Studienummer: 52456
Opgave type: Kandidatafhandling Vejleder: Lars Peter Østerdal Afleveringsdato: 15/05-2020
Antal sider: 74 Antal anslag: 89426
Underskrift: Hans Abild Karlsson
Risikokapital og allokering
Hans Abild Karlsson
2
Abstract
This project examines the relations between elements from Finance theory and Game theory through a case about a financial institution that aims to allocate the risk capital from their portfolio amongst the subunits of the institution. This case is divided into four subcases that present four different investment scenarios in form of four different portfolio compositions.
In order to determine the risk in a portfolio the two risk measures: Value at Risk and Expected Shortfall are described and used.
The subunits of the institution initially invest individually and independent of each other, which is very common in many companies. In this thesis, it will be investigated how great the
advantages of cooperating across the subunits can be.
Furthermore, the implications of collaboration will be solved by using the four different
allocation rules from Game Theory: Tau, Shapley, Nucleolus and Lorenz. In the analysis, the allocation rules show that there can be different ways of allocating risk capital. The purpose of allocating the risk capital using Game Theory is to find a fair allocation that provides incentive for the subunits to cooperate.
The results of the investment scenarios showed a big difference in the reduction of risk capital.
In the portfolios consisting of stocks from the same industry there was a relatively low saving of risk compared to portfolios consisting of stocks from different industries. In extension of this, the allocation solutions were affected by the composition of the portfolios.
Finally, the project concludes that it is not possible to determine a preferred allocation rule as one could argue both for and against either of the four rules depending on the scenario investigated.
3
Indholdsfortegnelse
ABSTRACT ... 2
INDLEDNING ... 5
PROBLEMFORMULERING ... 6
EMNEAFGRÆNSNING ... 7
CASEBESKRIVELSE ... 8
SPILTEORI - OMKOSTNINGSFORDELING ... 9
STAND ALONE COST PRINCIPPET OG KERNEN ... 9
EKSEMPEL 1 ... 11
FIRE FORDELINGSREGLER ... 13
Tau-værdi ... 13
Shapley-værdien ... 15
Nucleolus-værdien... 18
Lorenz-værdien ... 21
FINANSIERING – RISIKOMÅL ... 25
INTRODUKTION ... 25
PRISER OG AFKAST ... 25
RISK FORECASTING ... 28
HISTORISK SIMULATION ... 31
RISIKOMÅL OG RISIKOMÅLING ... 31
VALUE AT RISK (VAR) ... 32
4
EXPECTED SHORTFALL (ES) ... 35
COHERENCE ... 38
DATA-BESKRIVELSE ... 40
ALLOKERING AF RISIKO ... 41
ANALYSE ... 42
CASE 1–TRE AKTIER FRA FORSKELLIGE BRANCHER ... 42
CASE 2–TO AKTIER FRA SAMME BRANCHE OG EN AKTIE FRA FORSKELLIG BRANCHE ... 50
CASE 3–TRE AKTIER FRA SAMME BRANCHE ... 54
CASE 4–FIRE AGENTER ... 57
DISKUSSION ... 65
KONKLUSION ... 73
LITTERATURLISTE ... 75
BØGER ... 75
ARTIKLER ... 75
BILAG 1 ... 76
5
Indledning
I dette speciale vil jeg opstille nogle porteføljer indeholdende udvalgte aktier. Disse aktier skal igennem opgaven tænkes på som forskellige uafhængige underafdelinger i et finansielt institut. Jeg vil undersøge, hvordan den tilhørende risikokapital i det finansielle institut kan fordeles ud mellem underafdelingerne. Risikokapital er defineret som kapital, der ikke kan bruges til risikofyldt investering, og den skal opfattes som en sikkerhedsbuffer, der skal sikre virksomheden i finansiel modgang. Risikokapital kan derfor ses som en omkostning, da den ellers ville være kapital, der kunne investeres. Hvis underafdelingerne i virksomheden investerer uafhængigt af hinanden, skal de hver især holde en bestemt risikokapital. Hvorfor det er helt essentielt, at risikokapital bliver betragtet som en omkostning. Formålet med denne opgave er således at undersøge, om der kan være fordele ved, at underafdelingerne i en given virksomhed indgår i et samarbejde med henblik på at minimere underafdelingernes risikokapital, og hvordan denne risikokapital kan fordeles hensigtsmæssigt mellem
underafdelingerne.
Fokus vil være inden for de to fagområder spilteori og finansiering. I spilteoriens verden finder man blandt andet teorier og metoder, der har til formål at fordele omkostninger mellem flere agenter på den mest effektive og fair måde. Dette område inden for spilteori kaldes
omkostningsfordeling. Omkostningsfordeling går i sin enkelste form ud på, at den enkelte agent kan udnytte muligheden for at indgå i et samarbejde (koalition) med det incitament at opnå økonomiske fordele, og hvordan disse økonomiske fordele kan fordeles mellem agenterne i koalitionen. Et eksempel kunne være tre danske butikker, der alle skal have transporteret varer fra en fabrik i Italien. Transportomkostningen kan fordeles mellem de tre butikker (agenter) og minimeres i forhold til, hvis butikkerne får transporteret varer hver især.
Den mere komplicerede del bliver nu at fordele omkostningerne mellem agenterne. Hvor meget skal de hver især i koalitionen betale, eller kan det betale sig at danne en delkoalition?
Til at afklare spørgsmål som disse, findes der mange forskellige fordelingsmetoder, der hver især har fordele og ulemper. De forskellige fordelingsmetoder vil jeg behandle teoretisk og anvende i praksis i nærværende opgave.
Begrebet ”omkostningsfordeling” vil i opgaven blive anvendt til at fordele risiko for de
implicerede parter. Det er velkendt inden for finansiering, at diversifikation er afgørende, når man investerer for at nedbringe den samlede risiko. Derfor kan der også opstå en fordelagtig diversifikationseffekt ved, at enkelte agenter går sammen i en koalition, når det kommer til
6
investering. Ved et sådant koalitionsscenarie bliver udfordringen at minimere risikoen og få den fordelt mellem agenterne mest effektivt. For at kunne tage
omkostningsfordelingsmetoderne i brug, er det nødvendigt først at definere, hvad risiko betyder og opstille såkaldte risikomål. Risikomålene tillader os at omsætte risikoen til målbare tal, hvilket er nødvendigt for at kunne fordele risiko mellem agenter. Mere konkret vil jeg i dette speciale gøre brug af risikomålene ”Expected Shortfall” (𝐸𝑆) og ”Value at Risk” (𝑉𝑎𝑅).
Risikomålene 𝑉𝑎𝑅 og 𝐸𝑆 defineres og beskrives af Jon Danielsson i bogen ”Financial Risk Forecasting” (2011), som også vil blive anvendt som en reference i teoriafsnittet. Efterfølgende i opgaven vil teorien bag risikomålene blive brugt til at estimere risikoen i forskellige
porteføljer.
Jeg har hentet data på udvalgte aktier fra Yahoo Finance, og jeg vil med hjælp af programmet
”R” implementere de to risikomål og således omsætte risikoen ved aktierne til målbare tal, som fordelingsmetoderne fra spilteori kan håndtere. De fire fordelingsmetoder Nucleolus, Shapley, Tau og Lorenz vil blive introduceret og brugt til at allokere risiko ud på underafdelingerne. De fire fordelingsmetoder er beskrevet af Jens Leth Hougaard i bogen ”An Introduction to
Allocation Rules” (2009). Fordelingsmetoderne har fire forskellige tilgange til, hvordan man kan fordele risikoen ud på underafdelingerne, og i analyseafsnittet vil det blive vist, hvordan resultaterne af fordelingsmetoderne ændrer sig i sammenhæng med, at forskellige
porteføljesammensætninger bliver undersøgt.
I dette speciale er casen, der arbejdes med fiktiv, eftersom der ikke er tale om en specifik virksomhed. Dette er dog underordnet i og med, at data på aktierne er virkelige og vilkårlige og således kunne tilpasses alle virksomheders porteføljer. Det er antaget, at virksomhedens samlede portefølje består af de enkelte underafdelingers porteføljer.
Problemformulering
Jeg vil udforske hvilke risikomål, der findes til at estimere risikoen i en portefølje bestående af flere agenter og herefter undersøge, hvordan man kan allokere den tilhørende risikokapital mellem disse.
7
Emneafgrænsning
Når en agent foretager en investering, er det fair at sige, at agenten gerne vil finde den bedste investeringsstrategi. I denne opgave er det dog ikke essentielt, hvad der er den bedste
investeringsstrategi for hver agent. Agenterne investerer som udgangspunkt uafhængigt af hinanden, og det essentielle for opgaven er at vise, hvordan risiko kan fordeles ud på agenterne, når de samarbejder. Dette sker med udgangspunkt i fire fordelingsregler fra spilteorien. De fire regler har hver sine betingelser for, hvordan den samlede risiko skal fordeles, og som det senere vil blive forklaret, vil dette medføre en minimering af risici. De aktier, der er valgt i opgavens cases er ikke valgt ud fra nogle specielle investeringsstrategier, men er blot udvalgt tilfældigt som et udgangspunkt for at vise opgavens pointer.
