P ARAMETERBESTEMMELSE PÅ BAGGRUND AF HISTORISK DATA

baggrund af historisk data. Resultaterne heraf vil vise sig at være urealistiske, hvorfor der i anden del benyttes økonomisk argumentation til at bestemme parametrenes værdier. Til sidst beskrives de tre generiske scenarier, som der i afhandlingen tages udgangspunkt i.

sammenligning kun er på 1,56 %. Hvis der ses på rentedata længere tilbage i tiden, vil vi se endnu større udsving grundet f.eks. oliekrisen i 1973.

Som udgangspunkt foretages der en OLS-analyse, som baseres på data fra januar 1997 til juli 2015. Af de to analyser, OLS og MLE, er OLS den mest simple, hvorfor vi starter med at anvende denne metode⁴⁵. Vasicek-modellen er en version af Ornstein-Uhlenbeck-modellen, og OLS-analysen kan derfor foretages som beskrevet nedenfor. Forholdet mellem på hinanden følgende observationer, Si og Si + 1,kan beskrives som en lineær sammenhæng med et fejlled:

^7.7

Formålet med OLS er, at fitte data til denne form, hvor hældningskoefficienten p, skæringspunktet q og standardafvigelsen på fejlledet kan bestemmes ud fra Ornstein-Uhlenbeck-parametrene således:

^7.8

^7.9

_7.10

Ved at udføre en regressionsanalyse i Excel på Tomorrow/Next-renterne, hvor x-værdierne er lig Si + 1-renterne og y-værdierne er lig Si-renterne, kan Excel give værdierne for hhv. p, q og . Resultatet af regressionsanalysen i Excel gav nedenstående resultater:

45 Alle beregninger for OLS og MLE er vedlagt på USB under Excel-fil ”OLS og MLE”

Tabel 7.2

Det ses, at hældningskoefficienten p (”X-variable 1”) er signifikant på 5 %-niveau, hvorfor antagelsen om, at der er en lineær sammenhæng mellem to på hinanden følgende observationer, accepteres. Ved at omskrive formel 7.8-7.10 er det muligt at bestemme Vasicek-parametrene a, b og  således:

7.11

^7.12

_7.13

På baggrund af regressionsoutputtet fra Excel fås følgende resultater:

RESUMEOUTPUT

Regressionsstatistik

Multipel R 0,992861589

R-kvadreret 0,985774136

Justeret R-kvadreret 0,985709472

Standardfejl 0,001996401

Observationer 222

ANAVA

fg SK MK F Signifikans F

Regression 1 0,060759918 0,06076 15244,79 3,7323E-205

Residual 220 0,000876836 3,99E-06

I alt 221 0,061636754

Koefficienter Standardfejl t-stat P-værdi Nedre 95% Øvre 95%

Skæring -0,000107171 0,000236811 -0,45256 0,651314 -0,00057388 0,00035954 X-variabel 1 0,997565392 0,008079429 123,4698 3,7E-205 0,981642409 1,01348838

Tabel 7.3

Ud fra OLS-resultaterne baseret på de historiske data for perioden 1997-2015 får vi et mean reversion niveau på -4,40 %, hvilket er urealistisk lavt. Det er derfor også valgt, at lave parameterestimationen ud fra MLE-metoden.

I MLE-metoden estimeres værdien af parametrene, således at de maksimerer likelihood-funktionen for et sæt observerede data og den underliggende model. Log-likelihood-likelihood-funktionen er udledt på baggrund af en betinget sandsynlighedsnormalfordelingsfunktion, og er givet ved:

7.14

hvor

7.15

Til at beregne anvendes den værdi af , som blev bestemt ud fra OLS-metoden. Derefter maksimeres log-likelihood-funktionen via Excels solver-funktion ved ændring af parametrene a og b. Dette giver resultaterne i Tabel 7.4 hvor de estimerede OLS-parametre er anvist til sammenligning.

p 0,9976 a 2,9251%

q -0,0107% b -4,4020%

sd(e) 0,1996%  0,6924%

Parametre regression Parametre Vasicek

Tabel 7.4

Som det ses af tabellen, ligger de estimerede parameterværdier i hhv. OLS og MLE relativt tæt på hinanden. Begge metoder giver et mean reversion niveau på mindre end -4,00 %, hvilket er urealistisk lavt. Resultaterne af analyserne er naturligvis afhængige af de anvendte rentedata, og en ændring i disse, vil derfor også give andre resultater. I den gennemgåede analyse er der anvendt historisk data for perioden januar 1997 til juli 2015. Denne periode indeholder finanskrisen med begyndelse i 2008. Krisen medførte markante udsving i renteniveauet, og perioden kan siges at have nogle atypiske tendenser. Der kan argumenteres for at foretage analyserne på en anden periode, hvorfor MLE-analysen yderligere er foretaget baseret på data fra perioderne hhv. før og efter finanskrisen, det vil sige januar 1997 til august 2008 og september 2008 til juli 2015. I Tabel 7.5 er resultaterne for disse perioder angivet. Estimaterne for perioden 1997-2008 ligger nogenlunde på samme niveauer, som de gør ved andre studier, der har foretaget estimater på parametrene for perioder inden krisen i 2008⁴⁶.

Tabel 7.5

For at give et visuelt indtryk af parametrenes betydning for rentekurvens udseende, er der i Figur 7.2 illustreret tre Vasicek-rentekurver for de tre perioder. Af figuren ses det tydeligt, hvilken betydning valget af historisk periode kan have for udfaldet af Vasicek-rentekurven.

Såfremt Vasicek-modellens parametre baseres på historisk data, bør periodevalget overvejes nøje.

46 Se evt. Bilag 4

OLS MLE

a 2,93% 3,00%

b -4,40% -4,22%

 0,69% 0,69%

Figur 7.2

Der kan fremhæves både styrker og svagheder ved hver af de tre ovennævnte perioder. For perioden 1997-2015 er en af ulemperne og samtidig fordelen, at denne periode indeholder finanskrisen fra 2008. Set i forhold til Vasicek-modellen er dette en ulempe, da modellen ikke er anvendelig på data med ekstreme udsving. Omvendt kan der argumenteres for, at op- og nedture er en naturlig del af økonomien, hvorfor sådanne udsving muligvis bør inkluderes.

I perioden 2008-2015, som er perioden efter krisen, har renterne ligget på et historisk lavt niveau, og såfremt modellen baseres på disse data, vil der ikke være grundlag for, at modellen skal forudsige en stigende rente, hvorfor det kan diskuteres om perioden er repræsentativ.

Endelig er perioden 1997-2008 den perioden, der giver den mest genkendelige og forventelige form på rentekurven, selvom der også i denne periode ses udsving i renten. Her kan man dog stille sig kritisk over for, hvorvidt det vil være retvisende at basere sin model på historiske data, hvor de seneste års data er udeladt.

På baggrund af de tre MLE-analyser med udgangspunkt i tre forskellige perioder kan det konkluderes, at valget af perioden har markant betydning for parameterestimaterne. Det er derfor valgt at undersøge mulighederne for en anden tilgang til parameterudvælgelse. I det kommende afsnit ses der nærmere på, hvordan man ud fra et økonomisk perspektiv kan argumentere for og bestemme modellens parameterværdier.