Delprøven uden hjælpemidlerOpgave 1a) Graf

(1)

Delprøven uden hjælpemidler Opgave 1

a) Graf

(2)

Opgave 2 a) Undersøg om

er løsning til differentialligningen:

Vi bestemmer den afledte funktion:

Venstre side:

Højre side:

Da venstre og højre side er lig med hinanden er løsning til differentialligningen.

Opgave 3

Opgave 4 a)

Stamfunktionen gennem punktet bestemmes således:

f(x)=2x3-x2

dy

dx+2y= 4x3+4x2-2x

dy

dx=6x2 -2x

6x2-2x+2 2x

(

3-x2

)

⁼^6x²^-²^x+⁴^x³^-²^x² ⁼⁴^x³⁺⁴^x² ^-^2x

4x3+4x2-2x

f ( x )

p(x)=2x2 -x+3 og q(x)=3x+9 2x2-x+3= 3x+9

2x2-4x-6=0

x= 4± (-4)2 -4×2× -6

2×2 = 4±8

4 = 3

{

-1 q(3)=18 og q(-1)=6

Koordinaterne er: 3,18

( )

^og

(

^{-1, 6}

)

f (x ) = 3x

⁵

- 6 x

²

+ 1 2 F (x) =

¹₂

x

⁶

- 2 x

³

+

¹₂

x+ k

P(1, 3)

3= 1

2×16 -2×13+1 2×1+k k=4

(3)

Vi får derfor:

Opgave 5

Vi bestemmer forskriften for den lineære funktion gennem punkterne .

Afsætningen falder med , hvis prisen øges med 5 kr.

F(x)= 1

2x6-2x3+ 1 2x+4

50,2400

( )

og 60, 2100

( )

a= 2100-2400 60-50 = -30 b= 2400- -30

( )

^×⁵⁰⁼ ³⁹⁰⁰

A(x)= -30x+3900

30×5=150 kr

(4)

Delprøven med hjælpemidler Opgave 6

a)

Ved hjælp af Nspire fås, at a = -b, se nedenfor:

b)

Ved hjælp af Nspire fås:

Forklaring til omskrivninger:

(5)

Opgave 7 a)

Udskrift fra Nspire:

"Titel" "Statistik med én variabel"

" ^¯^x " 197661.78333333

"sx := s₋₁x" 85747.275552725

"σx := σ x" 85029.712514526

"n" 60.

"MinX" 8800.

"Q₁X" 141400.

"MedianX" 212400.

"Q₃X" 249900.

"MaxX" 389900.

Gennemsnitsudbudsprisen er: 197.661,78 kr.

Kvartilsættet er: (141.400,212.400,249.900) b)

xy-plot af sammenhængen mellem kørte km og udbudspris:

Q² ⁼ ^2×F×O_P×R Vi har kvadreret på begge sider

P×Q2 = 2×F×O

R Vi har ganget med P på begge sider P×Q2

2×F×O = 1

R Vi har divideret med 2×F×O på begge sider R= ^2×F×O

P×Q2 Vi har ganget over kors og dermed isoleret R

(6)

Ved hjælp af Nspire fås følgende resultat for den lineær regressionsmodel:

"Titel" "Lineær regression (mx+b)"

"RegEqn" "m*x+b"

"m" -0.82135773482676

"b" 278373.87007564

"r²" 0.73968447818412

"r" -0.8600491138209

Estimerede model: uˆ(x)= -0, 82x+278.373, 87 Plot med residualplot:

c)

95%-konfidensinterval for hældningskoefficienten bestemmes ved hjælp af Nspire:

"Titel" "Lineært Reg t-interval"

"RegEqn" "a+b*x"

"CLower" -0.94942788065104

"CUpper" -0.69328758900249

Af udskriften ses det, at hældningen ligger i intervallet

[

-0,95;-0,69

]

_og

konfidensintervallet ligger derfor mellem 0,95 kr./km og 0,69 kr./km. Vi må derfor afvise, at at det kan antages at udbudsprisen falder med 1 kr./km.

d)

Den gennemsnitlige udbudspris for de 60 brugte VW Golf ligger på knap 198.000 kr.

(7)

Jfr. kvartilsættet kan vi konkludere at halvdelen af bilerne har en udbudspris mellem 144.400 kr. og 249.900 kr. Udbudsprisen falder med under 1 kr./km. Der er store udsving i prisen, jfr. xy-plot og residualplot.