Opgaven er begrænset til at se nærmere på fire fordelingsmetoder og to risikomål. Der findes både flere fordelingsmetoder og risikomål, men de anvendte fordelingsmetoder er valgt, da de har forskellige tilgange til selve fordelingsløsningen. Risikomålene, der er benyttet i opgaven, er dem der i litteraturen anses som de mest anvendte (Danielsson, Jon, s.76 + 85).
Til slut er opgaven begrænset til at se på porteføljer bestående af tre eller fire aktier. Man kunne let have udvidet antallet af aktier i porteføljen til flere, men dette er ikke afgørende for formålet med opgaven.
8
Casebeskrivelse
I denne opgave vil der i analyse afsnittet blive gennemgået forskellige cases. Under hver case gennemgås et investeringsscenarie med udgangspunkt i tre eller fire agenter, der hver især investerer 100$ i en aktie. Man skal altså forestille sig, at de forskellige agenter er
underafdelinger i en virksomhed, som investerer uafhængigt af hinanden.
Formålet for virksomheden er at se hvilke fordele, der kan være ved at underafdelingerne indgår i koalitioner for derefter at allokere den tilhørende risiko ud på underafdelingerne på en fair måde. Desuden vil virksomheden gerne minimere den samlede risiko i porteføljen
bestående af underafdelingernes aktier. Underafdelingernes allokerede risiko ses som en omkostning idet, risikoen afspejler den risikokapital, hver agent skal holde.
I hver case undersøges det, hvordan forskellige porteføljesammensætninger påvirker de forskellige fordelingsmetoder, der benyttes. Der vil specielt være fokus på, hvilken betydning en brancheeffekt kan have for risikoen, og igen hvilken betydning det har for allokeringen. En forventet brancheeffekt vil blive sammenholdt med korrelationen mellem aktierne for bedre at kunne måle effekten. Der vil blive set på højt korrelerede aktier, negativt korrelerede aktier og aktier uden nogen væsentlig korrelation. Derudover vil det blive diskuteret, hvordan ændringer i porteføljesammensætningen kan påvirke den samlede risiko, og det vil blive diskuteret hvilke af de fire fordelingsregler, der er mest fair i hver case.
9
Spilteori - Omkostningsfordeling
Spilteori og omkostningsfordeling har generelt til formål at optimere et givent antal agenters valg. I denne opgave vil fokus være på at minimere agenternes omkostninger ved at indgå i såkaldte koalitioner. Hvis nogle agenter har mulighed for at indgå i et samarbejde, er der tale om kooperativ spilteori. I kooperativ spilteori arbejder man med et antal agenter, der har muligheden for at indgå i en koalition, hvor alle agenter indgår (en storkoalition). Agenterne kan også indgå i en delkoalition, hvor nogle af agenterne indgår i et samarbejde. Agenten kan også vælge at stå alene, hvis dette bedst kan betale sig.
Lad os forestille os et finansielt institut med flere underafdelinger (agenter), der hver især har deres egen portefølje. Som nævnt er en virksomhed som denne pålagt krav til, hvor stor en risikokapital den skal holde. Det vil derfor være oplagt at kigge på muligheden for at fordele den samlede risiko i instituttet ud på underafdelingerne og udnytte diversifikationseffekten til fordel for både instituttet som helhed og de enkelte underafdelinger. For at besvare
spørgsmålet om, hvordan risiko kan fordeles mellem agenter, må teorien bag
fordelingsmetoderne undersøges. Men før jeg kigger nærmere på de enkelte metoder, er der nogle essentielle principper, som gør sig gældende for alle metoderne.
Stand alone cost princippet og kernen
I et omkostningsfordelingsproblem (N,c), hvor N betegner det samlede antal agenter og c betegner omkostningen skal der gælde, at den enkelte agents omkostning i løsningen af problemet ikke må overstige den omkostning agenten ville have haft ved at stå alene. Dette skal gælde for alle delkoalitioner 𝑆 ∪ 𝑁. Det formuleres således:
Definition 1 (Hougaard, Jens Leth, s.66):
∑ 𝑥𝑖 ≤ 𝑐(𝑆)
𝑖∈𝑠
10
Hvor 𝑥𝑖 er den allokerede omkostning til hver agent også kaldet en fordelingsvektor, og c(S) er stand alone omkostningen. Dette vil være gældende for alle delkoalitioner, hvor altså en situation hvor en agent står alene også ses som en delkoalition. Derudover skal der også gælde at ingen koalition S, kan få allokeret en lavere omkostning end dens marginale
omkostning. Dette beskrives med nedenstående, hvor den marginale omkostning ses på højre side og fordelingsvektoren 𝑋𝑖 på venstre.
Definition 2 (Hougaard, Jens Leth, s.67):
∑ 𝑥𝑖 ≥ 𝑐(𝑁) − 𝑐(𝑁\𝑆)
𝑖∈𝑁
Stand alone cost og marginal cost princippet er ækvivalente og udgør betingelserne for kernen :
𝑐𝑜𝑟𝑒(𝑁, 𝑐) = {𝑥 ∈ 𝑅𝑛 ∑|𝑥𝑖 = 𝑐(𝑁), ∑ 𝑥𝑖 ≤ 𝑐(𝑆)
𝑖∈𝑆
, ∀𝑆 ⊆ N} =
𝑖∈𝑁
{𝑥 ∈ 𝑅𝑛 ∑|𝑥𝑖 = 𝑐(𝑁), ∑ 𝑥𝑖 ≥ 𝑐(𝑁) − 𝑐(𝑁\𝑆)
𝑖∈𝑆
, ∀𝑆 ⊆ N}
𝑖∈𝑁
Kernebetingelserne kan ud fra dette nu også opstilles som:
𝑐({1,2,3}) − 𝑐({2,3}) ≤ 𝑥1≤ 𝑐({1}) 𝑐({1,2,3}) − 𝑐({1,3}) ≤ 𝑥2≤ 𝑐({2}) 𝑐({1,2,3}) − 𝑐({1,2}) ≤ 𝑥3≤ 𝑐({3})
I kernen ligger de løsninger, der er mulige løsninger til omkostningsfordelingsproblemet. Hvis løsningen af problemet ikke overholder ovenstående principper, siges kernen at være tom 𝑐𝑜𝑟𝑒(𝑁, 𝑐) = ∅, og der findes således ingen løsning på problemet, da en eller flere agenter vil have incitament til at bryde ud af et samarbejde. Hvis en agents allokerede omkostning er lig med agentens stand alone omkostning er agenten indifferent mellem at indgå i koalitionen eller stå alene. Løsningen til problemet er derfor stadig mulig og ligger på randen af kernen.
Ydermere, og i forlængelse af stand alone princippet, skal løsningen til problemet være subadditivt. Det betyder, at omkostningerne for delkoalitionerne lagt sammen ikke må være
11
mindre end storkoalitionens omkostninger og er defineret således:
Definition 3 (Hougaard, Jens Leth, s.70):
𝑐(𝑆 ∪ 𝑆′) ≤ 𝑐(𝑆) + 𝑐(𝑆′)
Denne definition sikrer, på linje med stand alone princippet, at der ikke er incitament for en delkoalition til at bryde ud af storkoalitionen. En endnu stærkere betingelse er, at spillet skal være konkavt. Faktisk er subadditivitet et specialtilfælde af konkavitet. Et spil er således også subadditivt, hvis det er konkavt. Dette kan udledes af følgende definition for et konkavt spil:
Definition 4 (Hougaard, Jens Leth, s.70):
𝑐(𝑆 ∪ 𝑆′) + 𝑐(𝑆 ∩ 𝑆′) ≤ 𝑐(𝑆) + 𝑐(𝑆′)
Hvor altså tilfældet hvor 𝑐(𝑆 ∩ 𝑆′) = ∅ svarer til definitionen for subadditivitet.
Eksempel 1
For at illustrere ovenstående følger her et lille eksempel på et omkostningsfordelingsproblem med tre agenter:
Koalitioner S Omkostning c(s)
{1} 12
{2} 11
{3} 14
{1,2} 19
{1,3} 22
{2,3} 20
{1,2,3} 29
Tabel 1: Omkostningsmatrice
12
Med følgende kernebetingelser udledt af definition 1 og 2:
𝑐({1,2,3}) − 𝑐({2,3}) ≤ 𝑥1≤ 𝑐({1}) 𝑐({1,2,3}) − 𝑐({1,3}) ≤ 𝑥2≤ 𝑐({2}) 𝑐({1,2,3}) − 𝑐({1,2}) ≤ 𝑥3≤ 𝑐({3})
→
9 ≤ 𝑥1 ≤ 12 7 ≤ 𝑥2 ≤ 11 10 ≤ 𝑥3 ≤ 14
Den øvre grænse beskriver agenternes stand alone omkostning, mens den nedre grænse beskriver agentens marginale omkostning. Den marginale omkostning er interessant, fordi den fortæller os noget om, hvor værdifuld den enkelte agent er for koalitionen, og hvor meget hver agent bidrager med til den samlede omkostningsbesparing. Dette vil jeg gå mere i dybden med, når de enkelte fordelingsmetoder gennemgås.
