V. Analyse af forsøgsklassens læringsspor
20. Praksis 2: Funktionstabeller som redskaber
Praksis 2 opstod kort efter og næsten parallelt med praksis 1 i de to første moduler af
forsøgsundervisningen. Den drejer sig om: At anvende en funktionstabel som redskab til beregninger og ræsonnementer med enkle, lineære sammenhænge.
20.1. Det karakteristiske ved praksis 2
Figur 20.1 viser et eksempel på en funktionstabel, der repræsenterer en enkel, lineær sammenhænge.
Højde Areal (antal tern)
1 4
2 8
3 12
4 16
Figur 20.1. Enkel lineær sammenhæng repræsenteret i en funktionstabel.
Når en sammenhæng, fx en rekursiv sammenhæng, er kendt, kan en funktionstabel som denne danne udgangspunkt for beregninger og ræsonnementer, der knytter sig til de afhængige og uafhængige variable.
Beregningerne kan fx føre til svar på spørgsmål som ’Hvilken højde hører til arealet 40?’.
Ræsonnementerne til svar på spørgsmål som ’Kan arealet blive et ulige antal tern?’. I praksis 2 var sådanne ræsonnementer typisk baseret på hypoteser. De kunne fx bygge på den hypotese, at tallene i højre side af funktionstabellen hele tiden ville vokse med 4 og svare til tallene i 4-tabellen.
Det var karakteristisk for praksis 2, at elevernes tænkning baserede sig på en identificeret sammenhæng og på den symbolisering, funktionstabellen udgjorde, frem for på den oprindelige kontekst med undersøgelse af konkrete tilfælde. I den forstand udgjorde funktionstabellen et objekt, som eleverne kunne bruge til at belyse nye problemer (end den oprindelige).
181 20.2. Hvordan opstod praksis 2?
I aktiviteten ’Rektangler med fast sidelængde 4’ arbejdede klassen sig i første omgang igennem de fire trin, jeg har gjort rede for i kapitel 19. Hovedfokus i dette arbejde var, som beskrevet, på generalisering af korrespondancereglen for den lineære, funktionelle sammenhæng i situationen (jf. mål 1). I en pause fortalte eleven Lukas imidlertid Heidi, at han havde grebet problemet med rektangler an på en lidt anden måde, end de andre. I sine undersøgelser havde han først tegnet rektangler med højde 1, så 2, så 3 osv.
Heidi udnyttede dette input fra Lukas til på tavlen (også) at tegne en ordnet tabel som den på figur 20.1.
Med Lukas´ anvisninger fik tabellen ordnede talpar op til (10,40). Lukas forklarede, at han (i forbindelse med tallene i højre kolonne) hele tiden ’plussede med 4’, og Kristian begrundede, med en tegning på tavlen og med reference til rektanglerne, hvorfor denne fremgangsmåde fungerede. Kort tid efter sagde Mejse, at tallene i højre side af tabellen svarede til tallene i 4-tabellen. Dette udsagn så ud til at blive accepteret i klassen, idet ingen kom med indsigelser eller spørgsmål.
På dette tidspunkt i samtalen havde klassen på den måde ordnet tallene i funktionstabellen på tavlen, identificeret, begrundet og mundtligt repræsenteret en rekursiv sammenhæng med udsagnene ’man plusser med 4’, og ’det er 4-tabellen’. Denne udvikling gav anledning til, at Heidi rettede sin undervisning mod mål 2, der overordnet handlede om at gøre eleverne i stand til at løse problemer med funktionelle sammenhænge i situationer, hvor denne sammenhæng på forhånd er givet, herunder om at beregne inden for repræsentationer af funktionelle sammenhænge (mål 2b). Hun stillede spørgsmålet: ’Kan der komme til at stå 42 i kolonnen med antal tern’? Følgende udveksling fandt sted8:
Mejse: Nej.
Heidi: Hvorfor kan man ikke det?
Mejse: Fordi det er 4-tabellen.
Fordi 10, det er jo 40. Og så kan man ikke tage 4.
Fordi 41, 42, 43, 44. Og det er så i midten, så det kan man ikke.
Heidi: Det er så i midten, så det kan man ikke.
Willy?
Willy: Hvis man ikke skulle lave bokse [dvs. kvadratiske tern], så kunne man godt.
8Se video af episode MS, 180416-H
182
Fordi, man kunne bare sige ti en halv. Fordi ti en halv plus ti en halv, det er 21.
Så skulle man bare gøre det igen, så bliver det 42.
Heidi: Så, hvis de måtte være halve, så måtte man. Flot.
Er der nogen af jer andre, der kan finde på et tal, der ikke kan stå herovre?
