Praksis 4: Generaliseringer, der involverer variabelnotation

I løbet af første og anden periode med forsøgsundervisning begyndte eleverne gradvist oftere at bruge variabelnotation i deres symboliseringer af de generelle sammenhænge, de identificerede. Samtidig voksede deres accept af denne notationsform som en måde at symbolisere varierende kvantiteter og/eller tal. Frem til begyndelsen af anden periode kan man dog i data stadig spore modstand mod variabelnotation fra enkelte elever. Fx bemærkede eleven Kristian i en episode, hvor klassen talte om forskellige måder at beskrive (funktionelle) sammenhænge: ’Man kan ikke bare tage et tal og kalde det for et bogstav. Det er ikke sådan, man gør i matematik’.¹⁵

I ugerne efter ’døde modstanden’ hen, og når klassen havde identificeret generelle lineære sammenhænge, blev det normalt at symbolisere disse sammenhænge både faktuelt, kontekstuelt og med variabelnotation (jf. fase 2 i det hypotetiske læringsspor, se afsnit 15.3). Der opstod med andre ord en ny klasserumspraksis, som jeg gør rede for i dette kapitel: At generalisere generelle lineære sammenhænge og symbolisere dem faktuelt, kontekstuelt og med variabelnotation.

22.1. Det karakteristiske ved praksis 4

I praksis 4 formulerede eleverne generelle lineære sammenhænge verbalt og skriftligt. Det drejede sig om både rekursive sammenhænge og korrespondancesammenhænge, men undervisningen lagde, jf. det hypotetiske læringsspor, vægten på korrespondancesammenhænge (se afsnit 15.3). Disse sammenhænge formulerede klassen i nogle tilfælde udelukkende som regler, der beskrev, hvordan en afhængig variabel kunne beregnes ud fra en uafhængig variabel. Når klassen brugte variabelnotation havde disse regler formen 𝑎𝑎 ∙ 𝑥𝑥, hvor 𝑎𝑎 betegner et naturligt tal, der typisk var mindre end 10. I andre tilfælde formulerede klassen egentlige funktionelle sammenhænge mellem en uafhængig og en afhængig variabel. Med

variabelnotation var formen således 𝑦𝑦=𝑎𝑎 ∙ 𝑥𝑥+𝑏𝑏, hvor 𝑎𝑎 og 𝑏𝑏 er naturlige tal, der i forsøgsundervisningen typisk var mindre end 10.

Som det fremgår af den sidstnævnte form var de lineære sammenhænge, som klassen identificerede, symboliserede og begrundede, ikke udelukkende proportionale sammenhænge. Set i forhold til det

15 Se video af episode MS, 181114-A

195

hypotetiske læringsspor fulgte undervisningen den progression, der er beskrevet i afsnit 15.3. under mål 1, fase 2. Det er baggrunden for, at jeg ikke, som i praksis 1, beskriver de lineære sammenhænge som enkle.

22.2. Hvordan opstod praksis 4?

Generaliseringerne i praksis 4 opstod i processer, der var helt parallelle til processerne i praksis 1. Som beskrevet under praksis 1 i afsnit 19.1 arbejdede eleverne med de lineære, funktionelle sammenhænge i fire trin. Figur 22.1 illustrerer de fire trin i tilknytning til aktiviteten ’Klip en snor med én bue’, som indgik i begyndelsen af det andet forløb. I denne aktivitet skulle eleverne identificere, symbolisere og begrunde sammenhængen mellem antal klip i en (lang) snor med en bue og det antal (mindre) stykker snor, der vil fremkomme ved klippene.

Trin 1 Trin 2 Trin 3 Trin 4

Figur 22.1. Progressionen i undervisningen, hvori praksis 4 udviklede sig.

I trin 1 undersøgte eleverne situationen konkret med snore og sakse og i nogle tilfælde med tegninger og egne noter. På den baggrund opstillede klassen i trin 2 en funktionstabel med talpar fra enkelttilfælde.

Herefter formulerede de i trin 3 regneudtryk, som beskriver, hvordan man kan beregne antal snore på baggrund af antal klip i enkelttilfælde. Endelig diskuterede, symboliserede og begrundede de, på dette grundlag, i trin 4 den generelle sammenhæng.

Til forskel fra i praksis 1 var det i praksis 4 accepteret i klassen at repræsentere den generelle sammenhæng på formen 𝑦𝑦=𝑎𝑎 ∙ 𝑥𝑥+𝑏𝑏. Figur 22.2 viser fx Saras arbejde med opgaven.

196

Figur 22.2. Saras arbejde med ’Klip en snor med en bue´.