Det ses også, at spillet er subadditivt og konkavt:
𝑐({1,2,3}) ≤ 𝑐({2,3}) + 𝑐({1}) 𝑐({1,2,3}) ≤ 𝑐({1,3}) + 𝑐({2}) 𝑐({1,2,3}) ≤ 𝑐({1,2}) + 𝑐({3}) →
29 ≤ 32 29 ≤ 33 29 ≤ 34
I dette lille eksempel med tre spillere, er det muligt at udregne resultaterne manuelt og er blot tænkt for at få en forståelse. Antallet af mulige koalitioner kan dog hurtigt blive for mange til det og stiger eksponentielt med antallet af spillere. Der vil således være 2𝑛− 1 mulige koalitioner i et fordelingsproblem, hvor den tomme mængde ∅ ses bort fra.
I eksemplet har vi nu fundet et sæt af mulige løsninger, der ligger i kernen. Spørgsmålet er nu, hvordan omkostningerne skal fordeles mellem agenterne. Der er ikke et entydigt svar på,
13
hvilken fordelingsmetode der er bedst eller mest fair over for agenterne. Dette kan diskuteres fra problem til problem, og man må derfor teste metoderne på det enkelte problem. I nogle tilfælde vil det ende ud med, at der kun er én fordelingsmetode med en løsning, der ligger i kernen, og svaret giver her sig selv. Man kan også komme ud for problemer, hvor
fordelingsløsningerne ligger meget tæt på hinanden.
Jeg går nu i dybden med den enkelte fordelingsmetode og illustrerer løbende med ovenstående eksempel.
Fire fordelingsregler
Der findes flere forskellige metoder at fordele en omkostning på. Den mest simple er
ligefordelingen. Her deles den samlede omkostning blot ligeligt mellem agenterne. Selvom at der sagtens kan være tilfælde, hvor ligefordelingen ligger i kernen og altså er en mulig løsning med omkostningsfordele for alle agenter, vil denne løsning dog ofte ikke tilfredsstille alle, da den ikke tager højde for agenternes marginalomkostninger. De fire fordelingsregler, der nu introduceres, skal gerne imødekomme dette problem og producere løsninger, der fordeler omkostningen mere fair ud fra forskellige kriterier.
Tau-værdi
Tau-værdien er første metode, jeg kigger på. Med denne fordelingsregel forsøges der at tage højde for agenternes marginalomkostning. Marginalomkostningen fortæller, hvad det koster storkoalitionen for hver agent at indgå. Princippet er således at allokere en højere omkostning til de agenter med en højere marginalomkostning og en lavere omkostning til de agenter med en lavere marginalomkostning. For hver agent 𝑖 ∈ 𝑁 findes marginalomkostningen 𝑴𝒊 ved:
Mi = c(N) − c(N\i)
Marginalomkostningen kan ses som den omkostning, som den enkelte agent tilfører den
samlede omkostning og svarer derfor til den andel, agenten som minimum skal have allokeret.
Lad nu 𝑔(𝑆) være det resterende af den samlede omkostning:
g(S) = c(S) − ∑ Mi
i∈S
14
Det kan udledes, at hver agent højest kan blive tildelt en omkostning på Mi+ 𝑔(𝑆). Hver agent har nu en nedre grænse på Mi og en øvre grænse på Mi+ wi hvor
wi = mini∈eg(S)
For de fordelingsproblemer hvor følgende to betingelser gælder
𝑔(𝑆) ≥ 0, ∀𝑆 ∈ 𝑁 Og
∑ 𝑤𝑖 ≥ 𝑔(𝑁)
Kan Tau-værdien nu defineres som:
Definition 5 (Hougaard, Jens Leth, s.82-83):
𝑥𝑖𝑇 = 𝑀𝑖 + 𝑤𝑖
∑𝑖∈𝑁𝑤𝑖𝑔(𝑁)
Det kan ses fra definitionen, at man ikke alene får tildelt sin marginalomkostning, men man får også tildelt en vægtet andel af restomkostningen i forhold til sin marginalomkostning.
Eksempel 1 - Tau
Tau-værdien kan nu findes for agenterne i eksempel 1 ved at følge ovenstående og først finde 𝑚𝑖, 𝑔𝑖 𝑜𝑔 𝑤𝑖.
𝑚1= 𝑐(1,2,3) − 𝑐(2,3) = 29 − 20 = 9 𝑚2= 𝑐(1,2,3) − 𝑐(1,3) = 29 − 22 = 7 𝑚3= 𝑐(1,2,3) − 𝑐(1,2) = 29 − 19 = 10
𝑔(1) = 𝑐(1) − 𝑚1= 12 − 9 = 3 𝑔(2) = 𝑐(2) − 𝑚2 = 11 − 7 = 4 𝑔(3) = 𝑐(3) − 𝑚3 = 14 − 10 = 4
15
𝑔(1,2) = 𝑐(1,2) − 𝑚1− 𝑚2 = 19 − 9 − 7 = 3 𝑔(1,3) = 𝑐(1,3) − 𝑚1− 𝑚3= 22 − 9 − 10 = 3 𝑔(2,3) = 𝑐(2,3) − 𝑚2− 𝑚3= 20 − 7 − 10 = 3
𝑔(1,2,3) = 𝑐(1,2,3) − 𝑚1− 𝑚2− 𝑚3= 29 − 9 − 7 − 10 = 3
𝑤1= min{3,3,3,3} = 3 𝑤2 = min{3,3,3,3} = 3 𝑤3 = min{4,3,3,3} = 3
Tau-værdien for den enkelte agent:
𝑥1𝑇 = 9 +1
3∗ 3 = 10 𝑥2𝑇 = 7 +1
3∗ 3 = 8 𝑥1𝑇 = 10 +1
3∗ 3 = 11 𝑥𝑇 = (10,8,11)
Det bemærkes, at løsningen ligger i kernen. For Tau metoden vil dette ikke altid gælde, også selvom spillet er konkavt, hvilket vi tidligere så var tilfældet i dette eksempel.
Shapley-værdien
Denne metode kigger også nærmere på marginalomkostningerne. Her allokeres en omkostning til agent 𝑖 proportionelt med, den omkostning agent 𝑖 tilføjer hver koalition.
Shapley-værdien er således et udtryk for, hvor dyrt det skal være for en agent, for at resten af koalitionen vil inkludere agenten.
Disse marginalomkostninger er givet ved følgende udtryk:
𝑚𝑖 = 𝑐(𝑆) − 𝑐(𝑆\𝑖)
Som udtrykket også antyder, er marginalomkostningen altså defineret ved de samlede
16
omkostninger minus omkostningen ved at inkludere spiller 𝑖.
Shapley-værdien er herved defineret ved:
Definition 6 (Hougaard, Jens Leth, s.79-80):
𝑥𝑖𝑆𝐻𝑃 = ∑ (|𝑆| − 1)! (|𝑁| − |𝑆|)!
𝑆⊆𝑁:𝑖∈𝑆 |𝑁|! ∗ 𝑚𝑖(𝑆)
Her svarer |𝑆| til antallet af agenter i koalitionen, |𝑁| svarer til antallet af agenter i
storkoalitionen, og som forklaret før svarer 𝑚𝑖(𝑆) til marginalomkostningerne for den enkelte agent i hver mulig koalitionen.
Det går altså ud på, at der udregnes et vægtet gennemsnit af de marginale omkostninger over alle koalitioner. Som forklaret ovenfor, siger en marginalomkostning noget om, hvad en agent tilfører af omkostning til koalitionen, og da der også kan dannes delkoalitioner mellem
agenterne indregnes et vægtet gennemsnit af disse muligheder også.
Eksempel 1 - Shapley
Med udgangspunkt i Eksempel 1, vil Shapley-værdien for de tre agenter blive beregnet ud fra ovenstående definition.
Agent 1
Man ved, at agent 1 indgår i følgende koalitioner:
𝑐(1), 𝑐(1,2), 𝑐(1,3) 𝑜𝑔 𝑐(1,2,3).
Som Shapley-definitionen antyder, skal vi først være opmærksomme på, hvor mange agenter der indgår i hver af koalitionerne:
𝑐(1) = 1, 𝑐(1,2) = 2, 𝑐(1,3) = 2 𝑜𝑔 𝑐(1,2,3) = 3.
17
Det næste, man skal være opmærksom på er omkostningen ved hver af koalitionerne:
𝑐(1) = 12, 𝑐(1,2) = 19, 𝑐(1,3) = 22 𝑜𝑔 𝑐(1,2,3) = 29.
