II. Forskning i tidlig algebra
10. Metodisk ramme
Som metodisk ramme til at udforske problemstillingerne har jeg anvendt designforskning (design research) i klasserum på en måde, som korresponderer med bl.a. Cobb, Jackson og Sharpes (2017) fremstilling af klasserumsdesignstudier og med Bakkers (2018) fremstilling af designforskning i
uddannelsessammenhænge. I dette kapitel gør jeg først, i afsnit 10.1, rede for designforskning som
metodisk ramme og derefter begrunder jeg, i afsnit 10.2, hvorfor jeg har valgt denne metodiske ramme for studiet. I afsnit 10.3-10.5 gør jeg rede for de metodiske valg, jeg har foretaget i forskellige faser af studiet, og endelig gør jeg i afsnit 10.6 rede for den logik, der forbinder studiets forskningsspørgsmål gennem metoden til studiets resultater.
10.1. Designforskning som metodisk ramme
Den grundlæggende tanke i et designstudie er, at et design, der er baseret på eksisterende forskning, danner udgangspunkt for ny forskning, der er baseret på designet (Bakker, 2018). I uddannelsesforskning vedrører designet generelt nogle deltageres udvikling af bestemte former for praksis, og studiet kan betragtes som en slags ingeniørarbejde med disse former for praksis som mål. Et designstudie involverer systematiske studier af deltagernes udvikling af de nye former for praksis og af den kontekst, de opstår i, hvilket inkluderer de måder at understøtte udviklingen på, som er en del af designet (Cobb et al., 2017).
Ifølge, Cobb et al. (2017) har der været anvendt mange forskellige navne for designstudier, herunder designeksperimenter (design experiments), designbaseret forskning (design-based research),
uddannelsesdesignforskning (educational design research) og udviklingsmæssig forskning (developmental research). I denne afhandling anvender jeg, inspireret af Bakker (2018), betegnelsen designforskning som en oversættelse af design research, fordi denne betegnelse harmonerer med, at metoden kombinerer forskningsbaseret design (research based design) og designbaseret forskning (design based research).
Inspireret af Cobb et al. (2017) anvender jeg betegnelsen designstudie om et designforskningsprojekt. Selve betegnelsen ’design’ dækker i uddannelsesforskning over både produkter og processer og kan omfatte fx undervisningsmidler, opgaver, redskaber, symboliseringer, læringsmiljø og kommunikationsformer (Bakker, 2018; Cobb et al., 2017).
Et designstudie kan beskrives i tre faser (Cobb et al., 2017; Bakker, 2018): en forberedelsesfase, en fase med undervisningsforsøg og en fase med retrospektive analyser.
92
Omdrejningspunktet i forberedelsesfasen til et designstudie i et klasserum er udarbejdelsen af et forskningsbaseret design (Bakker, 2018). Ifølge Cobb et al. (2017) indebærer dette arbejde:
a) specifikation af de centrale matematiske ideer og mål for elevernes matematiske læring,
b) identifikation af de aspekter ved elevernes faglige udgangspunkter, som undervisningen bygger på og c) redegørelse for et hypotetisk læringsspor (a hypothetical learning trajectory).
Det sidstnævnte element i forberedelsesfasen består, ifølge Cobb, Stephan, McClain og Gravemeijer (2001), dels af formodninger om den kollektive, faglige udvikling, som kan finde sted i matematiske klasserum, og af midler der kan understøtte, at den tilsigtede faglige udvikling opstår. Betegnelsen ’hypotetisk
læringsspor’ blev oprindelig introduceret af Simon (1995) i forbindelse med tilrettelæggelse og gennemførelse af en enkelt eller to undervisningstimer og som et redskab til at beskrive lærerens beslutningsprocesser. Simon (1995) betragtede et hypotetisk læringsspor som bestående af tre
komponenter: læringsmål, der skulle definere undervisningens retning, af undervisningsaktiviteter, og af en hypotetisk læreproces, der skulle forudsige, hvordan elevernes tænkning og forståelse ville udvikle sig i relation til undervisningsaktiviteter og mål. Ifølge Prediger, Gravemeijer og Confrey (2015) har anvendelsen af betegnelsen ændret sig over tid, sådan at den nu også bruges om læringsprocesser, der udvikler sig i løbet af et undervisningsforløb om et bestemt emne, og som kan strække sig over længere perioder og række ud over en enkelt klasse.
