Danish University Colleges
Tidlig algebra i grundskolens matematikundervisning
Kaas, Thomas
Publication date:
2022
Document Version Peer-review version Link to publication
Citation for pulished version (APA):
Kaas, T. (2022). Tidlig algebra i grundskolens matematikundervisning. [Ph.d. afhandling, Aarhus Universitet].
DPU, Aarhus Universitet.
General rights
Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.
• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research.
• You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain • You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal
Download policy
If you believe that this document breaches copyright please contact us providing details, and we will remove access to the work immediately and investigate your claim.
Download date: 14. Jul. 2022
Tidlig algebra i grundskolens
matematikundervisning
Ph.d.-afhandling Thomas Kaas
DPU - Danmarks institut for Pædagogik og Uddannelse Aarhus Universitet
1
Forord
Denne afhandling er et resultat af mit arbejde som ph.d.-stipendiat ved DPU, Aarhus Universitet, og Københavns Professionshøjskolen i perioden april 2017 til juli 2021. Det har været nogle udfordrende og spændende arbejdsår med mange nye, inspirerende kolleger omkring mig. Tak til alle jer for godt med- og modspil og hyggeligt samvær undervejs.
En stor del af ph.d.-projektet har bestået i planlægning og gennemførelse af forsøgsundervisning i en skoleklasse på Munkekærskolen i Solrød. I den forbindelse vil jeg sige særlig tak til børnene, jeg fulgte igennem 16 måneder, og til Heidi Kristiansen, der underviste i klassen: Tak til jer børn, fordi jeg fik lov til at leve mig ind i lidt af jeres skoleliv, og tak til dig, Heidi, for stor inspiration, for uvurderlig hjælp og
usædvanlig godt samarbejde.
Jeg vil også sige særlig tak til mine vejledere, Tomas Højgaard, DPU, og Charlotte Krog Skott, KP: I har suppleret hinanden utroligt godt og været en kæmpe hjælp og støtte med jeres grundige læsning og kompetente kommentarer. Samtidig har I været gode til at veksle mellem faglig vejledning, samarbejde og hygge - tak for det.
Endelig vil jeg sige særlig tak til min kone, Lise, og mine tre børn, Frederikke, Lucca og Albert: Jeg ved godt, at det ikke er normalt at skrive så meget på computer i weekenden, og at andre mennesker holder længere ferier. Tak for tålmodigheden - glæder mig til at prøve en ny stil af sammen med jer .
Valby, september 2021 Thomas Kaas
2
Resume
Forskningsfeltet i projektet bag denne afhandling er tidlig algebra, der over de sidste cirka to årtier har haft stigende opmærksomhed inden for matematikkens didaktik. I samme periode har algebra vundet indpas i flere landes læseplaner for de yngste klassetrin, herunder i Danmark. Afhandlingens del I giver et kortfattet rids af den historiske baggrund for denne øgede opmærksomhed på og implementering af algebra på de yngste klassetrin.
Projektet har bestået af to studier: Et litteraturreview og et designstudie. Litteraturreviewet, som jeg rapporterer i afhandlingens del II, havde overordnet til formål at skabe overblik over forskningsområdet ved at belyse:
• hvad der kan forstås ved tidlig algebra?
• hvorfor det være hensigtsmæssigt at undervise i tidlig algebra?
• hvordan der kan undervises hensigtsmæssigt i tidlig algebra?
• i hvilken grad det er muligt for elever på de yngste klassetrin at lære algebra?
Med en hermeneutisk inspireret tilgang til litteraturreviews har dette studie ført til en syntese af forskningslitteraturens karakteristikker af tidlig algebra som fagområde, herunder af foreslåede indholdsmæssige tilgange til tidlig algebraundervisning - se figur 1.
Figur 1. Indholdsmæssige tilgange til tidlig algebra. (Tilpasset efter Kaas, 2019A) Stof Algebraisk tænkning
Aritmetik og tal som tilgang
Aritmetik og kvantiteter som tilgang
Funktionelle sammenhænge
som tilgang rettet mod at
generalisere sammenhænge og egenskaber
identificere symbolisere begrunde
(1A) (1B) (1C)
rettet mod at anvende algebraiske
repræsentationer som redskaber
oversætte behandle tolke
(2A) (2B) (2C)
3
Studiet har også resulteret i en syntese af forskningsresultater om de yngste elevers potentiale for algebraisk tænkning, specielt knyttet til den indholdsmæssige tilgang, der i matrixen på figur 1 betegnes som algebraisk tænkning med funktionelle sammenhænge (1C og 2C).
I tillæg har litteraturreviewet givet grundlag for at rammesætte og begrunde det efterfølgende
designstudie inden for denne indholdsmæssige tilgang. En hovedbegrundelse for dette valg er, at en række tidligere studier indikerer, at tilgangen har et stort potentiale for at kunne danne udgangspunkt for elevers udvikling af sofistikerede former for algebraisk tænkning, men at det er mindre belyst, hvordan
undervisning i et klasserum kan søge at understøtte en sådan udvikling. I tråd med denne begrundelse er designstudies overordnede problemstilling:
Hvordan kan et læringsspor, der fokuserer på funktionelle sammenhænge, støtte 8- 10-årige elevers udvikling af algebraisk tænkning?
Som et led i besvarelsen af denne problemstilling, fokuserer studiet i særlig grad på de fire følgende underspørgsmål:
1) Hvilke mekanismer kan bidrage til, at 8-10-årige elever kan generalisere
korrespondancesammenhænge ud fra funktionssituationer med lineære sammenhænge?
2) Hvilke mekanismer kan bidrage til, at 8-10-årige elever kan skabe mening i brugen af variable og variabelnotation i forbindelse med lineære sammenhænge?
3) Hvilke mekanismer kan bidrage til, at 8-10-årige elever kan anvende funktionstabeller, grafer og ligninger som redskaber til at løse problemer med og sammenligne lineære sammenhænge?
4) Hvordan og i hvilken grad kan 8-10-årige elever anvende algebraisk tænkning i reelle kontekster?
I afhandlingens del III uddyber jeg disse spørgsmål og gør rede for studiets metodiske og teoretiske rammer.
Metodisk set bygger studiet på designforskning (design research) med primært henblik på at bidrage til lokal undervisningsteori om tidlig algebraundervisning med funktionelle sammenhænge som tilgang. Denne metodiske tilgang omfatter bl.a. udarbejdelsen af et initialt design, der i studiet har form som et
læringsspor. Den teoretiske kontekst, som dette initiale design placerer sig i, kan i snæver forstand
betegnes som lokale undervisningsteorier om tidlig algebra med funktionelle sammenhænge som tilgang - designet bygger især på forskning af Blanton et al. (2015) samt Carraher, Schliemann og Schwarz (2008). I et
4
lidt mere overordnet perspektiv placerer designet sig inden for Realistisk Matematikundervisning, ved at bygge på designprincipper, der er formuleret af Gravemeijer (1999). I et endnu mere overordnet perspektiv placerer designet sig inden for den gren af socialkonstruktivisme, som Cobb og Yackel (1996) kalder
emergensperspektivet. Designet inddrager således begreber og perspektiver, der knytter sig til Cobb og Yackels (1996) syn på elevers læring i den sociale kontekst, som et klasserum udgør.
En central del af studiets metode har bestået i undervisningsforsøg på basis af det initiale design. Hensigten har på den ene side været at udforske elevernes læringsprocesser i det læringsmiljø, designet bidrog til at skabe, og på den anden side at forbedre selve designet. I afhandlingens del IV gør jeg rede for både det initiale design og for rammerne for undervisningsforsøget, der foregik i samarbejde med en lærer over 16 måneder i et dansk klasse, der i begyndelsen af forsøget befandt sig på 2. klassetrin og i slutningen på 3.
klassetrin.
Analysen i afhandlingens del V dokumenterer både det læringsspor, som forsøgsklassen udlevede, i form af 7 matematiske klasserumspraksisser (Cobb & Yackel, 1996), og diversiteten i forskellige elevers måde at deltage i disse klasserumspraksisser. Med denne analyse som grundlag fokuserer afhandlingens del VI primært på at identificere de mekanismer i forsøgsklassens læringsmiljø, der bevirkede, at stadig mere sofistikerede matematiske praksisser kunne opstå på baggrund af tidligere praksisser (Cobb, Jackson &
Sharpe, 2017). På denne baggrund opstilles sidst i del VI et forslag til et revideret, hypotetisk læringsspor.
Afhandlingens del VII opsummerer, diskuterer og evaluerer projektets bidrag til matematikkens didaktik.