Opgave 8 a)

f(x)= ¹₃x³-8x²+28x Vi bestemmer nulpunkterne:

13x³-8x²+28x=0 x

(

¹₃x²-8x+28

)

⁼⁰

x=0Ú¹₃x²-8x+28=0

Ved hjælp af Nspire løses 2.gradsligningen:

L= -4,254;19,756

{ }

b)

¢

f (x)=x²-16x+28

Vi løser f¢(x)=0 ved hjælp af Nspire og får:

(8)

Fortegnet for f¢(x) fås ved indsættelse af passende x-værdier i f¢(x) og monotoniforholdene er følgende:

Funktionen f er:

voksende i

]

-¥;2

]

aftagende i 2;14

[ ]

voksende i 14,

[

¥

[

Opgave 9

Givet efterspørgselsfunktionen: d(t)=500×cos(-0,5t+3)+75t+1200 a) Ved hjælp af Nspire fås:

Den forventede efterspørgsel til tiden t = 3 er 1.460,37.

b)

Ved hjælp af Nspire bestemmes

SD= d(t)dt

0

ò

6

(9)

Den samlede efterspørgsel efter de første 6 måneder er 8.691,12.

Opgave 10 a)

Ved hjælp af Excels sorteringsfunktion er der faktureret 78 ordre i euro.

Andelen er derfor: p=ˆ 78

144 =0,5416667 b)

Der antages følgende fordeling: X∼b(144;0,54)

Mindst halvdelen af ordrene faktureret i euro. bestemt ved hjælp af Nspire:

Sandsynligheden for, at mindst halvdelen af de 144 ordre er faktureret i euro, er 0,85.

Opgave 11 a)

Givet funktionerne:

(10)

f(x)=ln(x-1)+4; x>1 g(x)= -¹₄x²+x+3

Ved hjælp af Nspire bestemmes arealet af det grå område på figuren:

Arealet af det grå område er 9,52.

Opgave 12

Givet funktionen DB(x,y)= -x²+800x-0,25y²+300y a)

Ved hjælp af Nspire fås:

Det samlede ugentlige dækningsbidrag er 240.000 kr.

b)

For niveaukurve N(240000) har vi følgende:

(11)

p= -800 -2 =400 q= - 300

-0, 5=600

K =0-(-1)×400²-(-0, 25)×600²=250000 Vi indsætter i udtrykket:

x-400

( )

²

240000-250000 -1

+

(

y-600

)

²

240000-250000 -0,25

=1

x-400

( )

²

100² +

(

y-600

)

²

200² =1

Af ovenstående ses det, at niveaukurve N(240000) er en ellipse med centrum i (400,600) og halvakser på 100 og 200.

c)

Vi tegner bi- og positivbetingelser samt niveaukurven i et koordinatsystem:

Som det ses ovenfor, ligger centrum for ellipsen netop i skæringspunktet for de to bi-betingelser, hvorfor vi kan konkludere, at det størst mulige samlede dækningsbidrag opnås ved afsætning af 400 stk. vare A og 600 stk. vare B. Det frie maksimum opnås i ellipsens centrum, da koefficienterne a,c<0. Det maksimale dækningsbidrag er K = 250.000.

Opgave 13A

(12)

a)

Størrelsen af det indsatte beløb: 442081,30⋅1,042⁻⁴=375000,001 _kr

b)

Størrelsen af den årlige ydelse bestemmes ved hjælp af Nspire’s finansregner til: 99.862,04 kr.

Opgave 13B a)

Givet differentialligningen p^'(x)=a⋅1

x , hvor a = -0,82.

Fuldstændige løsning til differentialligningen findes ved hjælp af Nspire:

Den fuldstændige løsning er p(x)=−0,82⋅ln(x)+k . (Kan løses ved hjælp af separationsmetoden.)

b)

Vi bestemmer den partikulære løsning ved hjælp af Nspire:

(13)

Den partikulære løsning er p(x)=−0,82⋅ln(x)+96,5525 .

Opgave 13C

a) Pivottabel, der viser sammenhængen mellem alder og holdning til film:

Antal af Alder Kolonnenavne

Rækkenavne 15-25 år 26-40 år over 40 år Hovedtotal

a) Vil bestemt anbefale 16 16 39 71

b) Vil måske anbefale 20 23 38 81

c) Vil ikke anbefale 7 16 38 61

d) Vil fraråde 11 16 32 59

e) Ved ikke 14 18 21 53

Hovedtotal 68 89 168 325

Hypoteser om uafhængighed mellem alder og holdning til film:

H₀: Afhængighed mellem alder og holdning til film H₁: Uafhængighed mellem alder og holdning til film b)

Ved hjælp af Nspire gennemfører vi en

χ

² _{- test:}

(14)

Som det fremgår af udskriften, kan vi ikke afvise nulhypotesen, da p-værdien er større end

signifikansniveauet på 5%, og det må derfor antages, at der er afhængighed mellem alder og holdning til film.

Bidragene til

χ

² -teststørrelsen bestemmes også ved hjælp af Nspire (Stat.CompMatrix):

[[0.088193231788924,0.54972571364729,2.6022765373489,0.14645985121558,0.76403654059592]

[0.60971721426224,0.030199857016337,0.029721297306488,0.0015241052986243,0.8373568598033 [0.14394288809782,0.35783566228011,1.3266090193959,0.0739256224002,1.4936211901306]]

Som det fremgår af ovenstående, er der ikke nogen bidrag der afviger voldsomt.