Overordnede teoretiske rammer for designet

I dette kapitel gør jeg rede for emergensperspektivet (Cobb & Yackels, 1996), der danner baggrund for det empiriske studie. I afsnit 11.1 og11.2 fokuserer jeg på emergensperspektivets syn på læring, undervisning og symboliseringsprocesser i klasserum. Derefter fokuserer jeg, i afsnit 11.3 til 11.6 på en model af Cobb og Yackel (1996), der bygger på dette perspektiv. Modellen spiller en dobbelt rolle for studiet, idet den både bidrager til at rammesætte studiets initiale design og udgør en fortolkningsramme for de efterfølgende analyser. I afsnit 11.7 fokuserer jeg specifikt på modellens betydning for det initiale design i studiet.

11.1. Emergensperspektivets syn på læring og undervisning i klasserum

Emergensperspektivet er en version af socialkonstruktivisme, hvor læring ses som en konstruktionsproces, der sker gennem deltagelse i og bidrag til praksisser i et lokalt fællesskab (Cobb & Yackel, 1996). Et sådant lokalt fællesskab kan fx være et klasserum, hvor eleverne ses som individer, der aktivt konstruerer deres matematiske former for viden, mens de deltager i de matematiske praksisser, der finder sted i

klasserummet. Linket mellem de individuelle og kollektive processer i dette perspektiv opfattes som indirekte, fordi individets deltagelse i fællesskabet både skaber muligheder og begrænsninger for læring, men de betragtes ikke som determinerende for det, eleverne lærer. Deltagelse i fællesskabet ses med andre ord som det, der konstituerer rammerne for elevernes læringsmuligheder i fællesskabet, fx i et matematisk klasserum (Cobb & Yackel, 1996).

Dette læringssyn adskiller sig, ifølge Cobb og Yackel (1996), fra den konstruktivistiske opfattelse, at social interaktion i forbindelse med læring tjener som en katalysator for en konstruktion, der ellers udelukkende er en individuel proces. Emergensperspektivet har et vist fællesskab med det sociokulturelle perspektiv på læring, idet læring og forståelse i begge perspektiver ses som uløseligt forbundet med sociale og kulturelle processer. Forskellen er imidlertid, ifølge Cobb og Yackel (1996), at i det sociokulturelle perspektiv,

betragtes linket mellem kollektive og individuelle processer som et direkte link, idet kvaliteten af elevers tænkning opfattes som genereret af eller afledt fra de organiserende træk ved de sociale aktiviteter, hvori de deltager.

I emergensperspektivet er undervisning i klasserum grundlæggende karakteriseret ved lærerens proaktive understøttelse af både elevernes individuelle konstruktioner og af udviklingen af klasserummets

matematiske praksisser, dvs. måder at tænke, argumentere og symbolisere på, der betragtes som fælles i klassen. Hensigten er, at eleverne gradvist bliver i stand til at deltage effektivt i matematiske praksisser, der

104

værdsættes af et bredere samfund, men i undervisningen vil matematiske praksisser kunne have mere lokal og ukonventionel karakter (Cobb & Yackel, 1996). Det er således klassefællesskabet, der ses som det umiddelbare referencepunkt, mens de matematiske praksisser, der udvikles i klasserummet, på sigt skal tilpasse sig matematiske praksisser, der betragtes som vigtige i samfundet mere generelt.

Ifølge Cobb og Yackel (1996) står en sådan forståelse af lærerens rolle fx i modsætning til forståelsen af lærerens rolle i et sociokulturelt perspektiv. I det sidstnævnte perspektiv forhandler læreren med eleverne med henblik på at mediere mellem etablerede, kulturelle forståelser og elevernes personlige forståelser. I den forbindelse er det de etablerede, kulturelle forståelser, der opfattes som det umiddelbare

referencepunkt for læreren.

In general, whereas socioculturel approaches frame instructional issues in terms of the

transmission of culture from one generation to the next, the emergent perspective frames them in terms of emergence of individual and collective meanings in the classroom. (Cobb & Yackel, 1996, s.

