Mål, udgangspunkt og hypotetisk læringsspor

Ifølge Cobb et al. (2017) indebærer forberedelsen til et klasserumsdesignstudie bl.a.

a) specifikation af de centrale matematiske ideer og mål for elevernes matematiske læring,

b) identifikation af de aspekter ved elevernes faglige udgangspunkter, som undervisningen bygger på og c) redegørelse for det forestillede læringsspor.

I kapitlet følger jeg Cobb et al. ved at gennemgå punkterne a), b) og c) i den nævnte rækkefølge.

15.1. De bærende faglige ideer og intenderede slutmål

I forsøgsundervisningen havde vi tre overordnede mål, der kan ses som knyttet til modellen på figur 15.1 (se også kapitel 9).

Figur 15.1. Forsøgsundervisningens mål knyttet til studiets ramme for algebraisk tænkning og stof.

Det overordnede mål 1) var, at eleverne blev i stand til at generalisere lineære, funktionelle sammenhænge i situationer, hvor denne sammenhæng på forhånd er ukendt. Det overordnede mål (2) var, at eleverne blev i stand til at anvende algebraiske repræsentationer som redskaber til at løse problemer, der involverer ubestemte kvantiteter. Det overordnede mål (3) var, at eleverne blev i stand til at anvende algebraisk tænkning i reelle kontekster.

Stof

138 Vedrørende mål 1)

De bærende faglige ideer knyttet til 1) var, jf. redegørelserne i afsnit 6.3 og 9.1:

1a) at identificere generelle, lineære, funktionelle sammenhænge.

1b) at symbolisere generelle, lineære, funktionelle sammenhænge.

1c) at begrunde generelle, lineære, funktionelle sammenhænge.

Vedrørende 1a)

Vi ønskede, at eleverne gennem undersøgelser af fænomener inden for og uden for matematikken ultimativt skulle blive i stand til at identificere korrespondancesammenhænge af formen 𝑓𝑓(𝑥𝑥) =𝑎𝑎𝑥𝑥+𝑏𝑏, hvor a og b er naturlige tal og a, b ≤10. Det kunne fx være korrespondancesammenhængen mellem antal borde og antal stole i en bestemt opstilling (se figur 15.2). Som led i elevernes identifikation af

korrespondancesammenhænge så vi det også som (del-)mål, at eleverne identificerede rekursive sammenhænge og samvariation (se afsnit 7.1).

Figur 15.2. En bestemt opstilling af borde og stole, der kan forlænges med flere borde og stole.

Vedrørende 1b)

Vi ønskede, at eleverne ultimativt skulle blive i stand til at symbolisere de generelle sammenhænge med konventionelle repræsentationsformer som grafer i koordinatsystemer og udtryk med variabelnotation.

Som trin på vejen mod forståelse af disse repræsentationer så vi det som delmål, at eleverne kunne beskrive generelle sammenhænge med verbalt sprog i form af faktuelle og kontekstuelle generaliseringer (Radford, 2011, 2014, 2018). Et eksempel på en faktuel generalisering af sammenhængen mellem antal borde og antal stole kan være: ’Hvis der er 2 borde, kan man finde antal stole ved at sige 2 gange 4 plus 2.

Hvis der er 100 borde, er det 100 gange 4 plus 2 og så videre’. Et eksempel på en kontekstuel generalisering af sammenhængen mellem antal borde og antal stole kan være: ’Man kan tælle, hvor mange borde der er.

Så kan man sige det tal ganget med 5. På den måde får man dog lidt for mange. Man bliver nødt til at trække en stol fra for hvert af de borde, der ikke står yderst i rækken’.

139 Vedrørende 1c)

Begrundelserne for disse sammenhænge skulle, i så høj grad som muligt, basere sig på analyser af strukturer og mønstre og referere til den kontekst, de udspringer fra. Korrespondancesammenhængen mellem antal borde og antal stole i eksemplet fra før kan fx begrundes med: ’Ved hvert bord er der 4 stole.

