Hvorfor undervise i tidlig algebra?

Begrundelserne falder i to hovedtemaer som jeg udfolder i de to næste afsnit: Læringsmæssige begrundelser og samfundsmæssige begrundelser.

5.1. Læringsmæssige begrundelser for tidlig algebra

Som angivet i afsnit 3.5 giver 17 af de inkluderede tekster læringsmæssige begrundelser for at undervise i tidlig algebra. Disse begrundelser skal ses i lyset af især amerikansk forskning fra 1980´erne og 1990´erne, som dokumenterede, at elever havde store begrænsninger i deres algebraiske forståelser og

vanskeligheder i handlinger med algebra (Kaput, 2008). Vanskelighederne drejede sig bl.a. om deres forståelse af lighedstegnet (Fujii, 2003; Stacey & MacGregor, 1997), om at tolke og anvende bogstaver for variable (Smith, 2003) og om at regne med ubekendte (Carraher & Schliemann, 2007).

I en stor del af teksterne forklares disse vanskelighederne med, at eleverne traditionelt først bliver introduceret for algebra, herunder funktioner, efter 6-8 års undervisning i bl.a. beregninger. Det kan betyde, at de forståelser af udtryk og symboler, som eleverne allerede har udviklet, kan give

begrebsmæssige konflikter (Tall & Vinner, 1981), når de skal lære algebra. Fx kan eleverne fra

undervisningen i beregninger have udviklet en forståelse af lighedstegnet som en regneoperation, der ikke harmonerer med den forståelse af lighedstegnet, der er knyttet til algebra (Carraher & Schliemann, 2007;

Fujii, 2003). I tillæg argumenteres der i nogle af teksterne for, at elevvanskelighederne er blevet forstærket af, at undervisningen på amerikanske algebrakurser har været isoleret fra andre af matematikkens

fagområder og overfladisk i den forstand, at fokus først og fremmest har været på teknikker til symbolmanipulation, fx (Kaput, 2008).

Adskillelsen af algebra og andre af matematikkens fagområder, især aritmetik, ses således sammen med en snæver opfattelse af det faglige indhold i algebra, som de centrale årsager til elevers vanskeligheder med algebra, og i teksterne udtrykkes der generelt stor tiltro til, at elever allerede på de yngste klassetrin er i stand til at udvikle forståelser af algebraiske begreber og algebraiske repræsentationer. Tidlig algebra er således et svar på de problemer, elever kan have med at skabe mening i algebra. Vi skal med andre ord undervise i tidlig algebra for at undgå de vanskeligheder med algebralæring, som forskning har påpeget.

Brizuela og Schliemann (2004) udtrykker en konsensus mellem forskere om denne begrundelse for tidlig algebra således:

44

They agree that young students can grasp both algebraic concepts and notation, and that the boundaries between the arithmetic and algebra curricula can and should be downplayed. Many researchers have suggested that students’ difficulties with algebra arise from their previous lack of experience with arithmetic and algebraic generalizations that should be integral to the arithmetic curriculum. (Brizuela & Schliemann, 2004)

Det fremgår af citatet fra Brizuela og Schliemann, at den omtalte begrundelse for at undervise i tidlig algebra på det tidspunkt havde karakter af en hypotese. Et centralt spørgsmål er derfor, hvilket grundlag der findes for, at undervisning i tidlig algebra rent faktisk har potentiale til at undgå de vanskeligheder med algebralæring, som forskning tidligere har påpeget? Hvilke algebraiske begreber er det muligt for elever på de yngste klassetrin at arbejde med, og kan eleverne udvikle forståelse, der kan imødekomme

vanskelighederne? Flere forfattere har peget på, at grundlaget for at besvare disse spørgsmål er under opbygning. I 2007 skrev Carraher og Schliemann fx, at der i forskerkredse ser ud til at være overvejende enighed om, at algebra har en plads på de yngste klassetrin, men at forskningsgrundlaget for undervisning i tidlig algebra stadig er under udvikling, at resultaterne af den eksisterende forskning ikke er udbredt, og at den er langt fra at være konsolideret (Carraher & Schliemann, 2007). I den senere litteratur er tiltroen til grundlaget for tidlig algebra steget, men der peges fortsat på behovet for yderligere forskning:

There is a growing body of research that provides empirical evidence of how the development of early algebraic thinking evolves into more sophisticated ways of thinking. In turn, these more sophisticated ways of thinking serve to influence subsequent learning of important algebraic concepts given longitudinal interventions. Nevertheless, more systematic and long-term

investigation is needed to show the impact of early algebraic thinking on the later study of algebra.