Hovedresultatet er det reviderede, hypotetiske læringsspor, der udgør et bidrag til en lokal
undervisningsteori om tidlig algebraundervisning. Det hypotetiske læringsspor udgør et forslag til, hvordan grundskolens yngste elever kan komme til, at
• generalisere korrespondancesammenhænge ud fra funktionssituationer med lineære sammenhænge
• skabe mening i brugen af variable og variabelnotation i forbindelse med lineære sammenhænge
• anvende funktionstabeller, grafer og ligninger som redskaber til at løse problemer med og sammenligne lineære sammenhænge.
• anvende algebraisk tænkning i reelle kontekster.
5
Summary
This dissertation is based on a research project situated in the field of early algebra teaching and learning – a field that has received growing attention within mathematics education over the last two decades. This same period has seen algebra become part of the curriculum at the elementary level in a number of countries, including Denmark. Part I of the dissertation provides a brief outline of the historical background for this increased focus on and implementation of algebra in elementary schools.
The project has involved two studies: a literature review and a design study. The literature review, which I report in part II of the dissertation, was intended to create an overview of the research field by exploring the following questions:
• what is early algebra?
• why teach early algebra?
• how to teach early algebra?
• to what extent can elementary students learn algebra?
Employing a hermeneutically inspired approach, the review led to a synthesis of the research literature's characterizations of early algebra as a content area, including proposed approaches to early algebra teaching - see Figure 1.
Figure 1. Approaches to early algebra (Adjusted from Kaas, 2019A)
Content Algebraic thinking
Arithmetic and numbers as a line
of approach
Arithmetic and quantities a line of
approach
Functional relationships as a
line of approach Focusing on
generalizing relationships and properties
Identifying Symbolizing Justifying
(1A) (1B) (1C)
Focusing on using algebraic
representations as tools
Translating Working with Interpreting
(2A) (2B) (2C)
6
The review also resulted in a synthesis of research findings regarding elementary students' potential for algebraic thinking, especially linked to the approach characterized in the matrix in Figure 1 as algebraic thinking with functional relationships as a line of approach (1C and 2C). This provided a basis for framing and justifying the subsequent design study within this approach. One of the main reasons for this choice is that a number of previous studies indicate that functional thinking has great potential as a foundation supporting students' development of sophisticated forms of algebraic thinking, but that more research is needed to understand how classroom teaching can support students’ increasingly sophisticated ways of thinking as they work with function-based relationships. To this end, the design study explored the following research question:
How can a learning trajectory that focuses on functional relationships support the development of algebraic thinking among 8-10-year-old students?
To answer this question, the study particularly focused on the following four sub-questions:
1) Which mechanisms can support 8-10-year-old students in generalizing linear correspondence relationships based on functional situations?
2) Which mechanisms can support 8-10-year-old students’ meaningful use of variables and variable notation when working with linear relationships?
3) Which mechanisms can support 8-10-year-old students’ use of function tables, graphs and equations as tools to solve problems involving linear relationships?
4) How and to what extent can 8-10-year–old students apply algebraic thinking in extra-mathematical contexts?
In Part III of the dissertation, I expand on these questions and account for the design study’s methodological and theoretical framework.
The study is based on design research and primarily intended to contribute to the development of local instructional theories for early algebra. This methodological approach includes the development of an initial design formed as a learning trajectory. In a narrow sense, this initial design builds on local theories for instruction in early algebra, and especially on research by Blanton et al. (2015) and Carraher,
Schliemann and Schwarz (2008). In a more general perspective, the design draws on Realistic Mathematics Education, more specifically on design principles described by Gravemeijer (1999). In an even broader perspective, the design is situated within what has been termed the emergent perspective on classroom
7
teaching and learning (Cobb & Yackel, 1996). The design thus build on concepts and perspectives that relate to Cobb and Yackel's framework for situating student learning within the classroom as a social context.
A teaching experiment based on the initial design formed a core part of the study. On the one hand, the intention was to explore students' learning processes in the learning environment that the design helped to create; on the other hand, the experiment was used to refine this initial design. In part IV, I present both the initial design and the framework for the teaching experiment, which was conducted in a Danish classroom in collaboration with an elementary schoolteacher over a 16-month period. At the beginning of the experiment, the students were in second grade; by the end, they were in third grade.
The analysis in Part V of the dissertation documents both the actual learning trajectory in the experimental classroom in the form of seven mathematical classroom practices (Cobb & Yackel, 1996), and students' diverse way of participating in these classroom practices. Based on this analysis, Part VI primarily focuses on identifying the mechanisms in the classroom learning environment that promoted the emergence of increasingly sophisticated mathematical practices from existing practices (Cobb, Jackson & Sharpe, 2017).
This allows the proposal of a revised, hypothetical learning trajectory, presented at the end of Part VI.
Part VII of the dissertation summarizes, discusses and assesses the project's contribution to mathematics education. The main finding concerns the revised, hypothetical learning trajectory, which contributes to a local instructional theory for early algebra teaching. This hypothetical learning trajectory proposes a way in which teaching can support elementary students:
• in generalizing correspondence relationships based on functional situations with linear functions
• in making meaningful use of variables and variable notation when working with linear relationships
• in using function tables, graphs and equations as tools to solve problems involving linear relationships.
• in using algebraic thinking in real-world contexts.
8
Indholdsfortegnelse
Forord ... 1
Resume ... 2
Summary ... 5
Indholdsfortegnelse ... 8
I. Introduktion ... 10
1. Projektets problemstilling ... 11
II. Forskning i tidlig algebra ... 18
2. Introduktion til del II ... 19
3. Litteraturreviewets metode ... 20
4. Hvad er tidlig algebra? ... 28
5. Hvorfor undervise i tidlig algebra? ... 43
6. Indholdsmæssige tilgange til tidlig algebra ... 48
7. 6-12-åriges potentiale for algebraisk tænkning ift. funktionelle sammenhænge ... 60
III. Rammer ... 78
8. Introduktion til del III ... 79
9. Et empirisk studie om tidlig algebra ... 81
10. Metodisk ramme ... 91
11. Overordnede teoretiske rammer for designet ... 103
12. Rammer knyttet til domænespecifikke og lokale undervisningsteorier ... 114
IV. Eksperiment ... 128
13. Introduktion til del IV ... 129
14. Forsøgsundervisning som kilde til data ... 130
15. Mål, udgangspunkt og hypotetisk læringsspor ... 137
V. Analyse af forsøgsklassens læringsspor ... 154
16. Introduktion til del V ... 155
17. Analysemetode ... 157
18. Forsøgsklassens sociale og sociomatematiske normer ... 164
19. Praksis 1: Faktuelle og kontekstuelle generaliseringer ... 171
20. Praksis 2: Funktionstabeller som redskaber ... 180
21. Praksis 3: Oversættelser, der involverer variabelnotation ... 187
22. Praksis 4: Generaliseringer, der involverer variabelnotation ... 194
23. Praksis 5: Sammenligninger af to funktionelle sammenhænge ... 202
9
24. Praksis 6: Ligningsløsning ... 213
25. Praksis 7: Algebraisk tænkning i reelle kontekster ... 220
VI. Analyser rettet mod et revideret læringsspor ... 230
26. Introduktion til del VI ... 231
27. At generalisere lineære korrespondancesammenhænge ... 233
28. At skabe mening i variabelnotation ... 242
29. At bruge algebraiske repræsentationer som redskaber ... 251
30. At tænke algebraisk i reelle kontekster ... 260
VII. Diskussion og konklusion ... 266
31. Introduktion til del VII... 267
32. Diskussion af litteraturreviewet ... 268
33. Diskussion af designstudiet ... 272
Bilag ... 284
A. Interviewguides ... 285
B. Undervisningsplaner ... 289
C. Opgaveark med ligningsløsning ... 295
D. Eksempler fra læremidler, der bygger på designstudiet ... 296
Referencer ... 301
10
I. Introduktion
Del I
Introduktion
11
1. Projektets problemstilling
Hensigten med denne del I er at introducere projektets problemstilling og afhandlingens opbygning.
1.1. Algebras betydning i uddannelse, hverdagsliv og samfundsliv
Algebra er ikke et af de mest fremtrædende ord i den danske læseplan for matematikundervisning i folkeskolen. I den gældende læseplan (Børne- og Undervisningsministeriet, 2019A) dukker det ganske vist op i stofområdet Tal og algebra, men frem til og med 6. klassetrin udgør algebra kun et ud af tre
færdigheds- og vidensområder under dette stofområde, der kun udgør et ud af fire såkaldte
kompetenceområder. På 7.-9. klassetrin er algebra opdelt i tre færdigheds- og vidensområder, og på den måde fylder det lidt mere i landskabet sidst i skoleforløbet, men i det samlede billede af læseplanen er det generelt andre overskrifter end ’algebra’, der fanger blikket.