Hvis der er n borde, vil der derfor være 𝑛𝑛· 4 stole. Desuden er der 2 stole i bordenderne. Til n borde skal man derfor bruge 𝑛𝑛· 4 + 2 stole’. En sådan form for begrundelse står i modsætning til en begrundelse, der er baseret på ’gæt og prøv efter’ (jf. Radford, 2018), fx: ’Jeg har skrevet i tabellen, hvor mange stole, der hører til forskellige antal borde. Så har jeg prøvet mig frem og fundet ud af, at det hver gang passer, hvis man ganger antal stole med 4 og lægger 2 til.’

Vedrørende mål 2)

De bærende faglige ideer knyttet til mål 2) var, jf. redegørelsen i afsnit 6.3 og 9.1:

2a) at oversætte mellem forskellige repræsentationer af funktionelle sammenhænge.

2b) at behandle repræsentationer af funktionelle sammenhænge.

2c) at tolke resultatet af behandlingerne i forhold til en kontekst.

Vedrørende 2a)

Mange algebraiske problemstillinger tager udgangspunkt i en funktionel sammenhæng, der ikke skal identificeres, men som på forhånd er beskrevet. En sådan situation kan fx opstå, når elever (i en eller anden form) har generaliseret sammenhængen mellem antal stole og borde i opstillingen fra figur 15.2. Måske har de identificeret og formuleret, at der for hvert nyt bord skal bruges 4 stole, og at der i tillæg skal bruges 2 stole til bordenderne. En ny problemstilling kan på den baggrund fx bestå i at finde ud af, hvor mange borde der skal bruges til 28 stole. I dette eksempel er den funktionelle sammenhæng, der er knyttet til problemet, beskrevet i verbalt sprog. For at anvende de særlige muligheder som algebraiske

repræsentationer giver, kan man oversætte centrale aspekter af problemstillingen til en sådan

repræsentation, fx til ligningen: 𝑛𝑛· 4 + 2 = 28. I forsøgsundervisningen så vi det som et mål, at eleverne begrundet kunne oversætte problemstillinger til ligninger og til grafiske repræsentationer i

koordinatsystem. Som led i denne målsætning så vi det som delmål, at eleverne begrundet kunne

oversætte frem og tilbage mellem forskellige repræsentationer for funktionelle sammenhænge, herunder

140

frem og tilbage mellem funktionelle sammenhænge beskrevet med funktionstabeller, regneudtryk, variabelnotation og grafer. Det var i tillæg et mål for os, at eleverne valgte hensigtsmæssige repræsentationer, dvs. repræsentationer, som rent faktisk kunne bidrage til at belyse den givne problemstilling.

Vedrørende 2b)

Når en problemstilling er oversat til fx en ligning eller til en grafisk repræsentation, kræver løsningen af problemet ofte, at man kan behandle denne repræsentationsform. Behandlingen vil typisk bestå i beregninger, fx i forbindelse med løsning af en ligning. I nogle tilfælde er det dog primært selve oversættelsen af problemstillingen, der kræver beregninger. Det gælder fx, hvis problemstillingen om bordene og stolene skal oversættes til en tabelrepræsentation eller til en grafisk repræsentation i et koordinatsystem. Hvis problemstillingen bliver oversat til en ligning 𝑛𝑛· 4 + 2 = 28, kræver løsningen af problemet imidlertid, at man kan løse ligningen. I forsøgsundervisningen så vi det som et mål, at eleverne kunne arbejde med algebraiske repræsentationer - og ultimativt, at de kunne løse ligninger, hvor en ubekendt optræder i to led, fordi sådanne ligninger kræver operationer med den ubekendte (Brizuela &

Schliemann, 2004; Fillroy & Rojano, 1989). De konventionelle repræsentationer, vi ønskede, at eleverne skulle blive i stand til at behandle, var funktionstabeller, punktgrafer i koordinatsystem, udtryk med variabelnotation, herunder ligninger. Som led i denne målsætning så vi det i tillæg som et mål, at eleverne kunne belyse ligheder og forskelle, styrker og svagheder mellem de forskellige repræsentationer.