Den anden og følgende fase i et klasserumsdesignstudie består af klasserumsbaseret forsøgsundervisning, der bygger på det hypotetiske læringsspor (Cobb et al., 2017). Den overordnede hensigt med et sådant forsøg er at forbedre det initiale design fra forberedelsesfasen ved at teste og modificere formodninger om både de involverede elevers matematiske læring og måder at understøtte denne læring på. Som et led i forsøget samles data, som gør det muligt at dokumentere de involverede elevers læring i
klasserumsundervisningen, og det læringsmiljø, som læringen finder sted i, inklusiv de måder elevernes læring er blevet understøttet på.
Arbejdet, der er rettet mod den overordnede hensigt, består i skiftende seancer med undervisning, analysemøder og justeringer i de planlagte undervisningsaktiviteter (Cobb et al., 2017). Det kan i tillæg involvere interviews med elever med henblik på at få indblik i deres tænkning (Bakker, 2018).
Undervisningen varetages af en af deltagerne i forskerteamet eller af en samarbejdende lærer, mens de øvrige deltagere observerer. Analysemøderne følger efter hver undervisningssession. Her deltager alle involverede i projektet for at diskutere deres tolkninger af de begivenheder, der har fundet sted i
93
klasserummet og for at komme med forslag til mulige justeringer af læringssporet. På baggrund af
diskussionerne tilrettelægges de konkrete undervisningsaktiviteter, og de måder elevernes læring konkret skal støttes på i den efterfølgende undervisningssession (Cobb et al., 2017).
Gravemeijer (1994) har introduceret betegnelsen ’minicykler’ for disse tæt forbundne, daglige cykler af undervisning, analyse og design. Designstudier kan tillige omfatte en eller flere cykler, der involverer design og analyse knyttet til det samlede undervisningsforsøg. Gravemeijer (1994) omtaler denne form for cykler som ’makrocykler’. Figur 10.1 illustrerer minicyklerne i et designstudie. Samlet set illustrerer figuren én makrocyklus.
Figur 10.1. Minicykler (Gravemeijer & Eerde, 2009, s. 516).
Den tredje og sidste fase i et designstudie involverer gennemførelsen af retrospektive analyser, der trækker på hele det datasæt, som er genereret i forsøgsundervisningen (Cobb et al., 2017), altså på en eller flere makrocykler. Mens de løbende analyser i forsøgsundervisningens minicykler er direkte rettet mod de deltagende elevers læring og mod måder at understøtte denne læring på, er de retrospektive analyser rettet mod en bredere, teoretisk kontekst ved at rammesætte læringen og måderne at understøtte denne læring på i det konkrete eksempel som en paradigmatisk case, der vedrører mere omfattende fænomener.
Et centralt element i den retrospektive analyse er derfor at differentiere mellem de aspekter af
forsøgsklassens læringsmiljø, der kan betragtes som nødvendige og generelt gældende, og de aspekter, der mere vedrører særlige omstændigheder i den konkrete forsøgsklasse, og som kan varieres i forbindelse med andre omstændigheder.
94
10.2. Begrundelser for designforskning som tilgang i dette studie Bakker (2018) karakteriserer kernen i designforskning således:
Most educational research describes or evaluates education as it currently is. Some educational research analyzes education as it was. Design research, however, is about education as it could be or even as it should be. Perhaps you say, like Martin Luther King Jr., “I have a dream,” and try to contribute to, say, more equitable education. Design research is the science fiction, or rather science faction, among the research approaches. (Bakker, 2018, s. 3)
Designstudier udspringer således typisk, ifølge Bakker, af et ønske om at forandre noget i en undervisningssammenhæng. Et sådant ønske kan fx basere sig på en tro på potentialet i en ny
undervisningsteknologi eller i et begrundet behov for at hjælpe elever med at opnå en ny type kunnen, der er behov for i fremtiden.