Man ser nu på marginalomkostningerne ved at inkludere agent 1, som er givet ved udtrykket 𝑐(𝑆) − 𝑐(𝑆\𝑖):
𝑐(1) − 𝑐(1\{1}) = 12 − 0 = 12 𝑐(1,2) − 𝑐(1,2\{1}) = 19 − 11 = 8 𝑐(1,3) − 𝑐(1,3\{1}) = 22 − 14 = 8 𝑐(1,2,3) − 𝑐(1,2,3\{1}) = 29 − 20 = 9 Nu beregnes vægtene:
(|1| − 1)! (|3| − |1|)!
|3|! = 0,3333
(|2| − 1)! (|3| − |2|)!
|3|! = 0,1666
(|2| − 1)! (|3| − |2|)!
|3|! = 0,1666
(|3| − 1)! (|3| − |3|)!
|3|! = 0,3333
Nu kan Shapley-værdien for agent 1 beregnes:
𝑥1𝑆𝐻𝑃 = (12 ∗ 0,333) + (8 ∗ 0,1666) + (8 ∗ 0,1666) + (9 ∗ 0,3333) ≈ 9,67
På samme måde er Shapley-værdierne for agent 2 og for agent 3 beregnet og vist i følgende:
𝑥2𝑆𝐻𝑃 = (11 ∗ 0,333) + (7 ∗ 0,1666) + (6 ∗ 0,1666) + (7 ∗ 0,3333) ≈ 8,17 𝑥3𝑆𝐻𝑃 = (14 ∗ 0,333) + (10 ∗ 0,1666) + (9 ∗ 0,1666) + (10 ∗ 0,3333) ≈ 11,17
𝑥𝑆𝐻𝑃 = (9.67,8.17,11.17)
18
Det kan konkluderes, at de udregnede Shapley-værdier overholder kernebetingelserne.
Der gælder, at Shapley-værdien altid ligger i kernen, såfremt fordelingsproblemet er konkavt.
Dog skal det nævnes, at fordelingsproblemet ikke nødvendigvis er konkavt, når Shapley- værdien ligger i kernen.
Nucleolus-værdien
Denne fordelingsmetode har fokus på at maksimere besparelsen for hver af delkoalitionerne i fordelingsproblemet. Metoden ser på besparelsen, som er angivet ved følgende:
𝑒𝑠(𝑥) = 𝑐(𝑆) − ∑ 𝑥𝑖
𝑖∈𝑆 , 𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑙𝑘𝑜𝑎𝑙𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟 𝑆 ∈ 𝑁
Dette betyder, at besparelsen for hver enkelt delkoalition i fordelingsproblemet beregnes ved at trække de enkelte agenters omkostninger fra de samlede omkostninger. Der gælder om besparelsen, at den skal være større end eller lig med 0 for, at agenten har et incitament til at indgå i et samarbejde (jf. stand alone cost princippet).
Denne fordelingsmetode finder den fordelingsløsning, der har den største besparelse for agenterne. Nucelolus-løsningen er altså den løsning, hvor ingen af agenterne kan opnå en større besparelse ved en anden løsning til fordelingsproblemet. Dette sker ved, at alle besparelserne for agenterne bliver sammenlignet og sorteret efter største besparelse, hvorefter Nucleolus udvælger den optimale løsning.
Den optimale løsning findes ved at optimere besparelsesvektoren, 𝑒𝑠(𝑥).
Definition 7 (Hougaard, Jens Leth, s.75-76):
𝜃𝑁𝑈𝐶(𝑁, 𝑐) = {𝑥 ∈ 𝐼(𝑁, 𝑐)|𝜃(𝑒(𝑥)) ≻𝑙𝑒𝑥 𝜃(𝑒(𝑦)), ∀𝑦 ∈ 𝐼(𝑁, 𝑐)}1
Hvor:
𝐼(𝑁, 𝑐) = {𝑥 ∈ 𝑅𝑛|∑ 𝑥𝑖 = 𝑐(𝑁)}
𝑖∈𝑁
1 Lexicografisk
19
Funktionen 𝜃 sorterer elementerne i besparelsesvektoren i en stigende rækkefølge således at:
𝜃(𝑒(𝑥)) ≻𝑙𝑒𝑥 𝜃(𝑒(𝑦))
Såfremt 𝑥1> 𝑦1 𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟 𝑥1 = 𝑦1 𝑜𝑔 𝑥2 > 𝑦2, 𝑜𝑠𝑣., siges elementerne i vektoren at være lexicografisk ordnet.
Eksempel 1 – Nucleolus:
For at beregne Nucleolus-værdien, er der blevet gjort brug af en Excel-løsning, som blev udleveret under kurset ”Spilteori” på 5 semester.
Denne løsning vil blive illustreret i form af to scenarier;
Ligefordelingen og Nucleulus-løsningen.
Excel-løsningen kræver, at brugeren indtaster de beregnede omkostninger for hver af koalitionerne i den lilla kolonne samt et bud på den endelige løsning i de gule kolonner.
Excel-løsningen til ligefordelingen:
Her ses, at besparelsesvektorens mindste positive værdi er 1.33.
Da Nucleulus-løsningen er den løsning med den højeste mindstebesparelse, er der blevet gjort brug af Solver funktionen i Excel med følgende bibetingelser:
Billede 1: Nucleolus-løsning fra Excel
20
Man vil gerne maksimere mindstebesparelsen under bibetingelse af, at summen af de fordelte omkostninger er 29, og at de fordelte omkostninger under Nucleolus overholder
subaddivitetsprincippet.
Billede 2: Problemløser i Excel
21
Solver-funktionen giver nu den optimale løsning:
𝑥𝑁𝑈𝐶 = (10,8,11)
Som tidligere vist er dette fordelingsproblem konkavt, og denne løsning overholder kernebetingelserne.
Lorenz-værdien
Ved denne fordelingsmetode er udgangspunktet at fordele omkostningerne ligeligt ud på agenterne, hvilket kaldes en ligefordeling. Såfremt denne løsning overholder
kernebetingelserne, er Lorenz-værdien allerede fundet. Hvis denne løsning ikke ligger i kernen, skal man finde den løsning, der ligger tættest på ligefordelingen men samtidig ligger i kernen.
Definition 8 (Hougaard, Jens Leth, s.77-78):
𝑥𝐿𝑂𝑅 = (𝑐(𝑁)
|𝑁| , … ,𝑐(𝑁)
|𝑁| )
Eksempel 1 - Lorenz
𝑥𝐿𝑂𝑅 = (29 3) , (29
3) , (29
3) = (9.667), (9.667), (9.667)
Billede 3: Løsning i Excel
22
Løsningen overholder kernebetingelserne for agent 1 og 2 men bryder kernebetingelsen for agent 3, hvorfor Lorenz-værdierne ikke er fundet endnu.
Der skal derfor findes en løsning, der ligger så tæt på ligefordelingen som muligt, men overholder kernebetingelserne.
Når løsningen ikke er ligefordelingen, så kigger man på Lorenz dominans eller Dutta og Rays algoritme. Lorenz Dominans går ud på, at hvert element i fordelingsvektoren skal være mindst lige så stort som et hvert element i en hvilken som helst anden mulig fordelingsvektor.
Elementerne i fordelingsvektoren skal være sorteret i en stigende rækkefølge og herefter sammenlignes disse. For to fordelingsvektorer, 𝑥 og 𝑦 betyder det, at 𝑥 er mere ligeligt fordelt end 𝑦.
Lorenz-løsningen for et fordelingsproblem bestående af to agenter er givet ved følgende:
Definition 9 (Hougaard, Jens Leth, s.78):
𝑥𝑖𝐿𝑂𝑅 = { 𝑐(𝑖𝑗)−𝑐(𝑗) 𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟𝑠 min(𝑐(𝑖),𝑐(𝑖𝑗)
2 ) ℎ𝑣𝑖𝑠 𝑐(𝑗)≥𝑐(𝑖𝑗) 2
Dutta og Rays-algoritme kommer frem til Lorenz-løsningen, og den handler om, at man trinvist tildeler agenten den laveste omkostning, hvilket først defineres generelt og herefter illustreres i det følgende eksempel:
Definition 10 (Hougaard, Jens Leth, s. 77):
For et konkavt omkostningsfordelingsproblem der er givet ved (𝑁, 𝑐), finder Dutta og Ray- algoritmen Lorenz-løsningen ved først at angive 𝑔(𝑆, 𝑐) = 𝑐(𝑆)/|𝑆|, som værende de gennemsnitlige omkostninger for alle delkoalitioner.
Lad 𝑆1⊂ 𝑁 være den største delkoalition med de laveste gennemsnitlige omkostninger 𝑔(𝑆1, 𝑐1). Så er 𝑥𝑖𝐿= 𝑔(𝑆1, 𝑐1) for alle 𝑖 ∈ 𝑆1.
Dette gøres for 𝑆1, … , 𝑆𝑘−1, hvorefter et nyt omkostningsfordelingsproblem defineres. Her gælder, at 𝑐𝑘(𝑆) = 𝑐𝑘−1(𝑆𝑘−1∪ 𝑆) − 𝑐𝑘−1(𝑆𝑘−1) og 𝑆𝑘 er den største delkoalition med de laveste gennemsnitlige omkostninger på samme måde som før.
23
Eksempel 1 – Lorenz – Fortsat
Som nævnt var det ikke alle agenter, der overholdte kernebetingelserne ved ligefordelingen, hvorfor Dutta og Rays algoritme vil anvendes. Ovenstående definition gælder for to agenter, men kan også anvendes i et fordelingsproblem for flere agenter.
Først findes ligefordelingen for alle mulige koalitioner ved at beregne 𝑐(𝑆)/|𝑆|:
𝑐(1) =12 1 = 12 𝑐(2) =11
1 = 11 𝑐(3) =14
1 = 14 𝑐(1,2) =19
2 = 9.5 𝑐(1,3) =22
2 = 11 𝑐(2,3) =20
2 = 10 𝑐(1,2,3) =29
3 = 9.667
Som det kan ses, er det koalitionen 𝑐(1,2), der tildeler den laveste omkostning. Agent 1 og agent 2 tildeles altså omkostningen 9.5.
