V. Analyse af forsøgsklassens læringsspor
21. Praksis 3: Oversættelser, der involverer variabelnotation
De to første matematiske praksissers opståen i første periode af forsøgsundervisningen var i Heidis og mine øjne to store skridt i retning af vores målsætninger (se afsnit 15.1). Vi oplevede også, at vores
forsøgsundervisning ikke havde givet grund til andet end meget små justeringer i det hypotetiske læringsspor, vi tilrettelagde efter.
I vores løbende refleksioner kom vi imidlertid til at bruge mere tid på vores ambition om, at eleverne forholdsvist hurtigt skulle have mulighed for at anvende konventionel variabelnotation til at symbolisere generelle, lineære, funktionelle sammenhænge (jf. mål 1b). På forhånd var vi, i overensstemmelse med designprincipperne (se afsnit 12.7), indstillet på, at eleverne skulle involveres i guidet genopfindelse, hvor introduktion af nye måder at symbolisere på var forbundet i en kæde, der begyndte med elevernes egne, ukonventionelle symboliseringer, og hvor hvert led blev etableret, så det kunne danne afsæt for nye refleksioner, der førte til nye symboliseringer. Vi var imidlertid usikre på, i hvilken grad en sådan introduktion kunne baseres på elevernes egne ræsonnementer.
Den første praksis, hvori konventionelle symboliseringer af variable indgik, kalder jeg: At oversætte frem og tilbage mellem variabelnotation og ukonventionelle symboliseringer af generelle, lineære sammenhænge.
21.1. Det karakteristiske ved praksis 3
Som tidligere omtalt (se kapitel 7) refererer ’variabelnotation’ til bogstaver, der bruges til at symbolisere varierende kvantiteter eller tal (fx Blanton et al., 2017). I forsøgsundervisningen fungerede disse varierende kvantiteter typisk som den uafhængige eller (senere) den afhængige variabel i en funktion, men (som det fremgår af kapitel 24) betragtede vi bevidst i nogle tilfælde også ubekendte som variable - i lighed med fx Brizuela et al. (2017) og Carraher, Schliemann og Schwartz (2008).
I forsøgsklassen indgik variabelnotation typisk i symboliseringer af korrespondanceregler for funktionelle sammenhænge. I det første forløb, hvor praksis 3) opstod, var det i udtryk, som beskrev en
korrespondanceregel uden den afhængige variabel. Det kunne fx være udtrykket 𝑠𝑠 ∙4, der blev brugt til at symbolisere (beregning af) omkredsen i et kvadrat, hvor sidelængden er 𝑠𝑠. Først i løbet af andet forløb blev det en accepteret praksis at opstille et egentligt funktionsudtryk, typisk på formen 𝑦𝑦=𝑎𝑎 ∙ 𝑥𝑥+𝑏𝑏.
I forsøgsundervisningen designede vi aktiviteterne, så den uafhængige variabel kunne variere inden for mængden af naturlige tal. I en aktivitet, hvor eleverne skulle identificere, symbolisere og begrunde den
188
funktionelle sammenhæng mellem sidelængde og omkreds i kvadrater, gjaldt det fx kun kvadrater, hvis sider fulgte linjerne i et 1 x 1 kvadratnet.
Det, jeg omtaler som ’ukonventionelle symboliseringer af generelle lineære sammenhænge’, omfatter i denne sammenhæng mundtlige og skriftlige symboliseringer, der er forbundet med faktuelle
generaliseringer og kontekstuelle generaliseringer, dvs. symboliseringer der uden brug af bogstaver som variable beskriver generelle lineære, funktionelle sammenhænge. Det kan fx være sætningen: ’Hvis man kender sidelængden i et kvadrat, kan man finde omkredsen ved at gange den med 4’ eller ’Hvis man ved, at Heidi er 44 år, kan man finde Lenes alder ved at sige 44 + 5. Hvis hun er 45 er det 45 + 5 osv.’.
Med ’oversættelse’ mener jeg en ændring af en symbolisering, så centrale sider af det samme meningsindhold repræsenteres på en ny måde. En elev kan fx oversætte den ukonventionelle
symbolisering, ’Hvis man kender sidelængden i et kvadrat, kan man finde omkredsen ved at gange den med 4’ til udtrykket ’𝑠𝑠 ∙4’. En elev kan begrunde sådanne oversættelser ved at gøre rede for, hvordan de passer sammen, herunder hvad ’𝑠𝑠’ symboliserer.
