Rammer knyttet til domænespecifikke og lokale undervisningsteorier

I dette kapitel giver jeg i afsnit 12.1 en kort introduktion til realistisk matematikundervisning, som udgør en domænespecifik teori (Prediger et al., 2015). Derefter fokuserer jeg i afsnit på 12.2 til 12.4 på tre

heuristikker, der bygger på realistisk matematikundervisning, og som har inspireret designet i studiet. Det drejer sig om princippet om genopfindelsesprincippet, princippet om didaktisk fænomenologi og princippet om emergerende modellering, der er formuleret af Gravemeijer (1999) og Gravemeijer et al. (2000). Jeg gør rede for hver af disse heuristikker og diskuterer i afsnit 12.5 princippet om emergerende modellering i forhold til et design inden for tidlig algebra af Carraher, Schliemann og Schwartz (2008). I afsnit 12.6 gør jeg rede for aspekter af lokale undervisningsteorier om tidlig algebra, som også har inspireret designet. Kapitlet slutter med en sammenfatning af de teoretiske inspirationskilder i form af en række principper, der har dannet grundlag for designet.

12.1. Teorien om realistisk matematikundervisning

Teorien om realistisk matematikundervisning (RME) er, ifølge Gravemeijer (1999), baseret på Freudenthal´s (1973, 1991) tolkning af matematik som en menneskelig aktivitet. Der er ikke tale om en a priori teori, men snarere om en fortsat teoretiseringsproces med en refleksiv relation mellem RME og designstudier. På den ene side har Freudenthals opfattelse af matematik og matematikdidaktik guidet designs og forskning, på den anden side har designstudier bidraget til at udvikle og raffinere teorien (Gravemeijer, 1999).

Ifølge Gravemeijer (1999) er målet med RME´s forskningsprogram at finde veje til, hvordan

matematikundervisning kan komme til at facilitere elevers genopfindelse af matematik. Udgangspunktet er Freudenthals opfattelse af matematik som en menneskelig aktivitet frem for et system af organiseret viden.

Grundtanken er, at elever i matematikundervisningen også skal opleve matematik som en aktivitet. Elever skal derfor lære matematik ved at matematisere, hvilket vil sige at organisere situationer fra et matematisk perspektiv (Gravemeijer & Doorman, 1999).

115

Freudenthal så, ifølge Gravemeijer og Doorman (1999), elevers matematiseringsprocesser som en måde at genopfinde matematik på. Han talte imidlertid om guidet genopfindelse (guided reinvention), fordi

hensigten ikke var, at eleverne skulle opfinde alting selv. For Freudenthal var tanken om guided

genopfindelse først og fremmest forbundet med karakteren af læreprocessen fremfor på opfindelsen som sådan. Ideen var, at den lærende at skal komme til at betragte den viden, han eller hun udvikler som sin egen (Gravemeijer & Doorman, 1999)

Gravemeijer (1999) har, især med inspiration fra Treffers (1987), bearbejdet teorien om RME, så den fremtræder som tre heuristikker, der kan bruges til at guide design af undervisningsforløb. I de tre følgende afsnit gør jeg rede for hver af disse tre heuristikker, der - med visse forbehold - har inspireret designet i studiet.

12.2. Genopfindelsesprincippet

Den første heuristik, genopfindelsesprincippet, er forbundet med guidet genopfindelse. For

matematikundervisning i et klasserum betyder Freudenthals tolkning af matematik som en menneskelig aktivitet bl.a., at matematiske emner må organiseres, så elever får mulighed for at udvikle matematisk viden og kunnen på grundlag af problemstillinger, der fremtræder forestillingsmæssigt reelle (experientially real) for dem (Gravemeijer et al., 2000), dvs. problemstillinger, som eleverne kan leve sig ind i, og som opleves som meningsfulde for dem, så de kan anvende deres hidtidige faglige erfaringer på dem.