I andet trin af algoritmen ekskluderes alle de koalitioner, hvor agent 1 og agent 2 indgår, hvilket efterlader 𝑐(3).
For at beregne omkostningen for agent 3, ser man på storkoalitionen samt den netop ekskluderede koalition.
𝑐(1,2,3) − 𝑐(1,2) = 29 − 19 = 10
Der er nu fundet en løsning, som ligger tættest muligt på ligefordelingen og samtidig overholder kernebetingelserne:
24
𝑥𝐿𝑂𝑅 = (9.5,9.5,10)
Den anvendte algoritme kan udvides og anvendes på fordelingsproblemer, der indeholder flere agenter.
25
Finansiering – Risikomål
Introduktion
Som udgangspunkt er Risiko et udtryk for usikkerhed. Når mennesker tager beslutninger, kan de være forbundet med en risiko. Det samme gør sig gældende for virksomheder, der skal tage langsigtede beslutninger, hvilket kan være påvirket af en risiko.
I finansiering ser man på risiko forbundet med investeringer. Når en virksomhed foretager en investering er det nødvendigt, at investeringen er risikofyldt, da afkastet af investeringen ellers vil være meget lavt. Man siger altså, at en investering med større risiko forventes at give et højere afkast.
Man taler om forskellige former for risiko i forbindelse med investeringer. Først og fremmest er der den risiko, der kaldes Markedsrisiko. Denne type af risiko beskrives af McNeil, Frey og Embrechts i Quantitative Risk Management som værende den risiko, der er for en ændring i værdien af den finansielle position grundet de ændringer, der kan opstå i værdien af de underliggende aktiver.
En anden type af risiko er Kreditrisiko. Denne type af risiko ses, hvis en modpart ikke opfylder sine tilbagebetalingsforpligtelser i forbindelse med eksempelvis et lån.
Herudover findes risikotypen Operationel-risiko, som er risikoen for tab grundet utilstrækkelige interne arbejdsgange. Denne risikotype er derfor forbundet med, hvordan virksomheden styres, hvilket kan være mere eller mindre risikofyldt.
Slutvis kan Likviditetsrisiko nævnes. Der er en risiko for, at en virksomhed ikke kan købe eller sælge en investering på markedet i tide til at frigøre likviditet til at kunne imødekomme sine forpligtelser.
Priser og afkast
Prisen på et aktiv udtrykkes ved 𝑃𝑡, hvor 𝑡 er et udtryk for tidsenheden. Som investor er man dog som oftest mere interesseret i afkastet end selve prisen på aktivet.
Afkastet kan defineres på to måder:
26
Definition 11 (Danielsson, Jon, s.3):
Nettoafkast, som også betegnes ”det aritmetiske afkast”, er givet ved den procentvise ændring i prisen:
𝑅𝑡 =𝑃𝑡− 𝑃𝑡−1 𝑃𝑡− 1
Ofte er tidsenheden dage, men kan for nettoafkast simpelt omregnes til månedlige eller årlige afkast ved følgende formel:
𝑅𝑡(𝑛) = (1 + 𝑅𝑡)(1 + 𝑅𝑡−1)(1 + 𝑅𝑡−2) … (1 + 𝑅𝑡−𝑛+1) − 1 = 𝑃𝑡
𝑃𝑡−1 𝑃𝑡−1
𝑃𝑡−2…𝑃𝑡−𝑛+1
𝑃𝑡−𝑛 − 1 = 𝑃𝑡 𝑃𝑡−𝑛− 1
En fordel ved at bruge nettoafkast er, at afkastet for en portefølje bestående af flere aktiver kan udregnes som en vægtet sum af afkast af hvert enkelt aktivs afkast:
𝑅𝑡(𝑛) = ∑𝐾 𝑤𝑘𝑅𝑡,𝑘
𝑘=1
Hvor 𝐾 svarer til antallet af aktiver og 𝑤𝑘 svarer til hele porteføljens vægt af aktiv 𝑖.
En anden måde at beregne afkast på er logaritmisk afkast, som også betegnes ”det geometriske afkast”:
Definition 12 (Danielsson, Jon, s.3):
Det logaritmiske afkast er givet ved logaritmen af bruttoafkastet, udtrykt ved 𝑌𝑡:
𝑌𝑡 = log(1 + 𝑅𝑡) = log ( 𝑃𝑡
𝑃𝑡−1) = log(𝑃𝑡) − log(𝑃𝑡−1)
Sammenlignet med nettoafkastet, er det lettere at beregne afkastet over en periode ud fra ovenstående:
27
𝑌𝑡(𝑛) = 𝑙𝑜𝑔(1 + 𝑅𝑡(𝑛)) = 𝑙𝑜𝑔((1 + 𝑅𝑡)(1 + 𝑅𝑡−1)(1 + 𝑅𝑡−2) … (1 + 𝑅𝑡−𝑛+1)) =
log (1 + (1 + 𝑅𝑡) + log(1 + 𝑅𝑡−1) + ⋯ + 𝑙𝑜𝑔(1 + 𝑅𝑡−𝑛+1) =
𝑌𝑡+ 𝑌𝑡−1+ ⋯ + 𝑌𝑡−𝑛+1
Egenskaberne for logaritmiske regneregler gør dette muligt.
Ser man nu igen på afkastet af en portefølje, er situationen anderledes end gennemgangen af nettoafkastet viste.
𝑌𝑡,𝑝𝑜𝑟𝑡 = log ( 𝑃𝑡,𝑝𝑜𝑟𝑡
𝑃𝑡−1,𝑝𝑜𝑟𝑡) ≠ ∑ 𝑤𝑘log ( 𝑃𝑡,𝑘 𝑃𝑡−1,𝑘)
𝐾 𝑘=1
Ovenstående gælder, da logaritmen af summen ikke er lig med summen af logaritmen.
Det gælder dog, at forskellen mellem nettoafkast og logaritmisk afkast er mindre, når tiden, 𝑡, nærmer sig 0:
Δt→0lim 𝑌𝑝𝑜𝑟𝑡 = 𝑅𝑝𝑜𝑟𝑡
Det ses, at der er fordele og ulemper ved begge afkastberegninger. Man så, at det var
nemmere ved det geometriske afkast at konvertere beregningerne mellem tidsperioder. Dette er dog ikke nødvendigt i dette speciale, da data er givet ved en specifik tidsperiode. Derimod viste det aritmetiske afkast at have en nyttig egenskab ved, at afkastet fra enkelte aktier let kunne samles i en portefølje. Netop det vil blive udnyttet i analyse afsnittet, hvorfor aritmetisk afkast anvendes videre i denne opgave.
Eksempel 2:
Vi antager, at prisen på et aktiv i dag, 𝑃𝑡 = 200, og at prisen på aktivet i går var 𝑃𝑡−1 = 180.
Nettoafkast og logaritmisk afkast beregnes:
𝑅𝑡 = (200
180) − 1 = 0.111 𝑌𝑡 = log (200
180) = 0.105
28
Eksemplet viser, at forskellen i de to afkast er forholdsvist lille, når der ikke er stor forskel i prisen.
Ser vi nu på en større prisforskel, vil afkastene se anderledes ud. Vi ser på 𝑃𝑡 = 200, og at prisen på aktivet i går var 𝑃𝑡−1= 140:
𝑅𝑡 = (200
140) − 1 = 0.429 𝑌𝑡 = log (200
140) = 0.357
I dette eksempel ses der en stor prisforskel over en enkelt dag. Normalt antages det, at store prisforskelle opstår over længere tidsintervaller jf. ovenstående teori.
Hvis man nu samler de ovenstående eksempler således, at der er to aktier i én portefølje, fås afkastet af porteføljen ved aritmetisk afkast:
𝑅𝑡(𝑛) = ∑𝐾 𝑤𝑘𝑅𝑡,𝑘
𝑘=1 = (0.5 ∗ 0.111) + (0.5 ∗ 0.429) = 0.270
Som nævnt, vil det ikke være muligt på denne måde at beregne porteføljeafkastet ved geometrisk afkast.
Risk forecasting
Det fremtidige afkast kan ikke forudsiges med sikkerhed. Antagelser om afkastets historiske sandsynlighedsfordeling kan være nyttige i et forsøg på at estimere fremtidigt afkast og risiko.
Eksempelvis kan en sandsynlighedsfordeling for afkast antages at være normalfordelt. Denne antagelse har den fordel, at man vil kunne beregne variansen og det forventede afkast over en tidsperiode.
Der kan dog være komplikationer ved at antage, at finansiel data er normalfordelt, fordi data ofte vil være præget af flere outliers end normalfordelingen tager højde for.
Eksempel 3:
I dette eksempel vil det blive vist, hvorfor antagelsen om normalfordeling kan være upræcis.
29
Der ses på data over de sidste 5 år for en tilfældigt udvalgt aktie. I beregningerne af afkastet tages udgangspunkt i den daglige korrigerede lukkepris (AdjClosePrice) for aktien. Den
korrigerede lukkepris er valgt frem for lukkeprisen (ClosePrise), da det er et udtryk for en mere eksakt værdi af lukkeprisen.