Det er karakteristik for en sådan praksis, at eleverne igennem oversættelserne konceptualiserer
sammenhænge på en ny måde. De får mulighed for at tænke på sammenhænge på en ny måde (Kaput &
Blanton, 2011). Oversættelsen fra sætningen til bogstavudtrykket kan fx give dem mulighed for at tænke sammenhængen som et objekt, de kan foretage beregninger med.
21.2. Hvordan opstod praksis 3?
Allerede i forbindelse med de første aktiviteter i forsøgsundervisningen introducerede Heidi ideen om at bruge bogstaver til at symbolisere tal, der varierer. Den første introduktion fandt sted i forbindelse med
’Rektangler med sidelængden 4’, efter at eleverne havde formuleret mange forskellige regneudtryk, som viste, hvordan de kunne beregne antallet af tern i rektanglerne ud fra højden af den, fx 4 ∙ 13, 4 ∙ 100, 33 + 33 + 33 + 33 og 55 + 55 + 55 + 55. De havde med andre ord formuleret faktuelle generaliseringer af sammenhængen.
Heidi: Ja. Kunne I forestille jer et tal, man ikke kunne bruge som højden? Felix?
Felix: Nej.
189
Heidi: Man kan faktisk bruge alle mulige tal, vi kender, ikke?
Dreng: 29000!
Heidi: Og det betyder jo også, at vi kan skrive mange, mange, mange, mange regnestykker! Nu kommer det mærkelige (tysser)!
Når nu vi kan sige, at højden kan være alle mulige forskellige tal. Kunne vi så bare, i stedet for at sige… At højden, den kalder vi bare for ’h’? Og så kunne vi putte alle mulige tal ind i stedet for ’h’, kunne vi gøre det?11
Eleverne tog forskelligt imod denne invitation. Lisa mente fx, at plusstykket kunne skrives som
ℎ+ℎ+ℎ+ℎ, hvis ℎ kunne være et tal, fx 18. Hun mente derimod ikke, at det kunne give mening at skrive et gangestykke med ℎ, for, som hun sagde: ’…Man kan ikke gange et bogstav’. Willy sagde derimod: ’… på en måde kan man gange og plusse bogstaver, og på en måde kan man ikke. Den måde, man kan det på, er ved at give bogstavet et tal, fx 26’. Andre elever foreslog helt andre tilgange til at regne med bogstaver.
Kalle mente fx, at ’K + A + S + P + E + R’ gav KALLE, og Julius mente, at h måtte være 8, for det er det 8.
bogstav i alfabetet.
Det var Heidis og min opfattelse, at nogle elever umiddelbart accepterede ideen med at bruge bogstaver som pladsholder for varierende tal, mens andre elever var forbeholdne. Udsagn som Kalles fik os til at tænke, at eleverne, naturligt nok, mødte bogstaver i matematik med forståelser, der kunne se ud til at bygge på deres erfaringer fra danskundervisning, og at vi i matematikundervisningen måtte skabe mulighed for at udvide disse forståelser, så de også kom til at opleve det som meningsfuldt at symbolisere varierende tal med bogstaver. Vi overvejede, hvordan vi kunne skabe sådanne muligheder.
En tilgang var den skitserede, hvor Heidi på baggrund af elevernes faktuelle generaliseringer foreslog brugen af et bogstav, der kunne symbolisere ’alle mulige tal’. Vi kom imidlertid til at se kravene i den logik, der er forbundet med den skitserede tilgang, som problematisk. Hvis ℎ symboliserer ’alle tal’, så medfører det, at sammenhængen kan beskrives som ℎ+ℎ+ℎ+ℎ. Men hvilke muligheder havde eleverne for at forestille sig, at ℎ symboliserer ’alle tal’? Vi tænkte, at mulighederne var for begrænsede.
11 Se video af episode MS, 180416, F
190
Lidt senere i forløbet forsøgte vi os med en tilgang, der byggede på eleverne kontekstuelle generaliseringer.