Det er netop denne type motivation, der ligger bag dette studie. I skrivende stund spiller tidlig algebraisk tænkning knyttet til funktionelle sammenhænge efter al sandsynlighed ikke en rolle i den danske
grundskole, men, som det fremgår af kapitel 1 og 9, ser jeg et potentiale i dette perspektiv på
algebraundervisning. Jævnfør litteraturreviewet i del II er forskning i elevers tidlige algebraiske tænkning og i måder at understøtte denne tænkning på, stadig i sin vorden, selv om der på nuværende tidspunkt er lovende resultater fra andre lande. Specielt mangler der viden om, hvilke mekanismer der kan understøtte de yngste elevers algebraiske tænkning i tilknytning til funktionelle sammenhæng.
På den måde opfylder projektet de to kriterier Cobb et al. (2017) opstiller for, hvornår det generelt er set passende at gennemføre et designstudie:
First, the forms of the students´ mathematical practices, teachers´ instructional practices, or the organizational routines that are the focus of investigation rarely occur in situ and are therefore difficult if not impossible to study by conducting observational investigations. An interventionist methodology such as design research, which aims to bring the intended developments in order to study them, is therefore appropriate. Second, current research on the process of supporting the
95
development of the focal practices is inadequate and cannot inform the formulation of reliable instructional improvement designs. A methodology in which designs are improved in the course of iterative cycles of design and analysis is therefore appropriate. (Cobb et al., 2017, s. 209)
Disse to kriterier kan også begrunde andre metodiske valg end designforskning. Utilstrækkelig viden på et givent område er et væsentligt kriterie for valg af enhver forskningstilgang, og Cobb et al. (2017) peger på, at både randomiserede kontrollerede forsøg (RCT) og aktionsforskning deler designforsknings
interventionistiske natur. Designforsknings fokus på at forbedre et initialt design gennem løbende analyser knyttet til praksis adskiller imidlertid designforskning fra RCT, der sigter på at evaluere en given
intervention gennem en før- og eftertest af tilfældigt udvalgte deltageres faglige udvikling. Designforskning er på den måde tættere knyttet til de udfordringer, der viser sig for fx lærere, når de søger at støtte elevers læring i klasserum. Som en konsekvens søger designforskning mere direkte at forbedre kvaliteten af elevers matematiklæring (Cobb et al., 2017). Dette sigte er en væsentlig begrundelse for valget af designforskning som metodisk tilgang i dette studie. Studiet søger at bidrage til undervisningens praksis i klasserum.
Aktionsforskning sigter på samme måde som designforskning på at forbedre et design, der kan støtte læring, gennem iterative cirkler af design og analyse. Til forskel fra aktionsforskning sigter designforskning imidlertid på generalisering gennem udvikling af teori, der konstituerer rationalet bag det design, som er resultatet af forskningen, og som kan informere andre, der arbejder med de samme mål (Cobb et al., 2017).
Dette sigte på generalisering er endnu en begrundelse for mit valg af designforskning som metodisk tilgang.
Som beskrevet i afsnit 9.3. søger studiet at bidrage til udvikling af en lokal undervisningsteori om algebraisk tænkning knyttet til funktioner på de yngste klassetrin. En sådan lokal undervisningsteori kan have
potentialet til at kunne informere praktikere og forskere (Prediger et al., 2015), men den udvikles generelt over flere studier og kan ikke forventes at fremtræde robust efter et enkelt studie (Cobb et al., 2017).
Eftersom dette studie afprøver og bygger videre på teori om at understøtte læreprocesser inden for tidlig algebra med funktionelle sammenhænge som tilgang, kan det ses som en brik i en større designproces rettet mod tidlig algebraundervisning. Studiet kan potentielt gøre aspekter af denne teori mere robuste ved, i en ny kontekst og med lokale justeringer, at påvise fund, der stemmer overens med tidligere fund - eller det kan bidrage til processen ved at modsige tidligere fund. Desuden kan det potentielt bidrage til denne større proces ved at udvikle ny teori eller videreudvikle eksisterende teori, der efterfølgende kan udgøre et nyt grundlag for nye projekter.
