Danish University Colleges
Stability and nonlinear systems: reflections on contraction analysis (in french)
Jouffroy, Jerome Pierre Gilles
Publication date:
2002
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Citation for pulished version (APA):
Jouffroy, J. P. G. (2002). Stability and nonlinear systems: reflections on contraction analysis (in french).
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Download date: 24. Mar. 2022
THESE
présentée devant
L'UNIVERSITÉ DE SAVOIE
(arrêté ministériel du 30 Mars 1992)
pour obtenir
Le grade de Docteur
Spécialité : Électronique - Électrotechnique - Automatique par
Jérôme Jouffroy
Stabilité et systèmes non linéaires : Réexions sur l'analyse de contraction
Soutenue le 28 Octobre 2002 devant la Commission d'Examen
D. Thomasset Président (Professeur)
M. Darouach Rapporteur (Professeur)
Y. Touré Rapporteur (Professeur)
T. I. Fossen Examinateur (Professeur)
J. Lottin Examinateur (Professeur)
Thèse préparée au Laboratoire d'Automatique et de Micro-Informatique Industrielle (LAMII) de l'Ecole Supérieure d'Ingénieurs d'Annecy
Remerciements
Tout d'abord, mes remerciements vont au Professeur Jacques Lottin pour avoir été mon directeur de thèse pendant ces trois années, ainsi que pour m'avoir donné ma chance en me laissant choisir mon sujet de thèse.
Merci au Professeur Daniel Thomasset, de l'INSA de Lyon, pour avoir présidé le jury de cette thèse avec brio et panache. Merci aussi aux merveilleux rapporteurs qu'ont été le Professeur Mohamed Darouach, de l'Université Henri Poincaré de Nancy, et le Professeur Youssou Touré, de l'Université d'Orléans, pour leur lecture attentive et rigoureuse de mon mémoire m'ayant permis d'en améliorer la lisibilité et la justesse. Special thanks go to Professor Thor I. Fossen, from the Norwegian University of Science and Technology of Trondheim, as one of my 'control systems heroes', for accepting to be a member of my jury.
Je tiens également à remercier toutes les personnes sans lesquelles cette thèse n'aurait pas été la même. Merci en particulier à Thomas Allevard, Laurence Barjon, Florentin Bujor, Didier Coquin, Elise Ducharne, Pr. Laurent Foulloy, Soumeya Hamlaoui, Olivier Iund, Cédric Join, Eve-Marie Josse, Guillaume Jouroy, Fayçal Megri, Dr. Lionel Valet, Emmanuel Witrant ainsi que tous les membres de ma famille, les encouragements, pour les discussions intéressantes, les amitiés, les nombreux coups de main...
Pour nir, mes remerciements sincères vont au Professeur Jean-Jacques Slotine ainsi qu'à son thésard Winfried Lohmiller pour l'inspiration qu'ils m'ont donnée au travers de leurs articles en me faisant découvrir ce monde fascinant qu'est celui de l'analyse de contraction.
3
Table des matières
1 Introduction 11
2 Représentations 17
2.1 Rappels de quelques concepts de stabilité . . . 18
2.1.1 Que choisir ? . . . 18
2.1.2 Théorie de Lyapunov . . . 19
2.1.3 Passivité, dissipativité . . . 22
2.1.4 Stabilité Entrée-Sortie . . . 25
2.1.5 Stabilité Entrée-État (ISS) . . . 27
2.1.6 Analyse de contraction . . . 29
2.2 Images de la contraction . . . 35
2.2.1 Un mot sur Lyapunov . . . 35
2.2.2 Une vision purement spatiale . . . 36
2.2.3 Contraction et vecteurs . . . 37
2.2.4 Volume de conditions initiales . . . 39
2.2.5 Des exemples simples . . . 40
2.2.6 Analyse vectorielle . . . 44
2.3 Des ancêtres de l'analyse de contraction . . . 48
2.3.1 La métrique stationnaire de Hartman (1961) . . . 48
2.3.2 Le critère de stabilité de Opial (1960) . . . 49
2.3.3 Encadrements de distances par Lewis (1951) . . . 50
2.3.4 Stabilité et métrique de Finsler selon Lewis (1949) . . . 52
2.3.5 Retour vers le futur et l'analyse de contraction . . . 53
3 Passerelles 57 3.1 D'autres formes de stabilité incrémentale . . . 58
3.1.1 Gain incrémental . . . 59
3.1.2 δ−stabilités (δGAS etδISS) . . . 61
3.1.3 Mises en relation . . . 63
5
3.1.4 Dénition et liens supplémentaires . . . 64
3.1.4.1 Une extension simple de l'analyse de contraction . . . 64
3.1.4.2 Systèmes universellement contractants et gain incrémental 65 3.1.4.3 Systèmes universellement contractants et δISS . . . 67
3.2 Formalisme diérentiel pour la stabilité incrémentale . . . 71
3.2.1 Motivations et exemple . . . 71
3.2.2 Une triade diérentielle . . . 74
3.2.2.1 Stabilité interne . . . 75
3.2.2.2 Stabilité externe . . . 76
3.2.2.3 Détectabilité et observateurs . . . 77
3.2.3 Combinaisons . . . 78
3.2.3.1 Cascade . . . 78
3.2.3.2 Versions diérentielles du théorème du petit gain . . . 80
3.3 Vers les systèmes moyennés . . . 84
3.3.1 Suppression de la contrainte de négativité . . . 84
3.3.2 Une valeur propre temporairement positive . . . 87
4 Applications 93 4.1 Méthodes récursives . . . 94
4.1.1 Integrator backstepping et analyse de contraction . . . 94
4.1.2 Un exemple simple . . . 98
4.1.3 Extensions possibles . . . 100
4.1.4 Backstepping en diérentiel . . . 102
4.2 Systèmes marins . . . 105
4.2.1 L'observateur de Fossen et Blanke . . . 105
4.2.2 Un observateur pour les bateaux . . . 108
5 Conclusion 117
Bibliographie 123
Table des gures
2.1 Combinaison en parallèle . . . 23
2.2 Combinaison en feedback . . . 24
2.3 Représentation d'un système non linéaire du point de vue entrée-sortie . . 25
2.4 Combinaison en feedback et théorème du petit gain . . . 27
2.5 Vision spatiale et vision spatio-temporelle . . . 36
2.6 Matrices dénies négatives et vecteurs . . . 38
2.7 Vers le volume des conditions initiales . . . 39
2.8 Evolution de ots de trajectoires dans un espace de dimension 3 . . . 40
2.9 Contraction d'un volume de conditions initiales pour un système linéaire avec des valeurs propres diérentes . . . 41
2.10 Eet de la propriété de combinaison par feedback . . . 42
2.11 Système contractant plat . . . 43
2.12 Système non linéaire commandé . . . 44
2.13 Application de l'opérateur rotationnel sur un système de dimension 3 . . . 45
2.14 Application de l'opérateur divergence sur un système de dimension 3 . . . 46
3.1 Lyapunov, δGAS et contraction dans un espace de dimension 2 . . . 62
3.2 Système d'une boule en lévitation magnétique . . . 71
3.3 Simulation de l'observateur de la boule en lévitation . . . 73
3.4 Représentation de deux systèmes non linéaires mis en cascade . . . 78
3.5 Combinaison en feedback et théorème du petit gain diérentiel . . . 81
3.6 Evolution de la norme de l'état du système (3.150) . . . 90
4.1 Propulseur et grandeurs associées . . . 106
4.2 Le navire et ses coordonnées . . . 109
4.3 νˆpour l'observateur contractant . . . 112
4.4 νˆavec l'observateur obtenu à partir d'une fonction Lyapunov . . . 112
4.5 νˆpour un observateur contractant après robustication . . . 113
7
Chapitre 1 Introduction
L'automatique comporte un certain nombres d'outils théoriques permettant de pré- voir mais aussi d'appliquer ses concepts an de remplir les objectifs qui sont en relation directe avec elle. Ces outils sont nécessaires à l'élaboration d'un asservissement sur un procédé particulier et sont présents à diérents stades de celle-ci. Comme exemples de sous-domaines où l'on peut rencontrer ces outils théoriques, citons la modélisation de sys- tèmes, l'identication des paramètres d'un procédé, la construction de lois de commande, le réglage de paramètres de ces lois, la vérication de la stabilité du système asservi,... , cette liste n'étant bien entendu pas exhaustive.
