Hvad er tidlig algebra? - Forskning i tidlig algebra

II. Forskning i tidlig algebra

4. Hvad er tidlig algebra?

I litteraturen fandt jeg adskillige forslag til indholdselementer i tidlig algebra, fx hos Smith (2008), men jeg fandt kun tre forskellige fremstillinger, der giver samlende og definerende rammer for, hvad der

karakteriserer tidlig algebra. Jeg omtaler disse tre fremstillinger som karakteristikker af tidlig algebra.

De tre forskellige karakteristikker er givet af Kieran (2004), Kaput (2008) og Radford (2011, 2014), og de er efterfølgende omtalt af Carraher og Schliemann (2007), Kaput, Blanton og Moreno (2008), Kieran, Pang, Schifter og Ng (2016) og Stephens, Ellis, Blanton og Brizuela (2017). Den sidstnævnte gruppe forskere har desuden videreudviklet Kaputs karakteristik (Stephens et al., 2017).

De tre karakteristikker isolerer ikke tidlig algebra fra algebra, der er rettet mod elever i den sidste halvdel af grundskoleforløbet. Tværtimod udgør de hvert sit forsøg på at beskrive algebra i et perspektiv, der dækker alle klassetrin i grundskolen. Desuden rammesætter de tre forskere tidlig algebra ved at beskrive måder at tænke og handle på, som er karakteristiske for det at beskæftige sig med algebra, frem for udelukkende at beskrive de matematiske objekter, som tænkningen drejer sig om.

Ifølge Kaput har den måde, algebra rammesættes på afgørende betydning:

These differences in how we think about algebra show up in many ways. For example, those who think of algebra as reasoning are inclined to consider students´ ways of doing, thinking, and talking about mathematics as fundamental. For them, algebra emerges from human activity; it depends on human beings for its existence, not just historically, but also in the present. Those who think of algebra as an inherited subject matter are comfortable talking about it without thinking about people. They might refer to the commutative law of addition, for example, without having to establish how the law came to be or how students come to learn it (or not). For them,

commutativity is a property of mathematics itself. Each view is useful, depending on our purposes, and we shall use both. (Kaput, 2008, s. 9)

Traditionelt har det perspektiv på algebra, som Kaput i citatet nævner sidst, været dominerende. At tænke på algebra som bestemte måder at tænke og handle på, udgør, ifølge Kieran (2014), en udvidelse af det traditionelle syn på indholdet i skolens algebra, og det er udtryk for en opmærksomhed på to ting: For det

første giver udvidelsen mulighed for engagere skolens yngste elever i arbejde med algebra. For det andet giver udvidelsen mulighed for at gøre algebra mere tilgængeligt for alle elever.

Det traditionelle indhold i skolens algebra har, ifølge Kieran (2007) samt Kilpatrick og Izsák (2008), primært været fokuseret på algebraiske bogstavudtryk og ligningsløsning og haft en stærk orientering mod

symbolbehandling. Den primære hensigt har været, at eleverne lærte symbolmanipulation med formelle metoder. Siden midten af 1980´erne har tilhængere af et reformorienteret indhold i skolens algebra imidlertid talt for at udvide dette indhold med funktioner og deres tilhørende repræsentationer samt med en øget vægt på løsning af problemstillinger fra omverdenen ved hjælp af metoder, der fx er understøttet af teknologi i stedet for med symbolmanipulationer alene. Siden midten af 1990´erne har flere forskere i tillæg talt for at udvide perspektiverne på skolens algebra, så de omfatter algebraisk tænkemåder (Kieran, 2007).