Designerens overordnede opgave er, ifølge Gravemeijer et al. (2000), at understøtte matematisk aktivitet, der kan medføre skift eller forandringer i klasserummets sociale kontekst, som gør det muligt for eleverne gradvist og over tid at udvikle deres faglighed fra brug af ukonventionelle symboler og uformelle former for argumentation og ræsonnement i retning af konventionelle symboler og mere formelle måder at

argumentere og ræsonnere på. Designeren skal med andre ord skabe mulighed for, at eleverne, guidet af læreren, kan genopfinde matematiske begreber og ideer ved at beskrive en proces, der understøtter en gradvis matematisering af elevernes hidtidige erfaringer.

Gravemeijer et al. (2000) beskriver kernen i en sådan genopfindelsesproces som matematiseringsaktiviteter i problemsituationer, der er forestillingsmæssigt reelle for eleverne. I tråd med emergensperspektivet betragter de genopfindelsesprocesser som både kollektive og individuelle aktiviteter, i hvilke formodninger, forklaringer og begrundelser spiller en afgørende rolle. Problemsituationerne skal give anledning til

tolkninger og løsninger, der kan skabe ryk i retning af de tilsigtede forståelser, og læreren skal søge at understøtte udviklingen af nye antaget fælles forståelser gennem samtalen i klassen.

116

I den sammenhæng skelner Treffers (1987) og Gravemeijer et al. (2000) mellem to aspekter af matematisering: Horisontal og vertikal. I forbindelse med horisontal matematisering søger

klasserumsfællesskabet at udvikle antaget fælles måder at tale, symbolisere og tænke, når eleverne søger at matematisere problemstillinger, der danner udgangspunkt for elevernes aktivitet, og som kan være formuleret i hverdagssprog. I forbindelse med vertikal matematisering bliver disse måder at tale, symbolisere og tænke på gjort til genstand for yderligere matematisering. Det er i samspillet mellem horisontal og vertikal matematisering, at symboliseringer og brug af symboler genopfindes.

In other words, symbol reinvention emerges as students engage in instructional activities in which they formalize their informal interpretations and solutions. The challenge for the designer (and the teacher) is to anticipate a developmental route for the classroom community that culminates with the powerful use of conventional symbolizations. (Gravemeijer et al., 2000, s. 238)

Som eksempel nævner Gravemeijer et al. (2000), hvordan eleverne på de yngste klassetrin kan genopfinde en algoritme til lang division igennem en proces, hvor de på den ene side matematiserer realistiske

scenearier, der involverer målingsdivision. Disse indledende aktiviteter vedrører horisontal matematisering.

Når eleverne reflekterer over deres løsningsmetoder, engagerer de sig i vertikal matematisering. Igennem denne proces generaliserer de deres tolkninger af gentagen subtraktion. Som en konsekvens af disse refleksioner, formaliserer de divisionsalgoritmen.

Den heuristik, Gravemeijer et al. (2000) beskriver som genopfindelsesprincippet, er tosidet. På den ene side foreslår de, at designere, der skal skabe mulighed for genopfindelse gennem matematisering, orienterer sig i matematikkens historie for at se, hvordan bestemte matematiske praksisser har udviklet sig over tid.

Tanken er, at den historiske udvikling kan give inspiration til, hvordan det kan tænkes, at elever kan

genopfinde bestemte former for matematisk forståelse ved at følge udviklingsspor, der ligner de historiske.

Den anden side er, at designeren foreslår, hvordan elevers uformelle tolkninger og løsninger af problemer kan foregribe mere formelle matematiske praksisser. Samlet set er ideen, at designeren bruger både historien og elevers uformelle tolkninger som kilde til inspiration og forsøger at formulere mulige læringsspor, langs hvilke kollektiv genopfindelse kan støttes gennem gradvis matematisering.

117 12.3. Princippet om didaktisk fænomenologi

Den anden heuristik vedrører didaktisk fænomenologi. Ifølge Gravemeijer et al. (2000) brugte Freudenthal ordet fænomenologisk som reference til matematikkens fænomenologi, der handler om, hvordan

matematiske tolkninger gør det muligt at ræsonnere og foretage beregninger i forbindelse med

fænomener. I didaktisk fænomenologi er relationen mellem fænomener og matematiske tolkninger af dem derimod analyseret fra et didaktisk perspektiv.