Le dernier cas que l'on vient de citer, i.e. la vérication de la stabilité d'un système, est un point crucial de l'élaboration d'une loi de commande. Pour paraphraser Willems (Willems, 1971a, p. 101), il apparaît même que toutes les techniques de construction de lois de commande ou d'observation sont étroitement liées à des considérations de stabi- lité.
Lorsque ces systèmes sont représentés par des équations diérentielles non linéaires, le problème de la vérication de la propriété de stabilité n'est pas trivial. D'une part, et contrairement aux systèmes linéaires, il n'existe pas, à l'heure actuelle, de méthode gé- nérale pour déterminer de manière systématique la stabilité. D'autre part, toujours en comparaison des systèmes linéaires, parler de système non linéaire stable peut paraître vague et constituer un abus de langage. En eet, dû au comportement non homogène du système non linéaire sur l'espace d'état, l'étude de la stabilité revient à se poser les ques- tions corollaires : par rapport à quel attracteur (sachant qu'il peut y en avoir plusieurs), i.e. un point d'équilibre, un cycle limite, une trajectoire désirée ?, ou encore dans quelle zone de l'espace d'état la propriété de stabilité est-elle garantie ?
Bien entendu, des outils théoriques ainsi que des formulations mathématiques parfois
11
relativement sophistiquées sont à notre disposition pour analyser la présence ou l'absence de cette propriété sur diérentes classes de systèmes. En recherche, des propositions d'ou- tils théoriques pour la stabilité sont apparues dans la littérature avec pour chacune d'elle un aspect et des conditions diérentes.
Parmi ces outils, la théorie de Lyapunov et ses célèbres fonctions dites de Lyapunov ont pris une importance considérable quant à leur développement théorique et leur utilisation pour résoudre des problèmes concrets tels que la stabilisation d'un système non linéaire par exemple. Un des inconvénients du formalisme des fonctions de Lyapunov est qu'il est bâti sur l'hypothèse de départ qui est que le système comporte un attracteur qui doit être un point d'équilibre situé sur l'origine de l'espace d'état. Si cette restriction convient pour les systèmes linéaires, il n'en va pas de même pour les systèmes non linéaires dont la diversité dans les comportements est grande.
Aussi, d'autres propositions ont été élaborées pour décrire et vérier la propriété de sta- bilité d'un système. A chaque nouvelle proposition, l'utilisateur désireux d'en savoir un peu plus peut être amené à se demander en quoi ce nouvel outil se diérencie des autres précédemment proposés. Ensuite, il voudrait peut-être aussi savoir s'il peut réutiliser les outils théoriques qu'il connaissait déjà pour les combiner avec les nouveaux résultats, conduisant à chercher des relations d'équivalence ou tout au moins d'implication entre divers outils d'analyse de stabilité. Enn, il est possible que ce même utilisateur parce qu'il a des soucis d'ordre pratique qui sont l'élaboration de structures de contrôle sur un procédé particulier souhaite connaître les cas où il est intéressant ou possible d'appliquer le nouvel outil théorique.
L'analyse de contraction, que l'on appellera aussi théorie de la contraction, ou plus sim- plement contraction, fait partie des outils pour analyser la stabilité qui ont été récemment proposés (voir (Lohmiller and Slotine, 1998) pour la principale référence). L'objectif de la présente étude est de tenter de répondre aux interrogations de l'utilisateur mention- nées dans le paragraphe précédent. En eet, il apparaît que lors des premières prises de connaissances de ce qui dénit l'analyse de contraction, l'avantage essentiel est qu'il s'agit d'une approche diérentielle permettant d'étudier le caractère stable d'un système indépendamment de son attracteur, et qui présente donc dans ce sens un caractère plus général que la théorie de Lyapunov.
Établir des liens entre la contraction et d'autres formes de stabilité est une des prin- cipales motivations de notre étude, et ce pour deux principales raisons. Tout d'abord, pour comprendre une théorie, il est souvent utile de la resituer par rapport à l'existant
13
ou le connu, an d'intégrer pleinement ses signications et ses implications. Ensuite, d'un point de vue plus pratique ou pragmatique, il serait intéressant, à terme, de pouvoir choi- sir le meilleur de chaque concept et critère de stabilité dans le but ultime de résoudre le plus de problèmes diérents possibles. Pour cela, il faut, pour chaque forme de stabilité, connaître ses qualités, mais aussi ses défauts.
L'autre contribution principale de cette étude consiste en la proposition d'une exten- sion de la contraction permettant de prendre en compte de manière simple et explicite les entrées du système, considérant ainsi le caractère robuste du système. Les conséquences pratiques d'une telle prise en compte sont évidentes car cela revient à estimer avec quelle marge d'erreur le système reste stable.
Après cette introduction, la démarche est présentée au travers de trois chapitres. Le cha- pitre 2 commence par une brève description, ou un rappel, de quelques concepts impor- tants de stabilité, avec, en n de parcours, une présentation des principaux résultats de la contraction, pour que le lecteur puisse se faire sa propre idée et disposer d'un panorama de grandes tendances du monde de la stabilité en automatique.
Ensuite, nous nous sommes concentrés sur l'analyse de contraction en nous penchant sur une interprétation visuelle que l'on pouvait en faire.
Pour nir ce chapitre, nous avons mis en valeur des travaux antérieurs à la théorie de la contraction qui étaient étroitement liés avec celle-ci, pour préciser la primauté et les origines de ce concept.
Le chapitre 3 commence par mettre en évidence le fait qu'il existe d'autres outils qui présentent un objectif commun avec celui de la contraction, à savoir étudier le compor- tement de trajectoires entre elles, indépendamment d'un attracteur spécique. Ces outils peuvent être rangés sous l'appellation stabilité incrémentale. Une partie est consacrée à l'élaboration de passerelles entre la contraction et ces autres approches.
Par la suite, grâce à la notion de système universellement contractant introduite dans ce mémoire, nous présentons une extension de la contraction permettant d'adopter un for- malisme entrée-état et/ou entrée-sortie nous conduisant à considérer les caractéristiques dynamiques d'un système sous diérents aspects (stabilité interne, externe, et le rapport avec les observateurs).
Pour clore ce chapitre, nous avons enn introduit un critère moins restrictif permettant d'étudier les cas où la condition de contraction n'est pas réalisée.
