a) Se Bilag 2!
b) Variablennisoleres
L = 2·z1−α
2 ·
pˆ·(1−p)ˆ n
1/2
L 2·z1−α
2
=
pˆ·(1−p)ˆ n
1/2
L
2·z1−α
2
2
= pˆ·(1−p)ˆ n n = pˆ·(1−p)ˆ
n·
L 2·z1−α
2
2
n =
4ˆp·(1−p)ˆ z21−α 2
n·L2
Opgave 7
a) Data indlæses i Excel hvorefter man laver en pivottabel.
b) Vi opstiller følgende nul-hypotese.
H0: sommerferieplaner er uafhængige af beskæftigelse.
A: sommerferieplaner er afhængige af beskæftigelse.
Dap-værdien er under signifikansniveauet på 5 % vil vi afvise nulhypotesen og konkluderer at der er en sam- menhæng mellem beskæftigelse og sommerferieplaner.
a) Sandsynligheden for at en tilfældigt udvalgt pose vaskepulver vejer mere end 1100 gram er 0.035 .
b) Gennemsnittet i stikprøven er 995 og standardafvigelsen er 61 .
Opgave 9
a) Restegælden beregnes
Rn = A0·(1 +r)n−y·(1 +r)n−1 r
= 320000·1.003372−4368.13·1.003372−1 0.0033
= 51310.17 Restgælden efter 6 år er derfor 51 310.17 kroner.
b) Ydelsen beregnes
y = A0·r 1−(1 +r)−n
= 256000·0.0029 1−1.0029−72
= 3944.80
Ved lån gennem bilforhandleren bliver den månedlige ydelse derfor 3944.80 kroner.
c) Hvis mulighed et benyttes bliver renten 0.33 % og ydelsen på 4368.13 kr. pr. måned skal betales over 7 år.
Hvis mulighed 2 benyttes bliver den effektive rente 0.8·0.29 + 0.2·0.42 = 0.316 eller 31.6 %, og den samlede ydelse bliver 3944.80+1031.90=4976.79 kroner pr. måned som skal betales over 6 år. Hvis familien ikke har råd til at betale en ydelse på 4976.79 kroner pr. måned skal mulighed 1 vælges. Hvis familien vil kunne betale over 4976.79 kroner pr. måned, bør mulighed 1 kun vælges hvis den generelle rente i samfundet forventes at være høj mens lånet afbetales.
a) Funktionerne plottes i GeoGebra og skæring med linjen y = 150 findes som vist på figuren. Importen bestemmes tilM = 6500−2000 = 4500.
b) Ligesom i spørgsmål a) bestemmes importen ved en toldsats på 50 kr. til M = 6000−3000 = 3000.
Toldindtægten er derfor ved 50·3000 til at være 150 000 kroner.
Opgave 11
a) Koordinater til de pågældende punkter kan findes ved hjælp af GeoGebras skæringsværktøj. Det giver følgende koordinatsæt:P = (3,0), Q= (0.5,0) ogR= (1,2).
b) Arealet deles ved hjælp af indskudsreglen vedx= 1.De to delarealer beregnes ved hjælp af GeoGebra til 1.5 og 2.704 så det samlede areal er 4.204 .
a) Niveaukurven ses at være en ellipse med centrum i (350,250) ved at lave følgende omskrivninger.
f(x, y) = 6925
−0.04x2+ 28x−0.09y2+ 45y = 6925
−0.04 x2−700x
−0.09 y2−500y
= 6925
−0.04
(x−350)2−3502
−0.09
(y−250)2−2502
= 6925
−0.04 (x−350)2−0.09 (y−250)2 = 6925−0.04·3502−0.09·2502=−3600
−0.04 (x−350)2
−3600 +−0.09 (y−250)2
−3600 = 1 (x−350)2
90000 +(y−250)2
40000 = 1
(x−350)2
3002 +(y−250)2
2002 = 1
b) Der er frit maksimum i ellipsens centrum. For at opnå det stmulige samlede dækningsbidrag pr. dag skal der således produceres 350 styk A og 250 styk B.
c) For at finde den optimale produktionssammensætning under bibetingelseny ≤ −0.5x+ 350 indsættesy =
−0.5x+ 350 i kriteriefunktionen og toppunktet findes. Den fundne værdi af xindsættes i y = −0.5x+ 350.
Herved ses at det optimale er at producere 296 styk A og 202 styk B.
a) Ladxbetegne antal tons KOMPAKT og lady betegne antal tons NORMAL.
Vi har følgende bibetingelser og positiv betingelser.
1.5x+ 0.5y ≤ 100 x+y ≤ 100
x ≥ 0
y ≥ 0
Kriteriefunktionen erf(x, y) = 1200x+ 1000y.Maksimumspunktet findes ved hjælp af hjørnekontrol.
f(0,0) = 0 f(662/3) = 80000 f(50,50) = 110000 f(0,100) = 100000
Der skal produceres 50 tons KOMPAKT og 50 toms NORMAL for at opnå det størst mulige dækningsbidrag.
b) Vi laver følsomhedsanalyse ved at kalde dækningsbidraget for NORMAL forb således at det samlede dæk- ningsbidrag bliverf(x, y) = 1200x+by.Vi løser uligheden
f(0,100) ≤ f(50,50) 1200·0 +b·100 ≤ 1200·50 +b·50
50b ≤ 1200·50 b ≤ 1200
Dækningsbidraget for NORMAL kan stige op til 1200 kr/ton uden at produktionssammensætningen bør ændres.
Opgave 13B
a) Differentialligningen løses ved hjælp af GeoGebra, hvilket giverK(t) = 2000−2000·exp (−x/25).
b) Det varer ca. 17 timer og 20 min før 1000 personer har fået kendskab til begivenheden.
a) Man laver et xy-plot af data og finder ved lineær regression en linje med ligningen A(x) = 0.20x−0.07.
Mange datapunkter afviger dog ganske betydeligt fra regressionslinjen, hvilket afspejler sig i at determinations- koefficienten er helt nede på 0.25
b)Vi udregner et 95 % konfidensinterval ved ˆ
a±tn−2,1−α/2·ˆa·
1−R2
R2(n−2) 1/2
= 0.1953±2.08·0.1953·
1−0.2451 0.2451·21
1/2
= 0,20±0.16
Konfidensintervallet beregnes således til [0.04;0.36]. Hvis modellen iøvrigt godtages, er konklusionen at uligheden har en tendens til at stige når arbejdsløsheden stiger.
Hele modellen er dog ganske problematisk. For det første kan de 2 lande, som medtages i undersøgelsen, næppe siges at være en stikprøve ud af en langt større population, idet en stikprøve helst ikke skal være mere end 5 % af hele populationen. Endvidere er det ikke klart hvorfor et stort land som USA skal vægte lige så meget som et lille land som Estland. Endelig viser et normalfordelingsplot at stigningen i arbejdsløs dårligt kan modelleres med en normalfordeling.