Vedrørende 2c)

Når en problemstilling er oversat til en algebraisk repræsentation, og der er foretaget de nødvendige beregninger, må resultatet af beregningerne tolkes i forhold til den oprindelige problemstilling. Hvis man finder løsningen 𝑛𝑛= 6¹₂ til ligningen 𝑛𝑛· 4 + 2 = 28, kan denne løsning fx tolkes sådan, at der skal bruges 7 borde til 28 stole. I forsøgsundervisningen så vi det som et mål, at eleverne kunne tolke resultater af sådanne beregninger i forhold til kontekster inden for og uden for matematikken. Som delmål ønskede vi, at eleverne blev i stand til at tolke resultater af beregninger knyttet til funktionstabeller og til generelle funktionsudtryk i forhold til den kontekst, som beregningerne refererede til. Desuden så vi det som et delmål, at eleverne blev i stand til at tolke punktgrafer i koordinatsystem, herunder tolke det grafiske billede af to punktgrafer, der skærer hinanden i samme koordinatsystem.

141 Vedrørende mål 3)

De omtalte bærende ideer, der er knyttet til mål 1) og 2), kan referere til forskellige typer situationer. De kan bl.a. referere til situationer, der er snævert matematikfaglige. En sådan situation kan fx handle om sammenhængen mellem sidelængde og omkreds i et (vilkårligt) kvadrat. En anden type situation er knyttet til en semi-virkelighed, dvs. til en kontekst, der er konstrueret til lejligheden, og som fuldt og helt er defineret igennem opgaven (Skovsmose, 2003). Det kan fx dreje sig om, hvor mange stykker snor, der vil blive, hvis man klipper n gange i snoren på tegningen herunder, altså om den funktionelle sammenhæng mellem antal klip og antal snore.

Figur 15.3. Et antal klip i en buet snor. (Fra Freil, Kaas & Kristiansen, 2020, s. 156)

En tredje type situation er knyttet til en reel virkelighed (Skovsmose, 2003). Det kan fx dreje sig om, hvor lang tid man kan forvente, at en bestemt type stearinlys kan brænde, altså om den funktionelle

sammenhæng mellem tid og forbrænding af stearin.

I forsøgsundervisningen var det et mål, at eleverne skulle kunne bringe algebraisk tænkning knyttet til funktionelle sammenhænge i spil i alle disse forskellige typer af situationer. Før forsøgsundervisningen lagde vi os ikke fast på, hvilke former for algebraisk tænkning der skulle vægtes i den forbindelse.

Kommentarer til målsætningen

Alle de nævnte, intenderede slutmål er usædvanlige for elever i en dansk 2.- og 3. klasse. I de gældende læseplaner for matematik spiller funktioner, variabelnotation og ligningsløsning ikke en rolle før på 4.-6.

klassetrin, specielt er funktionsforskrifter (den lukkede form, der er knyttet til

korrespondancesammenhænge) og variable ikke omtalt før sidst på mellemtrinnet (Børne- og Undervisningsministeriet, 2019A).

142

Set i forhold til tidligere forskningsprojekter er flere af målene mindre usædvanlige (se også kapitel 7). Fx har Blanton et al. (2015) tidligere belyst de yngste elevers funktionelle tænkning på basis af et

undervisningsforløb i 1. klasse, der bl.a. var rettet mod elevernes identifikation af relationer mellem to variable, der samvarierer og mod deres beskrivelser af disse relationer i ord og variabelnotation. Desuden har bl.a. Carraher et al. (2008) gennemført undervisningsforsøg i 3. klasse, hvor de har fokuseret på ligningsløsning. I relation til disse kendte undervisningsmål sigter dette studie (som beskrevet i afsnit 9.3) i højere grad på at belyse mekanismer, der kan bidrage til, at eleverne flytter sig fagligt i retning af målene.

Enkelte undervisningsmål er dog mindre belyst i tidlig algebraforskning. Det gælder i særdeleshed målet om at bringe elever i stand til at anvende algebraisk tænkning knyttet til funktioner i situationer med reelle referencer.

15.2. Klassens faglige udgangspunkt

Det faglige udgangspunkt, som forsøgsundervisningen baserede sig på, afdækkede jeg dels gennem samtale med Heidi, og dels gennem semistrukturerede før-interviews med 5 elever, der udspændte klassens faglige niveau (se afsnit 14.2).