Dans le chapitre 4, nous abordons la problématique des applications en traitant deux
exemples particuliers. Le premier consiste en l'étude de l'utilisation des critères de la contraction pour la technique de commande dénommée backstepping avec deux dé- marches diérentes. L'une utilise la procédure de construction de loi de commande de manière stricte en prenant la contraction comme simple outil d'analyse. La démarche suivante s'appuie elle sur le formalisme diérentiel de la contraction pour construire de manière relativement simple un retour d'état diérentiel, reléguant les dicultés à la phase d'implantation et à l'intégration numérique de ce retour d'état.
Le deuxième exemple de ce chapitre concerne la construction d'observateurs pour des sys- tèmes marins. Outre le fait d'augmenter le nombre d'applications traitées en utilisant la contraction, on montre qu'en partant de deux procédés diérents, une partie propulsion d'un navire et un modèle de navire, il est possible d'obtenir des résultats identiques à ceux qui sont obtenus par des fonctions de Lyapunov.
Chapitre 2
Représentations
Une des étapes du travail de l'automaticien consiste très souvent à étudier la stabi- lité, que cela soit celle du système considéré tel quel, libre de tout contrôle, ou bien celle du même système augmenté d'une structure de commande particulière. Dès lors, il peut s'avérer utile, voire nécessaire, de se demander ce qu'est la stabilité. Comment la dénit- on ? Comment la conceptualiser et la formaliser ? Quels sont les critères qui permettent de conclure au comportement stable d'un système ? Est-ce qu'un type de stabilité est meilleur qu'un autre ? Il peut aussi être intéressant de donner un sens, une interprétation à une forme particulière de stabilité pour pouvoir mieux la comprendre, la cerner.
Un des objectifs de notre démarche étant justement de mieux comprendre et de tenter de faire mieux comprendre l'analyse de contraction, on exposera ici un ensemble d'idées nous permettant de nous représenter ce qu'est cette analyse, que ce soit du point de vue du formalisme utilisé par rapport à d'autres existants, du point de vue de son interprétation physique, ou encore de travaux antérieurs à sa conception et qui peuvent s'y rapporter.
Pour ce faire, nous commencerons ce chapitre par la présentation succincte de quelques concepts de stabilité pour systèmes non linéaires qui sont largement utilisés et répan- dus dans la communauté automaticienne, et ce dans l'ordre chronologique d'apparition de ces concepts, en terminant par un exposé des principaux résultats de la théorie de la contraction. Cette énumération permettra de situer cette dernière par rapport aux grands courants de la stabilité en automatique. Dans la partie suivante, il sera question de la construction d'interprétations graphiques pour mieux visualiser l'analyse de contraction, et notamment voir le terme contraction. Enn on abordera dans une dernière partie des travaux antérieurs à ceux de Lohmiller et Slotine qui auraient pu aboutir à la présente théorie telle qu'on la connaît aujourd'hui. Cette brève perspective historique est de notre point de vue intéressante car elle permet de déterminer quelle est la véritable originalité
17
de la contraction.
2.1 Rappels de quelques concepts de stabilité
2.1.1 Que choisir ?
Il est clair que dresser l'inventaire le plus complet possible des formes de stabilité qui ont pu apparaître tout au long de l'histoire de l'automatique mais aussi de la mécanique dépasserait largement le cadre du présent mémoire. Nous avons fait le choix d'esquisser un portrait de famille des concepts qui ont de notre point de vue le plus marqué la discipline.
Ne seront donc pas incluses dans cette présentation la méthode de Krasovskii (Slotine and Li, 1991, p. 83-86), la méthode de comparaison (Khalil, 1996, section 5.4), les per- turbations singulières (Khalil, 1996, chapitre 9), la stabilité UUB (Uniformly Ultimately Bounded) (Canudas et al., 1996, p. 371 ), les fonctions descriptives (Slotine and Li, 1991, chapitre 5), etc...
Comme il n'est pas non plus envisageable d'être exhaustif sur chaque espèce de sta- bilité, on n'abordera que ce qui est le plus caractéristique d'une théorie particulière, et ce de la manière la plus simple possible, tout en donnant les éléments qui orent la pos- sibilité de la relier aux autres théories qui sont présentées ainsi que ceux qui seront par la suite utilisés au cours de cette étude. Ces éléments seront aussi présents dans l'exposé de la théorie de la contraction qui clôturera cette partie du chapitre. Par ailleurs, on ne présentera pas les preuves des divers résultats énoncés dans cette partie, et on supposera que les conditions d'existence et d'unicité des solutions des systèmes d'équations diéren- tielles considérés sont partout vériées.
Du point de vue de la notation, on décrira une de ces solutions dépendant du temps t, du temps initialt0 et de la valeur initiale qui lui correspond x0 par la fonction x(t, t0, x0) oux(t, t0, x0, u)lorsque le système est commandé. De plus, nous utiliserons fréquemment, pour alléger l'écriture, les abus de notation x(t)ou même x, quand l'évidence des dépen- dances en t0, x0 ou t nous le permettra. De même, on considérera que dans la majorité des cas et sauf exception, le temps initial t0 est l'origine des temps (t0 = 0).
2.1. RAPPELS DE QUELQUES CONCEPTS DE STABILITÉ 19
2.1.2 Théorie de Lyapunov
Il n'était pas vraiment concevable de commencer cet exposé sans aborder la théorie de Lyapunov qui est considérée comme un des piliers de l'Automatique et de la stabilité des équations diérentielles ordinaires en général. Pour illustrer ce fait, notons par exemple qu'au cours du dernier congrès IEEE Conference on Decision and Control 2001, congrès bien connu des chercheurs en Automatique, sur 917 articles, on en dénombre 318 qui uti- lisent ou font référence à cette théorie, ce qui représente près de 35 % des études présentées.
L'exposé original de la théorie de Lyapunov date de 1892 (voir (Lyapunov, 1892)) et traite de l'étude du comportement des solutions d'équations diérentielles pour des condi- tions initiales diérentes. Une des applications envisagées étant l'étude des librations en astronomie 1, l'accent y est porté sur la stabilité ordinaire (c'est-à-dire stable mais non asymptotiquement stable), que l'on peut se représenter comme une robustesse par rap- port aux conditions initiales, et la stabilité asymptotique n'y est abordée que de manière corollaire (Lyapunov, 1892, p. 1-7).
Les us et coutumes des automaticiens ayant fait inverser cette préférence, nous nous concentrerons ici sur la notion de stabilité asymptotique. Notons que des exposés beau- coup plus complets de la théorie de Lyapunov existent dans de nombreux ouvrages (voir par exemple (Benalegue et al., >1987; Hahn, 1967; Khalil, 1996; Luenberger, 1979; Slotine and Li, 1991; Vidyasagar, 1993)).
La classe des systèmes considérés sera celle des systèmes pouvant être mis sous la forme de l'équation diérentielle ordinaire suivante.