Når algebra alligevel er et helt centralt fagområde i folkeskolens matematikundervisning, skyldes det især, at de notationsformer og metoder, der knytter sig til algebra, indgår i de fleste andre af folkeskolens matematiske stofområder og i de matematiske kompetencer. Algebraiske notationsmåder kan fx bruges til at beskrive sammenhænge mellem mål i figurer og i formler til beregninger af mål. Algebraiske metoder kan desuden støtte matematiske ræsonnementer og fungere som redskab til problemløsning og
modellering. I den sidstnævnte funktion bidrager algebra til anvendelse af matematik i sammenhæng med andre fag og med omverdenen i det hele taget. Især har elevers forståelse af algebra i forbindelse med beskrivelser af forandringer og sammenhænge afgørende betydning for deres muligheder for at anvende matematik i hverdagsliv, uddannelsesliv, arbejdsliv og samfundsliv samt som hjælpedisciplin i andre fag.
I skrivende stund, hvor corona-krisen for nylig (forhåbentlig) har passeret sit højdepunkt, kan man fx opleve, hvordan algebra i et samspil med statistik og lægevidenskab dukker op i hverdagslivet hos de fleste danskere, når medier viderebringer modeller, der forsøger at forudsige krisens udvikling. Modellerne bygger naturligvis på lægefaglige vurderinger, men metoderne bag forudsigelserne og de kurver, der igennem uger har været bragt i danske medier, bygger også på bl.a. funktioner og variable. Det er naturligvis langt fra altid, at eksponentiel vækst og betydningen af variable som ’kontakttal’ bliver ekspliciteret så tydeligt i medierne, som det har været tilfælde under krisen. Eksemplet kan imidlertid minde os om, at algebra generelt kan være vigtigt for at kunne forstå og forholde sig til problemstillinger, der vedrører hverdagsliv og samfundsliv. Desuden kan det minde os om, at algebra i samspil med andre
12
discipliner kan spille en central rolle i beslutningsprocesser, der har betydning for vores liv, og som vi derfor må kunne forstå og forholde os til for at kunne deltage i et demokratisk samfund. Endelig kan det minde os om, at det kan være afgørende, at nogle mennesker specialiserer sig til at kunne anvende algebraiske metoder i samspil med andre fag. Kaput (1999) udtrykker dette sidstnævnte aspekt af algebras betydning således:
algebraic reasoning in its many forms, and the use of algebraic representations such as graphs, tables, spreadsheets and traditional formulas, are among the most powerful intellectual tools that our civilization has developed. Without some form of symbolic algebra, there could be no higher mathematics and no quantitative science, hence no technology and modern life as we know them.
(Kaput, 1999, s. 3-4)
Generelt kan algebra betegnes som ’en nøgle’ til dybere forståelse af matematik som både videnskabsfag, anvendelsesfag og dannelsesfag (Jensen, 2000), og derfor er det ikke overraskende, at algebraiske begreber og metoder også spiller en central rolle på de fleste ungdomsuddannelser (fx Børne og
Undervisningsministeriet, 2017) og på mange videregående uddannelser - også uddannelser, der ikke har matematik som sit primære sigte (fx Københavns Universitet, 2020).
1.2. Vanskeligheder ved læring af algebra
Matematikdidaktisk forskning peger imidlertid på, at mange elever i store dele af verden har
vanskeligheder med at lære algebra (Stacey & MacGregor, 1997; Fujii, 2003; Smith, 2003). I Danmark er disse vanskeligheder bl.a. kommet til udtryk i PISA-undersøgelserne, hvor danske elever i 2012 klarede sig dårligere inden for testområdet ´Forandringer og sammenhænge´ end i andre testområder (Egelund, 2013).
Dette område involver algebra, og resultatet tyder derfor på, at danske grundskoleelever har
forholdsmæssigt vanskeligere ved algebra end ved andre fagområder i matematik. Desuden har flere undersøgelser om matematiklæring og -undervisning i gymnasiet udpeget algebra, og specifikt algebraisk symbolbehandling, som et særligt vanskeligt fagområde (Blomhøj & Jensen, 2007; Jensen, Holm & Winsløw, 2015; Schou, 2018).
I USA har vanskeligheder med algebra ført til fiasko for mange elever i det særlige fag, algebra har udgjort i den amerikanske high school (Kaput, 2008). Specielt har det ført til, at elever fra økonomisk og socialt
13
belastede dele af befolkningen har forladt skolen uden at kunne få adgang til de videregående uddannelser, som kræver et vist niveau i algebra. Eftersom netop succes i algebra har udgjort et ’adgangskort’ til disse uddannelser, har faget fungeret som en slags sorteringsmekanisme til visse dele af uddannelsessystemet og dermed til grene af samfundet. I Danmark er denne ’gatekeeper-funktion’ måske mindre forbundet med algebra end i USA, men et bestået B-niveau i matematik er et krav på en lang række videregående
uddannelser, og dette krav er vanskeligt at opfylde for en ret stor gruppe elever i gymnasierne. Således fik 31,2 % af eleverne karakteren -3 eller 0 ved eksamen på stx B i 2019. En væsentlig del af elevernes
vanskeligheder ved disse prøver ser ud til at vedrøre algebraiske begreber og metoder (Børne- og Undervisningsministeriet, 2019B).
Matematikdidaktisk forskning, især fra 1980´erne og 1990´erne, har fokuseret på at afdække, hvad elevers vanskeligheder med algebra mere specifikt består i. Vanskelighederne kan bl.a. dreje sig om forståelse af lighedstegnet (Stacey & MacGregor, 1997; Fujii, 2003), om at tolke og anvende bogstaver for variable (Smith 2003) og om at regne med ubekendte (Carraher & Schliemann, 2007). I 1990´erne pegede flere forskere på, at skolens traditionelle adskillelse mellem aritmetik og algebra kan være en væsentlig årsag til sådanne vanskeligheder (Schoenfeld, 1995). Hvis elever i deres arbejde med aritmetik fx udelukkende har anvendt lighedstegnet som et signal til at finde facits i regnestykker, giver det dem ingen erfaringer at trække på, når de senere skal udvikle forståelser af lighedstegnets betydning i ligninger eller funktioner (Sfard & Linchevski, 1994; Stacey & MacGregor, 1997; Fujii, 2003). På tilsvarende vis: Hvis elever i deres arbejde med aritmetik udelukkende har arbejdet med udtryk, der består af tal og regnetegn til venstre for et lighedstegn og et resultat i form af et enkelt tal til højre for et lighedstegn, så har de ingen erfaringer at trække på, når de senere skal kunne arbejde med ligninger, der har ubekendte på begge sider af
lighedstegnet (Sfard & Linchevski, 1994). Mere generelt kan man sige, at arbejdet med aritmetik på de yngste klassetrin i grundskolen ikke nødvendigvis forbereder elever til at udvikle viden og kunnen inden for algebra, men måske tværtimod kan modarbejde overgangen til algebra på senere klassetrin (Smith 2003;
Kaput, 2008).
1.3. En alternativ tilgang til undervisning i algebra
I USA tog en ide om lade algebra indgå i et samspil med især aritmetik helt fra grundskolens begyndelse fart i 1990´erne efter anbefalinger fra bl.a. The National Council of Teachers (NCTM, 1989) og fra en
arbejdsgruppe nedsat af U.S. Department of Education (Schoenfeld, 1995). Den grundlæggende tanke var, at elever gennem en bevidst sammentænkning af algebra med andre fagområder, helt fra de første
14
klassetrin, både ville kunne få mulighed for at lære algebra og andre fagområder med en større grad af forståelse (Kaput, 1999).
Det direkte mål med denne nye, tidlige tilgang til algebra var på den måde at imødekomme elevers vanskeligheder med at lære algebra, men den mere overordnede hensigt var i USA også at demokratisere adgangen til det at kunne algebra og dermed til flere grene af uddannelsessystemet og arbejdsmarkedet.
Den nye, tidlige tilgang til algebra skulle med andre ord gøre algebra til et fagområde for alle.
Fagdidaktikere understregede, at forandringen ikke bare skulle handle om at flytte den traditionelle
algebraundervisning fra de ældste klassetrin til de yngste klassetrin, men at der skulle udvikles en helt ny og bredere tilgang til algebra, som kunne bidrage til at skabe sammenhæng, dybde og kraft i
grundskoleundervisningen (Kaput, 2008).