Ifølge Heidi havde klassen arbejdet med regningsarterne addition og subtraktion, og kort inden

forsøgsundervisningen havde de et indledede forløb om multiplikation. Det betød, at de fleste elever var fortrolige med forskellige additive situationer (Carpenter, Fennema & Franke, 1996), men at de kun havde et overfladisk kendskab til multiplikation. De fleste elever kunne begrunde beregningsmetoder til addition og subtraktion med reference til tallenes begrebsmæssige betydning og ikke bare med reference til proceduren i en algoritme. Under før-interviewene gav alle eleverne eksempler på sådanne begrundelser.

Sara forklarede fx, hvordan hun beregnede 25 + 25:

’Så plejer jeg altid at tage 10’erne først. Hvis jeg nu skal regne 25 plus 25 ud, så tager jeg altid, øhm… Så tager jeg altid de to 10’ere, der er, og så holder jeg dem, og så siger jeg bare, hvad 5 plus 5 er. Så giver det 10. Og så er det, at det kommer op på… 50.’

Citatet tyder på, at Sara vidste, at 25 kan opdeles i to tiere og 5 enere og beregnes således: 25 + 25 = 20 + 20 + 5 + 5 = 40 + 10 = 50. Samlet set indikerede før-interviewene, at eleverne både var vant til at forklare deres tænkning, og at deres beregningsmetoder generelt var forbundet med forståelse.

143

Ifølge Heidi havde eleverne i 2. klasse endnu ikke arbejdet med figurfølger eller talfølger, som ellers er et almindeligt emne i Danmark på dette klassetrin, men de var vant til at lede efter mønstre og systemer i tal og beregninger. For Sara kom denne opmærksomhed på mønstre og systemer også til udtryk i

før-interviewet. Heidi bad hende samle centicubes, der danner et rektangel med sidelængden 2, og Sara bemærkede igennem interviewet, at når man gør den frie sidelængden i sådanne rektangler 1 større, øger man antallet af centicubes med 2 (se også interviewguiden til før-interviewene i bilag A). Desuden

bemærkede hun, at hvis sidelængden i et sådant rektangel er 5, så kan man beregne det antal centicubes, der skal bruges til at bygge det, ved 5 + 5. Når sidelængden er 6, er det 6+6 osv. Bemærkninger som disse kom med forskellige grader af raffinement fra alle elever i før-interviewene. Denne opmærksomhed på mønstre og systemer så vi som et vigtigt grundlag for at identificere og begrunde generelle lineære funktionelle sammenhænge.

Eleverne havde tidligere brugt funktionstabeller som redskab til at ordne data i statistiske undersøgelser.

Det var formentlig derfor tilsyneladende let for dem alle i før-interviewene at skabe overblik over de talpar, der fremkom, når de sammenlignede højde og antal centicubes i rektangler med en fast sidelængde på 2.

Eleverne skrev forskellige højder i den ene kolonne i en tabel og det samhørende antal centicubes i den anden kolonne. Som det fremgår af det følgende afsnit, planlagde Heidi og jeg at bruge netop

funktionstabeller som et støttende redskab i elevernes arbejde med at generalisere funktionelle sammenhænge, så i den forbindelse byggede vi på et fagligt udgangspunkt, der allerede var etableret.

Mere generelt rapporterede Heidi, at eleverne var vant til at arbejde undersøgende, til at forklare deres faglige tænkning, argumentere og diskutere fagligt i matematiktimerne. De brugte fx betegnelsen

’matematikdetektiver’ om den rolle, de påtog sig, når de gik undersøgende til værks i undervisningen.

Betegnelsen indikerede, at de skulle arbejde sammen om at gå på jagt efter løsninger på problemer, regelmæssigheder eller ’smarte måder’. Som det fremgår af det følgende, harmonerede dette udgangspunkt godt med det læringsspor, vi planlagde.

15.3. Det hypotetiske læringsspor og planlagte måder at understøtte elevernes læring på I dette afsnit beskriver jeg det læringsspor, Heidi og jeg på forhånd forestillede os at følge igennem de tre forløb med forsøgsundervisning. Undervejs beskriver jeg, hvordan det hypotetiske læringsspor relaterer sig til de guidende principper, der er omtalt i afsnit 12.7.

Jeg beskriver det hypotetiske læringsspor i 3 faser:

144

• Fase 1 handler om at etablere ’grundstammen’ i to matematiske praksisser (Cobb et al., 2001). En praksis, der knytter sig til det overordnede mål 1), og en praksis, der knytter sig til det overordnede mål 2).