˙
x=f(x, t) (2.1)
oùx∈Rn et f est une fonction non linéaire. Cette forme, de par la présence explicite de la variable temporellet, sera susceptible d'évoluer au cours du temps et sera donc qualiée de non-stationnaire. Pour cette équation, le point de l'espace d'état x = 0 est un point d'équilibre s'il vérie
f(0, t) = 0,∀t ≥0 (2.2)
Dénissons à présent la notion de stabilité au sens de Lyapunov. Précisons que dans ce qui suit, on considère une version uniforme de la stabilité. Cette version est directement liée à la non-stationnarité de l'équation (2.1) et au fait que ce que l'on recherche en général
1En astronomie, les librations sont de petites oscillations des corps célestes autour de leur orbite.
est un comportement du système qui est le même, quel que soit l'instant initial considéré.
Dénition 2.1.1 Le point d'équilibre x = 0 du système d'équations x˙ = f(x, t) est dit Uniformément Asymptotiquement Stable si toute trajectoire solution du système comprise dans une boule de rayon R de grandeur quelconque et initialisée en x0 dans une boule de rayon R0 dépendant de R converge vers le point d'équilibre quand t tend vers l'inni.
De plus, le point d'équilibre déjà mentionné est dit Globalement Uniformément Asymp- totiquement Stable si le rayonR0 de la boule des conditions initiales est inni, c'est-à-dire si celle-ci correspond à tout l'espace d'état.
A présent que le concept de stabilité au sens de Lyapunov est déni, il s'agit maintenant d'obtenir un critère qui permettra de conclure ou non à la présence du concept de sta- bilité, sans que l'intégration des équations du système considéré soit nécessaire, une telle intégration se révélant beaucoup trop lourde, même quand elle est possible.
Dans la théorie de Lyapunov, un des critères présentés consiste en l'étude d'une fonction notée V(x, t), liée au système considéré, que l'on appelle fonction de Lyapunov. Si cette fonction remplit certaines conditions, alors le point d'équilibrex= 0 du système est qua- lié de stable.
Une des formes du théorème décrivant ce critère passe par l'utilisation des fonctions de classe K etK∞. Nous en donnons une dénition ci-après (Khalil, 1996, p. 135).
Dénition 2.1.2 Une fonction continue α(r) où r appartient à l'intervalle [0;a[⊂R est dite de classeKsi elle est strictement croissante et si α(0) = 0. Elle appartient à la classe K∞ si a=∞ et si α(r) tend vers l'inni quand r tend vers l'inni.
Le théorème peut alors être énoncé comme suit.
Théorème 2.1.1 Supposons qu'une fonction V(x, t)ait ses dérivées premières continues autour du point d'équilibre x = 0. Alors si on peut trouver des fonctions α, γ et β de classe K telles que les conditions suivantes soient vériées
α(||x||)≤V(x, t)≤β(||x||) (2.3)
V˙(x, t)≤ −γ(||x||) (2.4)
le point d'équilibre x= 0 est Uniformément Asymptotiquement Stable (UAS).
Le corollaire qui suit permet de travailler sur tout l'espace d'état.
2.1. RAPPELS DE QUELQUES CONCEPTS DE STABILITÉ 21
Corollaire 2.1.1 Si de plus, α est de classe K∞, alors le point d'équilibre x = 0 est Globalement Uniformément Asymptotiquement Stable (GUAS).
La dénition 2.1.1 ne permet malheureusement pas de savoir à quelle vitesse une trajec- toire va converger vers le point d'équilibre. C'est pourquoi on a souvent recours à une restriction, importante sur le plan pratique, qui permet de quantier le taux de conver- gence. Cette forme de stabilité, qui est aussi importante pour ses relations particulières avec l'analyse de contraction, est nommée stabilité exponentielle.
Dénition 2.1.3 Le point d'équilibre x = 0 est exponentiellement stable s'il existe une constante positive c et une constante négative λ telles que, à tout instant et pour tout x0 compris dans une boule de rayon R0, l'inégalité suivante soit vériée.
||x(t)|| ≤c||x0||eλt (2.5)
Le point d'équilibre est évidemment décrit comme étant Globalement Exponentielle- ment Stable (GES) si la condition précédente (inéquation (2.5)) est vériée pour toute condition initiale x0 de l'espace d'état.
Pour la stabilité exponentielle, le théorème 2.1.1 se réduit alors au nouveau théorème : Théorème 2.1.2 Supposons que les dérivées partielles ∂f∂x et ∂f∂t de x˙ = f(x, t) soient bornées, et ce à tout instant et pour toute valeur de x comprise dans une boule de rayon R0. S'il existe quatre constantes positives c1, c2, c3 et c4 telles que
c1||x||2 ≤V(x, t)≤c2||x||2 (2.6)
V˙(x, t)≤ −c3||x||2 (2.7)
¯¯
¯¯
¯¯
¯¯∂V
∂x
¯¯
¯¯
¯¯
¯¯≤c4||x|| (2.8)
à tout instant et pour tout||x|| ≤R0, alors le point d'équilibrex= 0 est exponentiellement stable.
Parmi les diérentes interprétations que l'on peut avoir des fonctions de Lyapunov, on trouve le plus souvent celle de la fonction qui représente l'énergie, ou une certaine forme d'énergie du système (Slotine and Li, 1991).
Moins fréquente est celle que l'on trouve dans (Hahn, 1967, p. 93-94) qui constitue une approche dont le sens est plus géométrique. En eet, on regarde une fonction de Lyapunov comme une sorte de bol dont le minimum coïncide avec le point d'équilibre. Si ce point est
stable, alors le vecteur vitesse x˙, tangent à toute trajectoire va pointer vers l'intérieur du bol. Géométriquement, cela revient à dire qu'il sut que le cosinus de l'angle entre le vecteur vitesse et le vecteur gradient du bol est négatif à tout instant. Si cela n'est pas vérié, on ne peut conclure, et il faut alors trouver une nouvelle fonction de Lyapunov, autrement dit trouver un autre bol où cette condition d'angle va se vérier (voir aussi, en rapport avec cette notion, la généralisation des fonctions de Lyapunov présentée dans (Banks et al., 1996)).
Une autre interprétation intéressante est celle qui consiste à regarder les fonctions de Lya- punov comme des distances ou métriques entre deux points de l'espace d'état (Benalegue et al., >1987). Sous certaines conditions, les trois axiomes d'une métrique sont vériés (identité, symétrie, inégalité triangulaire), et étudier la stabilité asymptotique revient alors à étudier la décroissance d'une distance initiale entre un point de l'espace d'état et le point d'équilibre.
Enn, remarquons aussi que dans son ouvrage (Luenberger, 1979), Luenberger souligne l'importance des fonctions scalaires qui résument la dynamique des systèmes dans divers domaines de la science (thermodynamique, économie, génétique des populations, etc...). Il fait aussi remarquer que cette notion n'est pas uniquement utilisée à des ns de stabilité asymptotique, mais qu'elle peut servir à d'autres ns, notamment pour encadrer, et donc prévoir la dynamique de manière quantitative.
2.1.3 Passivité, dissipativité
La notion de passivité est essentiellement liée aux notions d'énergie accumulée au sys- tème considéré et d'énergie apportée par des sources extérieures à celui-ci (Sepulchre et al., 1997, p. 27-28). Une des références principales de l'utilisation du concept de passivité en Automatique est (Popov, 1962). La dissipativité, extension de ce concept, est dévelop- pée dans les travaux de (Willems, 1972).
Cette notion englobant à la fois l'état, les entrées, et les sorties, les systèmes étudiés pourront être de la forme
Σ
( x˙ =f(x, u)
y =h(x, u) (2.9)
oùx∈Rn et u, y ∈Rm. Le système est initialisé en x(0) =x0.