Praksis 4 udgjorde, som beskrevet, en udvidelse af praksis 1, idet variabelnotation gradvist blev en accepteret del af klassens måder at symbolisere sammenhænge på. Spørgsmålet er, hvordan denne udvidelse opstod? I data har jeg sporet to episoder, der ser ud til at være afgørende for udviklingen, fordi en eller flere elever i hver af disse episoder udtrykte nye aspekter af variabelbegrebet, der ikke alene så ud til at blive accepteret af klassen som helhed, men som indeholdt vendinger eller ord, andre elever senere i forløbet referererede tilbage til, når de begrundede deres brug af bogstaver i udtryk.

Den første afgørende episode har jeg allerede omtalt under praksis 3 (se kapitel 21). Det var den episode, hvor Heidi introducerede udtrykket ℎ+ 5, og hvor Iben forklarede, at ℎ stod for, ’hvor mange år Heidi er’

og dermed ikke bare var en forkortelse for Heidi . I situationen blev der for første gang givet en formulering, der harmonerer med, at et bogstav kan symbolisere en varierende kvantitet eller tal. Flere gange senere i forløbet overtog andre elever i klassen Ibens formulering eller variationer af den. Det gjaldt fx Lisa, der i sin forklaring af udtrykket 𝐿𝐿 −5 sagde: ’ Så siger man L’et står for, hvor mange år Lene er’¹⁶, og det gjaldt Kristian, der i sin forklaring af udtrykket 𝑠𝑠+ 11 sagde: ’S´et betyder, hvor gammel Sidsel er´¹⁷.

Den anden afgørende episode fandt sted et par dage senere. Episoden stammer fra en klassesamtale om, hvordan man kan beregne det beløb, man får i pant for store flasker. Hver flaske gav 3 kr., og eleverne havde formuleret regneudtryk, som de kunne bruge til at beregne panten for hhv. 10, 11 og 23 store flasker. Heidi skrev disse regneudtryk på tavlen. Der stod: 10∙3, 11∙3 og 23∙3. På den baggrund spurgte hun, hvad de kunne kalde det tal, der ’hele tiden skifter’? Willy foreslog først, at de kunne kalde tallet for ’j’

16 Se video af episode MS, 180423-D og/eller transskribering af MS, 180423-D

17 Se video af episode MS, 180423-G

197

og skrive beregningen som 𝑗𝑗 ∙3. Da Heidi spurgte, hvorfor Willy havde foreslået ’j’, svarede han: ’Fordi det fik jeg bare lyst til’. Derefter fandt følgende udveksling sted¹⁸:

Heidi […]. Hvad betyder det her j, Willy?

Willy Men, må jeg gerne lige… (Willy løber op til tavlen). Det kunne også have været et s! Det laver jeg bare lige… (Willy skriver på tavlen).

Heidi Vi… Okay…

Willy s, fordi det kunne betyde ”skiftetal”.

Heidi Det kunne betyde skiftetal? Okay. Så vi kunne… Det er faktisk helt lige meget hvilket bogstav, vi skriver her. Vi kan vælge… Men hvad betyder bogstavet?

Mejse?

Mejse Det betyder 11. Eller det kan betyde 10, eller det kan betyde alle mulige tal.

Heidi Det kan betyde alle mulige tal.

I denne episode udtrykte nogle elever to aspekter af den begrebsmæssige betydning af bogstaver som variable. Det ene var, at selve bogstavet ikke er afgørende for dets begrebsmæssige betydning. Det andet var, at bogstavet kan være pladsholder for tal, der varierer.

Willy valgte først bogstavet j, fordi han havde lyst, som han sagde. Derefter valgte han bogstavet ’s’ og begrundede valget med, at ’s’ kan betegne et ’skiftetal’. Han gjorde det på den måde for det første tydeligt, at det er muligt at symbolisere antallet af flasker med forskellige bogstaver. For det andet indførte han ordet, ’skiftetal’, der kan tænkes at understøtte opfattelsen af, at et bogstav kan symbolisere tal, der kan variere eller ’skifte’. Mejses kommentar om, at bogstavet kan betyde ’alle mulige tal’ understøttede denne opfattelse.

Det, der får mig til at betegne episoden som afgørende, er, at flere elever senere i forløbet også omtalte bogstavet som et symbol for skiftende tal. Det gælder fx i en episode nogle uger senere i forløbet, hvor klassen havde formuleret udtrykket 3∙ 𝑏𝑏+ 2 i forbindelse med identifikation af sammenhængen mellem antal borde og antal stole i en bestemt opstilling. Heidi spurgte til bogstavet i udtrykket: ’Hvad er så det

18 Se video af episode MS, 180425-F og/eller transskribering af MS, 180425-F