V. Analyse af forsøgsklassens læringsspor
19. Praksis 1: Faktuelle og kontekstuelle generaliseringer
Den første matematiske praksis opstod allerede i løbet af de to første moduler. Jeg kalder den: At generalisere enkle lineære sammenhænge og symbolisere dem faktuelt og kontekstuelt.
19.1. Det karakteristiske ved praksis 1
Formuleringen ’at generalisere enkle lineære sammenhænge’ dækker over en proces med at identificere, symbolisere og begrunde generelle sammenhænge mellem kvantiteter, der varierer lineært sammen (jf.
mål 1, se afsnit 15.1). Jeg har brugt ordet ’enkle’, fordi praksis 1 opstod i begyndelsen af forløbet, hvor der primært var tale om proportionale sammenhænge, og hvor de indgående parametre var naturlige tal mindre end 10.
’Faktuelt og kontekstuelt’ (Radford 2011, 2014, 2018) betegner den måde, det i praksis 1 blev accepteret at symbolisere de generelle lineære sammenhænge, som eleverne identificerede. Som beskrevet i afsnit 7.5 er faktuelle generaliseringer kendetegnet ved, at en generel sammenhæng symboliseres med mundtlige eller skriftlige udsagn af specifikke tilfælde. Sammenhængen udtrykkes således ikke i algebraisk
symbolsprog, men som en konkret regel, der gør eleven i stand til at handle med ethvert element i funktionens domæne (Radford, 2018). En kontekstuel generalisering er derimod kendetegnet ved, at en general sammenhæng beskrives med tæt reference til rumlige eller andre kontekstuelle elementer, som generaliseringen handler om. Sammenhængen mellem de variable er ikke nødvendigvis klar, men i en kontekstuel generalisering har eleven bevæget sig væk fra at bruge konkrete tal (Radford, 2018).
19.2. Hvordan opstod praksis 1?
Undervisningen i de to første moduler var båret af tre matematikaktiviteter: ’Rektangler med sidelængden 4’, ’Rektangler med sidelængden 3’ og ’Sammenhængen mellem sidelængde og omkreds i kvadrater’.
Hovedmålet med disse aktiviteter var, jf. mål 1, fase 1 i det hypotetiske læringsspor (se afsnit 15.3), at gøre eleverne i stand til at generalisere funktionelle korrespondancesammenhænge i situationer, hvor denne sammenhæng på forhånd er ukendt.
172
I hver af de tre aktiviteter arbejdede eleverne i de fire trin, som figur 19.1 illustrerer. I trin 1 arbejdede eleverne selvstændigt i deres grupper. Trin 2, 3 og 4 foregik som fælles klassesamtale. I figuren har jeg brugt aktiviteten ’Rektangler med sidelængden 4’ som eksempel, men trinene gik igen i alle tre aktiviteter.
Trin 1 Trin 2 Trin 3 Trin 4
Figur 19.1. Progressionen i undervisningen, hvori praksis 1 udviklede sig.
Trin 1 bestod i elevernes selvstændige arbejdede med konkrete figurer. På dette trin genererede eleverne talpar bestående af kvantiteter, der varierer sammen. I ’Rektangler med sidelængden 4’ arbejdede eleverne fx med at tegne rektangler efter eget valg og med at bestemme antallet af tern i de selvvalgte rektangler, sådan at der til hvert rektangel hørte et talpar bestående af rektanglets højde og det tilhørende antal tern.
Det bærende spørgsmål i denne fase var: ’Hvor mange tern er der?’. Eleverne registrerede deres resultater med tegninger og egne noter. Figur 19.2 viser et eksempel på et elevprodukt fra dette trin.
173
Figur 19.2. Eksempel på elevprodukt fra ’Rektangler med sidelængde 4’.
Undervejs i arbejdet opfordrede Heidi til, at eleverne ledte efter ’smarte måder’ til beregningerne. En central del af arbejdet på dette trin kom på den baggrund til at bestå i, at eleverne løbende reflekterede over, hvordan de nemmest kunne bestemme antallet af tern.
I trin 2 samlede klassen i fællesskab deres resultater i en funktionstabel. Den uafhængige variabel i hvert talpar (længden af den frie side) stod i venstre kolonne og over for den afhængige variabel (antallet af tern). Det blev forskelligt, hvilken orden parrene af variable kom til at stå i. I nogle situationer valgte Heidi bevidst at skrive talparrene ikke-ordnet, efterhånden som eleverne fortalte om deres arbejde. Sådan var det fx i tabellen på figur 19.1. Hensigten med denne ’uorden’ var at skabe særligt fokus på ’den vandrette sammenhæng’, dvs. på korrespondancesammenhængen. I andre af aktiviteterne fulgte Heidi en eller flere elevers forslag om at ordne talparrene, så de uafhængige variable stod efter voksende værdier. Denne ordning gav især mulighed for, i tillæg, at fokusere på den rekursive sammenhæng og på samvariationen.