Un système dissipatif est alors déni comme suit (Sepulchre et al., 1997)
2.1. RAPPELS DE QUELQUES CONCEPTS DE STABILITÉ 23
Σ1
-
Σ2
-
½¼
¾»?
6
-
y2 y1
u + y
+
Fig. 2.1 Combinaison en parallèle
Dénition 2.1.4 Le système Σ est dit dissipatif s'il existe une fonction dite de stockage S(x) qui soit positive et telle que S(0) = 0, et une fonction w(u, y), localement intégrable pour tout u, telles que la condition suivante soit réalisée
S(x)−S(x0)≤ Z t
0
w(u(τ), y(τ))dτ (2.10)
sur tout l'intervalle [0, t].
SiS(x) est diérentiable, l'expression (2.10) peut être mise sous la forme
S(x)˙ ≤w(u, y) (2.11)
Une particularisation de w permet de dénir la passivité d'un système.
Dénition 2.1.5 Le systèmeΣest dit passif s'il est dissipatif et si la fonctionws'exprime par w(u, y) =uTy.
Un des points forts des systèmes dissipatifs est qu'ils supportent les combinaisons de manière simple. Ceci s'avère très utile dans de nombreux cas, notamment pour examiner la robustesse d'une loi de commande, pour synthétiser une loi de commande, etc... Ainsi, les interconnections de type parallèle et de type feedback ont une importance signicative dans la construction de lois de commande.
Σ1
- -
Σ2
y
u2 y1 u1
y2 r
½¼
¾»
6 -+
−
Fig. 2.2 Combinaison en feedback
Concrètement, si deux systèmes dissipatifs Σ1
(
˙
x1 =f1(x1, u1)
y1 =h1(x1, u1) (2.12)
et
Σ2
( x˙2 =f2(x2, u2)
y2 =h2(x2, u2) (2.13)
sont connectés en parallèle (u1 =u2 =u,y=y1+y2, voir gure 2.1 page précédente) en un système global
ΣP AR
˙
x1 =f1(x1, u)
˙
x2 =f2(x2, u)
y=h1(x1, u) +h2(x2, u)
(2.14)
alors le système ΣP AR est dissipatif.
De même, si (2.12) et (2.13) sont maintenant connectés en feedback avec une entrée r (u1 =r−y2,u2 =y1, voir gure 2.2), alors le nouveau système
ΣF DBK
˙
x1 =f1(x1, r−y2)
˙
x2 =f2(x2, y1) y1 =h1(x1, r−y2) y2 =h2(x2, y1)
(2.15)
2.1. RAPPELS DE QUELQUES CONCEPTS DE STABILITÉ 25
- H -
u y
Fig. 2.3 Représentation d'un système non linéaire du point de vue entrée-sortie est dissipatif.
A noter que des liens entre les fonctions de Lyapunov et la dissipativité ont été mis en évidence (voir par exemple (Khalil, 1996)).
2.1.4 Stabilité Entrée-Sortie
Un des articles considérés comme fondateurs de la stabilité entrée-sortie est celui qu'a écrit Georges Zames en 1966 (voir (Zames, 1966)), même si d'autres travaux antérieurs méritent d'être mis en rapport avec celui-ci (voir à ce propos (Bongiorno, 1963; Sand- berg, 1964)).
La philosophie de ce concept de stabilité consiste à regarder, à l'instar de certaines tech- niques de l'automatique linéaire, un système comme une boîte noire munie d'entrées et de sorties (voir gure 2.3), sans se préoccuper de savoir ce qui se passe à l'intérieur.
Comme l'approche est essentiellement de type transfert, les systèmes considérés seront décrits par l'équation
y=Hu (2.16)
oùu(t) ety(t)représentent respectivement l'entrée et la sortie du système H. Pour tenir compte de l'état initial x0 du système, on trouve aussi la notation Hx0. Ces signaux sont décrits comme appartenant aux espaces Lp qui sont dénis par la norme du même nom notée || • ||Lp dont l'expression est donnée par
||u||Lp = µZ ∞
0
||u(t)||pdt
¶1
p
<∞ (2.17)
où|| • || est la norme euclidienne. L'espace des fonctions de carré intégrable, aussi appelé d'énergie nie, fait bien entendu partie des espaces Lp oùp= 2. Par la suite, et par souci d'interprétabilité et de simplicité, on se restreindra aux signaux deL2. Comme les signaux d'amplitude constante sont très importants en contrôle, notamment pour des consignes, et qu'ils ne sont pas d'énergie nie, on a recours aux espaces L2 étendus notés L2e qui sont tels que si la troncature temporelle et causale d'un signalu(t)appartient àL2, alors le signal u(t)appartient lui-même à L2e. Formellement, on écrit
L2e ={u|uτ ∈ L2,∀τ ≥0} (2.18)
Si le signal uτ est de dimension 2 et qu'il appartient à L2, alors on note
u(t)∈ L22e (2.19)
Dès lors le systèmeHest considéré comme un opérateur causal non linéaire (exH :L2e→ L2e pour un système mono-entrée mono-sortie).
Un système est dit stable au sens entrée-sortie si à une entrée bornée correspond une sortie bornée. Une des manières de formaliser ceci consiste à dénir une forme de stabilité entrée-sortie en rapport avec le gain ni du système :
Dénition 2.1.6 Un système Hx0 est dit stable au sens gain ni s'il existe 2 nombres positifs β et γ tels que
||Hx0u||L2e ≤β||u||L2e +γ (2.20) quel que soit u∈ L2e.
Le rôle du terme γ est de prendre en compte la valeur initiale x0 tandis que β est appelé gain du système.
Un des buts originels de la dénition de la stabilité entrée-sortie est de transposer au domaine non linéaire des critères tels que celui de Nyquist pour les systèmes bouclés en feedback. Ainsi, en connectant deux systèmes d'opérateursH1 etH2 en boucle (voir gure 2.4), une condition simple sur le gain associé à chaque système permet de garantir le gain ni de la structure globale. Ce résultat est appelé théorème du petit gain (Zames, 1966).
Théorème 2.1.3 Soient 2 systèmes H1 et H2, d'entrées e1 et e2, et de sorties y1 et y2. S'ils sont connectés et que 2 nouvelles entrées u1 et u2 sont rajoutées telles que
u1 =e1+y2 (2.21)
u2 =e2−y1 (2.22)
2.1. RAPPELS DE QUELQUES CONCEPTS DE STABILITÉ 27
H1
- -
H2
e2 y1 e1
y2 u1
u2
½¼
¾»
? 6
½¼
¾»
-+
−
+ +
Fig. 2.4 Combinaison en feedback et théorème du petit gain alors si les gains respectifs β1 et β2 des 2 systèmes sont tels que
β1β2 <1 (2.23)
le système global a un gain ni.
Ce théorème est utile à plus d'un titre, comme par exemple pour étudier la robustesse des systèmes non linéaires. Notons la ressemblance entre le théorème du petit gain et la connexion en feedback de deux systèmes passifs. En fait, cela est sans doute dû à la possibilité d'exprimer passivité et dissipativité dans le formalisme des opérateurs causaux non linéaires.