Nu foreslog jeg 42. Kan I tænke på andre tal, som ikke kan stå i den her liste?
Gad vide, om vi kan finde på andre tal, som man ikke… hvis nu, vi ikke gør som Willy og laver halve. Kan man så komme i tanke om andre tal, der ikke kan stå der? Har du et, Felix?
Felix: 0.
Heidi: 0 kan heller ikke stå der? Hvorfor, Felix?
Felix: Det ved jeg ikke… Ligesom man ikke kan lave en side. Der skal jo være én op.
Heidi: Der skal jo være en op. Ja. Så 0 kan ikke komme til at stå der.
Lukas?
Lukas: 5.
Lærer: 5? Hvorfor kan der ikke komme til at stå 5?
Lukas: Ligesom også det der med 42. Heller ikke 6 eller 7 eller 9 eller 10 eller 11.
Klippet illustrerer, hvordan nogle af eleverne, i tilknytning til en funktionstabel, begyndte at formulere den type argumenter, der er karakteristisk for praksis 2. Den nye type argumenter baserede sig på en
identificeret sammenhæng og knyttede sig til tallene i funktionstabellen frem for på den oprindelige kontekst. I klippet baserede Mejse, og tilsyneladende også Lukas, sig fx på genkendelsen af 4-tabellen i højre kolonne af tabellen i deres argumentationer for, at hhv. 42 og 5 ikke kunne komme til at stå der. Willy og Felix baserede derimod deres argumenter på den oprindelige kontekst. Willy påpegede således, at Mejses argument byggede på, at samtalen udelukkende drejede sig om rektangler, der er tegnet på
kvadratnet. Felix afgrænsede definitionsmængden med reference til, at rektanglerne nødvendigvis må have en højde, der er større end 0 for i det hele taget at udgøre rektangler.
Man kan sige, at eleverne i klippet behandlede den symbolisering, som funktionstabellen udgør, på forskellige måder. Willy og Felix talte om tallene i tabellen, men de refererede til den oprindelige kontekst.
Med Blanton og Kaputs (2011) formulering behandlede de tabellen som gennemsigtig og så (rektanglerne) igennem den. Sara og Lukas talte derimod om tallene i tabellen på en mere direkte måde. De fokuserede på tabellen, som om den var et uigennemsigtig objekt (Blanton & Kaput, 2011), og de forlod rektanglerne som reference. I stedet for baserede de deres argumentation på deres opdagelse af den rekursive sammenhæng
183
og efterfølgende genkendelse af 4-tabellen. I de efterfølgende aktiviteter vandt den sidstnævnte måde at argumentere på frem, dvs. praksis 2.
Aktiviteten ’Rektangler med sidelængden 3’ fulgte efter ’Rektangler med sidelængden 4’. Forskellen fra den første til den anden aktivitet var en ny fast sidelængde på rektanglerne, og at eleverne i den nye aktivitet selvstændigt skulle tegne og udfylde en funktionstabel.
Kristian identificerede den rekursive sammenhæng i ’Rektangler med sidelængden 3’. I en klassesamtale fortalte han, at han hurtigt kunne udfylde en funktionstabel, for han havde opdaget, at antal tern hele tiden voksede med 3. På tavlen påbegyndte Heidi en funktionstabel, der skulle illustrere Kristians ide, og Kristian dikterede de første tal i tabellens højre kolonne: 0, 3 og 6. På denne baggrund spurgte Heidi, om andre elever i klassen kunne fortælle, hvordan tabellen ville fortsætte. Gunnar forklarede, at det næste tal måtte være 9, for ’6 plus 3 er 9’, og Torbjørn forklarede, at det følgende tal måtte være 12, for ’9 plus 3 er 12’.
Mejse bemærkede, at hun kunne genkende tallene i højre kolonne som 3-tabellen. På dette tidspunkt spurgte Heidi, om der kunne komme til at stå 17 i tabellens højre kolonne. Julius argumenterede for, at det ikke kunne lade sig gøre, for de næste tal ville blive 15 og 18. Heidi spurgte desuden, om eleverne kunne nævne andre tal, som ikke ville komme til at stå der, og flere elever kom med eksempler. Mejse gav fx 20 som eksempel og begrundede det med, at 20 ikke er i 3-tabellen.9
Episoden eksemplificerer, hvordan gradvist flere elever deltog aktivt i den nye praksis, og hvordan eleverne i denne praksis generelt knyttede deres beregninger og argumentation til funktionstabellen frem for til den oprindelige kontekst med rektanglerne. Julius baserede fx sin argumentation på rekursive fremskrivninger af tallene i tabellen, og Mejse baserede sin argumentation på sin genkendelse af 3-tabellen - ikke på rektanglerne i den oprindelige kontekst.