• Fase 2 handler om at udvikle stadig mere sofistikerede måder at ræsonnere, argumentere og symbolisere på i forhold til mål 1) og 2).

• Fase 3 handler om at udvikle en praksis i retning af det overordnede mål 3).

Tidsmæssigt forestillede vi os på forhånd, at faserne groft sagt fulgte undervisningsforløbene, sådan at fase 1 var i fokus i det første undervisningsforløb, fase 2 i det andet og fase 3 i det tredje. Vi var dog åbne for, at undervisningen i praksis kunne komme til at tage andre retninger.

Fase 1, mål 1

Det overordnede mål 1) handler om at generalisere lineære funktionelle sammenhænge. Inspireret af Carraher et al. (2008) samt Blanton og Kaput (2011) forestillede vi os, at eleverne kunne komme i gang med både at identificere, symbolisere og begrunde sådanne sammenhænge, hvis klassen arbejdede i en

progression, der kan ses som en kæde af matematiske praksisser. Figur 15.4 illustrerer kæden.

Figur 15.4. Forestilling om vejen fra en konkret problemstilling til generalisering af en korrespondanceregel.

Til undervisningen i fase 1 udvalgte vi derfor en række konkrete problemstillinger, der alle gav eleverne mulighed for at undersøge konkrete tilfælde af lineære sammenhænge og derigennem generere talpar. I overensstemmelse med princippet om didaktisk fænomenologi udvalgte vi problemstillingerne, så vi kunne se for os, at eleverne kunne leve sig ind i dem og i første omgang bearbejde dem med den viden og kunnen, de havde i forvejen. I overensstemmelse med principperne om midler i undervisningen udvalgte vi

problemstillinger, der gav eleverne muligheder for at visualisere sammenhænge mellem de kvantiteter, der indgik.

145

Figur 15.5. viser den allerførste problemstilling, vi planlagde, at eleverne skulle arbejde med. De øvrige aktiviteter, vi udvalgte og udviklede, er kortfattet beskrevet i undervisningsplanen på bilag B. Det skal bemærkes, at vi løbende igennem forløbene justerede undervisningsplanerne til den form, de har på bilag B.

Figur 15.5. Problemstillingen ’Rektangler med sidelængden 4´ (Inspireret af Yackel, 1997).

Når eleverne selvstændigt havde genereret talpar igennem deres undersøgelser, skulle klassen i fællesskab samle (nogle af) deres talpar i en funktionstabel. Inspireret af Blanton og Kaput (2011), og jf. princippet om multiple repræsentationsformer, var det tanken, at funktionstabellen med lærerens støtte gradvist skulle komme til at fungere som objekt, der kunne støtte elevernes identificering af generelle rekursive

sammenhænge, samvariation og ultimativt korrespondancesammenhænge.

Vi så denne bevægelse fra den konkrete problemstilling til funktionstabel som en konkretisering af

princippet om gennem emergerende modellering at støtte overgangen fra det konkrete og ukonventionelle mod det generelle og konventionelle med symboliseringer, der først udgør en model af den konkrete lineære situation og senere en model for at kunne reflektere over sammenhængene mellem tallene uafhængigt af den konkrete situation. Vores afdækning af elevernes faglige udgangspunkt gav os desuden grund til at tro, at eleverne ville have gode muligheder for at bruge netop funktionstabeller som et redskab til at foretage et sådant skift i deres tænkning.

Det næste led i kæden i figur 15.4 bestod af klassens opstilling af regneudtryk, der symboliserede elevers tænkning i funktionssituationen. I eksemplet med aktiviteten ’Rektangler med sidelængden 4’ forestillede vi os fx, at nogle elever ville beregne antallet af enheder i et rektangel med en fri sidelængde på 10, som

Rektangler med sidelængden 4

Tegn rektangler med sidelængden 4 på kvadratpapir. I bestemmer selv, hvor ’højt’ rektanglet skal være.

Hvor mange ’små firkanter’ kommer der i de rektangler, I tegner?

Hvordan kan I finde ud af, hvor mange ’små firkanter’, der kommer, når I kender højden?

146

10 + 10 + 10 + 10 = 40. Hvis eleverne kunne opstille beregninger som disse, ville disse beregninger kunne ses som forklaringer på, hvordan et talpar som 10,40 var ’forbundet’.