2.1.5 Stabilité Entrée-État (ISS)
Comme on l'a vu précédemment, les concepts de passivité et de dissipativité per- mettent une approche générale de la stabilité en ce sens qu'ils incluent dans leur forma- lisme l'état, les entrées et les sorties. La prise en considération de l'impact des entrées est particulièrement importante car ce sont elles qui, conjointement aux conditions initiales, inuent sur l'état du système, et donc sur les sorties. En 1989, Sontag propose le concept de stabilité entrée-état (ISS Input-to-State Stability) pour prendre en compte ce fait im- portant (Sontag, 1989). Bien qu'étant assez proche au point de vue de la philosophie de
la dissipativité, la stabilité entrée-état adopte un formalisme résolument diérent.
Les systèmes d'équations diérentielles considérés ne contiennent pas d'équation de sortie et prennent la forme
˙
x=f(x, u, t) (2.24)
où
f(0,0, t) = 0,∀t≥0 (2.25)
L'ISS peut se décrire sous diverses formes (Sontag, 1995). Cela va de l'utilisation des fonctions de Lyapunov intégrant le signal de commande aux marges de stabilité non linéaires. L'une d'elles s'exprime simplement et intuitivement à l'aide des fonctions de classe KL dont la dénition est donnée ci-après.
Dénition 2.1.7 Une fonction continue β(r, t) est dite de classe KL si pour tout t0 xé β(r, t0) ∈ K, et si pour tout r0 xé, β(r0, t) est décroissante et que β(r0, t) tend vers 0 quand t tend vers l'inni.
Cette dénition nous permet alors de donner celle de la stabilité au sens entrée-état.
Dénition 2.1.8 Le système d'équations x˙ =f(x, u) est stable au sens entrée-état (ISS) par rapport à l'entréeu s'il existe une fonction β de classe KL et une fonctionσ de classe K telles que, pour tout vecteur initial x0 et pour toute entrée u continue et bornée à tout instant, la solution du système existe et vérie la condition
||x(t)|| ≤β(||x0||, t) +γ µ
sup
0≤τ≤t
||u(τ)||
¶
(2.26)
Par rapport à la stabilité asymptotique traditionnelle, la contrainte liée à la propriété ISS est plus forte puisqu'il s'agit de garantir que l'état reste borné si l'entrée est bornée, ce qui est loin d'être évident pour les systèmes non linéaires en général. Une autre propriété intéressante est que la convergence asymptotique du signal d'entrée u vers 0 implique la convergence asymptotique vers 0 de x.
Le lemme suivant concerne l'interconnexion en cascade de deux systèmes stables au sens entrée-état.
Lemme 2.1.1 Soit le système déni par (
˙
x1 =f1(x1, x2, u, t)
˙
x2 =f2(x2, u, t) (2.27)
2.1. RAPPELS DE QUELQUES CONCEPTS DE STABILITÉ 29
Supposons que le sous-système x˙1 est ISS par rapport à x2 etu, alors que le sous-système
˙
x2 est ISS en u, c'est-à-dire si
||x1|| ≤β1(||x10||, t) +γ1 µ
sup
0≤τ≤t
{||x2(τ)||+||u(τ)||}
¶
||x2|| ≤β2(||x20||, t) +γ2 µ
sup
0≤τ≤t
||u(τ)||
¶ (2.28)
où β1 et β2 sont des fonctions de classe KL et γ1, γ2 des fonctions de classe K. Alors le système global est ISS.
Des restrictions très simples peuvent être considérées pour le lemme précédent. Par exemple, si pour les deux sous-systèmes considérés on enlève la commande représentée par u et que le premier sous-système est ISS pendant que le deuxième est GUAS, alors on pourra conclure que le système global est aussi GUAS.
Par ailleurs, il existe aussi un analogue du théorème du petit gain pour l'ISS où deux systèmes ayant la propriété ISS mis en boucle sont ensemble ISS pourvu qu'ils remplissent certaines conditions.
On l'aura compris, ce dernier concept de stabilité, l'ISS, regroupe un ensemble de pro- priétés intéressantes pour le contrôle telles que stabilité asymptotique, robustesse, inter- connections, gains non linéaires, etc... A notre sens, le seul défaut que peut présenter l'ISS est celui de requérir un point d'équilibre à l'origine, ce qui peut poser des problèmes de calcul, notamment pour le suivi de trajectoires.
2.1.6 Analyse de contraction
Jusqu'ici, on examinait le comportement stable des systèmes en optant pour une ap- proche intégrale du ot des trajectoires en considérant des distances nies, comme par exemple deux conditions initiales distinctes nies et séparées par une distance nie. On pourrait tout aussi bien considérer le comportement de deux trajectoires voisines et ini- tialement séparées par une distance innitésimale, et, dans le cas où elles convergent l'une vers l'autre, conclure à la convergence de deux trajectoires séparées par une distance - nie. C'est l'une des idées majeures présente dans l'analyse de contraction (Lohmiller and Slotine, 1998).
Dans cette partie, les systèmes que l'on étudie sont de la forme
˙
x=f(x, t) (2.29)
x représente naturellement l'état de dimension nie du système et f une fonction dont toute dérivée totale ou partielle existe et est continue. A l'instar des fonctions de Lyapu- nov, la commande est ici implicitement représentée dans la mesure où tout signal d'entrée d'un système dépend soit de l'état (par feedback), soit du temps, soit des deux (u(x, t)).
La stabilité est essentiellement étudiée au travers de la relation diérentielle exacte sui- vante
δx˙ = ∂f
∂x(x, t)δx (2.30)
où δx est un déplacement innitésimal pour un instant donné. Si on exprime l'état x comme une évolution dépendant à la fois de l'état initial x0 et du temps (x(x0, t)), alors δx sera déni par (Lohmiller and Slotine, 2000a)
δx= ∂x
∂x0dx0 (2.31)
Toujours dans l'équation (2.30), ∂f∂x représente évidemment la matrice Jacobienne de la fonction non linéaire f. Par la suite, pour mieux coller à la terminologie employée dans (Lohmiller and Slotine, 1998), on se permettra l'abus de langage consistant à employer indiéremment Jacobien ou matrice Jacobienne pour désigner ∂f∂x 2.
Le premier critère inventé dans le cadre de la théorie de la contraction (Lohmiller and Slotine, 1996c) consiste à dire que si, pour toute valeur dexet det, le Jacobien du système est uniformément déni négatif, alors le système sera dit contractant et les trajectoires du système convergeront toutes les unes vers les autres, et ce de manière exponentielle.
L'étude de (2.30) conduit à une condition susante mais non nécessaire pour assurer la convergence des trajectoires du système. Ceci a conduit Lohmiller et Slotine à faire intervenir la transformation diérentielle suivante (Lohmiller and Slotine, 1998)
δz= Θ(x, t)δx (2.32)
pour obtenir la matriceF, que l'on nommera Jacobien généralisé, et étudier la convergence dans la dynamique des δz
δz˙=F δz (2.33)
avec
F = µ
˙Θ + Θ∂f
∂x
¶
Θ−1 (2.34)
2La rigueur voudrait que la matrice Jacobienne se dénisse eectivement comme la matrice des dérivées partielles par rapport à x du champ f, tandis que le Jacobien se dénit comme la valeur absolue du déterminant de cette matrice (Appel, 2002, p. 58, Dénition 3.12)
2.1. RAPPELS DE QUELQUES CONCEPTS DE STABILITÉ 31
Notons que dans (Lohmiller and Slotine, 1998), on considère aussi de manière alternative l'évolution de la distance quadratique δzTδz en écrivant
d
dt(δzTδz) = δxT µ∂f
∂x
T
M + ˙M +M∂f
∂x
¶
δx (2.35)
où la matrice M, que l'on nomme tenseur métrique, ou simplement métrique, est dénie par M(x, t) = ΘT(x, t)Θ(x, t)3.