(Schifter et al., 2016, s. 15)

En anden læringsmæssig begrundelse for undervisning i tidlig algebra findes hos Dougherty (2008) og Schmittau (2011). De tilslutter sig begge russeren Davydovs tilgang til matematikundervisning, der bygger på Vygotskis teori om læring og undervisning. I denne tilgang skelnes der mellem spontane begreber, som eleverne udvikler gennem hverdagserfaringer, og videnskabelige begreber, som skolen skal støtte eleverne

45

i at udvikle, sådan at de bliver i stand til at tænke teoretisk. Undervisningen skal fra begyndelsen af skoleforløbet sigte på elevernes udvikling af videnskabelige begreber ved, at eleverne reflekterer over generelle sammenhænge støttet af mange forskellige repræsentationer. I denne refleksion spiller de spontane begreber en medierende rolle.

For undervisning i algebra betyder denne forståelse, at eleverne møder algebrastrukturer, før de møder aritmetik. Eleverne i første klasse begynder med at arbejde med relationer mellem kvantiteter vedrørende længde, areal, vægt og volumen, fx ved at sammenligne vægten af tre forskellige beholdere, A, B og C, og beskrive relationer mellem disse kvantiteter med ord, skemaer og symbolsprog som A<B<C. I begyndelsen undersøger eleverne fysiske objekter, men forholdsvist hurtigt præsenterer læreren problemstillinger, hvor de fysiske objekter er ’forsvundet’, og hvor eleverne derfor må kommunikere udelukkende verbalt og med skriftlige symboler. De undersøger fx hvor mange forskellige relationer, de kan opstille som følge af

udtrykket A<B<C (det følger, at A<B, B>A, B<C, C>B, A<C og C>A). I anden del af 1. klasse begynder eleverne på målinger, og tallene indføres i den forbindelse som resultatet af målinger (det antal gange en enhed, fx A, kan være i B).

Set i forhold til matematikundervisning i de fleste andre lange vender Davydov således det meste på hovedet: Undervisningen begynder ikke med tallene og baserer sig ikke på elevernes erfaringer med antal og intuitive forståelser af matematiske begreber. Der undervises i algebra fra første færd i sigtet på elevernes udvikling af videnskabelige begreber og teoretisk tænkning:

Vygotsky asserted that the student who had mastered algebra had attained “a new higher plane of thought”, a level of abstraction and generalization, which transformed the meaning of the lower (arithmetic) level. He also affirmed the importance of the mastery of scientific concepts for the development of the ability to think theoretically, and emphasized the mediating role of semiotic forms and symbol systems in developing this ability. Although historically in mathematics and traditionally in education, algebra followed arithmetic, Vygotskian theory supports the reversal of this sequence in the service of orienting children to the most abstract and general level of

understanding initially. (Schmittau, 2011, s. 71)

Hos Dougherty (2008) og Schmittau (2011) er begrundelsen for at undervise i tidlig algebra med andre ord, at algebra er et redskab til at udvikle teoretisk tænkning, og at denne form for tænkning bør tage

46

udgangspunkt i abstrakte og generaliserede udtryk, som findes i algebra. Algebra er på den måde et medie til udvikling af teoretisk tænkning.

Sammenfattende kan man sige, at der i litteraturen findes to kategorier af læringsmæssige begrundelser for at undervise i tidlig algebra. Den ene begrundelse er, at tidlig algebra er et svar på de problemer, elever har eller har haft med at udvikle algebraiske forståelser. Denne begrundelse baserer sig på forskning i 1980´erne og i 1990´erne, der har dokumenteret elevers misopfattelser inden for algebra. Begrundelsen er vokset ud af en amerikansk kontekst og forskningen, den baserer sig på, er hovedsageligt amerikansk.