1.4. Forskning i og implementering af tidlig algebra
Den omtalte nye tilgang til algebra kom efterhånden til at danne et forskningsfelt, der blev betegnet som
’tidlig algebra’. Naturligt nok skabte ideen om tidlig algebra en del diskussion i uddannelseskredse (fx Carraher & Schliemann, 2007; Kaput, 2008). Det blev bl.a. diskuteret, om elever allerede fra begyndelsen af deres skolegang kunne være klar til at lære algebra? I så fald, hvilken slags algebra? Vil det ikke være bedre, hvis eleverne lærer det grundlæggende, i form af bl.a. beregninger med naturlige tal, før de lærer det mere abstrakte, i form af algebra?
Emnerne i diskussionen kan syntetiseres i følgende fire spørgsmål:
• Hvad kan forstås ved tidlig algebra?
• Hvorfor kan det være hensigtsmæssigt at undervise i tidlig algebra?
• Hvordan kan der undervises hensigtsmæssigt i tidlig algebra?
• I hvilken grad er det muligt for elever på de yngste klassetrin at lære algebra?
Afhandlingens del II retter sig mod disse spørgsmål ved at rapportere et litteraturreview, der er baseret på forskningslitteratur inden for tidlig algebra i perioden 1995 til 2017. Som det fremgår af dette review, har forskning bl.a. vist, at elever på de yngste klassetrin er i stand til at udvikle algebraisk viden og kunnen i en grad der er langt større, end man hidtil har troet muligt (fx Brizuela, Blanton, Sawrey, Newman-Owens &
Gardiner, 2015), og forskningen har bidraget til at afdække lovende tilgange til tidlig algebraundervisning.
15
Igennem de sidste cirka 20 år er algebra i forskellige landes læseplaner også i stigende grad blevet
gentænkt som et fagområde, der ikke kun hører til på de ældste klassetrin, men som strækker sig igennem hele grundskoleforløbet (fx National Governors Association [NGA] & Council of Chief State School Officers [CCSSO], 2010; Børne- og Undervisningsministeriet, 2019A). I Danmark er der således i gældende
læseplaner under færdigheds- og vidensområdet ’algebra’ for 1.-3. klassetrin bl.a. udtrykt forventninger om, at eleverne får mulighed for at undersøge og udtrykke opdagelser vedrørende tal- og figurmønstre, regneregler og egenskaber ved de naturlige tal.
Tidlig algebra er således blevet etableret som forskningsområde, og implementering af området er i gang på læseplansniveau. Der er imidlertid stadig en række spørgsmål, som er mindre belyste. Bl.a. efterlyses der i forskningslitteraturen mere viden om, hvilke former for undervisning der kan bidrage til, at elever udvikler sig fagligt i retning af specifikke mål (fx Blanton, Brizuela, Gardiner, Sawrey & Newman-Owens, 2015).
Generelt kan man sige, at vi mangler mere viden om konkrete tilgange til undervisning i tidlig algebra. Det er ikke viden, som søger at afgøre, om tidlig algebra ’virker’ eller ej, men snarere viden om, hvordan elever kan begynde at lære algebra. I den forstand er der tale om praksisnære former for viden, og det er netop sådanne former for viden, dette ph.d.-projekt søger at bidrage til.
1.5. Projektets overordnede forskningsspørgsmål
Litteraturreviewet i del II peger specifikt på funktionelle sammenhænge som et stofområde, der virker lovende som tilgang til tidlig algebra. Vi mangler dog stadig viden om, hvordan skolens yngste elever mere konkret kan udvikle det, der i litteraturen betegnes som ’algebraisk tænkning’ med denne tilgang. Det er baggrunden for projektets overordnede forskningsspørgsmål:
Hvordan kan et læringsspor, der fokuserer på funktionelle sammenhænge, støtte 8-10-årige elevers udvikling af algebraisk tænkning?
Et ’læringsspor’ opfattes i denne sammenhænge som begrundede formodninger om den kollektive, gradvise, faglige udvikling, som kan finde sted i matematiske klasserum, og som midler og processer, der kan understøtte, at den tilsigtede faglige udvikling opstår (jf. Cobb, Stephan, McClain & Gravemeijer, 2010).
Projektet sigter på den ene side på at udforme et bud på, hvordan et sådant læringsspor kan se ud i en dansk uddannelsesmæssig kontekst, og på den anden side på at belyse de læringsprocesser, som kan finde sted i tilknytning til et sådant læringsspor. På den måde sigter projektet på at bidrage til en lokal
undervisningsteori om tidlig algebra.
16
Bag projektet ligger der en tro på, at tidlig algebra kan bidrage til at øge danske skoleelevers forståelse af algebra på en sådan måde, at fagområdet kan komme til at fungere for dem som et meningsfuldt redskab til problemløsning, modellering og til matematiske ræsonnementer. For den enkelte elev er det vigtigt at få adgang til det stærke værktøj, som algebra kan være i hverdagsliv, arbejdsliv og for aktiv deltagelse i et demokratisk samfund, og for vores samfund som helhed er det afgørende, at vores børn og unge kan tænke algebraisk. Bag projektet ligger der også en tro på, at integrationen af algebra i andre fagområder kan berige matematikundervisning i grundskolen generelt og på, at algebra ikke behøver at være et fagområde, der er forbeholdt de fagligt stærkeste, men at det kan være for alle.
1.6. Projektets struktur og afhandlingens opbygning
Litteraturreviewet i afhandlingens del II udgør på den ene side et selvstændigt studie, der skaber overblik over tidlig algebra som forskningsområde. På den anden side udgør det en del af forberedelsesfasen til et designstudie ved at danne grundlag for a) forankring af de centrale begreber i designstudiet, b) begrundelse for designstudiets relevans, c) udpegning af den mangel på viden, som designstudiet adresserer (jf. Bakker, 2018) og d) kvalificering af det læringsspor, som har været genstand for udforskning i designstudiet.
I afhandlingens del III gør jeg rede for de indholdsmæssige, metodiske og teoretiske rammer for designstudiet. Først beskriver og begrunder jeg de indholdsmæssige rammer på grundlag af litteraturreviewet. Dernæst gør jeg rede for studiets metodiske tilgang og til sidst for de teoretiske
positioner vedrørende læring og undervisning, der ligger bag studiets design og analyser. Fremstillingen af de teoretiske rammer er formidlet ’oppefra’, så de først vedrører baggrundsteori, dernæst domænespecifik teori og til sidst lokale undervisningsteorier, der rækker tilbage til litteraturreviewet.
Designstudiets metodiske tilgang kan beskrives i tre faser: 1) en forberedelsesfase, 2) en fase med undervisningsforsøg og 3) en fase med retrospektive analyser (jf. Cobb, Jackson & Sharpe, 2017; Bakker, 2018). Disse tre faser udgør en struktur i projektet og har bidraget til at forme afhandlingens del IV, V og VI.
Del IV fokuserer på forberedelsesfasen til og gennemførslen af forsøgsundervisning i en 2.-3. klasse over en periode på 15 måneder. I denne del beskriver jeg først deltagerne i, organisationen af og datakilderne fra denne forsøgsundervisning. Dernæst gør jeg rede for de bærende faglige ideer og mål, for de deltagende elevers faglige udgangspunkt og for udarbejdelsen af et initialt design i form at et hypotetisk læringsspor.
17
Del V fokuserer på analyser af, hvordan læringssporet rent faktisk kom til at udfolde sig i forsøgsundervisningen og på den faglige udvikling, som det medførte hos elever i klassen.
Del VI fokuserer på udvikling af et forbedret, hypotetisk læringsspor. Forslag til forbedringer baseres på en analyse af mekanismer i forsøgsundervisningen, der potentielt kan bidrage til de tilsigtede former for faglig udvikling i andre klasserum, dvs. på de processer i et klasserum, der kan bevirke, at bestemte aspekter af læringsmiljøet kan støtte bestemte faglige udviklinger (Cobb, Jackson & Sharpe, 2017). Sidst i del VI gør jeg rede for mit forslag til dette forbedrede, hypotetiske læringsspor, der sammen med resultatet af
analyserne udgør mit svar på studiets overordnede forskningsspørgsmål.
Afhandlingens afsluttende del VII består diskuterer projektets bidrag til matematikkens didaktik og de mulige tiltag inden for teori og praksis, som det kan give anledning til.