Ideen var således, at Heidi skulle foreslå brugen af bogstaver som symbol for en variabel, efter at eleverne verbalt havde formuleret en identificeret sammenhæng med reference til konteksten. En sådan situation opstod, da Willy havde beskrevet sammenhængen mellem sidelængde og omkreds i kvadrater som: ´… det, der er nede i bunden, skal vi bare gange med 4, eller plusse det 4 gange´ (se også afsnit 19.2). På dette grundlag foreslog Heidi, at klassen kunne kalde ’bunden’ for et bogstavet, for at gøre Willys forklaring kortere. Flere elever kom med forslag til, hvilket bogstav der kunne betegne bunden. Lisa foreslog fx ’𝑙𝑙’, men Willy fik lov til at bestemme, at bunden skulle kaldes for ’𝑤𝑤’. Heidi fortsatte: ’Når så Willy siger, vi skal bare gange bunden med 4. Hvordan kan vi så skrive det´? Willy forklarede, at man så kunne skrive ’𝑤𝑤 gange 4’ eller ’𝑤𝑤 plus 𝑤𝑤 plus 𝑤𝑤 plus 𝑤𝑤’.12
Logikken i denne tilgang er stort set den samme som i tilgangen, der byggede på faktuelle generaliseringer:
Hvis 𝑤𝑤 symboliserer en (vilkårlig) sidelængde i et kvadrat, så medfører det, at omkredsen kan skrives som 4∙ 𝑤𝑤. Forskellen på situationerne var, at 𝑤𝑤 for eleverne umiddelbart var forbundet med et element fra konteksten (i dette tilfælde en sidelængde eller, som Willy sagde, med ’bunden’ af et kvadrat), mens ℎ umiddelbart var forbundet med de skiftende tal, der betegnede højder i rektangler. Eleverne accepterede tilsyneladende tilgangen, der byggede på kontekstuelle generaliseringer, men spørgsmålet for Heidi og jeg var, om de med denne tilgang fik rige nok muligheder for (også) at komme til at opfatte bogstaver som symboler for kvantiteter, der kan variere inden for en mængde - eller om vi snarere gav dem anledning til at komme til at opfatte bogstavet som et label for fx ’sidelængde’ eller som symbol for en given
sidelængde? I episoden, hvor Willy beskrev omkredsen i et kvadrat, med sidelængden 𝑤𝑤, som 𝑤𝑤 gange 4, forklarede han fx bagefter, at 𝑤𝑤 kunne være 6, og omkredsen derfor var 24. Han gav ikke umiddelbart udtryk for en forståelse for, at 𝑤𝑤 kunne symbolisere varierende kvantiteter.
På den baggrund forsøgte vi os med en tredje tilgang, der kom til at udvikle sig til en matematisk praksis i klassen. Figur 21.1 viser de 3 trin i denne tilgang, knyttet til aktiviteten ’Sammenhæng mellem aldre’.
12 Se video af episode MS,180418-J
191
Trin 1 Trin 2 Trin 3
Figur 21.1. Tre trin knyttet til aktiviteten ’Sammenhæng mellem aldre’.
Heidi iscenesatte ’Sammenhæng mellem aldre’ ved at fortælle om sin veninde, Lene, der har fødselsdag samme dato som Heidi, men som er 5 år ældre end hende. På trin 1 stillede og løste eleverne forskellige opgaver ud fra denne givne sammenhæng i konkrete tilfælde, fx: ’Hvor gammel er Lene, når Heidi bliver 50 år? Hvor gammel var Heidi, da Lene var 20 år?’ Eleverne gennemførte små rollespil to og to, hvor den ene skulle spille Heidi, og den anden skulle spille Lene. Hver elev skulle komme med forslag til aldre, der harmonerede med den faktiske aldersforskel. Derefter arbejdede eleverne selvstændigt med at udfylde funktionstabeller med samhørende aldre13. Efter det selvstændige arbejde talte klassen i fællesskab om, den generelle sammenhæng mellem Heidis alder og Lenes alder. Eleverne formulerede sætninger, der kan tolkes som faktuelle og kontekstuelle generaliseringer. Maria sagde fx: ’Hvis du nu er 9 år, så tæller man bare 5 op’. Lukas sagde: ’Man kan bare plusse 5 til [Heidis alder]’.14
På den baggrund forklarede Heidi i trin 2, at det er muligt at bruge udtrykket ℎ+ 5 til at regne Lenes alder ud, når man kender Heidis alder. Eleverne fik med dette udgangspunkt til opgave at forklare betydningen af udtrykket, og samtalen kom især til at fokusere på ℎ´ets betydning. Spørgsmålet var, hvad ℎ´et måtte betyde, når udtrykket kunne bruges til at bestemme Lenes alder? Carla foreslog, at ℎ´et måtte stå for
’Heidi’, men Heidi udfordrede denne tolkning ved at spørge til, om ’Heidi plus 5’ kunne være et
regnestykke? Julius påstod, at udtrykket (i så fald) ville betyde ’fem Heidi’er’, og Iben kom med et nyt bud på en tolkning: ’Det er bare, at… Man kunne gøre sådan, at… Hvor mange år Heidi er, det står 𝐻𝐻 for. Så tæller man bare 5 op’. Heidi gav denne tolkning opbakning, og ingen elever i klassen udfordrede den. Det så
13 Se video af episode MS, 180423-B
14 Se video af episode MS, 180423-C og/eller transskribering af MS, 180423-C
192
med andre ord ud til, at Iben´s bud på en tolkning af ℎ´et som Heidis alder blev accepteret, og klassen havde på den måde for første gang tolket et bogstavholdigt udtryk på den måde, det var tilsigtet.