96 10.3. Forberedelsesfase
I kapitel 9 har jeg beskrevet de centrale matematiske ideer, som er en del af hypotetiske læringsspor i dette studie. Inden for denne indholdsmæssige ramme omfatter det hypotetiske læringsspor målsætninger, undervisningsoplæg og formodninger om, hvordan 8-10-åriges algebraiske læring kan støttes i klasserum.
Valget af disse elementer, og indholdet i dem, afspejler nødvendigvis bestemte opfattelser af, hvad der kan være hensigtsmæssige mål for 8-10-åriges algebraiske tænkning i tilknytning til funktionelle
sammenhænge, og det afspejler bestemte forestillinger om, hvordan elever på de yngste klassetrin gradvist kan udvikle mere og mere sofistikerede former for algebraisk viden og kunnen (Cobb et al., 2017).
De forestillinger om elevers læreprocesser, som det hypotetiske læringsspor bygger på, kan inddeles i tre forskellige niveauer:
Det første niveau vedrører lokale undervisningsteorier, dvs. teorier, der vedrører læring og undervisning inden for et bestemt fagområde (Prediger et al., 2015). Mest direkte bygger det hypotetiske læringsspor videre på følgende studier, der tidligere har fokuseret på lokale undervisningsteorier om funktionelle sammenhænge som tilgang til tidlig algebra:
• Carraher, Schlieman & Schwartz (2008)
• Blanton & Kaput (2011)
• Blanton et al. (2015)
• Brizuela & Earnest (2008).
Det andet niveau vedrører domænespecifikke teorier, dvs. teorier der er specifikke for et undervisningsfag, og som giver en undervisningsmæssig ramme (Prediger et al., 2015). På dette niveau bygger det
hypotetiske læringsspor på centrale aspekter af realistisk matematikundervisning (Realistic Mathematics Education). Specielt har følgende guidende principper fra realistisk matematikundervisning bidraget til at forme det hypotetiske læringsspor:
• Genopfindelsesprincippet
• Princippet om didaktisk fænomenologi
• Princippet om emergerende modellering (Gravemeijer, 1999; Gravemeijer et al., 2000).
Det tredje niveau vedrører mere overordnede teorier om læring og undervisning i klasserum, herunder på teorier om symboliseringsprocesser, kommunikationsformer og om lærerens rolle. Prediger et al. (2015)
97
betegner sådanne, grundlæggende teorier som ´orienting frameworks or background theories´ (s. 14). I dette studie danner den version af socialkonstruktivisme, som Cobb og Yackel (1996) betegner som
’emergensperspektivet’ (the emergent perspektive) baggrundsteori, og specielt har de tilknyttede begreber, ’sociale normer’, ’sociomatematiske normer’, ’matematiske praksisser’, ’refleksiv diskurs’
sammen med bestemte forestillinger om symboliseringsprocesser, spillet en rolle for udformningen af studiets initiale design. Dette orienterede rammeværk eller baggrundsteori spiller en dobbeltrolle i studiet, idet det både har inspireret designet og dannet grundlag for efterfølgende analyser.
I kapitel 11 udfolder jeg emergensperspektivet og i kapitel 12 de domænespecifikke og lokale undervisningsteorier, der, samlet set, kan betragtes som designets bagvedliggende teorier.
10.4. Forsøgsundervisning
I studiet har forsøgsundervisningen involveret én klasse og strakt sig over en periode på 15 måneder fra 2.
til 3. klassetrin. I løbet af de 15 måneder har forsøgsundervisningen udgjort 3 gange 4 uger fordelt over perioden. I tilknytning til forsøgsundervisningen har der været gennemført fire runder med fem elev-interviews i hver (se også afsnit 14.2). Forsøgsundervisningen i projektet har således omfattet én længerevarende makrocyklus.