18
II. Forskning i tidlig algebra
Del II
Forskning i tidlig algebra
19
2. Introduktion til del II
I denne del af afhandlingen rapporterer jeg et litteraturreview om tidlig algebra. Isoleret set er hensigten med rapporteringen at belyse og danne overblik over centrale aspekter af dette forskningsområde. Set i forhold til projektet som helhed er hensigten at danne baggrund for udformningen af det efterfølgende designstudie. Mere specifikt danner reviewet baggrund for, at jeg i næste del af afhandlingen (del III) kan
• udrede og forankre designstudiet centrale begreber i forskningslitteraturen,
• begrunde, hvorfor designstudiet er relevant, og
• udpege den mangel på viden, som designstudiet adresserer (jf. Bakker, 2018).
Jeg har forfulgt denne dobbelte hensigt ved at søge svar i forskningslitteratur på følgende fire spørgsmål:
• Hvad kan forstås ved tidlig algebra (Hvad-spørgsmålet)?
• Hvorfor kan det være hensigtsmæssigt at undervise i tidlig algebra (Hvorfor-spørgsmålet)?
• Hvordan kan der undervises hensigtsmæssigt i tidlig algebra (Hvordan-spørgsmålet)?
• I hvilken grad er det muligt for elever på de yngste klassetrin at lære algebra (Lærings-spørgsmålet)?
Metodisk set er litteraturreviewet inspireret af Boell og Cecez-Kecmanovics (2010; 2014; 2015)
hermeneutiske tilgang til reviews. I kapitel 3 gør jeg rede for, hvordan jeg i en vekslen mellem identifikation af relevante tekster og udvikling af overblik over disse tekster gennem analyse har søgt svar på de fire spørgsmål. Derefter følger min rapportering af de fire spørgsmål i kapitel 4-7.
Jeg har tidligere omtalt reviewet i teksten ’The Landscape of Early Algebra Teaching and Learning’ (Kaas, 2018) og rapporteret dele af det i artiklen ’Tilgange til tidlig algebra’ (Kaas, 2019A).
20
3. Litteraturreviewets metode
Litteraturreviewet er, inspirereret af Boell og Cecez-Kecmanovic (2010; 2014; 2015), baseret på en
hermeneutisk tilgang til reviews. I modsætning til et såkaldt systematisk review (Gough, Oliver, & Thomas, 2017; Pors & Johannsen, 2013) er et hermeneutisk inspireret review ikke en lineær proces, der
nødvendigvis indledes med systematiske databasesøgninger. Reviewprocessen betragtes som en forståelsesproces, der udvikler sig gennem en vekslen mellem dele og helheder, dvs. som en vekslen mellem identifikation af relevante tekster og udvikling af overblik over disse tekster gennem analyser.
Forståelsen af litteraturen udvikler sig således gradvist i en vekslen mellem det Boell og Cecez-Kecmaninov (2014) kalder ´Search and acquisition´ cirklen og ’Analysis and interpretation´ cirklen. Specifikke spørgsmål kan udvikle sig, efterhånden som forskeren gradvist udvikler overblik over helheden.
Figur 3.1. Et hermeneutisk rammeværk for processer i litteraturreviews bestående af to hermeneutiske cirkler (Boell &
Cecez-Kecmanovic, 2014, s. 264.)
Reviewet bygger på tre ´runder´ i de hermeneutiske cirkler fra Boells og Cecez-Kecmanovics model. I det følgende beskriver jeg søgninger og valg i hver af de tre runder.
21 3.1. Første runde
Hensigten med søgningerne i første runde var at skabe et indledende overblik, der kunne kvalificere de styrende spørgsmål og de efterfølgende søgninger ved at introducere terminologi, forskningstilgange og navne på centrale forskere inden for tidlig algebra. Et sådant overblik fremkommer, ifølge Boells og Cecez- Kecmanovics (2010; 2014) primært igennem litteratur, der opsamler og summerer forskningsstudier. I første runde af litteratursøgningen fokuserede jeg derfor på bogudgivelser frem for tidsskriftsartikler og konferencebidrag. Jeg betragtede i denne runde ethvert aspekt af algebra med særligt fokus på de yngste klassetrin som relevant, det vil bl.a. sige både historik, rammeværk, undervisning, læring og
lærerkompetencer.
Først identificerede jeg relevante håndbøger med søgestrengen ”handbook” AND ”mathematics education”
i databasen AU LIBRARY, og dernæst andre relevante bogudgivelser i samme database med søgestrengen
"early algebra" OR "prealgebra" OR "pre-algebra", idet jeg fra min indledende, ikke-systematiske, læsning vidste, at algebra på de yngste klassetrin er blevet omtalt som både ’tidlig algebra’ og ’pre-algebra’. Ingen af de to søgninger havde tidsbegrænsninger eller begrænsninger på sprog.
Den første søgning gav 52 poster med håndbøger, hvoraf jeg udvalgte 12 titler, fordi de retter sig mod matematikundervisning og læring i grundskolens normalundervisning. Den anden søgning gav 29 poster med bøger, hvoraf de 14 var gengangere.
Hensigten med den efterfølgende sortering og udvælgelse af bogkapitler var at identificere de mest relevante tekster i søgningen. Teksterne sorterede jeg efter det kriterium, at de vedrørte ’primary
education’ (6-11-årige). På den måde blev de i alt 67 poster reduceret til 42 poster. 38 af de i alt 42 tekster var fra før 2012. Jeg anvendte, jf. Boells og Cecez-Kecmanovics anbefalinger (2014), Google Scholar til at sortere disse 38 tekster efter det antal gange, de var blevet citeret (september, 2017). Målet med denne fremgangsmåde var at skabe overblik over fagområdet ud fra de mest benyttede tekster. I senere søgninger ville jeg kunne vende tilbage til de poster, der var relevante for netop de aspekter af tidlig algebra, som jeg udvalgte på baggrund af overblikket. Af pragmatiske grund valgte jeg 50 citeringer, som grænsen for inklusion af teksterne. Det førte til 12 tekster, som jeg læste sammen med de 4 af teksterne, der var udgivet efter 2012 - og som derfor ikke havde haft store muligheder for at opnå mange citeringer, men som kunne være de mest aktuelle.
Læsningen af de i alt 16 tekster foretog jeg i rækkefølge efter deres udgivelsesår for at give mulighed for at spore eventuelle udviklinger inden for fagområdet. Undervejs i læsningen noterede jeg relevante søgeord,
22
navne på forskere, konferencer og pointer. Disse noter dannede grundlag for følgende beslutninger om den fortsatte proces:
• Perioden for litteraturreviewet blev afgrænset til 1995-2017.
Denne periode valgte jeg, fordi flere af teksterne i 1. runde omtalte et skift for forskningen i grundskolens algebra, som fandt sted midt i 1990´erne. Frem til dette tidspunkt fokuserede forskningen primært på mellem- og sluttrinselevers fejl og misopfattelser inden for algebra, men i de følgende år har forskningen bl.a. fokuseret på de algebraiske forståelser, som grundskolens yngste elever er i stand til at udvikle gennem undervisning (Carraher & Schliemann, 2007; Kaput, 2008; Kieran, 2006; Kieran, Pang, Schifter &
Ng, 2016; Stephens, Ellis, Blanton & Brizuela, 2017). Ifølge teksterne blev dette skift især initieret af en række arbejdsgrupper, herunder the U.S. Department of Education Algebra Initiative Colloquium, som i 1995 udgav en rapport, der anbefalede en satsning på tidlig algebra (Schoenfeld, 1995). Denne rapport fremhæves i flere tekster som en af de faktorer, der dannede afsæt for forskningen i området (Carraher &
Schliemann, 2007; Kieran et al., 2016; Stephens et al., 2017)
• Den relevante aldersgruppe blev afgrænset til intervallet fra 6 år til 12 år.
Denne afgrænsning blev anvendt i de af de 16 tekster, som omtalte en specifik aldersafgrænsning.
• Et nyt relevant søgeord blev tilføjet til de søgeord, der blev anvendt i første runde: (early) algebraization
Det viste sig, at denne betegnelse i nogle sammenhænge blev brugt om algebralæring og -undervisning på de yngste klassetrin (Cai & Knuth, 2011).
3.2. Anden runde
Hensigten med søgningerne i anden runde var at identificere relevant forskningslitteratur fra både tidsskrifter, bøger og konferencer. Til det formål valgte jeg databasen ERIC, fordi denne database giver adgang til store mængder af uddannelsesrelateret litteratur, og MathEduc, og fordi det er en international database inden for matematikdidaktik.
I ERIC anvendte jeg følgende søgestreng:
“ab(algebra*)” OR “pre-algebra” OR ”prealgebra” OR “early algebra” OR “algebraic thinking” OR “algebraic reasoning”.