Disse elever så med andre ord ud til at foretage det, Kaput et al. (2008) betegner som et løft væk fra den konkrete reference. I stedet baserede de tilsyneladende deres tænkning på den symbolisering af deres arbejde fra den oprindelige situation, som funktionstabellen udgjorde. Et sådant løft væk er, ifølge Kaput et al. (2008), kraftfuldt, ikke alene fordi det gør det muligt at overvinde de kognitive grænser, der kan være forbundet med en konkret kontekst. Det skaber også nye muligheder for abstraktion væk fra det specifikke mod nye former for symbol-medierede erfaringer.
9 Se video af episode MS, 180418-C og episode MS, 180418-D
184
Heidi og jeg så praksis 2 som et første skridt i retning af målet om, at eleverne skulle blive i stand til at anvende repræsentationer af lineære sammenhænge som redskab til at løse problemer, der involverer ubestemte kvantiteter. I første omgang blev det, som beskrevet, en accepteret praksis at løse problemer knyttet til en funktionstabel, der repræsenterede en kendt sammenhæng. På sigt var vores ambition, at eleverne gradvist ville kunne blive i stand til at løse problemer og modellere med støtte fra et udvalg af repræsentationsformer, herunder grafer og konventionelle udtryk med variable.
20.3. Forskellige elevers deltagelse i praksis 2
Langt de fleste elever baserede sig på rekursive sammenhænge, når de anvendte funktionstabeller som redskab til beregninger og ræsonnementer. Som det fremgår af det følgende, var der imidlertid også elever, som baserede sig på samvariation og korrespondancesammenhænge. De følgende to klip er fra
elevinterviewene efter første forsøgsundervisning. Klippene viser to forskellige måder at deltage i praksis 2 på - fra hver sin ende af spektret.
I interviewene arbejdede hver elev med sammenhængen mellem antal centicubes og antal sideflader på centicubestænger.
Figur 20.2. Centicubestænger. Fra Undervisningsministeriet, 2009, s. 41.
185
Før det følgende klip fra interviewene havde hver elev udformet en funktionstabel. For Ibens vedkommende så tabellen sådan ud:
Antal centicubes Antal sideflader
1 6
2 10
3 14
4 18
5 22
6 26
7 8
Figur 20.3. Ibens funktionstabel.
Iben havde desuden identificeret samvariationen: Når antallet af centicubes vokser med 1, vokser antallet af sideflader med 4. På den baggrund spurgte Heidi, hvad der ville komme til at stå ud for 7 i tabellen10.
Iben: Så springer man bare 4 (tæller på taltavle).
1, 2, 3, 4. Så kommer man op på 30.
Heidi: Lige præcis. Du kunne bare nøjes med at springe 4.
Så, hvad skal der stå ud for 8?
Iben: 30. Og så 1, 2, 3, 4 (tæller på taltavle).
34.
Willy havde, ud over at udarbejde en funktionstabel, også identificeret og formuleret både den rekursive sammenhæng og en holdbar korrespondanceregel (han notede denne regel som 𝑆𝑆 ∙4 + 2 = ?), før Heidi stillede spørgsmål, der sigtede på et ræsonnement med den lineære sammenhæng. Hun pegede på funktionstabellen og spurgte, om antallet af sideflader kunne blive 53? Willy forklarede, at antallet af sideflader aldrig kunne blive et ulige tal, fordi man ’skulle gange med 4’. Han forklarede, at hvis man ganger med 4, kan man også dele resultatet op i 4. Heidi spurgte derefter, om det ikke var et problem med ’de 2’
10Se video af episode MS, 180517-E (Interview)
186
(der skal lægges til ud over at gange med 4). Til det forklarede Willy, at det ikke ville blive et problem, fordi det bare betød, at ’man tog et spring i 2-tabellen’.
Willys ræsonnementer kan ses som argumentation for, at funktionens værdimængde ikke indeholder ulige tal. Hans ræsonnementer vedrører således generelle egenskaber ved den lineære funktionelle
sammenhæng, han og Iben arbejdede med, og er i den forstand langt mere sofistikerede end Ibens ræsonnementer, der vedrører konkrete funktionsværdier. Desuden er der den forskel, at Willy baserede sine ræsonnementer på korrespondancesammenhængen frem for den rekursive sammenhæng, som Iben byggede på.
Der er imidlertid også en lighed i episoderne. Begge elever foretager et ’løft væk’ fra den oprindelige kontekst og tænker i tallene, som de står i funktionstabellen, og i de sammenhænge, de har identificeret.
Dermed deltager de begge i praksis 2.
187