186, original kursivering)

11.2. Emergensperspektivets syn på symbolisering og kommunikation i klasserum

I emergensperspektivet spiller brugen af redskaber og symboler en afgørende rolle, når eleverne gradvist skal udvikle sig fagligt i retning af at kunne deltage effektivt i etablerede matematiske praksisser. Cobb og Yackel (1996) beskriver brugen af redskaber og symboler som betydningsfulde ikke alene for de processer, hvorved elever i klasserum udvikler matematisk kapacitet, men også for de former for matematisk

kapacitet, som elever har mulighed for at udvikle. De redskaber og symboler, som bringes på banen i klassens fællesskab, bidrager med andre ord til at forme de enkelte elevers læringsmuligheder i klasserummet.

Redskaber og symboler ses som tegn, der kan skabe en semantisk relation mellem tegnets fysiske form og den mening eller ide, tegnet udtrykker (Gravemeijer et al., 2000). I klasserummet kan der over tid udvikle sig kæder af meningsbærende redskaber og symboler. I begyndelsen kan de tegn, eleverne forbinder med situationer eller handlinger, være ukonventionelle, men gradvist igennem processen kan eleverne komme til at bruge mere konventionelle tegn og symboler for situationer eller handlinger.

105

Gravemeijer et al. (2000) beskriver, ud fra emergensperspektivet, fx en proces, hvor eleverne i en 1. klasse i begyndelsen af et undervisningsforløb typisk brugte kugler på en kugleramme til at udtrykke opdelinger af og operationer med naturlige tal under 20. Sidst i undervisningsforløbet brugte de typisk talsymboler og regnetegn, altså konventionelle symboler, til at udtrykke den samme type opdelinger og operationer. I sådanne processer, hvor elever i klasserum gradvist udvikler mere udbredte og etablerede måder at symbolisere på, spiller redskaber og symboler, set fra emergensperspektivet, roller som en slags trædesten - som en kæde af meningsbærere. I eksemplet fra 1. klasse kom kuglerne på kuglerammen, der oprindelige var forbundet med en historie om passagerer i en bus, ifølge Gravemeijer et al. (2000), efterfølgende til at understøtte, at eleverne begyndte at opdele naturlige tal i 5´ere og 10´ere og udnytte sådanne opdelinger i beregninger. Disse forskere så altså ikke redskabet (kuglerammen) som en neutral bærer af mening, men som uløseligt forbundet med aktiviteterne i klasserummet, og de så redskabet som et centralt element i den faglige udvikling, eleverne gennemgik i forløbet.

Tilsvarende processer kan, ifølge Cobb et al. (1997), knyttes til udviklingen af gradvist mere sofistikerede måder at ræsonnere og argumentere på - og generelt til matematikfaglig udvikling i klasserum. Cobb et al.

(1997) betegner et sådant syn på matematikfaglig udvikling som kompatibelt med bl.a. Sfards (1991) redegørelse for, hvordan matematik historisk set har udviklet sig igennem reifikationer, hvor bestemte måder at handle matematik på efterhånden får form som objektlignende begreber, der kan opfattes som om, de har en eksistens, der er uafhængig af aktiviteten. For eksempel sporer Sfard (1991)

funktionsbegrebets oprindelse til handlinger i form af beregninger, der kan producere et output til et givent input. Efterfølgende blev funktioner defineret som mængder af ordnede par, der kunne produceres

gennem beregninger. Senere opstod funktioner som fuldgyldige objekter med egenskaber, der kunne kategoriseres i fx lineære funktioner og ikke-lineære funktioner og i kontinuerte og diskrete funktioner.