Gravemeijer et al. (2000) ser didaktisk fænomenologi som en designheuristik, fordi det kan hjælpe

udvælgelsen af undervisningsaktiviteter, der kan tænkes at støtte individuel aktivitet og klassediskussioner i hvilke, eleverne kan engagere sig i gradvis matematisering.

If we consider mathematics as a product of communal activity rooted in attempts to solve practical problems in increasingly effective ways, it is reasonable to expect to find present-day situations that could accommodate a variety of mathematical interpretations. In other words, we can imagine that formal mathematics came into being as a process of generalizing and formalizing situation-specific problem-solving interpretations and solutions. Thus, the goal of the phenomenological investigation is to create settings in which students can collectively renegotiate increasingly sophisticated solutions to experientially real problems. These initial settings can then be taken as starting points for horizontal mathematization in a classroom culture that supports further vertical mathematization. (Gravemeijer et al. 2000, s. 240)

I litteraturen kan man finde en række eksempler på den type nutidige, situationer Gravemeijer et al. (2000) skriver om. Van den Heuvel-Panhuizen (2003) har fx beskrevet et skoleteater som en kontekst, der har indgået i de indledende aktiviteter i et undervisningsforløb, der sigtede på, at elever i 5.-6. klasse blev i stand til først at bruge procent til at beskrive ’så-mange-ud-af-så-mange-situationer’ og senere i stand til at foretage beregninger, der involverer procent. Elevernes opgave var at anslå, ud fra nogle udsagn, hvor stor en del af sæderne i en teatersal, der havde været anvendt i forbindelse med forskellige typer forestillinger - en popkoncert, et historisk stykke og et modeshow. Om det historiske stykke fik eleverne fx at vide, at

’teatersalen var mindre end halvt fuld’, og at ’man kunne let vælge, hvor du ville sidde’. Eleverne skulle vise, hvor stor en del af sæderne, der kunne have været anvendt, ved at farve en del af teatersalen og skrive et procenttal.

118

Figur 13.1. Elevarbejde, der viser procentdel af optagede sæder i et skoleteater.

(Van den Heuvel-Panhuizen, 2003, s. 19).

Konteksten med skoleteater kan betragtes som en situationer, der dannede grundlag for at eleverne forhandlede løsninger til oplevelsesmæssigt reelle problemstillinger. Mere præcist kom konteksten til at udgøre udgangspunktet for en horisontal matematiseringsproces, hvor situationen med en mere eller mindre fyldt teatersal blev beskrevet med farvelægninger og elevernes forforståelser om procenttal.

Senere i undervisningsforløbet kom den beskrevne type farvelægninger af rektangler til at udgøre en model, der støttede vertikal matematisering. Med udgangspunkt i en kontekst med en parkeringsplads, hvor nogle biler optog en del af de i alt 40 pladser brugte eleverne således rektangelmodellen (the barmodel) til at støtte deres beregninger af, hvor stor en procentdel af parkeringspladserne, der var optaget, når der fx holdt 24 biler på pladsen (van den Heuvel-Panhuizen, 2003).

Som det fremgår af citatet på forrige side fra Gravemeijer et al. (2000), vedrører heuristikken om

fænomenologisk udforskning generelt det at skabe kontekster eller scenarier, hvor elever kan genforhandle mere og mere sofistikerede løsninger til oplevelsesmæssigt ægte problemer. Ifølge Gravemeijer et al.

(2000) vil det ofte dreje sig om hverdagskontekster eller fiktive scenarier, men det kan også dreje sig om rene matematikfaglige kontekster, især efterhånden som matematikken i højere og højere grad kommer til at forekomme oplevelsesmæssigt reel for eleverne.