Data er indhentet fra YahooFinance, og dataindhentningen vil blive beskrevet nærmere i analyseafsnittet.
Det ses, at normalfordelingen ikke er passende for det anvendte data. Halerne er tunge, og der er en del outliers, hvilket var forventet.
Derfor vil der i det følgende blive vist, hvordan fordelinger der antager tunge haler kan være mere passende for finansiel data.
For at tydeliggøre, at afkastene for Nike-aktien ikke følger normalfordelingen, kan man beregne skævheden. Skævheden er et udtryk for, hvor symmetrisk fordelingen er. Ved en normalfordeling er skævheden 0 og altså fuldstændig symmetrisk. Hvis skævheden er negativ, er venstre hale i QQ-plottet tungere end den højre hale, og hvis skævheden derimod er positiv gælder det omvendte.
Skævheden er beregnet i R vha. funktionen ”skewness” (se bilag 1, s.76-77). Værdien af skævheden fås til 0.65, hvilket betyder, at der er en tungere højre hale i QQ-plottet, hvilket
Billede 4: QQ-plot fra R af eksempel 3
30
også kan forventes, når man ser på afkast for en aktie over en længere periode. Der vil ofte være flere høje positive afkast end høje negative afkast, hvilket giver den positive skævhed.
Nedenstående figur illustrerer netop at der er en overvægt at positive afkast.
Eksemplet gennemgås nu med antagelsen om en t-fordeling:
Som det kan ses på ovenstående figur, er en t-fordeling mere passende for det anvendte data.
Observationerne fitter bedre i plottet og de tunge haler er fanget bedre af en t-fordeling
Billede 5: Plot af NKE-aktiepriser fra R
Billede 6: Plot af t-fordeling fra R
31
sammenlignet med en normalfordeling.
Historisk simulation
Det er nu blevet vist, hvordan risiko kan estimeres ved antagelse om, at data er fordelt efter en specifik sandsynlighedsfordeling. Risiko kan dog også estimeres uden at antage en
sandsynlighedsfordeling. Denne metode hedder Historisk simulation. Dette er en simpel metode til at estimere risiko, og den handler om, at man antager, at en af de fortidigt observerede afkast forventes at gentage sig i den kommende tidsperiode.
Man bruger altså de historiske afkast til at forudsige det fremtidige afkast.
I denne estimeringsmetode har en hver historisk observation den samme vægt. Dette kan være en ulempe, hvis der sker store udsving på markedet generelt. Eksempelvis kommer observationer under unormale forhold som en finanskrise eller virusudbrud til at vægte meget.
Hvis der derimod ikke er nogle unormale forhold inden for den observerede tidsperiode, kan historisk simulation siges at performe bedre end andre estimeringsmetoder. Dette skyldes, at historisk simulation er mindre sensitiv over for outliers.
Risikomål og risikomåling
Der er forskel på, hvad et risikomål er, og hvad risikomåling går ud på.
Risikomål er nemlig en matematisk metode, som bruges til at beregne risiko. Risikomåling er en specifik værdi, som udtrykker risikoen. Man kan altså sige, at risikomål bruges som en metode til at måle risiko.
Estimering af risiko kan være besværlig, da risiko ikke kan observeres direkte. Man kan dog godt tage udgangspunkt i, at et aktiv har en høj risiko, hvis der historisk har været store udsving i prisen på aktivet. Som vist tidligere, kan det være svært at antage, at aktiver følger en statistisk fordeling, hvorfor en anden metode tages i brug til at sammenligne risikoen mellem aktier.
Der findes forskellige metoder til måling af risiko, der udtrykker risikoen i form af en værdi, der gør det muligt at sammenligne risikoen mellem aktier.
Såfremt de forskellige metoder giver en tilnærmelsesvis ens værdi af risiko, vælges den metode, der er lettest i den virkelige verden ofte.
Her følger en gennemgang af tre risikomål, hvor det vil vise sig, at resultaterne for metoderne er forskellige.
32
Volatilitet udtrykker risikoen i form af standardafvigelsen af afkast. Denne metode er en af de mest anvendte måder at måle risikoen på, netop fordi den er simpel og antager at afkastene er normalfordelt (Danielsson, Jon, s.75). Som vi så under afsnittet om normalfordeling, viste det sig dog, at dette ikke altid er tilfældet. Af denne grund er volatilitet i langt de fleste tilfælde ikke det effektive mål for risiko.
Eksempel 4:
Med udgangspunkt i det tidligere anvendte data for Nike-aktien, vil volatiliteten blive beregnet.
Standardafvigelsen er i R beregnet til 1.5% og middelværdien er beregnet til 0.0007$.
Standardafvigelsen er altså et udtryk for, hvor meget prisen svinger.
Hvis man antager, at afkastene er normalfordelte, kan det udregnes, hvilke værdier afkastet vil ligge imellem med en hvis sandsynlighed, hvilket også kaldes et konfidensinterval.
I dette eksempel investeres 100$, hvilket betyder, at det fremtidige afkast med 95% vi ligge i intervallet:
100$ ∗ (1 + 0.0007) = 100.07$
100.07$ ± 1.96 ∗ 1.5 = [97.13$ ; 103.01$]
Value at Risk (VaR)
Et andet risikomål, som ofte anvendes er Value at Risk (VaR).
En fordel ved 𝑉𝑎𝑅 er, at det er uafhængigt af nogen fordeling. 𝑉𝑎𝑅 måler tabene som en konsekvens af markedsbevægelserne.
Danielsson definerer 𝑉𝑎𝑅 som følgende (Danielsson, Jon, s.76):
”The loss on a trading portfolio such that there is a probability p of losses equaling or exceeding VaR in a given trading period and a (1-p) probability of losses being lower than VaR”.
𝑉𝑎𝑅 måler altså tabene ved en given sandsynlighed.
𝑉𝑎𝑅 er givet ved en fraktil på fordelingen af profit og tab. Proft af en investering er givet ved 𝑃, tabet ved en investering er givet ved 𝐿, forholdet mellem disse, 𝑃𝐿 udtrykkes af variablen 𝑄, og densiteten af 𝑄 udtrykkes ved 𝑓𝑞(𝑥).
33
Om 𝑄 gælder:
𝑄 = 𝑃𝑡 − 𝑃𝑡−1
𝑉𝑎𝑅(𝑝) kan nu defineres som:
Definition 13 (Danielsson, Jon, s.76):
𝑃𝑟𝑜𝑏[𝑄 ≤ −𝑉𝑎𝑅(𝑝)] = 𝑝 𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟
𝑝 = ∫−𝑉𝑎𝑅(𝑝)𝑓𝑞(𝑥)𝑑𝑥
−∞
og kan i ord forklares som sandsynligheden for at profitten, 𝑄, er mindre end eller lig med 𝑉𝑎𝑅 ved et givet sikkerhedsniveau. Minusset foran 𝑉𝑎𝑅(𝑝) er forklaret ved, at der ses på tab, som er negative, men 𝑉𝑎𝑅 er i sidste ende et positivt tal.
For at beregne 𝑉𝑎𝑅 for en given sandsynlighed, skal der først og fremmest specificeres en værdi af 𝑝. De mest anvendte værdier er 1% og 5%. Ved eksempelvis 5% vil man arbejde med et 95% sikkerhedsinterval, hvilket betyder, at der er 95% sandsynlighed for, at det fremtidige afkast ikke er mindre end værdien af 𝑉𝑎𝑅(0.05). Sikkerhedsniveauet kan hæves til for eksempel 99%, hvilket vil medføre et højere 𝑉𝑎𝑅.
Derudover skal man definere perioden. Ofte ser man, at perioden er givet ved én dag, hvilket betyder, at man ser på sandsynligheden for, at tabet sker over én dag.
Slutvis skal man definere, om der skal bruges en sandsynlighedsfordeling og i så fald hvilken.
Ellers kan man bruge historisk simulation, som beskrevet tidligere.
Ovenstående vil blive gennemgået i det følgende eksempel, som igen tager udgangspunkt i Nike-aktien.
Eksempel 5:
Normalfordeling
I beregningen af 𝑉𝑎𝑅(0.01) og 𝑉𝑎𝑅(0.05), skal man bruge standardafvigelsen og
34
middelværdien. Beregningen er foretaget i 𝑅, under antagelse af normalfordeling, 𝑝 er 0.05 og 0.01, og at perioden er en dag:
Værdierne af 𝑉𝑎𝑅(𝑝) fås til:
𝑉𝑎𝑅(0.05) = 2.367 𝑉𝑎𝑅(0.01) = 3.379
Værdien på 2.367 betyder, at man med 95% sandsynlighed kan forvente, at tabet den næste dag ikke vil overstige dette.
Værdien på 3.379 betyder, at man med 99% sandsynlighed kan forvente, at tabet den næste dag ikke vil overstige dette.
Dette giver også intuitivt god mening, idet at man ved, at højere sikkerhedsniveau vil forvente, at beløbet tabet skal overstige tilsvarende også er højere.