Ainsi, l'étude de ces deux expressions ((2.33) et (2.35)) nous permet nalement d'aboutir à un critère dont la condition est cette fois nécessaire et susante.
Dénition 2.1.9 Une région de l'espace d'état est appelée une région de contraction par rapport à une métrique uniformément dénie positiveM(x, t) = ΘT(x, t)Θ(x, t), où Θest une matrice de transformation en coordonnées diérentielles, si F =
³˙Θ + Θ∂f∂x´
Θ−1 ou
∂f
∂x
TM + ˙M +M∂f∂x est uniformément dénie négative.
Par ailleurs, siF est semi-dénie négative, la région est dite semi-contractante, si F est anti-symétrique, la région sera décrite comme étant indiérente. Ce dernier adjectif peut être relié au concept d'équilibre indiérent (voir (Rothen, 1999, p. 189)). Si la dénition fait apparaître une version locale de l'analyse de contraction au travers du terme région, on pourra aussi considérer une contraction globale ou un système globalement contractant si la région correspond à l'espace d'état tout entier.
La dénition 2.1.9 nous conduit alors au théorème suivant :
Théorème 2.1.4 Toute trajectoire, initialisée dans une boule de rayon constant (par rap- port à M(x, t)) centrée autour d'une trajectoire de référence, et contenue à tout instant dans une région de contraction, reste dans cette boule et converge exponentiellement vers cette trajectoire de référence.
L'avantage important de la contraction réside dans le fait qu'examiner les trajectoires de proche en proche conduit à examiner la stabilité d'un système indépendamment d'un attracteur spécique comme par exemple un point d'équilibre particulier. Contrairement aux concepts de stabilité décrits dans les sections précédentes, il n'y a plus besoin de se ramener au point d'équilibre x = 0 pour pouvoir commencer l'étude de stabilité comme
3Ici aussi, l'utilisation du terme métrique pour désignerM constitue un abus de langage. En eet, la métrique associée àM, que l'on nomme aussi métrique de Riemann, est dénie par la forme quadratique positiveδxTM(x, t)δx(voir aussi à ce propos (Bass, 1978, chapitres 21 et 22 )).
c'est par exemple le cas lors de l'utilisation de fonctions de Lyapunov (voir par exemple (Khalil, 1996, p. 132) ou (Narendra and Annaswamy, 1989, p. 52)).
La théorie de la contraction comprend aussi des résultats portant sur les combinaisons de systèmes contractants (Slotine and Lohmiller, 2001). En eet, si on considère deux systèmes d'équations
˙
x1 =f1(x1, t)
˙
x2 =f2(x2, t) (2.36)
en supposant que ces deux systèmes soient contractants et en écrivant la dynamique des déplacements virtuels
δz˙1 =F1δz
δz˙2 =F2δz (2.37)
alors s'ils sont connectés en parallèle via des fonctions α1(t)etα2(t) strictement positives telles que
α1(t)δz˙1+α2(t)δz˙2 (2.38) le système global représenté par (2.38) est contractant.
Si cette fois, les fonctions f1 etf2 prennent la forme
˙
x1 =f1(x1, x2, t)
˙
x2 =f2(x2, x2, t) (2.39)
et que les déplacements virtuels peuvent se mettre sous la forme d
dt Ã
δz1 δz2
!
= Ã
F1 G
−GT F2
! Ã δz1 δz2
!
(2.40) oùδzi = Θiδxi, alors le système global résultant est contractant. Ce dernier résultat peut bien sûr être relié avec la passivité et la connection en feedback de systèmes passifs qui est aussi valable après une pre- et post-multiplication par une matrice comme ci-dessus (voir (Sepulchre et al., 1997, p. 34)).
Si maintenant on imagine une combinaison hiérarchique de deux systèmes de dynamiques virtuelles δz˙1 et δz˙2, tels que
d dt
à δz1 δz2
!
=
à F11 0 F21 F22
! Ã δz1 δz2
!
(2.41) le système global sera contractant, pourvu queδz˙1etδz˙2le soient, et queF21soit borné. La démonstration de ce résultat est relativement simple. Le sous-système δz˙1 étant contrac- tant,δz1va tendre exponentiellement vers 0 et donc représentera, viaF21, une perturbation
2.1. RAPPELS DE QUELQUES CONCEPTS DE STABILITÉ 33
non persistante pour le système contractantδz˙2. Donc δz2 tendra exponentiellement vers 0, et ce malgré δz1.
D'autres résultats non négligeables existent, concernant notamment le comportement de la classe importante qu'est celle des systèmes à paramètres invariants dans le temps, aussi appelés systèmes autonomes ou stationnaires. Ainsi, un système autonome contractant dans une région présentera des trajectoires qui convergeront toutes vers un point d'équi- libre unique se trouvant à l'intérieur de cette région. De même, tout système autonome contractant excité par une entrée périodique aura des trajectoires convergeant vers une seule trajectoire périodique, et dont la période est la même que celle de l'entrée. Nous aurons plus tard l'occasion de revenir sur ces deux résultats.
Sous un autre aspect, notons d'ores et déjà que l'utilisation de ce type d'analyse ap- porte deux autres avantages d'ordre qualitatif par rapport aux techniques basées sur les fonctions de Lyapunov. Tout d'abord, ces dernières commencent souvent par soit une fonction de Lyapunov candidate... sans aucune information préliminaire sur l'interpréta- bilité de la fonction choisie, ni sur la manière dont a été obtenue cette fonction. A notre avis, en utilisant les matrices de transformation Θ comme on vient de le voir, on a une idée plus claire de ce qui se passe géométriquement. On reviendra sur ce point important.
De plus, l'approche matricielle ou tensorielle de la stabilité par l'analyse de contraction constitue une transition assez aisée quand il s'agit de passer des techniques du contrôle linéaire dans l'espace d'état à l'étude des systèmes non linéaires. Cette remarque peut se révéler pertinente si on l'a replace dans des contextes éducatifs et industriels. De notre point de vue, la théorie de Lyapunov ne présente pas ces deux avantages importants, principalement parce que le concept d'énergie abordé pour donner une signication aux fonctions de Lyapunov n'est pas si souvent rencontré dans la théorie des systèmes linéaires telle qu'elle est présentée de nos jours.
La principale diculté de la théorie de la contraction se situe dans la recherche d'une transformationΘappropriée conduisant au résultat souhaité. Remarquons cependant que ce genre de diculté est présent sous des formes diverses dans nombre de théories, comme c'est le cas pour les fonctions de Lyapunov ou pour la passivité. Comme on le verra par la suite dans certains cas, il est cependant plus facile d'arriver à un résultat, selon que l'on vérie certaines conditions particulières. Pour cette raison, nous présentons une clas- sication (voir aussi (Jouroy and Lottin, 2002a)) qui nous permettra de diérencier les systèmes contractants par rapport à leur transformation Θ sous laquelle le Jacobien gé- néralisé F sera uniformément déni négatif (u.d.n.). Cette classication nous permettra
aussi de voir que les conditions de certains types de systèmes contractants peuvent être facilement comparées qualitativement à d'autres critères antérieurs.