På trin 2 var det bærende spørgsmål: Hvordan har I fundet ud af det? Set i forhold til elevernes
kommunikation på trin 1, der primært drejede sig om at gennemføre konkrete beregninger, opstod der således et skift i kommunikationen. På trin 2 fortalte eleverne om deres beregningsmetoder og begrundede dem med (mere eller mindre tydelig) reference til de tegninger, de havde lavet på trin 1. Fx fortalte Lukas, at han havde beregnet antallet af ’små tern’ i et 10 x 4-rektangel til 40 ved at gange 4 med de 10 (i
174
højden)3. I hvert tilfælde noterede Heidi elevernes beregningsmetoder som regneudtryk på tavlen ved siden af tabellen (se figur 19.2). På den måde indførte hun, ud over tabellen, endnu en symbolisering, som knyttede sig til elevernes arbejde med rektanglerne, nemlig regneudtrykkene. Set i forhold til
funktionstabellen på trin 2 var regneudtrykkene symboliseringer af den eller de beregningsmetoder, forskellige elever brugte til at ’komme fra’ venstre til højre side af tabellen i specifikke rækker. Set i forhold til rektanglerne på trin 1 var regneudtrykkene symboliseringer af den beregningsmetode, forskellige elever brugte til at beregne antallet af tern i specifikke rektangler. Nogle elever beskrev deres beregningsmetoder som addition, mens andre elever beskrev deres beregningsmetoder som multiplikation. Efterhånden som Heidi noterede metoderne, diskuterede klassen, hvilke additionsstykker og multiplikationsstykker, der var udtryk for den samme beregning, og Heidi organiserede stykkerne som eksemplificeret på figur 19.1. (På figuren er regnestykkerne for overskuelighedens skyld dog skrevet mere ensartet end i den faktiske undervisning).
Funktionstabellen og regneudtrykkene gav et grundlag for, at Heidi på trin 3 kunne stille nye spørgsmål, som medførte et nyt skift i kommunikationen. Grundlæggende handlede disse spørgsmål om mønstre i tabellen og i beregningerne. Hun spurgte fx: ’Er der så noget system i, hvordan man kommer herfra og kommer herover (Heidi pegede på tabellen og lavede en vandret bevægelse fra venstre til højre kolonne)?
’Er der et system?’, ’Er der en måde, vi altid kan bruge til at finde ud af, hvor mange der er?’ Det følgende brudstykke eksemplificerer, hvordan skiftet opstod i forsøgsundervisningen. Umiddelbart før den følgende samtale fandt sted, havde eleverne i klassen opstillet nogle regneudtryk, de kunne bruge til at beregne antal tern i ’Rektangler med sidelængden 4’. Heidi efterspurgte et generelt mønster i måden at beregne på4.
Emma Og så, øhm… kan man også sige gange… Og der er en måde med, at man hele tiden husker på, at det er hele tiden 4, man skal gange med.
Heidi Det er hele tiden 4, man skal gange med!
4 Se video af episode MS, 180416-F og/eller transskribering af MS, 180416-F
175
Heidi Det kommer an på, hvad man har skrevet. Ja?
Mejse Øhm… Ja.
Heidi Hvad mener du? Prøv at sige lidt mere om det.
Mejse Altså, øh… Man skal jo bruge 4. Og så kommer det jo an på, hvad man skal gange med. Det kommer an på,
hvad man har skrevet på den anden led.
I klippet bevæger Emma og Mejse sig væk fra at fokusere på resultater og beregningsmåder til at fokusere på mønstre i resultaterne og beregningsmåderne. Set i forhold til udviklingen af praksis 1 var dette skifte i kommunikationen centralt. Skiftet gjorde det muligt at fokusere på generelle sammenhænge frem for enkelttilfælde.
På trin 4 af hver aktivitet introducerede Heidi endnu et skift i kommunikationen fra fokus på mønstre i beregningsmåderne til fokus på den generelle sammenhæng. Det følgende klip udgør et eksempel på et sådant skifte. Klippet er forlængelsen af samtalen fra forrige klip5.
Heidi Det kommer an på, hvad man har skrevet på den anden led?
Så hvis nu, jeg har skrevet… 13 på højden. Hvad hedder regnestykket så?
Mejse 13 gange 4.