Historisk simulation
Beregningen af 𝑉𝑎𝑅 gentages på samme vis, men nu hvor afkastene ikke er antaget at være normalfordelte, og i det hele taget ikke antages at følge en sandsynlighedsfordeling. I stedet anvendes historisk simulation:
35
Værdierne af 𝑉𝑎𝑅(𝑝) fås til:
𝑉𝑎𝑅(0.05) = 2.071 𝑉𝑎𝑅(0.01) = 3.705
Værdien på 2.071 betyder, at man med 95% sandsynlighed kan forvente, at tabet den næste dag ikke vil overstige dette.
Værdien på 3.705 betyder, at man med 99% sandsynlighed kan forvente, at tabet den næste dag ikke vil overstige dette.
Og igen ses samme tendens, når sikkerhedsniveauet hæves, som ved antagelsen om normalfordeling. Det ses også, at 𝑉𝑎𝑅 under antagelsen om normalfordeling er højere end 𝑉𝑎𝑅 ved historisk simulation for et sikkerhedsniveau på 95%, og lavere ved et
sikkerhedsniveau på 99%. Dette skyldes, at når man fokuserer på mere ekstreme
observationer, som er tilfældet ved et sikkerhedsniveau på 99%, så underestimeres risikoen ved normalfordelingen. Dette var udtrykt tidligere i afsnittet om normalfordelingen ved de tunge haler, der netop ikke blev fanget. Omvendt ses det, at risikoen overstimeres ved
normalfordelingen, når sikkerhedsniveauet er på 95% og altså inkluderer mindre ekstreme observationer.
Expected Shortfall (ES)
Denne metode er også en måde at måle risiko på.
Expected Shortfall anses som værende et alternativ til Value at Risk, og angiver netop det forventede tab, såfremt tabet overstiger 𝑉𝑎𝑅. Når tabet overstiger 𝑉𝑎𝑅, betyder det, at værdien af 𝑄 (antaget at Q har en kontinuert fordeling) er lavere end den negative værdi af 𝑉𝑎𝑅:
36
𝐸𝑆 = −𝐸[𝑄|𝑄 ≤ −𝑉𝑎𝑅(𝑝)]
For at udtrykke 𝐸𝑆 matematisk, skal man starte med at opskrive tæthedsfunktionen for 𝑉𝑎𝑅:
1
𝑝∫−𝑉𝑎𝑅(𝑝)𝑓𝑞(𝑥)𝑑𝑥
−∞
Som nævnt, udtrykker 𝐸𝑆 det forventede tab, såfremt tabet overstiger 𝑉𝑎𝑅 ved en given sandsynlighed, 𝑝.
Derfor vil 𝐸𝑆 være givet ved:
Definition 14 (Danielsson, Jon, s.86):
− ∫−𝑉𝑎𝑅(𝑝)𝑥𝑓𝑉𝑎𝑅(𝑥)𝑑𝑥
−∞
Som svarer til den negative forventede værdi af 𝑃
𝐿= 𝑄, som blev beskrevet i afsnittet om 𝑉𝑎𝑅.
Eksempel 6:
I dette eksempel bliver 𝐸𝑆 beregnet ved historisk simulation. Det ses i definitionen af 𝐸𝑆, at det er nødvendigt at have udregnet 𝑉𝑎𝑅 for at kunne regne 𝐸𝑆. Dette er gjort i forrige i eksempel, og der tages altså også her udgangspunkt i Nike-aktien.
Historisk simulation
Beregningen af 𝐸𝑆 kan ske ved historisk simulation.
Først er den daglige profit beregnet ved at gange det investerede beløb på 100$ med det daglige afkast.
Herefter beregner man fraktilen (5% eller 1%), som svarer til 𝑉𝑎𝑅-værdien, som blev beregnet tidligere.
Nu ser man på antallet af observationer, der har en profit, der er lavere end 𝑉𝑎𝑅 (5% eller 1%
fraktilen). Summen af profitten for disse observationer divideres med antallet af observationer,
37
der har en profit, der er lavere end 𝑉𝑎𝑅, hvilket giver 𝐸𝑆-værdien.
Den gennemgåede beregning er foretaget i R:
Værdierne af 𝐸𝑆(𝑝) fås til:
𝐸𝑆(0.05) = 3.2242 𝐸𝑆(0.01) = 4.9669
Igen ses det her, at risikoen stiger når sikkerhedsniveauet hæves. Det bemærkes også at 𝐸𝑆- værdierne er højere, end de var for 𝑉𝑎𝑅. 𝐸𝑆 tager bedre højde for de ekstreme negative observationer, og ender således også ud med et højere risikomål. Dette er en typisk tendens, som også vil være gennemgående i den senere analyse af flere porteføljer.
38
Coherence
Der gælder generelt om risikomål, at de skal opfylde nogle bestemte egenskaber. Disse egenskaber er med til at gøre, at et risikomål kan siges at være coherent.
For at bestemme om et risikomål er coherent, skal der gælde følgende fire egenskaber.
Hvis man ser på to tilfældige porteføljer 𝑋 og 𝑌, så siges risikomålet, 𝜑(∙) at være coherent hvis der gælder (Danielsson, Jon, s.81-82):
1) Monotonicitet
𝑋, 𝑌 ∈ 𝑉, 𝑋 ≤ => 𝜑(𝑋)≥ 𝜑(𝑌)
Hvilket betyder, at porteføljen 𝑋 aldrig overstiger værdierne af porteføljen 𝑌, så skal risikoen for porteføljen 𝑌 aldrig overstige risikoen for porteføljen 𝑋.
2) Subadditivitet
𝑋, 𝑌, 𝑋 + 𝑌 ∈ 𝑉 => 𝜑(𝑋 + 𝑌) ≤ 𝜑(𝑋)+ 𝜑(𝑌)
Hvilket betyder, at risikoen i en portefølje bestående af både 𝑋 og 𝑌 ikke må overstige summen af risiko for 𝑋 og 𝑌 hver for sig.
3) Positiv homogenitet
𝑋 ∈ 𝑉, 𝑐 > 0 => 𝜑(𝑐𝑋)= 𝑐𝜑(𝑋)
Hvor 𝑐 er en konstant, gælder det altså, at hvis porteføjeværdien eksempelvis fordobles, skal risikoen også fordobles.
4) Translation invarians (Translation invariance)
𝑐 ∈ ℝ => 𝜑(𝑋 + 𝑐)= 𝜑(𝑋)− 𝑐
Hvilket betyder, at når en konstant 𝑐 tilføjes porteføljen 𝑋, skal risikoen i porteføljen 𝑋
39
tilsvarende falde med 𝑐.
Den mest interessante egenskab for dette speciale, og nok i det hele taget, er subadditivtet.
Hvis et risikomål ikke opfylder subadditivitet, betyder det, at det antages, at diversifikation medfører en højere risiko. 𝑉𝑎𝑅 er ikke et coherent risikomål, da subaddivitet ikke er opfyldt i alle tilfælde. Dog opfylder 𝑉𝑎𝑅 subaddivitet under antagelse af normalfordeling. Det skyldes, at normalfordelingen, som nævnt, underestimerer de tunge haler og netop de tunge haler, altså de ekstreme observationer, vil ellers være grunden til, at 𝑉𝑎𝑅 ikke opfylder subadditivitet.
𝑉𝑎𝑅 opfylder de øvrige egenskaber, men altså ikke altid subadditivitet. For at løse dette problem, kan man anvende 𝐸𝑆, der netop opfylder subadditivitet og derfor er et coherent risikomål.
Senere i analysen vises det dog, at 𝑉𝑎𝑅 opfylder subadditivitet for alle porteføljerne i denne opgave, og man kan derfor diskutere, hvorvidt problemet med subadditivitet blot er et teoretisk problem, eller om det også kan give komplikationer i praksis.
Derudover kan det siges, at positiv homogenitet ofte ikke opfyldes i praksis, da man oftest ser, at risikoen stiger hurtigere end porteføljeværdien.
Man kan altså sige, at 𝑉𝑎𝑅 er et risikomål med mangler men er dog simpelt at udregne.
Derimod er 𝐸𝑆 et bedre teoretisk risikomål, som til gengæld er mere kompliceret at benytte.
Når flere aktier indgår i den samme portefølje, er det relevant at se på, om disse afhænger af hinanden. Det kan nemlig betyde noget, om aktierne for eksempel kommer fra samme
branche eller ej i forhold til en eventuel diversifikationseffekt.
Man ser ofte på korrelationen mellem aktier ved at opstille en kovariansmatrice, som er givet ved:
𝐶𝑂𝑉(𝑌) = (
𝑉𝑎𝑟(𝑌1) 𝐶𝑜𝑣(𝑌1, 𝑌2) … 𝐶𝑜𝑣(𝑌1, 𝑌𝑛) 𝐶𝑜𝑣(𝑌2, 𝑌1) 𝑉𝑎𝑟(𝑌2) … 𝐶𝑜𝑣(𝑌2, 𝑌𝑛)
. . 𝐶𝑜𝑣(𝑌𝑑, 𝑌1)
. . 𝐶𝑜𝑣(𝑌𝑑, 𝑌2)
. .