Ifølge Sfard (1991) kan den historiske udvikling af matematik ses som en

… long sequence of reifications, each one of them starting where the former ends, each one of the madding a new layer to the complex system of abstract notions. (Sfard, 1991, s. 16)

Cobb et al. (1997) og Sfard (1991) deler det syn, at reifikationsprocesser både historisk set og i klasserum understøttes af måder at symbolisere på. I tillæg er sådanne processer, ifølge Cobb og hans kolleger (1997), støttet af bestemte former for diskurs i klassesamtaler - specielt af den form for diskurs, de betegner som refleksiv diskurs. En sådan form for diskurs er karakteriseret ved gentagne skift, hvor de handlinger, elever

106

og lærer har udført i én fase af undervisningen, efterfølgende bliver gjort til et eksplicit diskussionsobjekt (Cobb et al., 1997, s. 258).

Som eksempel beskriver Cobb et al. (1997) en samtale fra en 1. klasse, hvor eleverne i begyndelsen

kommer med forslag til, hvordan 5 aber kan fordele sig i to forskellige træer (et lille og et stort træ). En elev siger fx, at der kan sidde 3 aber i det lille træ og 2 aber i det store træ. En anden elev siger, at der kan sidde 5 aber i det store træ og 0 aber i det lille træ. På tavlen viser læreren ved hjælp af en overheadprojektor en tegning af de to træer, der danner udgangspunkt for samtalen. Til at skrive elevernes forslag ned tegner læreren desuden en tabel mellem de to træer. I denne tabel skriver hun tal, efterhånden som eleverne kommer med forslag, fx 5 til venstre og 0 på samme linje til højre. På et tidspunkt opstår der et skift i samtalen, da læreren spørger, om der er flere forskellige måder, aber kan sidde på. På det tidspunkt er der 6 forskellige mulige fordelinger registreret i tabellen på tavlen. Et par elever diskuterer, om der kan være flere muligheder ved at prøve at komme på nye forslag og tjekke om de allerede står i tabellen. Læreren spørger nu, om der er en måde, klassen kan bruge til at finde ud af, om de har fået alle muligheder med. En elev argumenterer for, at der ikke kan være flere muligheder. I sin argumentation refererer eleven både til træerne og til tabellen. Han begynder med at konstatere, at hvis der er 4 aber i det store og 1 abe i det lille træ, så kan der omvendt også være 1 abe i det store og 4 aber i det lille træ, men derefter er der ikke flere muligheder (med 4 og 1). Derefter fortsætter han med at parre mulighederne to og to ((5,0) og (0, 5), (2,3) og (3,2)) og konstaterer på den baggrund, at der ikke ser ud til at være flere muligheder.

I eksemplet var eleverne i den første fase af undervisningen engageret i at generere mulige måder, de 5 aber kunne fordele sig i de to træer. Efterfølgende blev resultatet af denne aktivitet, der var symboliseret med den udfyldte tabel, gjort til diskussionsobjekt. Således udgør episoden et eksempel på refleksiv diskurs, som, ifølge Cobb et al. (1997) bidrager til at skabe nye læringsmuligheder i klassen.

Læringsmulighederne skabes, bl.a. i kraft af tabellen, der sidst i episoden kommer til at udgøre et symbolsk objekt, som en af eleverne bygger sin argumentation på. Læringsmulighederne skabes, ifølge Cobb et al.

(1997), imidlertid også i kraft elevernes deltagelse i en diskurs, hvor læreren initierer skift ved først at spørge til, om der er flere forskellige måder, aberne kan sidde på, og derefter at spørge, om der findes en måde, klassen kan bruge til at finde ud af, om de har fået alle muligheder med.

We conjecture that opportunities arose for the children to reflect on and objectify their prior activity as they participated in the discourse. In other words, the children did not happen to spontaneously begin reflecting at the same moment. Instead, reflection was supported and enabled by participation in the discourse. (Cobb et al., 1997, s. 264)

107

I tråd med emergensperspektivet på læring ser Cobb et al. (1997) linket mellem den sociale proces, som den refleksive diskurs udgør, og elevernes individuelle læreprocesser som indirekte. Elevernes deltagelse i denne type diskurs konstituerer betingelserne for læringsmulighederne i klasserummet, men den resulterer ikke uundgåeligt i hvert barns reorganisering af hans eller hendes matematiske aktivitet. Ligeledes i tråd med emergensperspektivet ser Cobb et al. (1997) refleksiv diskurs i et klasserum som noget, der bl.a.