Tanken med det sidste led i kæden på figur 15.4 var, at eleverne skulle formulere de generelle mønstre i en samling af regneudtryk som fx 10 + 10 + 10 + 10, 5 + 5 + 5 + 5 og 1 + 1 + 1 + 1. Med andre ord skulle de formulere, hvordan det er muligt at regne sig frem til antallet af tern, når man kender højden af rektanglet.

Vi vidste fra vores afdækning af elevernes faglige udgangspunkt, at de var vant til at tænke i mønstre og systemer og havde derfor grund til at tro, at de ville bemærke ensartetheden i udtrykkene. Planen var, at Heidi skulle lægge op til faktuelle generaliseringer ved at spørge fx ’Hvordan vil regnestykket se ud, hvis sidelængden var 100?’ Hvis eleverne kunne foretage dette spring, ville hun efterfølgende lægge op til kontekstuelle generaliseringer, ved at stille et spørgsmål som: ’Hvordan vil I forklare jeres dansklærer, Tine, hvordan hun kan regne sig frem til antallet af små firkanter, hvis hun kender højden?’

På forhånd var vi usikre på, om eleverne i løbet af forsøgsundervisningen ville blive i stand til at symbolisere lineære, funktionelle sammenhænge med variabelnotation, men jf. princippet om tidlig introduktion af variable og variabelnotation ville vi forsøge os med at introducere bogstaver som symboler for variable kvantiteter på baggrund af de tidligere led i kæden på figur 15.4. Vi var usikre på, hvordan denne

introduktion konkret skulle foregå. På forhånd planlagde vi fx i forbindelse med aktiviteten ’Rektangler med sidelængden 4’ at stille spørgsmål som: ’Hvad bliver regnestykket, hvis vi aftaler at kalde højden for ℎ?’

Eleverne skulle i forbindelse med hver problemstilling have mulighed for at begrunde de generelle funktionelle sammenhænge, de identificerede og symboliserede. Det var hensigten, at begrundelserne skulle basere sig på de kontekster, der oprindeligt var udgangspunkt for elevernes identificering af funktionelle sammenhænge, for at gøre generaliseringen meningsfuld for dem. Fx håbede vi, at eleverne i forbindelse med ’Rektangler med sidelængden 4’ ville give begrundelser som: ’I hvert rektangel er der 4 søjler, der er lige så høje som rektanglet. Derfor skal man hver gang ’plusse’ højden af rektanglet 4 gange’.

Vores hypotese var, at når generaliseringer forekommer meningsfulde for eleverne, vil det være lettere for dem også at se mening i variabelnotation.

Hver af pilene på figur 15.4 så vi på forhånd som udviklingen af en klasserumspraksis. Sammenfattende ville vi i grove træk søge at opfylde mål 1) ved først at understøtte en klasserumspraksis med opstilling af en funktionstabel på baggrund af arbejde i funktionssituationer. Dernæst en praksis med opstilling af

regneudtryk, som viste, hvordan man ud fra den uafhængige variabel i udvalgte talpar fra funktionstabellen (den frie højde i et rektangel) kunne beregne den afhængige variabel (antallet af tern i rektanglet). Til sidst

147

en praksis med formulering eller opstilling af et generelt udtryk for den lineære sammenhæng, herunder optimalt set med variabelnotation.

I undervisningen ville vi forsøge at få disse praksisser til at opstå ved at gennemløbe den beskrevne proces flere gange med forskellige problemstillinger som udgangspunkt (se bilag B). I hvert gennemløb ville vi forsøge at komme så langt i progressionen som muligt.

Fase 1, mål 2

Mål 2) handler om at anvende algebraiske repræsentationer som redskaber til at løse problemer, der involverer ubestemte kvantiteter. I fase 1 planlagde vi at rette os mod dette mål ved at søge at få eleverne

Mål 2) handler om at anvende algebraiske repræsentationer som redskaber til at løse problemer, der involverer ubestemte kvantiteter. I fase 1 planlagde vi at rette os mod dette mål ved at søge at få eleverne

In document Danish University Colleges Tidlig algebra i grundskolens matematikundervisning Kaas, Thomas (Sider 140-157)