Heidi Ja. Hvad hvis jeg havde skrevet… 100?
Hvad ville regnestykket så have heddet?
Mejse 100 gange 4.
Heidi 100 gange 4. Okay. Lisa, hvad ville du sige?
Lisa Jeg ville have sagt det samme.
5 Se video af episode MS, 180416-F
176
I eksemplet foretager Heidi et spring i de taleksempler, hun spørger til, og bevæger sig på den måde ud over talparrene i den funktionstabel, som klassen har opstillet. Selv om Mejse beskriver en
korrespondanceregel med konkrete tal, ser det ud til, at hun har bevæget sig ud over det konkrete og vil være i stand til at beskrive ethvert eksempel. Hun anvender således tilsyneladende de konkrete tal som quasivariable (Fujii, 2003), og beskriver en generel korrespondanceregel med de konkrete tal. Hun har med andre ord foretaget en faktuel generalisering (Radford, 2011, 2014, 2018).
En anden strategi, Heidi brugte i skiftene fra trin 3 til trin 4, var at bede eleverne forestille sig, at de skulle forklare en person udefra, fx klassens dansklærer, om den generelle sammenhæng. På den måde gav hun eleverne mulighed for at repræsentere den generelle sammenhæng i deres naturlige, verbale sprog. Det følgende klip illustrerer, hvordan denne strategi i flere situationer førte til kontekstuelle generaliseringer. I klippet beskriver eleven Willy den funktionelle sammenhæng mellem sidelængde og omkreds i et vilkårligt kvadrat6.
Heidi: Hvad ville I sige, hvis Tine kom ind ad døren, og I skulle fortælle hende, nu skal du høre, sådan kan man finde omkredsen af et kvadrat?
Hvad ville I så sige til hende?
Willy, hvad ville du sige til hende?
Willy: Må jeg komme op og vise det, eller må jeg sige det?
Lærer: Du må sige det.
Willy: Okay, jeg ville så sige, vi skal have sådan et ternet papir her.
Så skal vi bare lave sådan hvilken som helst firkant.
Lærer: En hvilken som helst firkant?
Willy: Eller, det er lige meget.
Så skal vi tælle, hvor mange der er i bunden og i siden.
177
Willys formulering, ’Så skal vi bare lave en hvilken som helst firkant’, tyder på, at han beskriver en generel sammenhæng og ikke et konkret tilfælde. I sin beskrivelse refererer han dog til en ganske bestemt kontekst (’vi skal have sådan et ternet papir her’) og bruger udtryk, hvis betydning er afhængig af konteksten (’det der er ned i bunden, skal vi bare gange med 4’). Hans udsagn har dermed karakterer af det, Radford (2018) betegner som ’kontekstuel generalisering’.
På mange måder kom det udlevede læringsspor i denne første del af forsøgsundervisningen til at ligne den første del af det hypotetiske læringsspor (se afsnit 15.3). Undervejs i vores møder efter hvert
undervisningsmodul blev Heidi og jeg dog opmærksomme på én udfordring. Når Heidi på trin 2 i processen (se figur 19.1) bad eleverne forklare, hvordan de havde regnet på trin 1, fortalte flere elever om forskellige regnestrategier med fx fordoblinger eller opdelinger af de indgående tal. Disse forklaringer var, efter vores opfattelse, fuldt forståelige, fordi eleverne få minutter tidligere havde siddet med den type overvejelser, da de bestemte antal tern i konkrete rektangler, og fordi forklaringer på beregninger i klassen var forbundet med to forskellige sociomatematiske normer (se også afsnit 18.5). I situationer, hvor beregningerne var knyttet til en kontekst, blev det forventet, at forklaringerne refererede til denne kontekst, men i situationer, hvor sammenhængen mellem beregninger og kontekst var klargjort, kunne det være tilstrækkeligt at forklare beregninger med reference til tallenes egenskaber. Vi antog, at det kunne være svært for eleverne at skelne mellem de to typer af situationer, hvis vi ikke støttede dem i at skelne. I denne situation var vores intention, at eleverne skulle forklare, hvilket regneudtryk (og ikke beregning) de kunne bruge til antalsbestemmelsen. Derfor justerede vi undervejs Heidis spørgsmål, så hun på trin 3 også spurgte: ’Hvad ville I trykke på en lommeregner for at regne ud, hvor mange… ’. Denne justering så ud til at imødekomme vores intention.