Forskerne omtaler disse tænkemåder som hhv. ’algebraic reasoning’ (Kaput, 2008, s. 9) og ’algebraic thinking’ (Kieran, 2004, s. 139; Radford, 2011, s. 308), mens de bruger betegnelsen ’algebra’, når de vil inkludere algebraiske objekter. Som jeg læser teksterne, ligger der hos forfatterne ikke en pointe i at anvende forskellige betegnelser for måder at tænke og handle på, som er karakteristiske for det at

beskæftige sig med algebra. Derfor bruger jeg i den følgende redegørelse betegnelsen ’algebraisk tænkning’

som en fælles betegnelse for ’algebraic reasoning’ og ’algebraic thinking’. Når jeg bruger betegnelsen

’algebra’, dækker det, i overensstemmelse med forfatterne, over både algebraisk tænkning og algebraiske objekter.

I dette kapitel beskriver jeg først i afsnit 4.1-4.3 hver enkel karakteristik i den kronologi, som de er udviklet i. Derefter diskuterer jeg i afsnit 4.4 ligheder og forskelle mellem dem med henblik på at give overblik over forskeres forskellige forståelser af, hvad tidlig algebra er. Ud over at give overblik gør afsnit 4.4 det muligt at placere det efterfølgende designstudies forståelse af tidlig algebra i forhold til de tre karakteristikker (se afsnit 9.1).

4.1. Kierans karakteristik af tidlig algebra

Kierans forskning har primært været rettet mod 12- til 16-åriges algebralæring (Kieran, 2004), og i 1996 formulerede hun en model, der udgør et rammeværk for denne aldersgruppes algebraiske aktiviteter i grundskolen. Modellen er omtalt som GTG-modellen (Kieran 1996, 2004, 2007).

I 2004 formulerede Kieran imidlertid også et forslag til en definition på algebraisk tænkning rettet mod de yngste klassetrin, som er forbundet med GTG-modellen. Med dette forslag udvidede hun GTG-modellens målgruppe med henblik på ’… to have a vision of algebraic thinking at the early grades that is completely compatible with certain current perspectives on algebraic activity at the later grades’ (Kieran, 2004, s. 148).

I det følgende gør jeg først rede for Kierans GTG-model, dernæst for hendes syn på sammenhængen mellem denne model og algebraiske aktiviteter på de yngste klassetrin og til sidst for hendes karakteristik af algebraisk tænkning på de yngste klassetrin.

I GTG-modellen kategoriserer Kieran aktiviteter i skolealgebra i tre typer:

Figur 4.1. GTG-modellen. (Tilpasset efter Kieran, 2007, s. 713)

De generaliserende aktiviteter vedrører udformningen af udtryk og ligninger, der, ifølge Kieran, er

algebraens objekter (Kieran, 2007). Som typiske eksempler på den type aktivitet nævner hun: udformning af a) ligninger, der indeholder en ubekendt, og som repræsenterer problemsituationer, b) udtryk for generaliseringer ud fra geometriske mønstre eller talfølger, og c) udtryk for regler, der styrer numeriske sammenhænge.

De transformerende aktiviteter vedrører omskrivninger af og beregninger med symboludtryk (Kieran, 2007). Som eksempler nævner hun bl.a. ligningsløsning, reducering af udtryk, faktorisering og substitution af et udtryk med et andet. Desuden bemærker hun, at nogle refererer til denne type aktivitet som den regelbaserede aktivitet, og at en stor del af aktiviteten vedrører ændringer i den symbolske form på udtryk og ligninger med henblik på at bevare ækvivalens.

Global, metaniveauet vedrører aktiviteter, hvor algebra bliver brugt som et redskab, men som ikke udelukkende vedrører algebra. Disse aktiviteters rolle er bl.a. at give eleverne kontekst, følelse af mening og motivation for at engagere sig i de generaliserende og transformerende aktiviteter. Aktiviteterne inkluderer ’problem solving, modeling, noticing structure, studying change, generalizing, analyzing

Generaliserende

Transformerende Globalt, metaniveau

relationships, justifying, proving, and predicting – activities that could be engaged in without using any algebra at all’ (Kieran, 2004, s. 148).