Dénition 2.1.10 Un système contractant par rapport à une métrique unitaire M = I est dénommé système directement contractant.
Cette dénition correspond au critère établi dans les premiers développements de l'analyse de contraction (voir (Lohmiller and Slotine, 1996a; Lohmiller and Slotine, 1996c)).
Dénition 2.1.11 Un système contractant par rapport à une métrique constante M est dénommé système contractant plat.
Le terme plat a été choisi d'après les travaux de (Hartman, 1961, section 4) où une métrique constante était ainsi caractérisée.
Dénition 2.1.12 Un système contractant par rapport à une métrique dépendant de l'es- pace d'état et/ou du tempsM(x, t)est dénommé système contractant au sens de Riemann.
Ce terme est directement relié à la terminologie de la géométrie Riemannienne, bien connue des spécialistes du calcul tensoriel (Deheuvels, 1993), par la forme quadratique associée δxTM(x, t)δx.
2.2. IMAGES DE LA CONTRACTION 35
2.2 Images de la contraction
2.2.1 Un mot sur Lyapunov
Dans la partie précédente, on a vu que du point de vue des systèmes considérés, c'est- à-dire ceux pouvant être représentés par l'équation x˙ =f(x, t), l'analyse de contraction pouvait, de manière plus ou moins lointaine, s'apparenter à la théorie de Lyapunov. On s'intéresse en eet en priorité à l'état et au rôle des conditions initiales dans la dynamique de cet état, et l'entrée est exprimée de manière implicite comme une fonction de l'état et du temps.
Une des questions qui peuvent alors se poser est de se demander ce qui peut relier l'ana- lyse de contraction aux fonctions de Lyapunov. Une réponse à cette question a déjà été donnée dans le mémoire de thèse de Lohmiller où il est mentionné que dans certains cas, une fonction de Lyapunov peut-être obtenue à partir du formalisme de la contraction, en faisant une intégration des déplacements virtuels sur le chemin reliant deux trajectoires séparées par une distance nie (Lohmiller, 1999, 11 et 27). Cependant, pour le cas général, cette intégrale peut dépendre du chemin suivi, et ne représente donc plus une fonction de Lyapunov.
Du point de vue de l'interprétation que l'on peut avoir en observant la façon dont la théorie de la contraction est construite, on peut remarquer qu'il est possible de conserver l'aspect énergétique issu de Lyapunov sous un angle toutefois un peu diérent.
Considérons les déplacements virtuels d
dtδx = ∂f
∂xδx (2.42)
après une manipulation simple, on obtient d
dt(δxTδx) =δxT µ∂f
∂x
T
+∂f
∂x
¶
δx (2.43)
ce qui conduit à
d
dt(δxTδx)≤2λmaxδxTδx (2.44) où λmax(x, t) représente la plus grande valeur propre de la partie symétrique de ∂f∂x. Si λmax(x, t)<0pour toute valeur de x et de t, alors le système est contractant.
Les quelques calculs que l'on vient de voir sont ceux qui sont utilisés pour présenter les premiers résultats de l'analyse de contraction (Lohmiller and Slotine, 1996c), pour le
−2 −1 0 1 2 3
−5 0 5
−4
−3
−2
−1 0 1 2 3 4 5 6
x y
z
(a)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−4
−3
−2
−1 0 1 2 3 4 5 6
(b)
Fig. 2.5 Vision spatiale et vision spatio-temporelle
cas oùΘ =I. Ils peuvent être facilement comparés à Lyapunov en posant comme fonction de Lyapunov δV telle que
δV =δx2 (2.45)
et en considérant les variables x et t comme des paramètres gelés. Pour ce qui est de l'interprétabilité, on serait donc en présence d'une énergie entre deux trajectoires inni- ment proches, énergie que l'on devrait donc qualier de diérentielle. Comme cette énergie diérentielle et son évolution dépendent à la fois du temps et de l'espace, alors l'énergie au sens usuel, i.e. entre deux points de l'espace d'état, n'a plus vraiment de sens. Ainsi, pour recoller à l'interprétation habituelle d'énergie, il faudrait imaginer un univers (au sens physique du terme) où les lois ne seraient plus les mêmes selon l'endroit et l'instant, c'est-à-dire un univers non uniforme.
2.2.2 Une vision purement spatiale
S'il peut s'avérer utile d'interpréter l'analyse de contraction par rapport aux autres concepts de stabilité qui sont déjà connus et utilisés depuis longtemps, il est sans doute aussi intéressant de regarder comment représenter cette théorie à partir de sa terminologie.
Dans ce qui suit, nous allons tenter d'imager le terme contraction à travers une série d'interprétations graphiques et d'animations. Les interprétations graphiques sont souvent utiles car elle nous aident, lors de simulations par exemple, à comprendre les résultats qui sont obtenus. Pour ces simulations, il est vraiment très fréquent d'observer les données re-
2.2. IMAGES DE LA CONTRACTION 37
cueillies sous la forme de courbes où l'un des axes représente le temps, ceci pour recueillir l'historique de ce qui s'est passé, quel a été le comportement de l'état à tout instant (voir gure 2.5(b) page précédente).
Il est aussi possible d'opter pour une vision purement spatiale, comme c'est par exemple le cas pour les analyses dans le plan de phase, c'est-à-dire de regarder le déplacement d'un point de l'espace d'état au cours du temps. L'échelle des temps n'étant pas explicitement représentée sur un axe particulier, on repère l'évolution de ce point soit par la trace qu'il laisse dans l'espace d'état (voir gure 2.5(a)), soit par une animation qui va faire corres- pondre un événement temporel à une représentation temporelle.
L'analyse de contraction étant issue de la mécanique des uides, c'est dans cette vision spatiale et globale du ot de trajectoires (ou de lignes de courant pour le cas stationnaire) que nous nous situons pour imager cette théorie.
2.2.3 Contraction et vecteurs
Pour un système d'équations mis sous forme Kalmanienne4, il est clair que le com- portement stable de ce système vient essentiellement de la relation qui existe entre les vecteurs vitesse et position de l'équation diérentielle (v = ˙x et x). Partant de cette re- marque, ainsi que des interprétations connues pour les systèmes linéaires, on peut alors donner une interprétation géométrique simple de l'analyse de contraction en examinant la formule
δz˙ =F(x, t)δz (2.46)
dans laquelle la propriété u.d.n. deF (FT+F < 0) garantit une convergence exponentielle.
Pour commencer, supposons queF soit symétrique. Dans ce cas, les propositionsF < 0 etFT +F <0sont identiques. On rappelle que la propositionF < 0, siF est symétrique, signie en fait que la forme quadratique associée est négative quel que soitδz diérent de 0, soit
δzTF(x, t)δz <0 (2.47)
L'expression (2.47) peut être réécrite
δzTδz <˙ 0 (2.48)
4Les systèmes dits sous forme Kalmanienne désignent les systèmes dénis parx˙ =f(x, t), par opposi- tion aux systèmes dénis par des équations diérentielles implicites de la formeF(x,x, t) = 0˙ (voir à ce propos (Fliess, 1990) et (Fliess et al., 1995)).