På forhånd havde vi, som det fremgår af afsnit 15.3, forestillet os, at de skift i brug af symboler, måder at argumentere på og i typer af tænkning, som jeg har beskrevet i det forrige, ville opstå langsommere. I forsøgsklassen opstod de hurtigt, og det var primært springet fra de konkrete talpar til symboliseringer af generelle sammenhænge, der forekom som det nye. Det er baggrunden for, at den første matematiske praksis dækker over hele den kæde af trin, som er illustreret på figur 19.1. I princippet kunne hvert af de omtalte trin i processen fra elevernes aktivitet i en funktionssituation til deres generaliseringer af lineære sammenhænge udgøre en matematisk praksis, fordi hvert trin kan medføre små forandringer i en klasses måde at symbolisere, argumentere og tænke på. Jeg ser det således som lokale forhold, der betød, at det i dette projekts forsøgsundervisning i højere grad var hele kæden af trin, der forekom som udviklingen af én matematisk praksis.
178 19.3. Forskellige elevers deltagelse i praksis 1
For alle elever i klassen blev faktuelle og kontekstuelle generaliseringer af enkle lineære sammenhænge gennem undersøgende arbejde i funktionssituationer en accepteret matematisk praksis, men de deltog i denne praksis på forskellige måder.
På trin 1 i den typiske proces (se figur 19.1) var der fx store forskelle i de udfordringer, elevgrupperne gav sig selv, når de - efter eget valg - generede talpar i funktionssituationer. I ’Rektangler med sidelængden 4’
valgte nogle elever fx små højder, som 3 eller 4, når de tegnede rektangler. Andre valgte store højder som 23 eller 35. Der var også forskelle på, hvordan de bestemte antallet af tern. Nogle elever talte i
begyndelsen, nogle begyndte hurtigt at skyde genveje ved at addere, nogle multiplicerede.
På trin 2 opstillede nogle elever regneudtryk med addition, andre opstillede udtryk med multiplikation.
På trin 3 lagde nogle elever mærke til rekursive mønstre, andre lagde mærke til
korrespondancesammenhængen, og nogle elever bemærkede begge former for sammenhænge. I aktiviteten ’Sammenhængen mellem sidelængde og omkreds i kvadrater’ bemærkede Mejse fx den rekursive sammenhæng, da hun, i samarbejde med Willy, udfyldte en funktionstabel med samhørende værdier. De to elever tegnede først kvadrater med sidelængden 1, så sidelængden 2 osv. De talte sig frem til omkredsen og noterede de samhørende værdier i tabellen. Da de kom til sidelængden 7 sagde Mejse, uden at tælle eller regne, at resultatet ville blive 28. ’Den vokser jo med 4 hele tiden. Den næste vil blive 32’. Lukas bemærkede imidlertid både den rekursive sammenhæng og korrespondancesammenhængen. I begyndelsen af arbejdet forklarede han Heidi: ’Man plusser hele tiden med 4’. Senere i processen
konstaterede han imidlertid over for Heidi, at man hele tiden kunne gange med 47.
Eleverne begrundede også de generelle sammenhænge, de identificerede, på forskellige niveauer. For nogle elever var begrundelsen for en generel rekursiv sammenhæng fx, at de i flere tilfælde havde
konstateret, at ’den voksede med 4’. Andre elever anvendte i højere grad deduktion i deres begrundelser.
Det gjaldt fx Kristian, der i aktiviteten ’Sammenhængen mellem sidelængde og omkreds i kvadrater’
forklarede, at ’den hele tiden vil blive 4 større’, fordi man (fra trin til trin) forlænger hver af de fire sider i kvadratet med 1. Eftersom der er 4 sider, kommer der ’4 mere på’. Som eksempel tegnede han et 2 x 2-kvadrat, som han ’udvidede’ til et 3 x 3-kvadrat ved at gøre hver side 1 længere.
7 Se video af episode 180418-F
179
Endelig udtrykte eleverne de generelle sammenhænge på forskellige måder. Nogle anvendte faktuelle generaliseringer og andre anvendte kontekstuelle generaliseringer, som eksemplificeret i forrige afsnit.
Desuden var der betydelige forskelle i både den grad af selvstændighed eleverne udviste, når de symboliserede generelle sammenhænge, og i hvor præcist de udtrykte sig.
At praksis 1) kom til at udgøre en klasserumspraksis i forsøgsklassen betyder ikke nødvendigvis, at alle elever i klassen var i stand til at generalisere på egen hånd. Det betyder, at ræsonnementer om og symboliseringer af generelle sammenhænge opstod gennem kommunikationen i klassen, og at sådanne ræsonnementer og symboliseringer efter en periode blev taget for givet, sådan at de ikke længere blev afkrævet forklaringer vedrørende betydning og relevans (Cobb et al., 2001).
180