afhænger af elevernes bidrag. Som eksempel peger de på den elev, der i episoden bidrog med argumentation for, at der ikke er flere mulige fordelinger af aberne. Ved at give denne forklaring

omorganiserede eleven klassens aktivitet, som den var beskrevet i tabellen. Hvis ingen af eleverne havde kunnet svare på lærerens spørgsmål på denne måde, ville der ikke umiddelbart være opstået et refleksivt skifte i kommunikationen. Ifølge Cobb et al. (1997) er det derfor rimeligt at sige, at eleven bidrog til udviklingen af diskursen, som understøttede og fastholdt kollektiv refleksion.

Cobb et al. (1997) sammenfatter deres position med hensyn til sammenhængen mellem refleksiv diskurs og elevers matematikfaglige udvikling således:

The analysis of the children´s written work serves to emphasize further that although participation in reflective discourse supports and enables individual reflection on, and reorganization of, prior activity, it does not cause it, determine it, or generate it. Thus, in the view we are advancing, it is the individual child who has to do the reflecting and reorganizing while participating in and contributing to the development of the discourse. This implies that the discourse and the associated communal activity of collective reflection both support and are constituted by the constructive activities of individual children. (Cobb et al., 1997, s. 264)

11.3. Cobb og Yackels model for matematikfaglig udvikling på klasserumsniveau

Som det fremgår af det forrige, betragter Cobb og Yackel (1996) klasserummet som et praksisfællesskab, hvor elever opfatter, handler og lærer igennem deres deltagelse. Samtidig udvikler dette praksisfællesskab sig i kraft af de individuelle elevers og lærerens deltagelse i og bidrag til det. Elevernes (og lærerens) læring

108

er på den måde forbundet med de muligheder og begrænsninger praksisfællesskabet giver, og omvendt formes praksisfællesskabet, af den måde eleverne og læreren deltager på.

En vigtigt spørgsmål for designforskning er, hvordan undervisningsforløb kan designes, og hvordan elevers deltagelse i disse forløb kan analyseres, når de praktiseres i et sådan system? Som svar på dette spørgsmål har Cobb & Yackel (1996) udviklet modellen, der er vist i figur 11.1.

SOCIAL PERSPECTIVE PSYCHOLOGICAL PERSPECTIVE

Classroom social norms Beliefs about own role, others´ roles, and the general nature of mathematical activity in school Sociomathematical norms Mathematical beliefs and values

Classroom mathematical practices Mathematical conceptions and activity Figur 11.1. Ramme for fortolkning af elevers matematikfaglige udvikling i klasserum (Cobb & Yackel, 1996, s. 177).

Design og analyse bør, ifølge Cobb og Yackel (1996), søge at indfange både det økosociale system, som et klasserum udgør, og handlingerne hos eleverne og læreren, der bidrager til dets udvikling. Modellen i figur 11.1 er i første omgang udviklet med henblik på analyse af undervisningsdesigns og på elevers

læreprocesser i disse designs. Senere er den dog også anvendt som et redskab til at beskrive det

læringsmiljø, som et design skulle forsøge at understøtte, og de mål, som undervisningen skulle rette sig mod (fx Cobb, 1999; Gravemeijer et al., 2000; Cobb et al. 2001). I dette studie anvender jeg, som nævnt, modellen i begge funktioner. I det følgende gengiver jeg først Cobb og Yackels beskrivelse af modellen.

Derefter gør jeg rede for, hvordan jeg har anvendt modellen og andre aspekter af emergensperspektivet i designet.

Som overskrifterne på de to kolonner i figur 11.1 indikerer, involverer modellen eksplicit koordination af to teoretiske perspektiver på aktiviteter i klasserum (Cobb & Yackel, 1996). Det sociale perspektiv er et

interaktionsperspektiv på fælles eller kollektive processer i klasserummet. Det psykologiske perspektiv er et konstruktivistisk syn på individuelle elevers (eller lærerens) processer, når de deltager i og bidrager til udviklingen af disse fælles processer.