119 12.4. Princippet om emergerende modellering

Den tredje heuristik fokuserer på den rolle, som emergerende modeller og symboliseringer, ifølge RME, spiller i individuelle elevers læring og i en klasses kollektive matematikudvikling (Gravemeijer et al., 2000). I RME opfattes modeller, ifølge Gravemeijer et al. (2000), i en dynamisk, holistisk betydning, og de

symboliseringer, der er indeholdt i en modelleringsproces, og som konstituerer modellen, kan derfor ændre sig over tid. Som eksempler på, hvad der kan udgøre en model i RME, nævner van den Heuvel-Panhuizen (2003) materialer, visuelle sketcher, paradigmatiske situationer, skemaer, diagrammer og symboler.

Den grundlæggende ide er at understøtte en proces, hvor elevernes ukonventionelle måder at symbolisere på gradvist udvikler sig til konventionelle måder at symbolisere på (Gravemeijer et al., 2000). Denne tilgang kræver, at læreren proaktivt understøtter, at antaget-fælles modeller opstår og udvikler sig og tid. Det proaktive består i, at læreren forsøger at opnå det intenderede ved at basere sig på elevernes bidrag og ved at introducere nye måder at symbolisere på, som passer med elevernes tænkning. I tråd med

emergensperspektivet tænkes emergerende modellering som en konstruktionsproces, der sker gennem deltagelse i og bidrag til praksisser i et lokalt fællesskab.

For at kunne praktisere denne tilgang må læreren omhyggeligt udvælge undervisningsaktiviteter og i klassen forhandle de måder at symbolisere, som elever skaber, når de arbejder med dem. Aktiviteterne, der udvælges og tilrettelægges, skal understøtte realiseringen af et foreslået læringsspor. Dette læringsspor må give en vision om forskellige måder at symbolisere, som fælles klassediskussioner kan basere sig på for at understøtte processen med kollektiv matematisering og genopfindelse. Læringssporet må, ifølge

Gravemeijer et al. (2000), beskrives med en vis åbenhed. Det er der flere grunde til:

First, it would be naive to expect or claim that any proposed learning trajectory could predict the exact route through which any classroom community would pass. In practice, the conjectured learning trajectory is continually adjusted and modified in response to observations of students’

activity (cf. Simon, 1995). Second, in contrast to the claims of developers who aim to bridge the gap between informal and conventional ways of symbolizing by assimilating the latter directly to the former, our goal is to support an emergence of meaningful symbolizations that arise during collective negotiations in which students attempt to revise their present ways of notating in order to describe a situation more effectively or efficiently. (Gravemeijer et al., 2000, s. 241)

120

Med disse forbehold er det, ifølge Gravemeijer et al. (2000) muligt for designeren at udlægge et foreslået læringsspor til brug i klasser, hvori eleverne først modellerer situationer på en uformel måde, dvs. som modeller af situationerne, og efterfølgende matematiserer deres uformelle modelaktivitet. Som eksempel nævner Gravemeijer et al. (2000), hvordan en klasse kan udvikle en metode til division med udgangspunkt i en situation, hvor eleverne skal finde ud af, hvor mange busser der er brug for til at transportere et antal passagerer. Elevernes første (horisontale) matematisering af denne situation kan bygge på gentagen subtraktion. Senere kan klassen diskutere, hvordan de kan udnytte multiplikationer af det antal sæder, der er i hver bus, til at afgøre, hvor mange busser der er brug for. På dette tidspunkt kan diskussionen i klassen have skiftet fra eksplicit at handle om situationen med busserne til at handle om gentagen subtraktion som en model til at ræsonnere om de matematiske relationer, der er involveret.

Et hypotetisk læringsspor af denne type involverer den formodning, at modellen, som opstår, når eleverne formaliserer deres tænkning, gradvist vil opnå ’sin egen form for liv’, uafhængigt af den situation, den er opstået i. Således er det hensigten, at modellen gradvist udvikler sig fra at udgøre en model af situationen til at udgøre en model for nye måder at tænke på. Fordelen ved et sådan læringsspor er, ifølge Gravemeijer et al. (2000), at det både udlægger målet med undervisningen og mulige måder at opnå disse mål på. På den måde tjener læringssporet som en ressource for læreren, der proaktivt forsøger at understøtte fælles udvikling af fælles-antaget måder at symbolisere og skabe mening på.

