1 – Om polynomier og monotoniforhold, afsnit 4.2
© 2018 L&R Uddannelse A/S • Vognmagergade 11 • DK-1148 • København K • Tlf: 43503030 • Email: info@lru.dk
3. Lad xx0: ( )0
f x er en konstant og ændrer sig ikke under grænseovergangen.
De to brøker har vi som omtalt styr på ifølge antagelsen.
Og for ( )g x ved vi, at når xx0 vil g x( )g x( )0 . Regneregler for grænseværdier giver os nu:
0
0
0 0 0 0 0
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f x f x g x g x
g x f x f x g x f x g x
x x x x
Dvs. 0 0 0 0 0
0
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
h x h x
f x g x f x g x x x