Set i forhold til projektets problemstilling er det oplagt, at jeg i en forsøgsundervisning har haft brug for at fokusere på læring og undervisning hos folkeskolens yngste elever, men det er mindre oplagt, at studiet kun involverer én lang makrocyklus. Et andet valg kunne have været at gennemføre flere kortere makrocykler, fx ved at samarbejde med flere skoler og gentage et kortere undervisningsforsøg i flere forskellige klasser.
Af pragmatiske grunde (den tid, jeg har haft til rådighed som ph.d.-studerende) har jeg set det som
nødvendigt at vælge mellem én længerevarende makrocyklus eller flere kortere. Det sidstnævnte valg ville potentielt have kunnet bidrage til at øge studiets generaliserbarhed, fordi resultaterne ville kunne basere sig på analyser fra forskellige elevgrupper og lærere (Schoenfeld, 2007). Til gengæld ville studiet med det valg have svagere muligheder for at belyse elevers læreprocesser over tid, hvilket ville have svækket studiets relevans, fordi den type faglig udvikling, som det sigter på, generelt sker over længere tid (fx Carraher & Schliemann, 2008). Jeg har med andre ord prioriteret projektets relevans ved at vælge én makrocyklus frem for flere kortvarige.
98
I forbindelse med planlægningen af hver af de tre perioder med undervisning, med minicyklerne og med gennemførelsen af elevinterviews, har jeg arbejdet tæt sammen med lærer og Cand.pæd. i
matematikdidaktik1, Heidi Kristiansen. Det er Heidi, der har stået for gennemførelsen af
forsøgsundervisning, mens jeg har fungeret som observerende forsker. Heidi og jeg har således udgjort et team omkring fasen med forsøgsundervisning og i dele af forberedelsesfasen, mens jeg har været eneste deltager i studiets øvrige faser.
I afhandlingens kapitel 14 findes en detaljeret beskrivelse af deltagerne i og organiseringen af
forsøgsundervisningen, samt Heidis og min organisering af samarbejdet omkring forsøgsundervisningen. Af denne beskrivelse fremgår det bl.a., at den deltagende skole kan betegnes som en typisk dansk folkeskole, mens Heidi udgør en ekspertlærer, som jeg har samarbejdet med over en årrække i forskellige projekter og undervisningssammenhænge, og som jeg deler læringsteoretisk position med. Valget af Heidi som
samarbejdspartner har to afgørende konsekvenser for studiet:
For det første har det medført, at den involverede klasse, som Heidi i forvejen var lærer i, allerede før forsøgsundervisningen begyndte, havde udviklet sociale og sociomatematiske normer (Cobb & Yackel, 1996), der harmonerer med pejlemærkerne for det hypotetiske læringsspor. Det drejede sig blandt andet om sociale normer, der bevirkede, at eleverne forklarede og begrundede deres matematiske tænkning i klassesamtaler og om sociomatematiske normer, der bevirkede, at elevernes matematiske forklaringer i høj grad baserede sig på begrebsmæssige betydninger af beregninger frem for udelukkende beskrivelser af regneprocedurer. Disse normer er beskrevet detaljeret i kapitel 18.
For det andet har det medført, at studiet har potentiale til at belyse, hvilken grad af algebraisk kunnen det er muligt for elever på en typisk dansk folkeskole at opnå med den valgte tilgang, og hvordan læreprocesser optimalt set kan understøttes i et klasserum. Med andre ord har dette metodiske valg medført, at studiet har potentiale til at give et eksistensbevis for, hvad det er muligt at opnå på en typisk dansk folkeskole med den valgte tilgang.
Som tidligere beskrevet indgår der i et designstudies forsøgsundervisning både løbende tolkninger af elevernes matematiske aktiviteter og beslutninger om de måder, elevernes læreprocesser konkret kan understøttes på i klassen. Sådanne tolkninger og beslutninger involverer nødvendigvis formodninger om matematiske læreprocesser og opfattelser af, hvad der er hensigtsmæssige måder at understøtte sådanne læreprocesser på. Tolkningerne involverer med andre ord et valg af den læringsteoretisk ramme, som
1 Cand. pæd. i matematikdidaktik er en akademisk grad, der bl.a. er adgangsgivende til undervisning på læreruddannelsen i Danmark.