23
Med denne søgestreng inkluderes tekster, hvor ordet ´algebra´ eller forlængelser af ´algebra´, for eksempel
´algebraization, findes i tekstens abstracts. Desuden inkluderes tekster, hvor ordene ´pre-algebra´,
´prealgebra´, ´early algebra´, ´algebraic thinking´ eller ´algebraic reasoning´ findes et vilkårligt sted i teksten.
Jeg afgrænsede søgningen til tekster, der er ´peer reviewed´, til sprogene engelsk, dansk, svensk og norsk, og til uddannelsestrinnene ´early childhood education´, ´elementary education´, ´grade 1, 2 ,3 ,4 ,5, 6´,
´intermediate grades´ og ´primary education´. Søgningen gav i alt 353 tekster.
I MathEduc valgte jeg koderne H11, H12 og H13 for at søge inden for kategorien ´Algebra´ (H) og
underkategorien ´comprehensive works on algebra and the teaching of algebra´. Det sidste tal i hver kode betegner aldersklasserne: ´preschool´ (1), ´1st. to 4th year of school´ (2) og ´5th to 10th year of school´ (3).
Denne søgning gav i alt 92 nye tekster.
Rundens databasesøgning gav i alt 445 tekster, som jeg reducerede til 162 på baggrund af læsning af resuméer og til 51 på baggrund af fuldtekstlæsning ud fra følgende inklusionskriterier:
1) Publiceret i perioden 1995-2017 2) Fokus på elever i aldersgruppen 6-12 år 3) Publiceret under review
4) Fokus på undervisnings i og/eller læring af algebra
5) Forskningsprojekter og forskningsbaserede diskussioner af tidlig algebra
Kriterie 1) og 2) valgte jeg, som beskrevet, i første runde. Kriterie 3) valgte jeg for at sikre teksternes videnskabelige kvalitet. Kriterie 4) og 5) valgte jeg ud fra min interesse i at undersøge, hvad der kan og bør opfattes som algebraisk viden og kunnen på de yngste klassetrin, hvorfor det er hensigtsmæssigt at undervise i tidlig algebra, samt hvordan og i hvilken grad elever på yngste klassetrin kan udvikle disse former for viden og kunnen. Disse kriterier medførte bl.a., at jeg fravalgte tekster, som fokuserer på lærerkvalifikationer knyttet til algebraundervisning.
For at bevare overblikket over den voksende mængde af tekster udfyldte jeg til hver tekst, dvs. til de 16 tekster fra første runde og de 51 tekster fra anden runde, et skema med noter i følgende kategorier:
24 Reference
Type forskning
Resume med forskningsresultater (i hvilken grad) Hvorfor tidlig algebra?
Hvad forstås som indholdet i tidlig algebra?
Hvordan forstås undervisning i tidlig algebra?
Figur 3.2. Skema til noter fra inkluderede tekster.
I løbet af denne anden runde præciserede jeg de spørgsmål, jeg har beskrevet i kapitel 2, til:
1) Hvilke indholdsmæssige rammer for tidlig algebra foreslås?
2) Hvilke begrundelser gives for tidlig algebra?
3) Hvilke indholdsmæssige tilgange til tidlig algebra foreslås?
4) Hvilken rolle spiller kontekster og matematisk syntaks i tidlig algebraundervisning?
5) Hvilket potentiale har 6-12-årige børn for at udvikle algebraisk tænkning i tilknytning til funktionelle sammenhænge?
Disse spørgsmål er forbundet med de oprindelige spørgsmål på følgende måde:
Spørgsmål 1) er forbundet med at undersøge, hvad der kan forstås ved tidlig algebra. Præciseringen består i en tydeliggørelse af, at spørgsmålet drejer sig om indholdet i undervisningen (og fx ikke om tilgange til dette indhold).
Spørgsmål 2) er forbundet med at undersøge, hvorfor det kan være hensigtsmæssigt at undervise i tidlig algebra. Præciseringen består i en tydeliggørelse af, at spørgsmålet drejer sig om, hvordan man kan begrunde forskellige hensigter.
Spørgsmål 3) er forbundet med at undersøge, hvordan kan der undervises hensigtsmæssigt i tidlig algebra.
Igennem min læsning i 1. runde blev jeg i stigende grad bevidst om, at tidlig algebra betragtes som et indholdsområde, der er flettet sammen med andre indholdsområder i matematik. Alt efter hvilke indholdsområder, der kombineres, tales om forskellige tilgange til indholdet. Spørgsmål 3) sigter på at belyse disse forskellige indholdsmæssige tilgange.
Igennem min læsning i 1. runde blev jeg også i stigende grad opmærksom på, at der er forskelle på den betydning, forskere tillægger kontekster og matematisk symbolsprog i tidlig algebra. Set i forhold til det
25
oprindelige spørgsmål om at undersøge, hvordan man kan undervise i tidlig algebra, opfattede jeg disse forskelle som relevante. Det er baggrunden for, at min belysning af hvordan-spørgsmålet også kom til at omfatte spørgsmål 4).
Endelig er spørgsmål 5) forbundet med at undersøge, i hvilken grad det er muligt for elever på de yngste klassetrin at lære algebra. Præciseringen består i afgrænsningen af, at det drejer sig om 6-12-årige elevers algebraiske tænkning i tilknytning til funktionelle sammenhænge. Jeg valgte denne afgrænsning, fordi jeg igennem min læsning i 1. runde kom til at betragte funktionelle sammenhænge som en tilgang til tidlig algebraundervisning, der rummer et stort potentiale, men som endnu er forholdsvist lidt belyst på de yngste klassetrin.
3.3. Tredje runde
Hensigten med søgningerne i tredje runde var at identificere evt. nye perspektiver på tilgange til tidlig algebraundervisning og tilføjelser til perspektiver, som blev identificeret i anden runde. Til dette formål anvendte jeg referencelistesøgninger. Søgningerne havde i denne runde karakter af ’snowballing’, dvs. en proces, hvor bunken af relevante tekster vokser gradvist, efterhånden som (nogle af) de udvalgte tekster
´peger´ på nye tekster, der kan være relevante (Boell & Cecez-Kecmanovic, 2014; Greenhalgh et al., 2005).
Søgningerne førte til tilføjelse af 18 nye tekster. Til hver af disse 18 tekster udfyldte jeg skemaet fra figur 3.2 med noter.
3.4. Overblik over teksterne i reviewet
De tre runder gav henholdsvis 16, 51 og 18, i alt 85, publikationer, som geografisk fordeler sig på følgende måde: ca. 67 % af teksterne er fra USA, ca. 9 % fra Canada, ca. 9 % er fra Australien, ca. 5 % fra Asien og ca.
9 % er fra Europa. Ingen af de inkluderede tekster er fra Sydamerika eller Afrika, og de nordiske lande er ikke repræsenteret.
42 af teksterne rapporterer kvalitative studier, der bygger på forsøgsundervisning, observationer og/eller interviews. 13 af teksterne rapporterer kvantitative studier, hvor effekten af en variabel (typisk en bestemt type undervisningsindsats) afprøves blandt en repræsentativ gruppe elever ved hjælp af før- og eftertest og sammenlignes med en kontrolgruppe. 7 af teksterne kombinerer kvalitative og kvantitative tilgange, og 23
26
af teksterne er litteraturstudier, der bygger på andre tekster med henblik på at rammesætte eller skabe overblik over forskningsområdet, eller med henblik på at udvikle eller diskutere teoretiske positioner.
72 af teksterne giver konkrete forslag til indholdsmæssige tilgange til tidlig algebraundervisning. De øvrige 13 tekster giver udelukkende mere overordnede perspektiver på tidlig algebra.
3.5. Analyse af teksterne
Som tidligere beskrevet knyttede min analyse sig til følgende fem spørgsmål:
1) Hvilke indholdsmæssige rammer for tidlig algebra foreslås?
2) Hvilke begrundelser gives for tidlig algebra?
3) Hvilke indholdsmæssige tilgange til tidlig algebra foreslås?
4) Hvilken rolle spiller kontekster og matematisk syntaks i tidlig algebraundervisning?
5) Hvilket potentiale har 6-12-årige børn for at udvikle algebraisk tænkning i tilknytning til funktionelle sammenhænge?
9 af de inkluderede tekster giver i alt tre forskellige karakteristikker af, hvad der kan forstås som indholdet i tidlig algebra, jf. spørgsmål 1). Min analyse i tilknytning til dette spørgsmål bestod i en sammenligning af disse tre forskellige karakteristikker. Resultatet af analysen findes i kapitel 4.
I alt 17 af de inkluderede tekster adresserer begrundelser for at etablere fagområdet tidlig algebra, jf.
spørgsmål 2). Jeg kategoriserede og syntetiserede disse begrundelser. Resultatet blev et overblik over de begrundelser for etableringen af fagområdet tidlig algebra, som findes i forskningslitteratur. Overblikket findes i kapitel 6.