Gravemeijer et al. (2000) uddyber udviklingen fra modeller af til modeller for med en illustration og en tilhørende forklaring.

Niveau 1: Aktivitet i opgavekonteksten, hvor tolkninger og løsninger afhænger af forståelsen af, hvordan man agerer i situationen (ofte omverdensituationer).

Niveau 2: Referende aktivitet, hvor ’model af’ refererer til aktiviteter i undervisningen (ofte stillet i skolen).

Niveau 3: Generel aktivitet, hvor ’model for’ gør det muligt at fokusere på tolkninger og løsninger uafhængigt af det situationsspecifikke.

Niveau 4: Tænkning med konventionelle symboliseringer, der ikke længere er afhængig af støtte fra aktivitet med karakter af ’model for’.

Figur 27.2. Fire typer af aktivitet i emergerende modellering. (Tilpasset efter Gravemeijer et al., 2000, s. 243).

121

Figuren illustrerer fire generelle typer af aktiviteter, der kan finde sted i løbet af et undervisningsforløb, hvor en klasse gradvist udvikler tænkning baseret på konventionelle symboliseringer med udgangspunkt i tænkning, der er knyttet til ukonventionelle måder at symbolisere på. På niveau 1 er elevernes aktivitet knyttet til en opgavekontekst, der udgør et grundlag for processen. På niveau 2 er elevernes aktivitet knyttet til modeller, der refererer til aktiviteten i konteksten på niveau 1. På niveau 3 er elevernes aktivitet blevet generel i den forstand, at elevernes tænkning i højere grad er baseret på en model end på det, modellen refererer til. Endelig er elevernes aktivitet på niveau 4 knyttet til konventionelle symboliseringer og ikke længere afhængig af den støtte, som modellerne på niveau 3 kan give. Gravemeijer et al. (2000) understreger, at selv om de fire typer af aktiviteter involverer en matematikfaglig udvikling, så skal de ikke forstås som strengt hierarkisk ordnet. Fx kan det være sådan, at tænkning, der er baseret på konventionelle symboliseringer (niveau 4) ikke alene refererer tilbage til den generelle aktivitet (niveau 3), men tilbage til både niveau 2 og 1. Generelt kan elevernes aktivitet springe tilbage i niveauerne, så de kan støtte deres tænkning på modeller, der er knyttet til et lavere niveau (van den Heuvel-Panhuizen, 2003).

Princippet om emergerende modellering er tæt forbundet med emergensperspektivet og udgør en konkretisering af, hvordan symboliseringsprocesser, ifølge dette perspektiv, er knyttet til de fælles og de individuelle læreprocesser i klasserummet. Omvendt udgør emergensperspektivets fokus på refleksiv diskurs en konkretisering af, hvordan læreren proaktivt kan understøtte skift i elevernes aktivitet, gennem de fire typer, der er beskrevet på figur 12.2.

Princippet om emergerende modellering er generelt konsistent med Sfards (1991) historiske analyse af reifikationsprocesser (Gravemeijer et al., 2000) og kan ses som en ambition om at fremme lignende udviklinger i matematikklasserum (Gravemeijer et al., 2000).

12.5. Diskussion af de tre heuristikker set i forhold til designs inden for tidlig algebra Inden for forskning i tidlig algebra kan nogle af de designs, der er beskrevet i litteraturen, opfattes som eksempler på aspekter af de tre heuristikker af Gravemeijer (1999), også selv om princippet (eller andre principper knyttet til RME) ikke er omtalt eksplicit. I forbindelse med funktionelle sammenhænge gælder det fx designs af Carraher et al. (2008), hvor de indledende aktiviteter består af åbne problemer eller situationer. I arbejdet med disse problemer søges det at etablere et læringsmiljø, der er befordrende for elevers præsentationer af deres egne perspektiver, ideer, og måder at repræsentere disse ideer. Eleverne bliver bedt om at skrive og tegne deres ideer og deres forslag til løsninger, og disse produkter bliver delt og diskuteret i klassen. På den baggrund introducerer læreren - så vidt muligt i forlængelse af elevernes ideer -

122

nye måde at symbolisere funktionelle sammenhænge på. Disse symboliseringer kan først være ukonventionelle og senere konventionelle.