I trin 3 af aktiviteten fik eleverne til opgave at oversætte den modsatte vej. De skulle formulere et udtryk med et bogstav, som kan bruges til at bestemme Lenes alder, når man kender Heidis alder. Gunnar foreslog
’𝑙𝑙 minus 5’, og gav følgende begrundelse: ’Lene er jo 5 år ældre end dig. Og så er det minus 5, så er det jo det, du er’. På den måde kom episoden til at fremstå som starten på en praksis, hvor eleverne oversatte frem og tilbage mellem variabelnotation og ukonventionelle symboliseringer af generelle, lineære sammenhænge.
21.3. Forskellige elevers deltagelse i praksis 3
Det følgende klip fra undervisningen eksemplificerer, at nok tydede episoderne, jeg har beskrevet i det forrige, på, at eleverne generelt accepterede den nye praksis, og nok deltog eleverne generelt i de omtalte tolkninger og oversættelser, men det var formentlig forskelligt, hvilke betydninger de tillagde bogstavet i bogstavudtrykkene. Klippet er en fortsættelse af episoden, hvor Gunnar netop har foreslået ’𝑙𝑙 minus 5’ som et udtryk, der symboliserer Heidis alder (ud fra Lenes).
Heidi skrev Gunnars forslag (’𝐿𝐿 - 5’) op på tavlen og spurgte til betydningen af bogstavet 𝐿𝐿 i udtrykket:
Heidi Ja! Så hvad betyder det dér 𝐿𝐿, Gunnar?
Gunnar Lene minus 5.
Heidi Ja. Så det her, øh… Hvad gør man ved det her, hvis nu, man skal regne noget ud? Lisa?
Lisa Så siger man 𝐿𝐿’et står for, hvor mange år Lene er.
Heidi Så siger man 𝐿𝐿´et står for, hvor mange år Lene er.
I dette klip udtrykker Gunnar den forståelse, at bogstavet (𝐿𝐿) står for ’Lene’, og Lisa udtrykker den
forståelse, at bogstavet står for ’hvor mange år Lene er’. I klippet er det, isoleret set, uklart, om Lisa tænkte Lenes alder som et bestemt antal år, eller som et antal år der kan variere.
193
I data er der tegn på kvalitativt forskellige opfattelser af bogstavets betydning i de forskellige udtryk, som eleverne tolkede og begrundede i praksis 3. Et niveau er den forståelse, som Gunnar udtrykte i klippet. Han opfattede tilsyneladende bogstavet som et label for et navn og forbandt det på den måde ikke eksplicit med et tal.
Et andet niveau kom fx til udtryk i en episode, hvor Heidi skrev udtrykket ’ℎ-11’ på tavlen og fortalte, at dette udtryk kunne bruges til at finde ud af alderen på hendes tidligere elev, Sidsel, når man kendte Heidis alder. På den baggrund bad Heidi eleverne forklare betydningen af udtrykket. Julius sagde umiddelbart, at resultatet var 34 og begrundede det med, at Heidi var 45 år. Tilsyneladende tolkede han i første omgang ℎ´et som et konkret tal.
Et tredje niveau kom til udtryk hos andre elever i klassen, der brugte regneudtrykket til at bestemme, hvor gammel Sidsel havde været, da Heidi var yngre, og hvor gammel Sidsel ville være, når Heidi blev ældre. De signalerede på den måde en forståelse af, at ℎ´et kunne symbolisere et varierende antal år og begyndte at anvende udtrykket som et objekt til beregninger.
Set i forhold til tidligere i forsøgsundervisning var disse tre niveauer i elevernes tænkning om bogstaver som variable tegn på udvikling. Tidligere i forsøgsundervisningen var der elever, som enten slet ikke tillagde bogstaver mening i matematik (fx Lisa, da hun sagde: ’Man kan ikke gange et bogstav’), eller som tillagde bogstaver betydninger, der ikke giver mening i en matematisk kontekst (fx Kalle, da han sagde: ’ ’K plus A plus S plus P plus E plus R giver KALLE’, og Julius der sagde, at h måtte være 8, for det er det 8. bogstav i alfabetet). Samlet set harmonerer de forskellige niveauer, som kan observeres i data, i store træk med de seks forskellige niveauer, som Brizuela et al. (2017) har beskrevet som et læringsspor om børns forståelser af variable og variabelnotation (se afsnit 7.6).
194