Som det fremgår af citatet skriver Kieran, at der på det globale, metaniveau er tale om generelle matematiske processer og aktiviteter, som eleverne i princippet kunne engagere sig i uden at bruge algebra. Hendes pointe er imidlertid:

However, attempting to divorce these meta-level activities from algebra removes any context or need that one might have for using algebra. Indeed, the global, meta-level activities are essential to the other activities of algebra, in particular, to meaning-building generational activitities; otherwise all sense of purpose is lost. (Kieran, 2004, s. 148)

Kieran betragter aktiviteter knyttet til det globale, metaniveau som afgørende for, at eleverne ikke alene kan skabe mening i algebra, men også for at de kan udvikle måder at tænke på, som er essentielle for succes i algebra. Det faktum, at elever kan engagere sig i aktiviteter knyttet til global, metaniveauet uden at gøre brug af bogstavsymboler, men at aktiviteterne til enhver tid kan komme til at vedrøre

bogstavsymboler, gør dem, ifølge Kieran (2004), til ideelle ’instrumenter’ (vehicles) for en ikke-symbolsk eller pre-symbolsk tilgang til algebraisk tænkning på de yngste klassetrin.

På den baggrund udpeger hun aktiviteter knyttet til global, metaniveauet som aktiviteter, der er velegnet til at indlede algebraundervisningen på de yngste klassetrin. Ud over at påpege, at disse aktiviteter gradvist kan komme til at omfatte bogstavsymboler, foreslår hun, at global, metaniveauet udgør en forløber for de generaliserende og transformerende aktiviteter i GTG-modellen (Kieran, 2004).

Hendes forslag til en karakteristik af algebraisk tænkning på de yngste klassetrin er derfor baseret på global, metaniveaet i GTG-modellen:

Algebraic thinking in the early grades involves the development of ways of thinking within activities for which letter symbolic algebra can be used as a tool but which are not exclusive to algebra and which could be engaged in without using any letter-symbolic algebra at all, such as, analyzing relationships between quantities, noticing structure, studying change, generalizing, problem solving, modeling, justifying, proving, and predicting. (Kieran, 2004, s. 149)

Kieran ser således algebraisk tænkning på de yngste klassetrin som tænkning, der finder sted i

sammenhæng med globale matematikaktiviteter, hvor kontekst, meningsskabelse og motivation spiller en central rolle. Det, der adskiller algebraisk tænkning fra andre former for tænkning, er ikke brug af

bogstavsymboler, men det, at tænkningen drejer sig om situationer, hvor bogstavsymboler kan blive brugt som redskab, og hvor en sådan brug ofte er hensigtsmæssigt.

4.2. Kaputs karakteristik af tidlig algebra

Kaputs karakteristik er opdelt i to kerneaspekter af algebraisk tænkning og tre grene af algebraisk stof, som den algebraiske tænkning kommer til udtryk i. De to kerneaspekter er:

(A) Algebra as systematically symbolizing generalizations of regularities and constraints.

(B) Algebra as syntactically guided reasoning and actions on generalizations expressed in conventional symbol systems. (Kaput, 2008, s. 11)

I en uddybning af de to kerneaspekter skriver Kaput og hans kolleger, at de betragter generalisering og symbolisering som ’hjertet’ af algebraisk tænkning og som uløseligt forbundne begreber: Generalisering handler, ifølge dem, om at frembringe et udsagn, der vedrører en samling af enkelttilfælde. Den eneste måde en person kan formulere et sådant udsagn er gennem et udtryk, der gør det muligt at referere til de mange tilfælde på en forenende måde. Et sådant udtryk kræver en symbolsk form, der kan forene

mangfoldigheden. Generalisering er for dem den handling, det er at frembringe denne symbolske form (Kaput, Blanton & Moreno, 2008). Det er netop denne side af algebraisk tænkning, som kerneaspekt (A) udtrykker.