De tre celler i kolonnen med det sociale perspektiv viser betegnelser for tre aspekter af kulturen i et

klasserum, som Cobb og Yackel har fundet det hensigtsmæssigt at adskille. De tre celler i kolonnen med det psykologiske perspektiv viser psykologiske konstruktioner, som, ifølge Cobb & Yackel (1996), udgør

109

individuelle modstykker til de tre sociale aspekter. I hver række skal det aspekt, der er knyttet til det sociale perspektiv, og den konstruktion, der er knyttet til det psykologiske perspektiv, opfattes som refleksivt relateret. I de tre følgende afsnit beskriver jeg med udgangspunkt i betegnelserne fra det sociale perspektiv indholdet i hver række, og hvordan den omtalte relation mellem de to perspektiver mere præcist skal forstås.

11.4. Sociale normer

Eksempler på et klasserums sociale normer kan være:

[…] explaining and justifying solutions, attempting to make sense of explanations given by others, indicating agreement or disagreement, and questing alternatives when a conflict in interpretations had become apparent. (Cobb & Yackel, 1996, s. 178)

Generelt afgrænser et klasserums sociale normer deltagelsesstrukturen i klasserummet og karakteriserer de fælles aktiviteter (Cobb &Yackel, 1996; Cobb et al., 2001). Ifølge Cobb & Yackel (1996) etableres et klasserums sociale normer i fællesskab mellem læreren og eleverne i klassen. Selv om læreren er en institutionaliseret autoritet i klassen og udtrykker denne autoritet ved at initiere, guide og organisere de fælles aktiviteter i klassen, er det altså ikke alene læreren, der ses som bestemmende for de sociale normer, der etableres i en klasse. Eleverne i en klasse ses også som bidragere til udviklingen af klassens sociale normer.

Igennem deres deltagelse i klassens fælles aktiviteter reorganiserer individuelle elever, ifølge Cobb og Yackel (1996), samtidig deres individuelle forestillinger om deres egen og andres rolle i det matematiske fællesskab, og om matematisk aktivitet. Det er i den forstand, at disse forestillinger (beskrevet i højre celle, række 1 i figur 11.1) udgør et psykologisk modstykke til klasserummets sociale normer.

One of our primary conjectures is, in fact, that in making these contributions, students reorganize their individual beliefs about their own role, others´ roles, and the general nature of mathematical

110

activity […]. As a consequence, we take these beliefs to be the psychological correlates of the classroom social norms. (Cobb & Yackel, 1996, s. 178)

Ifølge Cobb og Yackel (1996) har hverken klasserummets sociale normer eller deres psykologiske modstykke forrang over for hinanden. Det er fx ikke sådan, at en forandring i et klasserums sociale normer forårsager en forandring i elevers forestillinger eller sådan, at elever først reorganiserer deres forestillinger og så bidrager til udviklingen af klassens sociale normer. I stedet ses en klasses sociale normer og elevernes individuelle forestillinger som refleksivt relaterede sådan, at ingen af delene eksisterer uafhængigt af den anden del.

11.5. Sociomatematiske normer

Eksempler på sociomatematiske normer kan være:

[…] what counts as a different mathematical solution, a sophisticated mathematical solution, an efficient mathematical solution, and an acceptable mathematical explanation. (Cobb & Yackel, 1996, s. 178)

Generelt vedrører sociomatematiske normer de normative aspekter af klassediskussioner, der er specifikke for elevernes matematiske aktivitet (Cobb & Yackel, 1996; Cobb et al., 2001). Det, der primært adskiller sociomatematiske normer fra sociale normer, er det matematiske fokus. Mens sociale normer kan belyses i ethvert klasserum uafhængigt af det fag, klassen er samlet om, vedrører sociomatematiske normer

specifikt matematisk aktivitet.