Carraher og Schliemann (2007) beskriver fx, hvordan eleverne i en 3. klasse arbejdede med en situation, om to børn, der hver havde et (ukendt) antal bolsjer. Det ene barn havde dobbelt så mange bolsjer som det andet barn. Spørgsmål var, hvor mange bolsjer hvert barn kunne tænkes at have? I den forbindelse førte klassesamtalen frem til, at klassen repræsenterede det antal bolsjer, hver af de to børn kunne tænkes at have, på hver sin parallelle tallinje, der blev tegnet på gulvet i klassen. Det ene antal bolsjer udgjorde et punkt på den ene tallinje, og det andet antal bolsjer udgjorde et punkt på den anden tallinje. Eleverne blev nu bedt om at vise eksempler på, hvor mange bolsjer hvert barn havde, ved at røre ved de sammenhørende punkter på hver sin tallinje. Efterhånden som taleksemplerne blev større, blev det umuligt for børnene at røre ved de to sammenknyttede punkter samtidigt, og derfor foreslog læreren, at de roterede den ene tallinje 90 grader, og bad eleverne placere sig selv som punkter i skæringen mellem hvert barns antal bolsjer. Eleverne kom på den måde til at udgøre en ’menneskelig graf’, som blev ’object of discussions and the basis for future work on the graphical representation of functions’ (Carraher & Schliemann, 2007, s.

691).

Set i forhold til de tre heuristikker, der er knyttet til RME, kan Carraher og Schliemanns udgangspunkt i en problemstilling, der er knyttet til en hverdagskontekst, ses som et eksempel på brug af princippet om didaktisk fænomenologi. Opgaven i eksemplet lægger således op til, at eleverne (horisontalt)

matematiserer en situation, som de har gode muligheder for at ’tænke igennem’.

Hvis eksemplet fra Carraher og Schliemann belyses i forhold til emergerende modellering, kan elevernes visninger af eksempler på de to parallelle tallinjer og ’den menneskelige graf’ opfattes som modeller af den oprindelige situation med de to børns bolsjer. Der er altså tale om aktiviteter på niveau 2 af modellen på figur 12.2. Samtidig kan man forestille sig, at ’den menneskelige graf’ har potentialet til at komme til at fungere som model for fortsat arbejde med funktioner og deres grafiske repræsentationer, jf. citatet fra Carraher og Schliemann (2007) i forrige afsnit. Man kan fx forestille sig, at den menneskelige graf kan komme til at danne grundlag for at sammenligne funktioner og på den måde komme til at udgøre en model for tolkninger af relationer mellem forskellige funktioner.

Generelt er det - på samme måde som i RME - hensigten med de designs, Carraher og hans kolleger har udformet til tidlig algebraundervisning, at eleverne med udgangspunkt i rige kontekstproblemer matematikfagligt skal udvikle sig i retning af at kunne anvende og udlede konklusioner direkte fra konventionelle, algebraiske symboler, og, som eksemplificeret, forestiller de sig, at konventionelle

Generelt er det - på samme måde som i RME - hensigten med de designs, Carraher og hans kolleger har udformet til tidlig algebraundervisning, at eleverne med udgangspunkt i rige kontekstproblemer matematikfagligt skal udvikle sig i retning af at kunne anvende og udlede konklusioner direkte fra konventionelle, algebraiske symboler, og, som eksemplificeret, forestiller de sig, at konventionelle

In document Danish University Colleges Tidlig algebra i grundskolens matematikundervisning Kaas, Thomas (Sider 117-132)