Min analyse i tilknytning til spørgsmål 3) og 4) baserede sig på de 72 inkluderede tekster, der giver konkrete indholdsmæssige forslag til tidlig algebraundervisning. I forbindelse med spørgsmål 3) forsøgte jeg først at skabe overblik over ligheder og forskelle mellem teksternes forskellige forslag til indholdsmæssige tilgange ved at anvende de karakteristikker af tidlig algebra, jeg havde identificeret i forbindelse med spørgsmål 1).
Med disse karakteristikker fandt jeg det dog ikke muligt at kategorisere teksterne på en måde, som gav mig det overblik, jeg eftersøgte. Med inspiration fra åben kodning og konstant sammenligning (Glaser &
Strauss, 1967) ændrede jeg min tilgang til analysen, så den foregik i tre faser: Første fase bestod i
udarbejdelsen af noter til hver tekst (jf. skemaet i figur 3.2). Disse noter fokuserede bl.a. på en karakteristik af de forslag til indholdsmæssig tilgang til tidlig algebra, som kom til udtryk i teksterne. Jeg beskrev bl.a.
27
teksternes forslag til fagligt stof og forslag til typer af aktiviteter. Anden fase bestod i at sortere de
indholdsmæssige tilgange efter typer af stof og aktiviteter. Til hver tekst knyttede jeg foreløbige koder, som reflekterede de typer stof og aktiviteter, der blev beskrevet. Den tredje fase bestod i flere gennemgange af noterne og af kodning af de indholdsmæssige tilgange i hver tekst. I denne fase justerede jeg koderne indtil der på en meningsfuld måde kunne knyttes en kode til både stoftype og til aktivitetstype i hver af de indholdsmæssige tilgange, der blev foreslået i teksterne. Resultatet blev en model for indholdsmæssige tilgange til tidlig algebra, som jeg præsenterer i afsnit 6.1.
I tilknytning til spørgsmål 4) bestod min analyse i en kategorisering af de 72 tekster efter en model, der er foreslået af Carraher og Schliemann (2007). Resultatet af analysen er, udover selve kategoriseringen, tre iagttagelser om kontekster og matematisk syntaks i tidlig algebraundervisning, som jeg gør rede for i afsnit 6.4.
Min analyse i forbindelse med spørgsmål 5) var baseret på de 34 tekster, jeg havde kategoriseret under
’funktionelle sammenhænge’. Jeg syntetiserede de perspektiver på funktionelle sammenhænge og de forskningsresultater, der er beskrevet i teksterne. Resultatet blev et overblik over den viden, vi har om 6- 12-årige børns potentiale for at udvikle algebraisk tænkning med funktionelle sammenhænge som tilgang.
Jeg præsenterer dette overblik i kapitel 7.
28
4. Hvad er tidlig algebra?
I litteraturen fandt jeg adskillige forslag til indholdselementer i tidlig algebra, fx hos Smith (2008), men jeg fandt kun tre forskellige fremstillinger, der giver samlende og definerende rammer for, hvad der
karakteriserer tidlig algebra. Jeg omtaler disse tre fremstillinger som karakteristikker af tidlig algebra.
De tre forskellige karakteristikker er givet af Kieran (2004), Kaput (2008) og Radford (2011, 2014), og de er efterfølgende omtalt af Carraher og Schliemann (2007), Kaput, Blanton og Moreno (2008), Kieran, Pang, Schifter og Ng (2016) og Stephens, Ellis, Blanton og Brizuela (2017). Den sidstnævnte gruppe forskere har desuden videreudviklet Kaputs karakteristik (Stephens et al., 2017).
De tre karakteristikker isolerer ikke tidlig algebra fra algebra, der er rettet mod elever i den sidste halvdel af grundskoleforløbet. Tværtimod udgør de hvert sit forsøg på at beskrive algebra i et perspektiv, der dækker alle klassetrin i grundskolen. Desuden rammesætter de tre forskere tidlig algebra ved at beskrive måder at tænke og handle på, som er karakteristiske for det at beskæftige sig med algebra, frem for udelukkende at beskrive de matematiske objekter, som tænkningen drejer sig om.
Ifølge Kaput har den måde, algebra rammesættes på afgørende betydning:
These differences in how we think about algebra show up in many ways. For example, those who think of algebra as reasoning are inclined to consider students´ ways of doing, thinking, and talking about mathematics as fundamental. For them, algebra emerges from human activity; it depends on human beings for its existence, not just historically, but also in the present. Those who think of algebra as an inherited subject matter are comfortable talking about it without thinking about people. They might refer to the commutative law of addition, for example, without having to establish how the law came to be or how students come to learn it (or not). For them,
commutativity is a property of mathematics itself. Each view is useful, depending on our purposes, and we shall use both. (Kaput, 2008, s. 9)
Traditionelt har det perspektiv på algebra, som Kaput i citatet nævner sidst, været dominerende. At tænke på algebra som bestemte måder at tænke og handle på, udgør, ifølge Kieran (2014), en udvidelse af det traditionelle syn på indholdet i skolens algebra, og det er udtryk for en opmærksomhed på to ting: For det
29
første giver udvidelsen mulighed for engagere skolens yngste elever i arbejde med algebra. For det andet giver udvidelsen mulighed for at gøre algebra mere tilgængeligt for alle elever.
Det traditionelle indhold i skolens algebra har, ifølge Kieran (2007) samt Kilpatrick og Izsák (2008), primært været fokuseret på algebraiske bogstavudtryk og ligningsløsning og haft en stærk orientering mod
symbolbehandling. Den primære hensigt har været, at eleverne lærte symbolmanipulation med formelle metoder. Siden midten af 1980´erne har tilhængere af et reformorienteret indhold i skolens algebra imidlertid talt for at udvide dette indhold med funktioner og deres tilhørende repræsentationer samt med en øget vægt på løsning af problemstillinger fra omverdenen ved hjælp af metoder, der fx er understøttet af teknologi i stedet for med symbolmanipulationer alene. Siden midten af 1990´erne har flere forskere i tillæg talt for at udvide perspektiverne på skolens algebra, så de omfatter algebraisk tænkemåder (Kieran, 2007).
Forskerne omtaler disse tænkemåder som hhv. ’algebraic reasoning’ (Kaput, 2008, s. 9) og ’algebraic thinking’ (Kieran, 2004, s. 139; Radford, 2011, s. 308), mens de bruger betegnelsen ’algebra’, når de vil inkludere algebraiske objekter. Som jeg læser teksterne, ligger der hos forfatterne ikke en pointe i at anvende forskellige betegnelser for måder at tænke og handle på, som er karakteristiske for det at
beskæftige sig med algebra. Derfor bruger jeg i den følgende redegørelse betegnelsen ’algebraisk tænkning’
som en fælles betegnelse for ’algebraic reasoning’ og ’algebraic thinking’. Når jeg bruger betegnelsen
’algebra’, dækker det, i overensstemmelse med forfatterne, over både algebraisk tænkning og algebraiske objekter.
I dette kapitel beskriver jeg først i afsnit 4.1-4.3 hver enkel karakteristik i den kronologi, som de er udviklet i. Derefter diskuterer jeg i afsnit 4.4 ligheder og forskelle mellem dem med henblik på at give overblik over forskeres forskellige forståelser af, hvad tidlig algebra er. Ud over at give overblik gør afsnit 4.4 det muligt at placere det efterfølgende designstudies forståelse af tidlig algebra i forhold til de tre karakteristikker (se afsnit 9.1).
4.1. Kierans karakteristik af tidlig algebra
Kierans forskning har primært været rettet mod 12- til 16-åriges algebralæring (Kieran, 2004), og i 1996 formulerede hun en model, der udgør et rammeværk for denne aldersgruppes algebraiske aktiviteter i grundskolen. Modellen er omtalt som GTG-modellen (Kieran 1996, 2004, 2007).
30
I 2004 formulerede Kieran imidlertid også et forslag til en definition på algebraisk tænkning rettet mod de yngste klassetrin, som er forbundet med GTG-modellen. Med dette forslag udvidede hun GTG-modellens målgruppe med henblik på ’… to have a vision of algebraic thinking at the early grades that is completely compatible with certain current perspectives on algebraic activity at the later grades’ (Kieran, 2004, s. 148).
I det følgende gør jeg først rede for Kierans GTG-model, dernæst for hendes syn på sammenhængen mellem denne model og algebraiske aktiviteter på de yngste klassetrin og til sidst for hendes karakteristik af algebraisk tænkning på de yngste klassetrin.