99
forsøgsundervisningen betragtes igennem (Cobb et al., 2017). I dette studie er det, som nævnt i afsnit 10.3, emergensperspektivet (fx Cobb & Yackel, 1996), der danner baggrund for analyserne. En konsekvens af dette valg er, at klasserummets læringsmiljø ikke alene ses som noget, der har betydning for elevernes læreprocesser, men også for de former for matematisk tænkning, som eleverne har mulighed for at udvikle.
Det har bl.a. medført, at de måder, vi har søgt at understøtte elevernes læring på, ikke alene har vedrørt valg af aktiviteter og redskaber, men også overvejelser over behovet for at guide sociomatematiske normer i klassen og at regulere formen på og indholdet i klasserumssamtaler.
10.5. Retrospektive analyser
Inspireret af Cobb, McClain og Gravemeijer (2003) er de retrospektive analyser i dette projekt opdelt, så de i to trin gradvist bevæger sig fra et perspektiv, der er forholdsvist tæt på forsøgsundervisningen, til et perspektiv, der er mere overordnet. Det første trin består i en analyse af det læringsspor, der blev udlevet i forsøgsundervisningens klasserum og i den diversitet, der viste sig i elevernes deltagelse i dette udleverede læringsspor. Denne analyse, der findes i afhandlingens del V, dokumenterer, hvordan læringssporet udfoldede sig i praksis og den læring, forskellige elever i forsøgsundervisningen opnåede med det valgte design (jf. Bakker, 2018).
Det andet trin består i analyser, der baserer sig på analysen i det første trin. Disse analyser er styret af de fire underspørgsmål til projektets overordnede problemstilling (se afsnit 9.3) og findes i afhandlingens del VI. Disse analyser sigter på generelle aspekter ved det udlevede læringsspor og på udvikling af lokal undervisningsteori om tidlig algebraundervisning, som andre klasserum kan trække på. Argumentationen bygger på identificeringen af, hvordan stadig mere sofistikerede måder at tænke, argumentere og symbolisere på opstod i forsøgsklassen og på afdækning af, hvilke aspekter af læringsmiljøet der var afgørende for, at denne faglige udvikling kunne finde sted.
Analyserne syntetiseres (sidst i afhandlingens del VI) i et forslag til et revideret, hypotetisk læringsspor, der udgør svaret på det studiets overordnede forskningsspørgsmål og projektets hovedresultat. Resultatet, og de fund, som studiet har givet anledning til, diskuteres i afhandlingens afsluttende del VII.
100 10.6. Sammenhængen i studiets argumentation
Studiet følger grundlæggende Bakkers (2018) forslag til argumentationsstruktur (argumentative grammar) for besvarelse af et overordnet forskningsspørgsmål med følgende format: How can a teaching-learning strategy with characteristics Ci support students to learn G? (Bakker, 2018, s. 104, original kursivering) I Bakkers forslag opfattes design generelt som noget, der skal hjælpe lærende i at komme fra ét sted til et andet (fra A til B). A kan fx være elevers nuværende viden og kunnen, og B kan fx være et bestemt
læringsmæssigt resultat (omtalt som G i ovenstående citat). For at besvare spørgsmålet om, hvordan man kan komme fra A til B, giver det mening at underbygge A og B, at udforske designideer og at evaluere og gentænke designet igennem en implementeringsfase. Underbygningen af A og B vedrører bl.a. studiets relevans: Er der virkelig et problem at udforske, og er det vigtigt at løse det? Udarbejdelsen af
designideerne må foregå på en konsistent måde: Er der sammenhæng mellem de teoretiske ideer, som designet bygger på, og selve designet? Evalueringen og gentænkningen af designet bør, ifølge Bakker (2018) bl.a. vedrøre designets funktion i praksis.
Hans forslag til en struktur, der kan kæde argumentationen fra forskningsspørgsmål til konklusion sammen,
Hans forslag til en struktur, der kan kæde argumentationen fra forskningsspørgsmål til konklusion sammen,