𝑉𝑎𝑟(𝑌𝑑) )
Herefter kan korrelationen mellem to aktier beregnes ved:
𝐶𝑂𝑅𝑅(𝑋, 𝑌) = 𝐶𝑂𝑉(𝑋, 𝑌)
√𝐶𝑂𝑉(𝑋, 𝑋) ∗ 𝐶𝑂𝑉(𝑌, 𝑌)
40
Korrelationen ligger mellem -1 og 1, hvor en korrelationen mellem to aktier på 1 betyder, at de er perfekt korrelerede og altså stiger og falder i samme tempo. Derimod vil en korrelationen mellem to aktier på -1 betyde, at aktierne er perfekt negativt korrelerede, hvilket vil sige, at når prisen på den ene aktie stiger, vil prisen på den anden aktie falde tilsvarende meget.
En korrelation mellem to aktier på 0 betyder, at de to aktier er fuldstændigt uafhængige af hinanden.
I analyseafsnittet vil der netop blive set på korrelationen mellem forskellige aktier, når disse kombineres i en portefølje, og hvilken betydning værdien af korrelationen har både for risikoen i porteføljen men også, hvilken betydning det kan have for allokeringen af risikoen ud på agenterne.
Data-beskrivelse
I analysen af dette speciale vil der blive anvendt data i form af udvalgte aktiers priser over en periode på 5 år. Da analysen udføres ved historisk simulation, bliver estimaterne mere præcise, når der er mange observationer i datasættet. Omvendt bør man også tænke over om, priserne fra eksempelvis 20 år siden er relevante i forhold til at sige noget om dagen i morgen. Der er derfor valgt, at se på priserne i perioden 1/1-2015 til 1/1-2020. Det er bevidst blevet valgt ikke at se på perioden efter 1/1-2020 frem til dags dato, da markedet har været ramt af ekstremt usædvanlige forhold. Disse forhold har medført ekstremt store udsving i priserne på aktierne, og som gennemgået i teoriafsnittet, kan dette være en udfordring, når man skal estimere risiko.
De aktier, der anvendes i analysen, er udvalgt sådan, at der er aktier fra samme branche og forskellige brancher. Dette skyldes, at der vil blive set på forskellige investeringsscenarier, hvor aktierne samles i forskellige porteføljer for at undersøge, om der kan være en
brancheeffekt.
Aktiepriserne er indhentet fra YahooFinance via R, som har en funktion, der kan importere data direkte fra YahooFinance. Funktionen kræver blot, at brugeren indtaster perioden for, hvornår data skal indhentes samt hvilken aktie, det drejer sig om.
Her er et eksempel på, hvordan data for Nike-aktien er indhentet:
41
Som det kan ses anvendes ”AdjClose”, som er et udtryk for den korrigerede lukkepris for aktien. ”Adjusted closing price” tager udgangspunkt i ”closing price” men tager højde for dividender og nye udbudte aktier, hvorfor ”Adjusted closing price” giver en korrekt værdi af lukkeprisen, når man ser tilbage i tid.
Allokering af risiko
I spilteorien blev det gennemgået, at man kan stå over for et omkostningsfordelingsproblem, hvor det gælder om at fordele omkostningerne ud på agenterne. Disse agenter har en stand alone-omkostning, som har en betydning for, hvor meget agenten ender med at blive tildelt af omkostninger ud fra de gennemgåede fordelingsregler. De fire fordelingsregler har hver især sit eget udgangspunkt, når omkostningerne skal fordeles.
I finansiering blev der set på forskellige risikomål, som hver især udtrykker risikoen i form af en værdi. Der var fordele og ulemper ved hver af disse risikomål, men analyseafsnittet vil
anvende risikomålene 𝐸𝑆 og 𝑉𝑎𝑅.
Da finansieringsteorien skal anvendes i et samarbejde med spilteorien, vil der blive set på, hvordan risikoen kan allokeres som en omkostning. I spilteorien er den omkostning, der skal fordeles, defineret som 𝑐(𝑆), og i finansieringsteorien er risikoen givet ved 𝑉𝑎𝑅 og 𝐸𝑆.
Som nævnt, anses risikoen som en omkostning, hvorfor 𝑐(𝑆) vil være givet ved 𝑉𝑎𝑅 og 𝐸𝑆.
𝑐(𝑆) = 𝑉𝑎𝑅(𝑝) 𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟 𝐸𝑆(𝑝)
I analyseafsnittet vil der blive gennemgået forskellige investeringsscenarier. Hvert scenarie tager udgangspunkt i tre eller fire agenter, der hver især investerer 100$ i en aktie. Målet er at undersøge, hvordan agenterne kan samarbejde ved at indgå i en portefølje sammen, og hvorledes dette påvirker den risiko, den enkelte agent allokeres. Ydermere undersøges det, hvordan de fire allokeringsregler på forskellig vis fordeler risikoen, og hvilken af dem, der resulterer i en fair fordeling set fra agenternes synspunkt.
42
Analyse
Case 1 – Tre aktier fra forskellige brancher
Den første case i analysen vil se på tre aktier fra tre forskellige brancher.
Der ses på Nike-aktien (NKE), Apple-aktien (AAPL) og American Airlines (AAL), og agenterne i casen navngives blot som de tre aktier.
Der er valgt tre aktier fra forskellige brancher for at udelukke en forventet brancheeffekt. Det antages således, at aktierne ikke har udviklet sig ens som følge af en udvikling i en bestemt branche.
Man kan se på korrelationen mellem aktierne for at bestemme, hvordan aktierne har udviklet sig i forhold til hinanden. Netop korrelationen imellem aktierne vil blive diskuteret yderligere i konklusionen af casen.
Der vil blive taget udgangspunkt i et sikkerhedsniveau på 95% ved beregningerne af 𝑉𝑎𝑅 og 𝐸𝑆. Dette gælder i øvrigt både for denne case og opgavens øvrige cases.
Beregningerne er foretaget i R, og hele koden er vedlagt som bilag (se bilag 1, s.78-83), men de mest essentielle udregninger vises løbende i opgaven.
Der opstilles en tabel med alle de mulige porteføljer (koalitioner), der kan sammensættes mellem aktierne (agenterne) samt deres tilhørende risiko, der er afspejlet ved risikomålene 𝑉𝑎𝑅 og 𝐸𝑆. Først udregnes 𝑉𝑎𝑅 og 𝐸𝑆 for de enkelte aktier jf. den gennemgåede teori:
43
Herefter udregnes 𝑉𝑎𝑅 og 𝐸𝑆 for aktierne slået sammen i porteføljer. Som nævnt tidligere, kan afkastene fra de enkelte aktier lægges sammen, da der arbejdes med aritmetiske afkast:
𝑉𝑎𝑅 udregnes med det samlede afkast for porteføljerne:
Det samme gøres for 𝐸𝑆:
Resultaterne samles i en tabel, der viser hver koalitions tilhørende risiko ved hhv. 𝑉𝑎𝑅 og 𝐸𝑆:
44
Det ses, at AAL har den højeste risiko og NKE har den laveste. Det forventes derfor også, at NKE i det følgende får tildelt den laveste risiko, og ligeledes at AAL får tildelt den højeste.
Det bemærkes derudover, at begge risikomål er subadditive og tjekkes her blot for NKE og AAPL:
𝑐(𝑁𝐾𝐸𝑉𝑎𝑅) + 𝑐(𝐴𝐴𝑃𝐿𝑉𝑎𝑅) ≥ 𝑐(𝑁𝐾𝐸𝑉𝑎𝑅, 𝐴𝐴𝑃𝐿𝑉𝑎𝑅) = 2.07 + 2.50 ≥ 4.04 𝑐(𝑁𝐾𝐸𝐸𝑆) + 𝑐(𝐴𝐴𝑃𝐿𝐸𝑆) ≥ 𝑐(𝑁𝐾𝐸𝐸𝑆, 𝐴𝐴𝑃𝐿𝐸𝑆) = 3.22 + 3.62 ≥ 5.87
Omkostningerne er opstillet i en tabel, som nu danner udgangspunktet for beregningerne af fordelingsmetoderne fra spilteorien. Disse beregninger foretages som gennemgået i
teoriafsnittet for risikoen givet ved 𝑉𝑎𝑅.
Kernbetingelser:
𝑐({𝑁𝐾𝐸, 𝐴𝐴𝑃𝐿, 𝐴𝐴𝐿}) − 𝑐({𝐴𝐴𝑃𝐿, 𝐴𝐴𝐿}) ≤ 𝑥1 ≤ 𝑐({𝑁𝐾𝐸}) 𝑐({𝑁𝐾𝐸, 𝐴𝐴𝑃𝐿, 𝐴𝐴𝐿}) − 𝑐({𝑁𝐾𝐸, 𝐴𝐴𝐿}) ≤ 𝑥2≤ 𝑐({𝐴𝐴𝑃𝐿}) 𝑐({𝑁𝐾𝐸, 𝐴𝐴𝑃𝐿, 𝐴𝐴𝐿}) − 𝑐({𝑁𝐾𝐸, 𝐴𝐴𝑃𝐿}) ≤ 𝑥3 ≤ 𝑐({𝐴𝐴𝐿})
1.10 ≤ 𝑥1≤ 2.07 1.35 ≤ 𝑥2 ≤ 2.50 2.40 ≤ 𝑥3 ≤ 3.91
Tabel 2: Case 1 - Omkostningsmatrice fra R