Når symboliseringen først er opnået, udgør den en ny platform på hvilken, der kan handles og ræsonneres, herunder skabes nye symboliseringer (Kaput, Blanton & Moreno, 2008). Det er denne side af algebraisk tænkning som kerneaspekt (B) vedrører. Med andre ord handler dette aspekt om den type handlinger, som kan gennemføres på symboliseringer, der er resultatet af generaliseringer (Kaput, Blanton & Moreno, 2008, s. 49). Som eksempel på en sådan type handling nævner forfatterne: Man kan subtrahere det samme tal på begge sider af lighedstegnet i en ligning. Denne erkendelse kan være baseret på systematiske

ræsonnementer og handlinger med udtryk, der er skrevet i et konventionel, algebraisk symbolsprog. De systematiske ræsonnementer og handlingerne er syntaktisk styret, idet de vedrører reglerne i det

’matematiksprog’, der er benyttet i symboliseringen.

Kaput (2008) bemærker, at kerneaspekt (B) typisk forventes udviklet senere end kerneaspekt (A) hos elever, at der blandt matematikere og matematikuddannere er uenighed om, hvilken af de to

kerneaspekter der er mest central for definitionen af algebra, og at der findes forskellige holdninger til, hvilken rolle de to kerneaspekter bør have i tidlig algebralæring.

De tre grene af algebraisk stof er:

1. Algebra as the study of structures and systems abstracted from computations and relations, including those arising in arithmetic (algebra as generalized arithmetic) and in quantitative reasoning.

2. Algebra as the study of functions, relations, and joint variation.

3. Algebra as the application of a cluster of modeling languages both inside and outside of mathematics. (Kaput, 2008, s. 11)

I gren 1 er enten aritmetik eller kvantitativ tænkning udgangspunktet for algebraisk aktivitet. Denne gren omfatter generalisering af aritmetiske operationer og deres egenskaber, af særlige egenskaber ved eller relationer mellem tal og af strategier til beregninger. Med det aritmetiske udgangspunkt kan det fx dreje sig om egenskaber ved tallet 0, om den kommutative lov, inverse relationer, om summen af to ulige tal,

egenskaber ved summen af tre på hinanden følgende tal, om at finde og udtrykke regelmæssigheder i en 100-tavle eller i en tabel eller om at multiplicere med 10 eller 100. Når udgangspunktet er kvantitativ tænkning, er generaliseringerne baseret på undersøgelser af relationer mellem kvantiteter. Aktiviteter, der er knyttet til denne gren af algebra, har det tilfælles, at de involverer en udvidelse af lighedstegnets betydning fra at adskille en operation og et resultat til også at kunne forstås som et tegn, der signalerer samme værdi (Kaput, 2008).

Gren 2 involverer generaliseringer, der kan tænkes som beskrivelser af systematisk variation på tværs af et domæne, og som på den måde er forbundet med ideen om funktioner. Det syntaktiske aspekt af algebra bruges i denne gren normalt til at forandre formen på de udtryk, der beskriver regelmæssighederne (fx en

funktionsforskrift), til at sammenligne forskellige udtryk for en regelmæssighed, eller til at afgøre, hvornår en funktion antager bestemte værdier eller tilfredsstiller bestemte betingelser (Kaput, 2008).

Gren 3 kan underopdeles i tre typer aktiviteter, der på forskellige måder gør brug af de to kerneaspekter af algebra. Den første type består af aritmetiske problemer, som kræver brug af det syntaktiske aspekt af algebra (aspekt B). Det drejer sig typisk om et udsagn i form af en ligning, hvor den eller de variable repræsenterer en ubekendt. Den anden type gør brug af kerneaspekt A til at generalisere og udtrykke mønstre eller regelmæssigheder i situationer eller fænomener uden for eller inden for matematikken. Her er det situationen eller fænomenet, der er genstand for generalisering, og i de udtryk, som beskriver generaliseringen, indgår ofte en eller flere variable, der repræsenterer en funktion eller en klasse af funktioner. Det syntaktiske aspekt af algebraisk tænkning (B) kan komme i spil, hvis eleven arbejder med sådanne udtryk for at få indsigt i situationen eller fænomenet. Den tredje type involverer generaliseringer ud fra løsningen af problemer, som har et entydigt svar. Her kan algebraisk tænkning komme i spil, hvis eleven undersøger problemets generelle form, anvendelsesområde eller dybere sammenhæng. I denne type generalisering har de variable, der indgår i udtryk, som beskriver generaliseringerne, ofte form som parametre.