I GTG-modellen kategoriserer Kieran aktiviteter i skolealgebra i tre typer:
Figur 4.1. GTG-modellen. (Tilpasset efter Kieran, 2007, s. 713)
De generaliserende aktiviteter vedrører udformningen af udtryk og ligninger, der, ifølge Kieran, er
algebraens objekter (Kieran, 2007). Som typiske eksempler på den type aktivitet nævner hun: udformning af a) ligninger, der indeholder en ubekendt, og som repræsenterer problemsituationer, b) udtryk for generaliseringer ud fra geometriske mønstre eller talfølger, og c) udtryk for regler, der styrer numeriske sammenhænge.
De transformerende aktiviteter vedrører omskrivninger af og beregninger med symboludtryk (Kieran, 2007). Som eksempler nævner hun bl.a. ligningsløsning, reducering af udtryk, faktorisering og substitution af et udtryk med et andet. Desuden bemærker hun, at nogle refererer til denne type aktivitet som den regelbaserede aktivitet, og at en stor del af aktiviteten vedrører ændringer i den symbolske form på udtryk og ligninger med henblik på at bevare ækvivalens.
Global, metaniveauet vedrører aktiviteter, hvor algebra bliver brugt som et redskab, men som ikke udelukkende vedrører algebra. Disse aktiviteters rolle er bl.a. at give eleverne kontekst, følelse af mening og motivation for at engagere sig i de generaliserende og transformerende aktiviteter. Aktiviteterne inkluderer ’problem solving, modeling, noticing structure, studying change, generalizing, analyzing
Generaliserende
Transformerende Globalt, metaniveau
31
relationships, justifying, proving, and predicting – activities that could be engaged in without using any algebra at all’ (Kieran, 2004, s. 148).
Som det fremgår af citatet skriver Kieran, at der på det globale, metaniveau er tale om generelle matematiske processer og aktiviteter, som eleverne i princippet kunne engagere sig i uden at bruge algebra. Hendes pointe er imidlertid:
However, attempting to divorce these meta-level activities from algebra removes any context or need that one might have for using algebra. Indeed, the global, meta-level activities are essential to the other activities of algebra, in particular, to meaning-building generational activitities; otherwise all sense of purpose is lost. (Kieran, 2004, s. 148)
Kieran betragter aktiviteter knyttet til det globale, metaniveau som afgørende for, at eleverne ikke alene kan skabe mening i algebra, men også for at de kan udvikle måder at tænke på, som er essentielle for succes i algebra. Det faktum, at elever kan engagere sig i aktiviteter knyttet til global, metaniveauet uden at gøre brug af bogstavsymboler, men at aktiviteterne til enhver tid kan komme til at vedrøre
bogstavsymboler, gør dem, ifølge Kieran (2004), til ideelle ’instrumenter’ (vehicles) for en ikke-symbolsk eller pre-symbolsk tilgang til algebraisk tænkning på de yngste klassetrin.
På den baggrund udpeger hun aktiviteter knyttet til global, metaniveauet som aktiviteter, der er velegnet til at indlede algebraundervisningen på de yngste klassetrin. Ud over at påpege, at disse aktiviteter gradvist kan komme til at omfatte bogstavsymboler, foreslår hun, at global, metaniveauet udgør en forløber for de generaliserende og transformerende aktiviteter i GTG-modellen (Kieran, 2004).
Hendes forslag til en karakteristik af algebraisk tænkning på de yngste klassetrin er derfor baseret på global, metaniveaet i GTG-modellen:
Algebraic thinking in the early grades involves the development of ways of thinking within activities for which letter symbolic algebra can be used as a tool but which are not exclusive to algebra and which could be engaged in without using any letter-symbolic algebra at all, such as, analyzing relationships between quantities, noticing structure, studying change, generalizing, problem solving, modeling, justifying, proving, and predicting. (Kieran, 2004, s. 149)
32
Kieran ser således algebraisk tænkning på de yngste klassetrin som tænkning, der finder sted i
sammenhæng med globale matematikaktiviteter, hvor kontekst, meningsskabelse og motivation spiller en central rolle. Det, der adskiller algebraisk tænkning fra andre former for tænkning, er ikke brug af
bogstavsymboler, men det, at tænkningen drejer sig om situationer, hvor bogstavsymboler kan blive brugt som redskab, og hvor en sådan brug ofte er hensigtsmæssigt.
4.2. Kaputs karakteristik af tidlig algebra
Kaputs karakteristik er opdelt i to kerneaspekter af algebraisk tænkning og tre grene af algebraisk stof, som den algebraiske tænkning kommer til udtryk i. De to kerneaspekter er:
(A) Algebra as systematically symbolizing generalizations of regularities and constraints.
(B) Algebra as syntactically guided reasoning and actions on generalizations expressed in conventional symbol systems. (Kaput, 2008, s. 11)
I en uddybning af de to kerneaspekter skriver Kaput og hans kolleger, at de betragter generalisering og symbolisering som ’hjertet’ af algebraisk tænkning og som uløseligt forbundne begreber: Generalisering handler, ifølge dem, om at frembringe et udsagn, der vedrører en samling af enkelttilfælde. Den eneste måde en person kan formulere et sådant udsagn er gennem et udtryk, der gør det muligt at referere til de mange tilfælde på en forenende måde. Et sådant udtryk kræver en symbolsk form, der kan forene
mangfoldigheden. Generalisering er for dem den handling, det er at frembringe denne symbolske form (Kaput, Blanton & Moreno, 2008). Det er netop denne side af algebraisk tænkning, som kerneaspekt (A) udtrykker.
Når symboliseringen først er opnået, udgør den en ny platform på hvilken, der kan handles og ræsonneres, herunder skabes nye symboliseringer (Kaput, Blanton & Moreno, 2008). Det er denne side af algebraisk tænkning som kerneaspekt (B) vedrører. Med andre ord handler dette aspekt om den type handlinger, som kan gennemføres på symboliseringer, der er resultatet af generaliseringer (Kaput, Blanton & Moreno, 2008, s. 49). Som eksempel på en sådan type handling nævner forfatterne: Man kan subtrahere det samme tal på begge sider af lighedstegnet i en ligning. Denne erkendelse kan være baseret på systematiske
33
ræsonnementer og handlinger med udtryk, der er skrevet i et konventionel, algebraisk symbolsprog. De systematiske ræsonnementer og handlingerne er syntaktisk styret, idet de vedrører reglerne i det
’matematiksprog’, der er benyttet i symboliseringen.
Kaput (2008) bemærker, at kerneaspekt (B) typisk forventes udviklet senere end kerneaspekt (A) hos elever, at der blandt matematikere og matematikuddannere er uenighed om, hvilken af de to
kerneaspekter der er mest central for definitionen af algebra, og at der findes forskellige holdninger til, hvilken rolle de to kerneaspekter bør have i tidlig algebralæring.
De tre grene af algebraisk stof er:
1. Algebra as the study of structures and systems abstracted from computations and relations, including those arising in arithmetic (algebra as generalized arithmetic) and in quantitative reasoning.
2. Algebra as the study of functions, relations, and joint variation.
3. Algebra as the application of a cluster of modeling languages both inside and outside of mathematics. (Kaput, 2008, s. 11)
I gren 1 er enten aritmetik eller kvantitativ tænkning udgangspunktet for algebraisk aktivitet. Denne gren omfatter generalisering af aritmetiske operationer og deres egenskaber, af særlige egenskaber ved eller relationer mellem tal og af strategier til beregninger. Med det aritmetiske udgangspunkt kan det fx dreje sig om egenskaber ved tallet 0, om den kommutative lov, inverse relationer, om summen af to ulige tal,
egenskaber ved summen af tre på hinanden følgende tal, om at finde og udtrykke regelmæssigheder i en 100-tavle eller i en tabel eller om at multiplicere med 10 eller 100. Når udgangspunktet er kvantitativ tænkning, er generaliseringerne baseret på undersøgelser af relationer mellem kvantiteter. Aktiviteter, der er knyttet til denne gren af algebra, har det tilfælles, at de involverer en udvidelse af lighedstegnets betydning fra at adskille en operation og et resultat til også at kunne forstås som et tegn, der signalerer samme værdi (Kaput, 2008).
Gren 2 involverer generaliseringer, der kan tænkes som beskrivelser af systematisk variation på tværs af et domæne, og som på den måde er forbundet med ideen om funktioner. Det syntaktiske aspekt af algebra bruges i denne gren normalt til at forandre formen på de udtryk, der beskriver regelmæssighederne (fx en