Denne begrundelse fremhæves ofte i litteraturen - også i tekster fra Europa og Australien. Den anden type begrundelse er, at tidlig algebra er et redskab til at udvikle teoretisk tænkning. Denne begrundelse baserer sig på Vygotskis teori om læring og undervisning og er vokset ud af en russisk kontekst. Den fremhæves mindre ofte i litteraturen, men den tilgang til tidlig algebra, som er forbundet med begrundelsen, er grundlag for flere forskningsprojekter - også i Nordamerika og Europa (fx Dougherty, 2008; Lee, 2006;

Venenciano & Heck, 2016). I flere reviews omtales denne tilgang som en retning inden for tidlig algebra (fx Carraher & Schliemann, 2007; Kieran et al., 2016; Stephens et al., 2017).

5.2. Samfundsmæssige begrundelser for tidlig algebra

Fire af de identificerede tekster giver i tillæg til læringsmæssige begrundelser for undervisning i tidlig algebra også begrundelser af en type, der kan betegnes som samfundsmæssige, fordi de adresserer lighed i uddannelsessystemet, samfundets behov for uddannelse og elevers muligheder for at deltage i et

demokratisk samfund.

Ifølge Schoenfeld (1995), Davis (1995) og Kaput (2008) har (eller havde) algebra i det amerikanske uddannelsessystem en rolle som ´gatekeeper´ for adgangen til uddannelser, der omfatter matematik.

Elever og studerende, der ikke har læst algebra, er derfor udelukket fra de dele af jobmarkedet, som de matematikholdige uddannelser fører til. De er, med Schoenfelds ord (1995), udelukket fra nogle muligheder for at blive produktive borger i samfundet, fordi de ikke har det ´akademiske pas´, som algebra udgør - eller har udgjort.

Schoenfeld (1995), Davis (1995) og Kaput (2008) giver, med forskellige formuleringer, den traditionelle tilgang til algebraundervisningen i grundskolen og på ungdomsuddannelserne skylden for algebras rolle som ´gatekeeper´. Ifølge dem har den traditionelle ´regnetilgang´ til skolematematik, efterfulgt af en isoleret, overfladisk tilgang til algebra, ført til både fremmedgørelse for lærere og fiasko for mange elever,

47

specielt elever, der ikke er stillet godt økonomisk og socialt. Tidlig algebra skal derfor indføres for at bryde eller reducere algebras rolle som ´gatekeeper´ i uddannelsessystemet. Bag denne begrundelse for at undervise i tidlig algebra ligger hos forfatterne en tro på, at elever med tidlig algebra kan lære algebra på en mere kvalificeret måde end tidligere. Det er altså ikke mindre krav til elevernes algebrakunnen, der skal åbne ´gaten´ til matematikholdige uddannelser og det dertil hørende jobmarked, men bedre undervisning.

Mason (2008) begrunder desuden tidlig algebraundervisning med behovet for at uddanne borgere, der kan indgå på en kvalificeret måde i et demokratisk samfund:

Algebra should be taught to everyone because it is the natural outcome of the use and

development of the relevant powers. Put another way, no one should be confined to arithmetic calculations as their basic numeracy because to do so stunts or even blocks their access to the kind of thinking that is essential for participation in a democratic society: recognition and use of general methods, testing and challenging of generalizations, and questioning the modeling assumptions on which such generalizations are often made. (s. 79)

De samfundsmæssige begrundelser for tidlig algebra, jeg har fundet i litteraturen, retter sig således både mod ønsket om at demokratisere adgangen til centrale dele af uddannelsessystemet og arbejdsmarkedet og mod at uddanne borgere, der kan tage del i et demokratisk samfund på en kvalificeret måde.

Begrundelserne baserer sig på en kritik af eksisterende algebraundervisning og på en tiltro til, at det er muligt at tilbyde elever mere lige adgang til algebrakompetencer, der er relevante i samfundet gennem en algebraundervisning, der sigter bredere end den eksisterende og udgør en integreret del af

matematikundervisningen igennem hele skoleforløbet.

48