Kaput og hans kolleger bemærker, at deres karakteristik af algebraisk tænkning har store fællestræk med de fleste fagområder inden for matematik (Kaput, Blanton & Moreno, 2008). Efter deres opfattelse handler matematik generelt om at generalisere og udtrykke generaliseringer samt om at bruge specialiserede systemer og symboler til at ræsonnere med disse generaliseringer. Det er derfor et centralt spørgsmål, hvad der adskiller Kaputs kerneaspekter fra matematisk aktivitet generelt set og gør dem særlig

algebraiske? Kaput, Blanton og Morenos (2008) svar på dette spørgsmål er, at der er tale om algebraiske aktiviteter, når de generaliseringer, der er omdrejningspunkterne, er udtrykt i konventionelle algebraiske symbolsystemer, dvs. i symbolsystemer, som er delt af et bredt fællesskab af personer, der betragtes som matematisk uddannede - i modsætning til symboler, der er konstrueret af en enkelt person i forbindelse med en bestemt situation. Når generaliseringerne er udtrykt i andre former for symbolsprog, betegner de, med reference til Fujii (2003), aktiviteterne som quasi-algebraiske. Sådanne former for symbolsprog kan fx omfatte de symboler, der normalt forbindes med aritmetik, verbalt sprog og konkrete materialer.

Det der, ifølge Kaput og hans kolleger, gør en aktivitet til enten algebraisk eller quasi-algebraisk er, at fokus er på generelle aspekter, fx på generelle egenskaber ved tal. En aktivitet, hvor en lærer spørger, om

summen af to ulige tal er lige eller ulige, kan fx være quasi-algebraisk, selv om læreren ikke stiller spørgsmålet i generel form, men spørger til, om summen af 327 og 459 er lige eller ulige. Pointen er, at fokus ikke ligger på beregningen af 327 og 459, men på, om summen af to vilkårlige ulige tal er lige eller

ulige. Hvis en aktivitet ikke har fokus på generelle aspekter, så er der, ifølge Kaput og hans kolleger, ikke tale om hverken en algebraisk eller quasi-algebraisk aktivitet.

De betragter således ikke manipulation med konventionelle algebraiske symboler som en algebraisk aktivitet, medmindre aktiviteten sigter på at forfølge et mønster eller en generalisering. På tilsvarende vis betragter Kaput og hans kolleger heller ikke elevers opstilling af en ligning eller et andet udtryk med henblik på at løse en tekstopgave som en algebraisk aktivitet, med mindre eleven bevidst opstiller udtrykket som et generelt udsagn, der dækker over flere tilfælde. Brugen af konventionelle algebraiske symbolsystemer ses således som en nødvendig, men ikke tilstrækkelig, betingelse for, at en aktivitet kan betragtes som

algebraisk (Kaput, Blanton & Moreno, 2008).

4.3. En bearbejdning af Kaputs karakteristik

Blanton, Levi, Crites og Dougherty (2011) har i forbindelse med et undervisningsmateriale rettet mod lærere omformuleret Kaputs karakteristik. Med reference til Kaput (2008) skriver de (s. 8): ‘Broadly speaking, the heart of early algebra is in generalizing mathematical ideas, representing and justifying generalizations in multiple ways, and reasoning with generalizations’. Nogle år senere anvendes næsten de samme betegnelser som organiserende ramme i et review over matematikdidaktisk forskning vedrørende algebra på 0.- 8. klassetrin (Stephens et al., 2017). Forfatterne til reviewet refererer til Kaputs karakteristik af algebraisk tænkning, som de omskriver til ’generalizing, representing, justifying, and reasoning with mathematical structure and relationships’ (Stephens et al., 2017, s. 387, original kursivering).