Det psykologiske modstykke til klasserummets sociomatematiske normer er de individuelle elevers

forestillinger om og syn på matematik og matematisk aktivitet (beskrevet i højre celle, række 2 i figur 11.1), der, ifølge Cobb og Yackel (1996), konstituerer deres matematiske dispositioner. På samme måde som med sociale normer betragter Cobb og Yackel (1996) sociomatematiske normer og deres psykologiske

modstykke som refleksivt relaterede. Eleverne udvikler fx deres individuelle vurderinger af, hvad der tæller som acceptable matematiske forklaringer, når de deltager i klassens fælles samtaler, hvori konkrete matematiske forklaringer indgår - og omvendt udvikles klassens generelle opfattelse af, hvad der tæller som en accepteret matematisk forklaring, igennem elevers bidrag i sådanne forhandlinger.

111 11.6. Matematiske praksisser

Et klasserums matematiske praksisser er

[…] taken-as-shared ways of reasoning, arguing, and symbolizing established while discussing particular mathematical ideas. (Cobb et al., 2001, s. 126)

Ifølge Cobb og Yackel (1996), er dette aspekt af fortolkningsrammen motiveret af erkendelsen af, at man kan tale om både individuelle elevers matematikfaglige udvikling og om den matematikfaglige udvikling i et klasserum. Betegnelsen ’et klasserums matematiske praksisser’ giver en måde at tale om former for matematikfaglig kunnen, der er opnået i en klasse i den forstand, at de betragtes som antaget fælles, og dermed en måde at beskrive og følge den faglige udvikling i et klasserum. Mere præcist drejer det sig om måder at tænke, argumentere og symbolisere på, der behandles som selvindlysende og ikke (længere) kræver begrundelser når de anvendes i et klasserum i tilknytning til bestemte matematikfaglige ideer (Cobb

& Yackel 1996, Cobb et al, 2001).

Mens sociomatematiske normer er knyttet til matematisk aktivitet generelt set, er matematiske praksisser knyttet til bestemte matematiske ideer (Cobb et al., 2001). En matematisk praksis kan derfor fx vedrøre det at udnytte begrebsmæssige forståelser af 10´ere og 1´ere i addition med naturlige tal (Cobb & Yackel, 1996) eller det at udforske kvalitative karakteristika ved fordelingen i et datasæt (Cobb, 1999).

Selv om alle elever i et givent klasserum deltager i den samme matematiske praksis, foregår det typisk med kvalitative forskelle (Cobb & Yackel, 1996). Med andre ord så betyder etableringen af en matematisk praksis i et klasserum ikke, at eleverne på samme tid har reorganiseret deres individuelle matematiske opfattelser og måder at handle på i tilknytning til bestemte fagområder - de deltager i en matematisk praksis med forskellige af grader af raffinement. Elevernes individuelle matematiske opfattelser og aktiviteter (beskrevet i højre celle, række 3 i figur 11.1) betragtes som det psykologiske modstykke til klasserummets matematiske praksisser og relationen mellem disse to konstruktioner betragtes som refleksiv:

In particular, we consider that students actively contribute to the evolution of classroom

mathematical practices as they reorganize their individual mathematical activities and, conversely, that these reorganizations are enabled and constrained by the students´ participation in the mathematical practices. (Cobb & Yackel, 1996, s. 180)

112

11.7. Emergensperspektivet set i forhold til design i dette studie

Som det fremgår af afsnit 10.1., omfatter et klasserumsdesignstudie udarbejdelsen af et forestillet læringsspor, som eleverne i en klasse kan følge med henblik på at nå nogle nærmere beskrevne målsætninger. Som Cobb (1999) skriver, er en udfordring i den forbindelse, at det næppe er muligt at

Som det fremgår af afsnit 10.1., omfatter et klasserumsdesignstudie udarbejdelsen af et forestillet læringsspor, som eleverne i en klasse kan følge med henblik på at nå nogle nærmere beskrevne målsætninger. Som Cobb (1999) skriver, er en udfordring i den forbindelse, at det næppe er muligt at

In document Danish University Colleges Tidlig algebra i grundskolens matematikundervisning Kaas, Thomas (Sider 106-117)