Forfatterne omtaler endvidere det at generalisere, repræsentere, begrunde og ræsonnere med

matematiske strukturer og sammenhænge som kernepraksisser i algebra. Efterfølgende uddyber de deres forståelser af disse fire kernepraksisser. Om at generalisere siger de:

Thus, we borrow from both the cognitive and sociocultural traditions to define generalizing (see also Ellis, 2011b) as a construct in which learners in specific sociocultural contexts engage in activity that can be framed in any of the following ways: (a) identifying commonality across cases (Dreyfus, 1991), (b) extending one's reasoning beyond the range in which it originated (Carraher, Martinez, &

Schliemann, 2008; Hare & Tall, 1991; Radford, 2006), or (c) deriving broader results from particular cases (Kaput, 1999). We use the term generalizing to refer to any of these processes, whereas generalization refers to the outcome of these actions. (Stephens et al., 2017, s. 387)

36 Om at repræsentere siger de:

Although there is some debate about which symbolic systems might be viewed as algebraic, we interpret such systems here broadly to include not only variable notation but also other

symbolization systems such as natural language, coordinate graphs, and tables (Carraher &

Schliemann, 2007; Kaput, 2008). Indeed, rather than privileging one single representation, scholars have argued (e.g., Brizuela & Earnest, 2008; Duval, 2006) that students should be able to

coordinate different representations of the same object and shift flexibly among them. (Stephens et al., 2017, s. 388)

Desuden bemærker de, at mens den algebraiske natur af det at generalisere er oplagt, så udgør de tre andre kernepraksisser (at repræsentere, begrunde og ræsonnere) kun algebraisk tænkning, når de vedrører handlinger med eller på generaliseringer.

Ifølge Stephens et al. (2017) har forskningen i algebraisk tænkning på 0.- 8 klassetrin i et årti op til udgivelsen af deres review primært været forbundet til to af de tre grene af algebraisk stof, som Kaput beskriver i sin karakteristik: Gren 1, generaliseret aritmetik og kvantitative ræsonnementer, og gren 2, funktionstænkning. Det er baggrunden for, at de kategoriserer forskningen i tre grene: Generaliseret aritmetik, kvantitative ræsonnementer og funktionstænkning.

Set i forhold til Kaputs forståelse af det at generalisere er definitionen af Stephens et al. (2017) en udvidelse. Som tidligere beskrevet betegnede Kaput og hans kollegaer (2008) generalisering som det at frembringe et symbolsk udtryk, der dækker over flere enkelttilfælde, mens Stephens et al. (2017) både forbinder generalisering med at identificere ensartethed på tværs af enkelttilfælde og med at udvide ræsonnementer til at række ud over det domæne de specifikke tilfælde er forbundet med.

På tilsvarende vis udvider Stephens et al. (2017), set i forhold til Kaput (2008), de repræsentationer der kan anses for algebraiske. Det gælder ikke kun variabel notation, men også andre symboliseringssystemer som naturligt sprog, grafer i koordinatsystem og tabeller. Mens Kaput, som beskrevet, fokuserede på

konventionelle algebraiske symbolsystemer, handler det for Stephens et al. (2017) ikke om at prioritere én repræsentationsform frem for andre, men i højere grad om at eleverne bliver i stand til at koordinere forskellige repræsentationer for det samme objekt og skifte fleksibelt mellem dem.

Endelig er de tre grene af stofområder, som Stephens et al. (2017) udpeger, lidt anderledes end de tre stofområder, Kaput udpegede. Mest bemærkelsesværdigt er det, at Kaputs gren 3, der handler om algebra som anvendelse af modelleringssprog inden for og uden for matematikken, ikke indgår i den omtalte

In document Danish University Colleges Tidlig algebra i grundskolens matematikundervisning Kaas, Thomas (Sider 31-46)